Naivní teorie množin - Naive set theory

Tento článek je o matematickém tématu. Knihu se stejným názvem najdete v Naivní teorii množin (kniha) .

Naivní teorie množin je jednou z několika teorií množin používaných při diskusi o základech matematiky . Na rozdíl od axiomatických teorií množin , které jsou definovány pomocí formální logiky , je naivní teorie množin definována neformálně, v přirozeném jazyce . Popisuje aspekty matematických množin známé v diskrétní matematice (například Vennovy diagramy a symbolické úvahy o jejich booleovské algebře ) a postačuje pro každodenní používání konceptů teorie množin v současné matematice.

Sady mají v matematice velký význam; v moderních formálních úpravách je většina matematických objektů ( čísla , vztahy , funkce atd.) definována pomocí sad. Naivní teorie množin stačí k mnoha účelům a zároveň slouží jako odrazový můstek k formálnějším způsobům léčby.

Metoda

Naivní teorie v tom smyslu, že „naivní teorie množin“ je neformalizované teorie, to znamená, že teorie, která využívá přirozeného jazyka k popisu sady a operace na sety. Slova a , nebo , pokud ... pak , ne , pro některé , pro každého, jsou považována za běžnou matematiku. Z praktického hlediska převládá používání naivní teorie množin a jejího formalismu i ve vyšších matematikách - včetně formálnějších nastavení samotné teorie množin.

První vývoj teorie množin byl naivní teorií množin. Byl vytvořen na konci 19. století Georgem Cantorem jako součást jeho studia nekonečných množin a vyvinut Gottlobem Fregeem v jeho Grundgesetze der Arithmetik .

Naivní teorie množin může odkazovat na několik velmi odlišných pojmů. Může odkazovat na

Paradoxy

Předpoklad, že jakoukoli vlastnost lze použít k vytvoření množiny bez omezení, vede k paradoxům . Jedním z běžných příkladů je Russellův paradox : neexistuje žádná sada sestávající ze „všech množin, které se neobsahují“. Konzistentní systémy naivní teorie množin tedy musí obsahovat určitá omezení principů, která lze použít k tvorbě množin.

Cantorova teorie

Někteří se domnívají, že teorie množin Georga Cantora nebyla ve skutečnosti zapletena do set-teoretických paradoxů (viz Frápolli 1991). Jeden problém s určitostí je určit, že Cantor neposkytl axiomatizaci svého systému. V roce 1899 si Cantor byl vědom některých paradoxů vyplývajících z neomezené interpretace jeho teorie, například Cantorova paradoxu a paradoxu Burali-Fortiho , a nevěřil, že jeho teorii diskreditovali. Cantorův paradox lze ve skutečnosti odvodit z výše uvedeného (nepravdivého) předpokladu - že jakoukoli vlastnost P ( x ) lze použít k vytvoření množiny - pomocí pro P ( x ) „ x je kardinální číslo “. Frege výslovně axiomatizoval teorii, ve které lze interpretovat formalizovanou verzi naivní teorie množin, a právě této formální teorii se Bertrand Russell skutečně věnoval, když představil svůj paradox, ne nutně teorii Cantor - který, jak již bylo zmíněno, věděl o několika paradoxů - pravděpodobně měl na mysli.

Axiomatické teorie

Axiomatická teorie množin byla vyvinuta v reakci na tyto rané pokusy porozumět množinám s cílem přesně určit, jaké operace byly povoleny a kdy.

Konzistence

Naivní teorie množin nemusí být nutně nekonzistentní, pokud správně určuje množiny, které je možné vzít v úvahu. Toho lze dosáhnout pomocí definic, což jsou implicitní axiomy. Je možné výslovně uvést všechny axiomy, jako v případě Halmosovy Naivní teorie množin , což je vlastně neformální prezentace obvyklé axiomatické teorie množin Zermelo – Fraenkel . Je „naivní“ v tom, že jazyk a notace jsou jazykem běžné neformální matematiky, a v tom, že se nezabývá konzistencí nebo úplností systému axiomu.

Stejně tak axiomatická teorie množin nemusí být nutně konzistentní: nemusí být nutně prostá paradoxů. Z Gödelových teorém neúplnosti vyplývá, že dostatečně komplikovaný logický systém prvního řádu (který zahrnuje většinu běžných teorií axiomatických množin) nelze prokázat konzistentní zevnitř samotné teorie - i když ve skutečnosti je konzistentní. Obecně se však věří, že společné axiomatické systémy jsou konzistentní; svými axiomy vylučují některé paradoxy, jako Russellův paradox . Na základě Gödelovy věty prostě není známo-a nikdy být nemůže-, jestli v těchto teoriích nebo v jakékoli teorii množin prvního řádu nejsou vůbec žádné paradoxy.

Termín naivní teorie množin je ještě dnes také používán v některé literatuře k označení teorií množin studovaných Fregeem a Cantorem, spíše než k neformálním protějškům moderní axiomatické teorie množin.

Užitečnost

Volba mezi axiomatickým přístupem a jinými přístupy je do značné míry věcí pohodlí. V každodenní matematice může být nejlepší volbou neformální použití axiomatické teorie množin. Odkazy na konkrétní axiomy se pak obvykle vyskytují pouze tehdy, vyžadují -li to tradice, např. Při použití je často zmiňován axiom volby . Podobně formální důkazy se vyskytují pouze v případě, že to vyžadují výjimečné okolnosti. Toto neformální použití axiomatické teorie množin může mít (v závislosti na notaci) přesně vzhled naivní teorie množin, jak je uvedeno níže. Je podstatně snazší číst a psát (při formulaci většiny prohlášení, důkazů a diskusních řádků) a je méně náchylný k chybám než přísně formální přístup.

Sady, členství a rovnost

V naivní teorii množin je množina popisována jako dobře definovaná kolekce objektů. Tyto objekty se nazývají prvky nebo členové sady. Objekty mohou být cokoli: čísla, lidé, jiné sady atd. Například 4 je členem množiny všech sudých celých čísel . Je zřejmé, že množina sudých čísel je nekonečně velká; neexistuje žádný požadavek, aby byla sada konečná.

Pasáž s původní nastavenou definicí Georga Cantora

Definice množin sahá do Georga Cantora . Ve svém článku z roku 1915 Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre napsal :

“Unter einer 'Menge' Verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung orer unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen." - Georg Cantor

"Sada je shromáždění do celku určitých, odlišných předmětů našeho vnímání nebo našeho myšlení - kterým se říká prvky sady." - Georg Cantor

První použití symbolu ϵ v díle Arithmetices principia nova methodo exhibita od Giuseppe Peana .

Poznámka ke konzistenci

Neznamená to není vyplývá z této definice , jak je možné vytvořit sady a jaké operace na souborech opět přinese sadu. Termín „dobře definovaný“ v „dobře definované kolekci předmětů“ nemůže sám o sobě zaručit konzistenci a jednoznačnost toho, co přesně tvoří a co netvoří množinu. Pokus o dosažení tohoto cíle by byl říší axiomatické teorie množin nebo teorie axiomatické třídy .

Problém v této souvislosti s neformálně formulovanými teoriemi množin, které nejsou odvozeny z (a implikují) žádnou konkrétní axiomatickou teorii, spočívá v tom, že může existovat několik velmi odlišných formalizovaných verzí, které mají jak různé sady, tak různá pravidla pro to, jak mohou být nové množiny vytvořeny, aby všechny odpovídaly původní neformální definici. Doslovná definice Cantor například umožňuje značnou svobodu v tom, co tvoří množinu. Na druhou stranu je nepravděpodobné, že by se Cantor zvláště zajímal o sady obsahující kočky a psy, ale spíše pouze o sady obsahující čistě matematické objekty. Příkladem takovéto třídy množin může být von Neumannův vesmír . Ale ani při stanovení třídy uvažovaných množin není vždy jasné, jaká pravidla pro tvorbu množin jsou povolena, aniž by došlo k paradoxům.

Za účelem stanovení níže uvedené diskuse by měl být termín „dobře definovaný“ místo toho interpretován jako záměr s implicitními nebo explicitními pravidly (axiomy nebo definice), aby se vyloučily nesrovnalosti. Účelem je udržet často hluboké a obtížné problémy konzistence mimo dosah, obvykle jednoduššího kontextu. Výslovného vyloučení všech myslitelných nesrovnalostí (paradoxů) nelze pro axiomatickou teorii množin stejně dosáhnout, kvůli druhé Gödelově teorémě neúplnosti, takže to vůbec nebrání použitelnosti naivní teorie množin ve srovnání s axiomatickou teorií množin v jednoduchých níže uvažované kontexty. Jednoduše to zjednodušuje diskusi. Konzistence je od nynějška považována za samozřejmost, není -li to výslovně uvedeno.

Členství

Pokud x je členem souboru A , pak je také, že x patří A , nebo, že x je v A . To je označováno x  ∈  . Symbol ∈ je odvozen od malého řeckého písmene epsilon „ε“, které zavedl Giuseppe Peano v roce 1889 a je prvním písmenem slova ἐστί (znamená „je“). K zápisu x  ∉  A se často používá symbol,, což znamená „x není v A“.

Rovnost

Dvě sady a B jsou definovány tak, aby se stejná , když mají přesně stejné prvky, to znamená, že v případě, každý prvek A je prvek B a každý prvek B je prvek A . (Viz axiom extenze .) Množina je tedy zcela určena svými prvky; popis je nepodstatný. Například množina s prvky 2, 3 a 5 se rovná množině všech prvočísel menších než 6. Pokud jsou sady A a B stejné, označuje se to symbolicky jako A  =  B (jako obvykle).

Prázdná sada

Prázdná množina , často označovaný Ø a někdy , je soubor s žádnými členy vůbec. Protože je sada zcela určena svými prvky, může existovat pouze jedna prázdná množina. (Viz axiom prázdné množiny .) Přestože prázdná množina nemá žádné členy, může být členem jiných množin. Tedy Ø ≠ {Ø}, protože první nemá žádné členy a druhý má jednoho člena. V matematice lze pouze z prázdné množiny sestavit jediné množiny, o které je třeba se zajímat.

Specifikující sady

Nejjednodušší způsob, jak popsat sadu, je vypsat její prvky mezi složenými závorkami (známé jako definování sady extenzivně ). Tak {1, 2} označuje soubor, jehož pouze prvky 1 a 2 . (Viz axiom párování .) Všimněte si následujících bodů:

  • Pořadí prvků je nehmotné; například {1, 2} = {2, 1} .
  • Opakování ( multiplicita ) prvků je irelevantní; například {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2} .

(To jsou důsledky definice rovnosti v předchozí části.)

Tuto notaci lze neformálně zneužít tím, že řekneme něco jako {dogs} k označení množiny všech psů, ale tento příklad by matematici obvykle četli jako „množinu obsahující psy s jedním prvkem “.

Extrémním (ale správným) příkladem tohoto zápisu je {} , který označuje prázdnou množinu.

Zápis { x  : P ( x )} nebo někdy { x | P ( x )} , se používá k označení množiny obsahující všechny objekty, pro které platí podmínka P (známá jako definující množinu záměrně ). Například { x  : x ∈ R } označuje množinu reálných čísel , { x  : x má blonďaté vlasy} označuje množinu všeho s blond vlasy.

Tato notace se nazývá notace set-builderu (nebo „ set porozumění “, zejména v kontextu funkčního programování ). Některé varianty zápisu tvůrce sady jsou:

  • { x ∈ A  : P ( x )} označuje množinu všech x, které jsou již členy A , takže podmínka P platí pro x . Pokud je například Z množina celých čísel , pak { x ∈ Z  : x je sudé} je množina všech sudých celých čísel. (Viz axiom specifikace .)
  • { F ( x ): x ∈ } označuje soubor všech objektů získaných tím, že členy sady A do vzorce F . Například {2 x  : x ∈ Z } je opět množina všech sudých celých čísel. (Viz axiom nahrazení .)
  • { F ( x ): P ( x )} je nejobecnější formou zápisu tvůrce sad. Například { x 's owner: x is a dog} je sada všech majitelů psů.

Podmnožiny

Uvedené dvě sady a B , je podmnožina of B , pokud každý prvek A je také prvkem B . Zejména každá sada B je její podmnožinou; podmnožina B, která se nerovná B, se nazývá řádná podmnožina .

Pokud je podmnožina B , pak lze také říci, že B je nadstavbou z A , který je obsažena v B , nebo že B obsahuje . V symbolech,  ⊆  B znamená, že je podmnožinou B , a B  ⊇  A znamená, že B je podmnožinou A . Někteří autoři používají symboly ⊂ a ⊃ pro podmnožiny a jiní používají tyto symboly pouze pro správné podmnožiny. Pro srozumitelnost lze výslovně použít symboly ⊊ a ⊋ k označení nerovnosti.

Pro ilustraci nechť R je množina reálných čísel, nechť Z je množina celých čísel, nechť O je sada lichých celých čísel a P je množina současných nebo bývalých prezidentů USA . Potom O je podmnožina Z , Z je podmnožina R a (tedy) O je podmnožina R , kde ve všech případech lze podmnožinu dokonce číst jako správnou podmnožinu . Ne všechny sady jsou v tomto směru srovnatelné. Například, to není tento případ, že jeden R je podmnožinou P ani to, že P je podmnožinou R .

Okamžitě Z definice rovnosti sad výše vyplývá, že vzhledem k tomu, dvě sady A a B , A  =  B právě tehdy, když A  ⊆  B a B  ⊆  A . Ve skutečnosti je to často uváděno jako definice rovnosti. Obvykle se při pokusu dokázat, že dvě sady jsou stejné, jeden snaží ukázat tyto dvě inkluze. Prázdná množina je podmnožinou každé sady (tvrzení, že všechny prvky prázdné množině jsou rovněž členy nějaký soubor A je vacuously pravda ).

Množina všech podmnožin dané nastavené A se nazývá elektrický soubor z A a je označován nebo ; „ P “ je někdy ve skriptu . Pokud sada A má n prvků, pak bude mít prvky.

Univerzální sady a absolutní doplňky

V určitých kontextech lze považovat všechny uvažované sady za podmnožiny nějaké dané univerzální sady . Například při zkoumání vlastností reálných čísel R (a podmnožin R ) lze R brát jako univerzální množinu. Skutečná univerzální sada není zahrnuta v teorii standardních množin (viz Paradoxy níže), ale je zahrnuta v některých nestandardních teoriích množin.

Vzhledem k tomu, univerzální sadu U a podskupinu A z U , tím komplementu z A (v U ) je definována jako

A C  : = { x  ∈  U  : x  ∉  A }.

Jinými slovy, C ( „ A-komplement “, někdy prostě A‘ ,‚ A-prime ‘) je množina všech členů U , které nejsou členy A . Tedy s R , Z a O definovanými jako v sekci podmnožin, pokud Z je univerzální množina, pak O C je množina sudých celých čísel, zatímco pokud R je univerzální množina, pak O C je množina všech reálných čísel která jsou buď sudá celá čísla, nebo nejsou celá čísla vůbec.

Odbory, křižovatky a relativní doplňky

Vzhledem ke dvěma množinám A a B je jejich spojením množina skládající se ze všech objektů, které jsou prvky A nebo B nebo obou (viz axiom sjednocení ). To je označováno A  ∪  B .

Průnik z A a B je množina všech objektů, které jsou jak v A a B . To je označováno A  ∩  B .

A konečně, vzhledem doplňkem z B vzhledem k A , známý také jako set teoretický rozdíl části A a B , je množina všech objektů, které patří do A, ale ne na B . To je psáno jak A  \  B nebo A  -  B .

Symbolicky to jsou resp

A  ∪ B: = { x  : ( x  ∈  A )  nebo ( x  ∈  B )};
A  ∩  B  : = { x  : ( x  ∈  A )  a ( x  ∈  B )} = { x  ∈  A  : x  ∈  B } = { x  ∈  B  : x  ∈  A };
A  \  B  : = { x  : ( x  ∈  A ) a  ne ( x  ∈  B )} = { x  ∈  A  : ne ( x  ∈  B )}.

Sada B nemusí být podmnožinou A pro A  \  B, aby dávala smysl; toto je rozdíl mezi relativním komplementem a absolutním komplementem ( A C = U  \  A ) z předchozí části.

Abychom tyto myšlenky ilustrovali, nechť A je množina leváků a B je skupina lidí s blond vlasy. Pak A  ∩  B je množina všech levorukých blonďatých lidí, zatímco A  ∪  B je sada všech lidí, kteří jsou leváci nebo blond vlasy nebo oba. A  \  B , na druhé straně, je sada všech lidí, kteří jsou levák, ale nemají blond vlasy, zatímco B  \  A je soubor všech lidí, kteří mají blond vlasy, ale nejsou levák.

Nyní nechť E je souborem všech lidských bytostí a F je souborem všech živých věcí starších než 1000 let. Co je E  ∩  F v tomto případě? Žádnému živému člověku není více než 1000 let , takže E  ∩  F musí být prázdná množina {}.

Pro nějaký soubor A , napájecí sada je Boolean algebra pod operacemi odboru a křižovatky.

Objednané páry a karteziánské produkty

Intuitivně, An uspořádanou dvojicí je prostě sbírka dvou objektů tak, že jeden lze rozlišit na první element a druhý jako druhý prvek , a který má základní vlastnost, že dva uspořádaných dvojic jsou stejné, jestliže a pouze tehdy, když jejich první prvky jsou stejné a jejich druhé prvky jsou si rovny.

Formálně lze uspořádanou dvojici s první souřadnicí a a druhou souřadnicí b , obvykle označenou ( a , b ), definovat jako množinu {{ a }, { a , b }}.

Z toho vyplývá, že dvě uspořádané dvojice ( a , b ) a ( c , d ) jsou stejné právě tehdy, když a  =  c a b  =  d .

Alternativně lze uspořádaný pár formálně považovat za sadu {a, b} s celkovým pořadím .

(Zápis ( a , b ) se také používá k označení otevřeného intervalu na řádku reálných čísel , ale z kontextu by mělo být jasné, jaký význam je zamýšlen. V opačném případě lze pro označení otevřeného zápisu použít zápis] a , b [ interval, zatímco ( a , b ) se používá pro seřazený pár).

Pokud A a B jsou množiny, pak karteziánský součin (nebo jednoduše součin ) je definován jako:

A  × B  = {( a , b ): a je v A a b je v B }.

To znamená, že  x  B je množina všech uspořádaných dvojic, jejichž první souřadnici je prvkem A a jejichž druhá osa je prvek B .

Tuto definici lze rozšířit na množinu A  ×  B  ×  C uspořádaných trojic a obecněji na sady uspořádaných n-tic pro jakékoli kladné celé číslo n . Je dokonce možné definovat nekonečné karteziánské produkty , ale to vyžaduje mnohem podrobnější definici produktu.

Kartézské produkty poprvé vyvinul René Descartes v kontextu analytické geometrie . Pokud R označuje množinu všech reálných čísel , pak R 2  : =  R  ×  R představuje euklidovskou rovinu a R 3  : =  R  ×  R  ×  R představuje trojrozměrný euklidovský prostor .

Některé důležité sady

Existuje několik všudypřítomných množin, pro které je zápis téměř univerzální. Některé z nich jsou uvedeny níže. V seznamu a , b , a c odkazují na přirozená čísla a r a s jsou reálná čísla .

  1. Pro počítání se používají přirozená čísla . Tabuli tučný kapitál N ( ) často reprezentuje tuto sadu.
  2. Celá čísla se jeví jako řešení pro x v rovnicích jako x + a = b . Tuto sadu často představuje tučně psané velké písmeno Z ( ) (z němčiny Zahlen , což znamená čísla ).
  3. Racionální čísla se jeví jako řešení rovnic jako a + bx = c . Tuto sadu často představuje tučné písmo Q ( ) na tabuli (pro kvocient , protože pro množinu reálných čísel se používá R).
  4. Algebraická čísla se jeví jako řešení polynomiálních rovnic (s celočíselnými koeficienty) a mohou zahrnovat radikály (včetně ) a některá další iracionální čísla . Q s overline ( ) často reprezentuje tuto sadu. Overline označuje operaci algebraického uzavření .
  5. Skutečná čísla představují „skutečnou linii“ a zahrnují všechna čísla, která lze racionálně přiblížit. Tato čísla mohou být racionální nebo algebraická, ale mohou být také transcendentální čísla , která se nemohou jevit jako řešení polynomiálních rovnic s racionálními koeficienty. Tuto sadu často představuje tučné velké písmeno R ( ) na tabuli .
  6. Komplexní čísla jsou souhrnem skutečné a imaginární číslo: . Zde buď nebo (nebo obojí) může být nula; tedy množina reálných čísel a množina přísně imaginárních čísel jsou podmnožinami množiny komplexních čísel, která tvoří algebraický uzávěr pro množinu reálných čísel, což znamená, že každý polynom s koeficienty v má v této sadě alespoň jeden kořen . Tuto sadu často představuje velké písmeno C ( ) na tabuli . Všimněte si, že protože číslo lze identifikovat s bodem v rovině, je v zásadě „stejné“ jako kartézský součin („stejné“ znamená, že jakýkoli bod v jednom určuje jedinečný bod v druhém a pro výsledek výpočtů, nezáleží na tom, který z nich se použije pro výpočet, pokud je vhodné pravidlo násobení ).

Paradoxy v rané teorii množin

Hlavní článek: Paradox

Princip neomezené formace množin označovaný jako schéma axiomu neomezeného porozumění ,

Pokud P je vlastnost, pak existuje množina Y = { x  : P ( x )} ( false ),

je zdrojem několika raných paradoxů:

  • Y = { x  : x je pořadové číslo}, vedlo v roce 1897 k Burali-Forti paradoxu , první publikované antinomii .
  • Y = { x  : x je kardinál} vytvořený Cantorovým paradoxem v roce 1897.
  • Y = { x  : {} = {}} přineslo Cantorovu druhou antinomii v roce 1899. Zde vlastnost P platí pro všechna x , ať je x jakékoli, takže Y by byla univerzální množina obsahující vše.
  • Y = { x  : x ∉ x } , tj. Množina všech množin, které se neobsahují jako prvky, dalav roce 1902 Russellův paradox .

Pokud je schéma axiomu neomezeného porozumění oslabeno na schéma axiomu specifikace nebo schéma axiomu oddělení ,

Pokud P je vlastnost, pak pro libovolnou množinu X existuje množina Y = { x ∈ X  : P ( x )} ,

pak všechny výše uvedené paradoxy zmizí. Existuje důsledek. Se schématem separace axiomu jako axiomem teorie vyplývá, jako teorém teorie:

Sada všech sad neexistuje .

Nebo ještě efektněji (Halmosovo frázování): Neexistuje vesmír . Důkaz : Předpokládejme, že existuje a volání U . Nyní aplikujte schéma axiomu separace s X = U a pro P ( x ) použijte x ∉ x . To opět vede k Russellovu paradoxu. Proto U nemůže existovat v této teorie.

S výše uvedenými konstrukcemi souvisí i tvorba sestavy

  • Y = { x  : ( x ∈ x ) → {} ≠ {}} , kde tvrzení následující po implikaci je určitě nepravdivé. Z definice Y , s použitím obvyklých odvozovacích pravidel (a některých nápadů při čtení důkazu v níže uvedeném článku) vyplývá, že platí Y ∈ Y → {} ≠ {} a Y ∈ Y , tedy {} ≠ { } . To je Curryho paradox .

Problematická není (možná překvapivě) možnost x ∈ x . Je to opět schéma axiomu neomezeného porozumění, které umožňuje ( x ∈ x ) → {} ≠ {} pro P ( x ) . Se schématem axiomu specifikace místo neomezeného porozumění závěr Y ∈ Y neplatí, a proto {} ≠ {} není logickým důsledkem.

Nicméně možnost x ∈ x je často odstraněna výslovně nebo, např. V ZFC, implicitně, požadováním dodržení axiomu pravidelnosti . Jedním z důsledků toho je

Neexistuje žádná sada X, pro kterou X ∈ X ,

nebo jinými slovy, žádná sada není prvkem sama o sobě.

Schéma separace axiomu je prostě příliš slabé (zatímco neomezené porozumění je velmi silný axiom - příliš silné pro teorii množin) na to, aby bylo možné vyvinout teorii množin s jejími obvyklými operacemi a konstrukcemi popsanými výše. Axiom pravidelnosti má také omezující povahu. Proto je člověk veden k formulaci dalších axiomů, aby byla zaručena existence dostatečných množin k vytvoření teorie množin. Některé z nich byly popsány výše neformálně a mnoho dalších je možných. Ne všechny myslitelné axiomy lze libovolně kombinovat do konzistentních teorií. Například axiom výběru ZFC je neslučitelný s představitelným, že každý soubor realit je měřitelný Lebesgueem . To první znamená, že to druhé je falešné.

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy