Naivní teorie množin (kniha) - Naive Set Theory (book)

Matematické téma viz také Naivní teorie množin .
První vydání

Naivní teorie množin jeučebnice matematiky od Paula Halmosa, která poskytuje vysokoškolský úvod do teorie množin . Původně publikoval Van Nostrand v roce 1960 a byl přetištěn v Springer-Verlag Undergraduate Texts in Mathematics série v roce 1974.

Zatímco název uvádí, že je naivní, což se obvykle chápe bez axiomů , kniha zavádí všechny axiomy teorie množin ZFC (kromě Axiomu nadace ) a poskytuje správné a důkladné definice základních objektů. Tam, kde se liší od „skutečné“ knihy teorie axiomatických množin, je její charakter: neexistují žádné diskuse o axiomatických markantech a o pokročilých tématech, jako jsou velcí kardinálové, není nic . Místo toho se snaží být srozumitelný pro někoho, kdo nikdy předtím nepřemýšlel o teorii množin.

Halmos později uvedl, že to byla nejrychlejší kniha, kterou napsal, přičemž mu trvalo asi šest měsíců, a že se kniha „napsala sama“.

Absence nadace Axiom

Jak je uvedeno výše, kniha vynechává Axiom nadace . Halmos opakovaně tančí kolem otázky, zda se soubor může nebo nemůže obsahovat sám.

  • p. 1: „sada může být také prvkem nějaké jiné sady“ (zvýraznění přidáno)
  • p. 3: „Je ∈ někdy pravda, to rozhodně není pravda jakékoliv rozumné soubor, který má někdo někdy viděl?“.
  • p. 6: „ ∈ ... nepravděpodobné, ale zjevně nemožné“

Ale Halmos nám dokazuje, že existují určité množiny, které se samy nemohou udržet.

  • p. 44: Halmos nám to umožňuje dokázat ∉ . Pro if ∈ , pak - { } by stále byla nástupnická množina, protože ≠ ∅ a není nástupcem žádného přirozeného čísla. Ale není podmnožinou - { }, což je v rozporu s definicí jako podmnožiny každé sady následníků.
  • p. 47: Halmos dokazuje lemma, že „žádné přirozené číslo není podmnožinou žádného z jeho prvků.“ To nám umožňuje dokázat, že žádné přirozené číslo nemůže obsahovat samo sebe. Pro if ∈ , kde je přirozené číslo, pak ⊂ ∈ , což je v rozporu s lemmatem.
  • p. 75: „což je pořadové číslo je definováno jako dobře uspořádané množiny tak, že pro všechny, v , zde je, jako předtím, je počáteční část ∈ < .}“ Řazení jamek je definováno následovně: jestliže a jsou prvky pořadového čísla , pak < znamená ∈ (str. 75–76). Svým výběrem symbolu <namísto ≤ znamená Halmos, že objednávání jamek <je přísné (str. 55–56). Tato definice <znemožňuje mít ∈ , kde je prvek pořadového čísla. To proto, že ∈ znamená < , což znamená ≠ (protože <je přísné), což je nemožné.
  • p. 75: výše uvedená definice pořadového čísla také znemožňuje mít ∈ , kde je pořadové číslo. Je to proto, že ∈ znamená = s ( ). To nám dává ∈ = s ( ) = ∈ < }, což znamená < , což znamená ≠ (protože <je přísné), což je nemožné.

Errata

  • p. 4, řádek 18: „Kain a Ábel“ by měly být „Seth, Kain a Ábel“.
  • p. 30, řádek 10: „x na y“ by mělo být „x do y“.
  • p. 73, řádek 19: „for each z in X“ should be „for each a in X“.
  • p. 75, řádek 3: „tehdy a jen tehdy, když x ∈ F (n)“ by mělo být „právě tehdy, když x = {b: S (n, b)}“.

Viz také

Bibliografie

  • Halmos, Paul , naivní teorie množin . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Přetištěno Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (vydání Springer-Verlag). Přetištěno Martino Fine Books, 2011. ISBN  978-1-61427-131-4 (brožované vydání).

Reference

externí odkazy