Navier – Stokesovy rovnice - Navier–Stokes equations

V fyziky , že Navier-Stokesovy rovnice ( / n æ v j s t k y / ) jsou určité parciální diferenciální rovnice , které popisují pohyb viskózní kapalina látek, pojmenoval francouzský inženýr a fyzik Claude-Louis Navier a anglo Irský fyzik a matematik George Gabriel Stokes . Byly vyvinuty během několika desetiletí postupného budování teorií, od roku 1822 (Navier) do 1842–1850 (Stokes).

Navier – Stokesovy rovnice matematicky vyjadřují zachování hybnosti a zachování hmoty pro newtonovské tekutiny . Někdy je doprovází stavová rovnice vztahující se k tlaku , teplotě a hustotě . Vycházejí z aplikace druhého zákona Isaaca Newtona na pohyb tekutiny , spolu s předpokladem, že napětí v tekutině je součtem difuzního viskózního členu (úměrného gradientu rychlosti) a tlakového členu - tedy popisu viskózního toku . Rozdíl mezi nimi a blízce souvisejícími Eulerovými rovnicemi je v tom, že Navier -Stokesovy rovnice berou v úvahu viskozitu, zatímco model Eulerových rovnic pouze inviscidní tok . V důsledku toho jsou Navier – Stokesova parabolická rovnice, a proto mají lepší analytické vlastnosti, na úkor menší matematické struktury (např. Nikdy nejsou zcela integrovatelné ).

Navier -Stokesovy rovnice jsou užitečné, protože popisují fyziku mnoha jevů vědeckého a technického zájmu. Lze je použít k modelování počasí, oceánských proudů , proudění vody v potrubí a proudění vzduchu kolem křídla . Navier -Stokesovy rovnice ve svých úplných a zjednodušených podobách pomáhají s návrhem letadel a automobilů, studiem průtoku krve, projektováním elektráren, analýzou znečištění a mnoha dalšími věcmi. Spolu s Maxwellovými rovnicemi je lze použít k modelování a studiu magnetohydrodynamiky .

Navier -Stokesovy rovnice jsou také velmi zajímavé v čistě matematickém smyslu. Navzdory jejich širokému spektru praktických použití nebylo dosud prokázáno, zda hladká řešení vždy existují ve třech dimenzích - tj. Jsou nekonečně odlišitelná (nebo dokonce jen ohraničená) ve všech bodech domény . Tomu se říká problém existence a hladkosti Navier – Stokes . Clay Mathematics Institute to nazval jeden ze sedmi nejvýznamnějších otevřených problémů v matematice a nabídl US $ milionů 1 Cenu pro roztok nebo protipříklad.

Rychlost proudění

Řešením rovnic je rychlost proudění . Je to vektorové pole - každému bodu v tekutině, v každém okamžiku v časovém intervalu, dává vektor, jehož směr a velikost odpovídá rychlosti kapaliny v tomto bodě prostoru a v daném časovém okamžiku. Obvykle se studuje ve třech prostorových dimenzích a jedné časové dimenzi, ačkoli jako modely se často používají případy dvou (prostorových) dimenzionálních a ustálených stavů a ​​analogie vyšší dimenze se studují v čisté i aplikované matematice. Jakmile je rychlostní pole vypočítáno, lze pomocí dynamických rovnic a vztahů nalézt další zájmové veličiny, jako je tlak nebo teplota . To se liší od toho, co obvykle vidíme v klasické mechanice , kde řešením jsou obvykle trajektorie polohy částice nebo výchylka kontinua . Studium rychlosti místo polohy má pro tekutinu větší smysl, i když pro účely vizualizace lze vypočítat různé trajektorie . Zejména proudnice vektorového pole, interpretované jako rychlost proudění, jsou dráhy, po kterých by cestovala bezhmotná částice tekutiny. Tyto cesty jsou integrální křivky, jejichž derivace v každém bodě se rovná vektorovému poli, a mohou vizuálně reprezentovat chování vektorového pole v určitém časovém bodě.

Obecné rovnice kontinua

Rovnici hybnosti Navier – Stokes lze odvodit jako konkrétní formu Cauchyovy rovnice hybnosti , jejíž obecná konvektivní forma je

nastavením Cauchyho tenzoru napětí σ na součet viskozitního členu τ ( deviatorické napětí ) a tlakového členu - p I (objemové napětí) dospějeme k
Cauchyova rovnice hybnosti (konvekční forma)

kde

  • D/D tje hmotný derivát definovaný jako/t+ u ⋅ ∇ ,
  • ρ je hustota,
  • u je rychlost proudění,
  • ∇ ⋅ je divergence ,
  • p je tlak ,
  • t je čas ,
  • τ je tenzor deviatorického napětí , který má pořadí 2,
  • g představuje zrychlení těla působící na kontinuum, například gravitaci , setrvačné zrychlení , elektrostatické zrychlení atd.,

V této formě je zřejmé, že za předpokladu inviscidní tekutiny - bez deviatorického napětí - se Cauchyovy rovnice redukují na Eulerovy rovnice .

Za předpokladu zachování hmotnosti můžeme použít rovnici spojitosti hmoty (nebo jednoduše rovnici spojitosti),

abychom dospěli k konzervační formě pohybových rovnic. Často se píše:
Cauchyova rovnice hybnosti (forma zachování)

kde je vnější produkt :

Levá strana rovnice popisuje zrychlení a může být složena z časově závislých a konvekčních složek (také účinky neinerciálních souřadnic, jsou-li přítomny). Pravá strana rovnice je ve skutečnosti souhrnem hydrostatických účinků, divergence deviatorického napětí a tělesných sil (jako je gravitace).

Všechny nerelativistické rovnice rovnováhy, jako jsou Navier-Stokesovy rovnice, lze odvodit tak, že začneme Cauchyovými rovnicemi a specifikujeme tenzor napětí prostřednictvím konstitutivního vztahu . Vyjádřením tenzoru deviatorického (smykového) napětí z hlediska viskozity a gradientu rychlosti tekutiny a za předpokladu konstantní viskozity povedou výše uvedené Cauchyovy rovnice k Navier -Stokesovým rovnicím níže.

Konvekční zrychlení

Příklad konvekce. Ačkoli tok může být ustálený (nezávislý na čase), tekutina zpomaluje, když se pohybuje po rozbíhajícím se potrubí (za předpokladu nestlačitelného nebo podzvukového stlačitelného toku), proto dochází k zrychlení nad polohou.

Významným rysem Cauchyovy rovnice a následně všech dalších rovnic kontinua (včetně Eulerových a Navierových -Stokesových) je přítomnost konvekčního zrychlení: účinek zrychlení toku vzhledem k prostoru. Zatímco jednotlivé částice tekutiny skutečně zažívají časově závislé zrychlení, konvekční zrychlení proudového pole je prostorový efekt, jedním z příkladů je zrychlování tekutiny v trysce.

Stlačitelný průtok

Poznámka: zde je Cauchyův tenzor napětí označen σ (namísto τ, jak tomu bylo v obecných rovnicích kontinua a v nestlačitelném průtokovém úseku ).

Stlačitelná hybnost Navier – Stokesova rovnice vyplývá z následujících předpokladů pro tenzor napětí Cauchyho:

  • napětí je galilejské invariantní : nezávisí přímo na rychlosti proudění, ale pouze na prostorových derivacích rychlosti proudění. Proměnnou napětí je tedy tenzorový gradient u .
  • napětí je v této proměnné lineární : σ (∇ u ) = C  : (∇ u ) , kde C je tenzor čtvrtého řádu představující konstantu proporcionality, nazývaný tenzor viskozity nebo elasticity , a: je součin dvou teček .
  • tekutina je považována za izotropní , jako u plynů a jednoduchých kapalin, a následně V je izotropní tenzor; navíc, protože tenzor napětí je symetrický, může být Helmholtzovým rozkladem vyjádřen dvěma skalárními Lamé parametry , objemovou viskozitou λ a dynamickou viskozitou μ , jak je obvyklé v lineární elasticitě :
    Konstituční rovnice lineárního napětí (výraz použitý pro pružné těleso)

    kde I je tenzor identity, ε (∇ u ) ≡1/2u +1/2(∇ u ) T je tenzor rychlosti deformace a ∇ ⋅ u je rychlost expanze toku. Tento rozklad lze tedy explicitně definovat jako:

Protože stopa tenzoru rychlosti deformace ve třech rozměrech je:

Stopa tenzoru napětí ve třech rozměrech se stává:

Alternativním rozkladem tenzoru napětí na izotropní a deviatorické části, jak je obvyklé v dynamice tekutin:

Představujeme druhou viskozitu ζ ,

dospějeme k lineární konstitutivní rovnici ve formě obvykle používané v tepelné hydraulice :

Konstituční rovnice lineárního napětí (výraz používaný pro tekutiny)

Druhá viskozita ζ i dynamická viskozita μ nemusí být konstantní - obecně závisí na hustotě, na sobě navzájem (viskozita je vyjádřena v tlaku) a ve stlačitelných proudech také na teplotě. Jakákoli rovnice, která v ochranných proměnných výslovně stanoví jeden z těchto transportních koeficientů, se nazývá stavová rovnice .

Nejobecnější z Navier -Stokesových rovnic se stává

Rovnice hybnosti Navier – Stokes ( konvekční forma )

Ve většině případů lze druhou viskozitu assumed považovat za konstantní. Vliv objemové viskozity ζ je ten, že mechanický tlak není ekvivalentní termodynamickému tlaku : Protože

obvykle se zavádí upravený tlak
k odstranění termínu odpovídajícího druhé viskozitě. Tento rozdíl je obvykle opomíjen, někdy výslovně za předpokladu ζ = 0 , ale může mít dopad na absorpci zvuku a útlum a rázové vlny. S tímto zjednodušením se Navier -Stokesovy rovnice stávají
Rovnice hybnosti Navier – Stokes ( konvekční forma )

Pokud se dynamická viskozita μ také považuje za konstantní, lze rovnice dále zjednodušit. Vypočtením divergence tenzoru napětí, protože divergence tenzoru u je 2 u a divergence tenzoru (∇ u ) T je ∇ (∇ ⋅ u ) , nakonec dospějeme ke stlačitelnému (nejobecnějšímu) Navierovi - Stokesova rovnice hybnosti:

Rovnice hybnosti Navier – Stokes ( konvekční forma )

kde D/Dtje hmotný derivát . Levá strana se mění v konzervační formě rovnice hybnosti Navier – Stokes:

Rovnice hybnosti Navier – Stokes ( forma zachování )

Sypná viskozita se považuje za konstantní, jinak by neměla být vyjmuta z posledního derivátu. Pojem konvekční zrychlení lze také zapsat jako

kde vektor (∇ × u ) × u je známý jako Lambův vektor .

Ve zvláštním případě nestlačitelného toku tlak omezuje tok tak, aby byl objem tekutých prvků konstantní: izochorický tok, jehož výsledkem je solenoidové rychlostní pole s ∇ ⋅ u = 0 .

Nestlačitelný tok

Nestlačitelná hybnost Navier – Stokesova rovnice vyplývá z následujících předpokladů tenzoru napětí Cauchy:

  • napětí je galilejské invariantní : nezávisí přímo na rychlosti proudění, ale pouze na prostorových derivacích rychlosti proudění. Proměnnou napětí je tedy tenzorový gradient u .
  • předpokládá se, že tekutina je izotropní , jako u plynů a jednoduchých kapalin, a v důsledku toho τ je izotropní tenzor; dále, protože tenzor deviátorového napětí lze vyjádřit pomocí dynamické viskozity μ :
    Stokesova napětí konstitutivní rovnice (výraz používaný pro nestlačitelné elastické pevné látky)

    kde

    je tenzor rychlosti deformace . Tento rozklad je tedy možné vyjádřit jako:
    Stokesova stresová konstituční rovnice (výraz používaný pro nestlačitelné viskózní kapaliny)

Dynamická viskozita μ nemusí být konstantní - v nestlačitelných proudech může záviset na hustotě a tlaku. Jakákoli rovnice, která v konzervativních proměnných výslovně stanoví jeden z těchto transportních koeficientů, se nazývá stavová rovnice .

Divergence deviatorického stresu je dána:

protože ∇ ⋅ u = 0 pro nestlačitelnou tekutinu.

Nestlačitelnost vylučuje hustotu a tlakové vlny, jako jsou zvukové nebo rázové vlny , takže toto zjednodušení není užitečné, pokud jsou tyto jevy zajímavé. Nestlačitelný předpoklad toku obvykle platí dobře pro všechny kapaliny při nízkých Machových číslech (řekněme do asi Mach 0,3), například pro modelování vzdušných větrů za normálních teplot. nestlačitelné Navier – Stokesovy rovnice lze nejlépe zobrazit dělením pro hustotu:

Nestlačitelné Navier – Stokesovy rovnice ( konvektivní forma )

Pokud je hustota v celé tekutinové oblasti konstantní, nebo jinými slovy, pokud mají všechny tekuté prvky stejnou hustotu , pak máme

Nestlačitelné Navier – Stokesovy rovnice ( konvektivní forma )

kde 𝜈 =μ/ρ 0se nazývá kinematická viskozita .

Příklad laminárního toku

Rychlostní profil (laminární proudění):

pro směr y zjednodušte Navier – Stokesovu rovnici:

Integrujte dvakrát a najděte rychlostní profil s okrajovými podmínkami y = h , u = 0 , y = - h , u = 0 :

Z této rovnice dosaďte ve dvou okrajových podmínkách dvě rovnice:

Přidejte a vyřešte pro B :

Nahradit a vyřešit A :

Nakonec to dává profil rychlosti:

Stojí za to sledovat význam každého výrazu (ve srovnání s Cauchyovou rovnicí hybnosti ):

Termín vyššího řádu, konkrétně divergence smykového napětí ∇ ⋅ τ , se jednoduše redukoval na vektorový Laplaciánský termín μ2 u . Tento laplaciánský výraz lze interpretovat jako rozdíl mezi rychlostí v bodě a střední rychlostí v malém okolním objemu. To znamená, že - pro newtonovskou tekutinu - viskozita funguje jako difúze hybnosti , podobně jako vedení tepla . Ve skutečnosti zanedbáním konvekčního členu vedou nestlačitelné Navierovo -Stokesovy rovnice k rovnici vektorové difúze (jmenovitě Stokesovy rovnice ), ale obecně je konvekční člen přítomen, takže nestlačitelné Navier -Stokesovy rovnice patří do třídy rovnic konvekce – difúze .

V obvyklém případě, kdy je externí pole konzervativní pole :

definováním hydraulické hlavy :

lze konečně zkondenzovat celý zdroj v jednom výrazu a dospět k nestlačitelné Navierově -Stokesově rovnici s konzervativním vnějším polem:

Nestlačitelné Navier – Stokesovy rovnice s konzervativním vnějším polem jsou základní rovnicí hydrauliky . Doménou pro tyto rovnice je obvykle 3 nebo méně euklidovský prostor , pro který je obvykle nastaven referenční rámec ortogonálních souřadnic, aby byl explicitně popsán systém skalárních parciálních diferenciálních rovnic, které je třeba vyřešit. V trojrozměrných ortogonálních souřadnicových systémech jsou 3: kartézské , válcové a sférické . Vyjádření Navier – Stokesovy vektorové rovnice v kartézských souřadnicích je poměrně jednoduché a není příliš ovlivněno počtem dimenzí použitého euklidovského prostoru, a to platí i pro termíny prvního řádu (jako variační a konvekční) také v nekartézské ortogonální souřadnicové systémy. Ale pro termíny vyššího řádu (dva pocházející z divergence deviatorického napětí, které odlišují Navier-Stokesovy rovnice od Eulerových rovnic) je k odvození výrazu v nekartézských ortogonálních souřadnicových systémech zapotřebí nějaký tenzorový počet .

Nestlačitelná rovnice Navier – Stokes je složená, součet dvou ortogonálních rovnic,

kde Π S a Π I jsou solenoidové a irrotační projekční operátory splňující Π S + Π I = 1 a f S a f I jsou nekonzervativní a konzervativní části tělesné síly. Tento výsledek vyplývá z Helmholtzovy věty (známé také jako základní věta vektorového počtu). První rovnice je beztlaková řídící rovnice rychlosti, zatímco druhá rovnice tlaku je funkční rychlostí a souvisí s tlakovou Poissonovou rovnicí.

Výslovný funkční tvar operátoru projekce ve 3D lze nalézt v Helmholtzově větě:

s podobnou strukturou ve 2D. Řídící rovnice je integro-diferenciální rovnice podobná Coulombovu a Biotově-Savartovu zákonu , která není vhodná pro numerické výpočty.

Ekvivalentní slabá nebo variační forma rovnice, u níž bylo prokázáno, že produkuje stejné řešení rychlosti jako Navier -Stokesova rovnice, je dána vztahem,

pro testovací funkce bez divergence w splňující příslušné okrajové podmínky. Zde jsou projekce dosahovány ortogonalitou solenoidních a irrotačních funkčních prostorů. Tato diskrétní forma je mimořádně vhodná pro výpočet konečných prvků toku bez divergence, jak uvidíme v další části. Tam bude člověk schopen řešit otázku „Jak lze specifikovat tlakově řízené (Poiseuille) problémy s beztlakovou řídící rovnicí?“.

Absence tlakových sil z vládnoucí rovnice rychlosti ukazuje, že rovnice není dynamická, ale spíše kinematická rovnice, kde podmínka bez divergence plní roli konzervační rovnice. Zdá se, že to vše vyvrací časté výroky, že nestlačitelný tlak prosazuje podmínku bez divergence.

Variační forma nestlačitelných Navier – Stokesových rovnic

Silná forma

Uvažujme nestlačitelné Navier – Stokesovy rovnice pro newtonovskou tekutinu konstantní hustoty ρ v doméně

s hranicí
jsou to Γ D a Γ N části hranice, kde je aplikována Dirichletova a Neumannova okrajová podmínka ( Γ D ∩ Γ N = ∅ ):
u je rychlost proudění, p tlak tekutiny, f dané nutit termín, n je vnější jednotka směřuje vektor normály ky N , a σ ( u , p )viskózní tenzor napětíje definováno jako:
Nechť μ je dynamická viskozita kapaliny, I druhého řádu identita tenzor a ε ( u ) na kmen sazbou tensor definována jako:
Funkce g a h jsou dány okrajovými daty Dirichlet a Neumann, zatímco u 0 je počáteční podmínka . První rovnice je rovnice rovnováhy hybnosti, zatímco druhá představuje zachování hmotnosti , a to rovnice kontinuity . Za předpokladu konstantní dynamické viskozity pomocí vektorové identity
a s využitím zachování hmotnosti lze divergenci celkového tenzoru napětí v rovnici hybnosti vyjádřit také jako:
Kromě toho si všimněte, že Neumannovy okrajové podmínky lze přeskupit jako:

Slabá forma

Abychom našli variační formu Navier -Stokesových rovnic, nejprve zvažte rovnici hybnosti

vynásobte to pro testovací funkci v , definovanou ve vhodném prostoru V , a integrujte oba členy s ohledem na doménu Ω :
Counter-integrovat po částech difuzivní a tlakové podmínky a pomocí Gaussovy věty:

Pomocí těchto vztahů získáte:

Stejným způsobem se rovnice spojitosti vynásobí pro testovací funkci q patřící do prostoru Q a integrovanou v oblasti Ω :
Prostorové funkce se volí následovně:
Vzhledem k tomu, že testovací funkce v zmizí na Dirichletově hranici a vzhledem k Neumannově podmínce, integrál na hranici lze přeskupit jako:
S ohledem na to je slabá formulace Navier -Stokesových rovnic vyjádřena jako:

Diskrétní rychlost

S rozdělením problémové domény a definováním základních funkcí v dělené doméně je diskrétní forma řídící rovnice

Je žádoucí zvolit základní funkce, které odrážejí základní rys nestlačitelného toku-prvky musí být bez divergence. Zatímco rychlost je zájmovou veličinou, existence proudové funkce nebo vektorového potenciálu je podle Helmholtzovy věty nezbytná. Dále, pro stanovení toku tekutiny v nepřítomnosti tlakového gradientu, lze určit rozdíl hodnot funkčních hodnot proudu přes 2D kanál nebo liniový integrál tangenciální složky vektorového potenciálu kolem kanálu ve 3D, přičemž tok je dán podle Stokesovy věty . Následující diskuse bude omezena na 2D.

Dále omezujeme diskusi na spojité Hermitské konečné prvky, které mají alespoň první derivační stupně volnosti. Díky tomu lze z literatury pro ohýbání desek čerpat velké množství kandidátských trojúhelníkových a obdélníkových prvků . Tyto prvky mají deriváty jako složky přechodu. Ve 2D jsou gradient a zvlnění skaláru jasně ortogonální, dané výrazy,

Přijetí spojitých prvků ohýbání desek, vzájemná výměna odvozených stupňů volnosti a změna znaménka příslušného dává mnoho rodin prvků proudových funkcí.

Vezmeme-li zvlnění funkčních prvků skalárního proudu, získáme prvky rychlosti bez divergence. Požadavek, aby prvky proudových funkcí byly spojité, zajišťuje, že normální složka rychlosti je spojitá napříč rozhraními prvků, což je vše nezbytné pro vymizení divergence na těchto rozhraních.

Okrajové podmínky se snadno aplikují. Funkce streamu je na bezproudých površích konstantní, na površích jsou podmínky rychlosti bez prokluzu. Rozdíly ve funkcích proudu napříč otevřenými kanály určují tok. Na otevřených hranicích nejsou nutné žádné okrajové podmínky, i když s určitými problémy mohou být použity konzistentní hodnoty. To vše jsou Dirichletovy podmínky.

Algebraické rovnice, které je třeba vyřešit, se snadno nastavují, ale jsou samozřejmě nelineární a vyžadují iteraci linearizovaných rovnic.

Podobné úvahy platí pro trojrozměrné, ale rozšíření z 2D není okamžité kvůli vektorové povaze potenciálu a neexistuje žádný jednoduchý vztah mezi gradientem a zvlněním, jako tomu bylo ve 2D.

Rekuperace tlaku

Obnovení tlaku z rychlostního pole je snadné. Diskrétní slabá rovnice pro tlakový gradient je,

kde funkce testu/hmotnosti jsou neotočné. Lze použít jakýkoli vyhovující skalární konečný prvek. Zajímavé však může být také pole tlakového gradientu. V tomto případě lze pro tlak použít skalární prvky Hermite. Pro funkce test/hmotnost g i by se zvolily irrotační vektorové prvky získané z gradientu tlakového prvku.

Neinerciální referenční rámec

Rotující referenční rámec vnáší do rovnic prostřednictvím hmotného derivačního členu některé zajímavé pseudo-síly . Uvažujme stacionární setrvačný rámec referenční K a neinerciální referenční rámec K ' , který se překládá s rychlostí U ( t ) a otáčí se s úhlovou rychlostí Ω ( t ) vzhledem ke stacionárnímu rámci. Navier-Stokesova rovnice pozorovaná z neinerciálního rámce se pak stane

Navier – Stokesova rovnice hybnosti v neinerciálním rámci

Zde jsou x a u měřeny v neinerciálním rámci. První člen v závorkách představuje Coriolisovo zrychlení , druhý člen je způsoben odstředivým zrychlením , třetí je způsoben lineárním zrychlením K ' vzhledem ke K a čtvrtý člen je dán úhlovým zrychlením K' vzhledem k K .

Další rovnice

Navier -Stokesovy rovnice jsou přísně vyjádřením rovnováhy hybnosti. K úplnému popisu toku tekutiny je zapotřebí více informací o tom, jak moc závisí na předpokladech. Tyto dodatečné informace mohou zahrnovat okrajová data ( neklouzavost , kapilární povrch atd.), Zachování hmotnosti, energetickou rovnováhu a/nebo stavovou rovnici .

Rovnice spojitosti pro nestlačitelnou tekutinu

Bez ohledu na předpoklady toku je obecně nutné vyjádřit zachování hmotnosti . Toho je dosaženo pomocí rovnice kontinuity hmoty , uvedené v nejobecnější formě jako:

nebo pomocí substantivního derivátu :

U nestlačitelné tekutiny zůstává hustota podél linie toku v průběhu času konstantní,

Divergence rychlosti je proto vždy nulová:

Streamovací funkce pro nestlačitelnou 2D tekutinu

Vezmeme-li zvlnění z nestlačitelné Navier-Stokesovy rovnice výsledky při odstraňování tlaku. To je obzvláště snadné zjistit, pokud se předpokládá 2D karteziánský tok (jako v degenerovaném 3D případě s u z = 0 a bez závislosti na čemkoli na z ), kde se rovnice redukují na:

Rozlišením prvního vzhledem k y , druhého vzhledem k x a odečtením výsledných rovnic bude odstraněn tlak a jakákoli konzervativní síla . Pro nestlačitelný tok definující funkci proudu ψ

výsledkem je bezpodmínečně splněná kontinuita hmoty (vzhledem k tomu, že funkce proudu je spojitá), a pak nestlačitelná newtonovská 2D hybnost a zachování hmoty kondenzují do jedné rovnice:

kde 4 je 2D biharmonický operátor a ν je kinematická viskozita , ν =μ/ρ. Můžeme to také vyjádřit kompaktně pomocí jakobijského determinantu :

Tato jediná rovnice spolu s příslušnými okrajovými podmínkami popisuje 2D tok tekutiny, přičemž parametrem je pouze kinematická viskozita. Všimněte si, že rovnice pro plíživý tok je výsledkem, když je levá strana považována za nulovou.

V osově symetrickém toku lze k popisu složek rychlosti nestlačitelného toku s jednou skalární funkcí použít jinou formulaci proudové funkce, nazývanou Stokesova proudová funkce.

Nestlačitelná rovnice Navier – Stokes je diferenciální algebraická rovnice s nepohodlnou vlastností, že neexistuje explicitní mechanismus pro postupné zvyšování tlaku v čase. V důsledku toho bylo vynaloženo velké úsilí na odstranění tlaku z celého nebo části výpočetního procesu. Formulace proudové funkce eliminuje tlak, ale pouze ve dvou dimenzích a na úkor zavedení vyšších derivací a eliminace rychlosti, která je primární proměnnou zájmu.

Vlastnosti

Nelinearita

Navier -Stokesovy rovnice jsou v obecném případě nelineární parciální diferenciální rovnice, a proto zůstávají téměř v každé reálné situaci. V některých případech, jako je jednorozměrný tok a Stokesův tok (nebo plazivý tok), lze rovnice zjednodušit na lineární rovnice. Nelinearita činí většinu problémů obtížně nebo nemožné vyřešit a je hlavním přispěvatelem k turbulencím, které model rovnic modeluje.

Nelinearita je způsobena konvekčním zrychlením, což je zrychlení spojené se změnou rychlosti nad polohou. Jakýkoli konvekční tok, ať turbulentní nebo ne, bude tedy zahrnovat nelinearitu. Příkladem konvekčního, ale laminárního (neturbulentního) proudění může být průchod viskózní tekutiny (například oleje) malou konvergující tryskou . Takové toky, ať už přesně řešitelné nebo ne, lze často důkladně prostudovat a porozumět jim.

Turbulence

Turbulence je chaotické chování závislé na čase pozorované v mnoha proudech tekutin. Obecně se věří, že je to způsobeno setrvačností tekutiny jako celku: kulminace časově závislého a konvekčního zrychlení; proto toky, kde jsou setrvačné efekty malé, bývají laminární ( Reynoldsovo číslo kvantifikuje, jak moc je tok ovlivněn setrvačností). Věří se, i když to není jisté, že Navier -Stokesovy rovnice turbulence správně popisují.

Numerické řešení Navier-Stokesových rovnic pro turbulentní proudění je extrémně obtížné a vzhledem k výrazně odlišným stupnicím míchací délky, které jsou součástí turbulentního proudění, vyžaduje jeho stabilní řešení takové jemné rozlišení sítě, že výpočetní čas se výrazně neproveditelné pro výpočet nebo přímou numerickou simulaci . Pokusy vyřešit turbulentní proudění pomocí laminárního řešiče obvykle vedou k časově nestabilnímu řešení, které se nedokáže vhodně sbíhat. Abychom tomu zabránili, v modelech turbulentních toků se v praktických aplikacích výpočetní dynamiky tekutin (CFD) používají časově zprůměrované rovnice, jako jsou Reynoldsově zprůměrované Navier-Stokesovy rovnice (RANS), doplněné modely turbulence. Některé modely zahrnují modely Spalart – Allmaras , k - ω , k - ε a SST , které přidávají řadu dalších rovnic, které uzavírají rovnice RANS. K numerickému řešení těchto rovnic lze také použít velkou vířivou simulaci (LES). Tento přístup je výpočetně dražší - časově i v počítačové paměti - než RANS, ale přináší lepší výsledky, protože explicitně řeší větší turbulentní měřítka.

Použitelnost

Spolu s doplňkovými rovnicemi (například zachování hmotnosti) a dobře formulovanými okrajovými podmínkami se zdá, že Navier-Stokesovy rovnice modelují pohyb tekutiny přesně; i turbulentní toky se zdají (v průměru) souhlasit s pozorováním v reálném světě.

Navier -Stokesovy rovnice předpokládají, že studovaná tekutina je kontinuum (je nekonečně dělitelné a není složeno z částic, jako jsou atomy nebo molekuly) a nepohybuje se relativistickými rychlostmi . Ve velmi malých měřítcích nebo za extrémních podmínek budou skutečné kapaliny vyrobené z diskrétních molekul produkovat výsledky odlišné od spojitých tekutin modelovaných Navier -Stokesovými rovnicemi. Například kapilita vnitřních vrstev v tekutinách se objevuje pro proudění s vysokými gradienty. Pro velké Knudsenovo číslo problému může být vhodnou náhradou Boltzmannova rovnice . V opačném případě se bude muset uchýlit k molekulární dynamice nebo různým hybridním metodám.

Dalším omezením je jednoduše komplikovaná povaha rovnic. Časově testované formulace existují pro běžné rodiny tekutin, ale aplikace Navier-Stokesových rovnic na méně běžné rodiny má za následek velmi komplikované formulace a často otevírá výzkumné problémy. Z tohoto důvodu jsou tyto rovnice obvykle psány pro newtonovské tekutiny, kde je viskozitní model lineární ; skutečně obecné modely pro proudění jiných druhů tekutin (například krve) neexistují.

Aplikace na konkrétní problémy

Navier -Stokesovy rovnice, i když jsou psány výslovně pro konkrétní tekutiny, mají spíše obecný charakter a jejich správná aplikace na konkrétní problémy může být velmi různorodá. Je to částečně proto, že lze modelovat obrovskou škálu problémů, od jednoduchých až po distribuci statického tlaku až po komplikované vícefázové proudění poháněné povrchovým napětím .

Obecně aplikace na specifické problémy začíná některými předpoklady toku a formulací počátečních/hraničních podmínek, na kterou může navazovat analýza měřítka pro další zjednodušení problému.

Vizualizace (a) paralelního toku a (b) radiálního toku.

Paralelní tok

Předpokládejme stálý, paralelní, jednorozměrný, nevodivý tlakově řízený tok mezi rovnoběžnými deskami, výsledný škálovaný (bezrozměrný) problém hraniční hodnoty je:

Okrajovou podmínkou je podmínka bez prokluzu . Tento problém lze snadno vyřešit pro pole toku:

Od tohoto bodu dále lze snadno získat více požadovaných množství, například viskózní tažnou sílu nebo čistý průtok.

Radiální tok

Obtíže mohou nastat, když se problém trochu zkomplikuje. Zdánlivě skromný zvrat na paralelním toku výše by byl radiální tok mezi rovnoběžnými deskami; to zahrnuje konvekci a tedy nelinearitu. Pole rychlosti může být reprezentováno funkcí f ( z ), která musí splňovat:

Tato obyčejná diferenciální rovnice je to, co se získá, když jsou napsány Navier -Stokesovy rovnice a uplatněny předpoklady toku (navíc je vyřešen tlakový gradient). Nelineární Termín je to velmi obtížný problém vyřešit analyticky (zdlouhavý implicitní řešení je možné nalézt, která zahrnuje eliptických integrálů a kořeny kubických polynomů ). Problémy se skutečnou existencí řešení vyvstávají pro R > 1,41 (přibližně; toto není 2 ), přičemž parametr R je Reynoldsovo číslo s vhodně zvolenými měřítky. Toto je příklad předpokladů toku, které ztrácejí svou použitelnost, a příklad obtížnosti „vysokých“ toků Reynoldsova čísla.

Proudění

Typ přirozené konvekce, který lze popsat Navierovou -Stokesovou rovnicí, je Rayleigh -Bénardova konvekce . Je to jeden z nejčastěji studovaných jevů konvekce díky své analytické a experimentální dostupnosti.

Přesná řešení Navier – Stokesových rovnic

Existuje několik přesných řešení Navier -Stokesových rovnic. Příklady degenerovaných případů-s nelineárními členy v rovnicích Navier – Stokes rovných nule-jsou Poiseuilleův tok , Couetteův tok a oscilační Stokesova mezní vrstva . Ale také další zajímavé příklady řešení k plnému nelineárních rovnic, existují, jako Jeffery-Hamel toku , Von Karman vířící proudění , průtok stagnace bodu , Landau-Squire paprskem a Taylor-Green vír . Všimněte si, že existence těchto přesných řešení neznamená, že jsou stabilní: turbulence se mohou vyvinout při vyšších Reynoldsových číslech.

Za dalších předpokladů lze součásti oddělit.

Dvourozměrný příklad

Například v případě neomezené rovinné oblasti s dvourozměrným -nestlačitelným a stacionárním-tokem v polárních souřadnicích ( r , φ ) jsou složky rychlosti ( u r , u φ ) a tlak p :

kde A a B jsou libovolné konstanty. Toto řešení platí v oblasti r ≥ 1 a pro A <−2 ν .

V kartézských souřadnicích platí, že když je viskozita nulová ( ν = 0 ), je to toto:

Trojrozměrný příklad

Například v případě neomezené euklidovský domény s trojrozměrný - nestlačitelné, stacionární a s nulovou viskozitou ( ν = 0 ) - radiální proudění v kartézských souřadnicích ( x , y , z, ) , vektoru rychlosti V a tlak p jsou :

Na x = y = z = 0 existuje singularita .

Trojrozměrné vírové řešení v ustáleném stavu

Drátový model linií toku podél Hopfovy fibrace .

Ustálený stav bez singularity pochází z uvažování toku podél linií Hopfovy fibrace . Nechť r je konstantní poloměr vnitřní cívky. Jedna sada řešení je dána:

pro libovolné konstanty A a B . Jedná se o řešení v neviskózním plynu (stlačitelné tekutině), jehož hustota, rychlosti a tlak jdou daleko od počátku na nulu. (Všimněte si, že to není řešení problému Clay Millenium, protože to se týká nestlačitelných tekutin, kde ρ je konstanta, a ani se nezabývá jedinečností Navier -Stokesových rovnic s ohledem na vlastnosti turbulence .) Stojí to také za to poukazující na to, že složky vektoru rychlosti jsou přesně ty z Pythagorovy čtyřnásobné parametrizace. Další možnosti hustoty a tlaku jsou možné se stejným rychlostním polem:

Další možnosti hustoty a tlaku

Další volba tlaku a hustoty se stejným vektorem rychlosti výše je taková, kde tlak a hustota klesají na počátku na nulu a jsou nejvyšší ve střední smyčce při z = 0 , x 2 + y 2 = r 2 :

Ve skutečnosti obecně existují jednoduchá řešení pro jakoukoli polynomickou funkci f, kde hustota je:

Viskózní trojrozměrná periodická řešení

Jsou popsány dva příklady periodických plně trojrozměrných viskózních roztoků. Tato řešení jsou definována na trojrozměrném torusu a vyznačují se kladnou a zápornou helicitou . Řešení s pozitivní helicitou je dáno:

kde je číslo vlny a složky rychlosti jsou normalizovány tak, že průměrná kinetická energie na jednotku hmotnosti je na . Tlakové pole je získáno z rychlostního pole jako (kde a jsou referenční hodnoty pro tlaková a hustotní pole). Protože obě řešení patří do třídy toku Beltrami , je pole vířivosti rovnoběžné s rychlostí a v případě kladné helicity je dáno vztahem . Tato řešení lze považovat za zobecnění ve třech dimenzích klasického dvojrozměrného Taylor-Green Taylor-Green vortex .

Wyldovy diagramy

Wyldovy diagramy jsou účetnické grafy, které odpovídají Navier -Stokesovým rovnicím prostřednictvím narušení expanze základní mechaniky kontinua . Podobně jako Feynmanovy diagramy v teorii kvantového pole jsou tyto diagramy rozšířením Keldyshovy techniky pro nerovnovážné procesy v dynamice tekutin. Jinými slovy, tyto diagramy přiřazují grafy (často) turbulentním jevům v turbulentních tekutinách tím, že umožňují korelovaným a interagujícím částicím tekutiny poslouchat stochastické procesy spojené s pseudonáhodnými funkcemi v rozdělení pravděpodobnosti .

Reprezentace ve 3D

Všimněte si, že vzorce v této části využívají jednořádkový zápis pro parciální derivace, kde např. Znamená parciální derivaci

u s ohledem na x a znamená parciální derivaci druhého řádu f θ s ohledem na y .

Kartézské souřadnice

Z obecné formy Navier – Stokes, s vektorem rychlosti rozšířeným jako u = ( u x , u y , u z ) , někdy pojmenovaným u , v , w , můžeme vektorovou rovnici napsat explicitně,

Všimněte si, že gravitace byla považována za tělesnou sílu a hodnoty g x , g y , g z budou záviset na gravitační orientaci vzhledem ke zvolené sadě souřadnic.

Rovnice kontinuity zní:

Když je tok nestlačitelný, ρ se pro žádnou tekutou částici nemění a jeho materiálový derivát zmizí:/Dt= 0 . Rovnice kontinuity se redukuje na:

Pro nestlačitelnou verzi Navier – Stokesovy rovnice tedy odpadne druhá část viskózních výrazů (viz Nestlačitelný tok ).

Tento systém čtyř rovnic obsahuje nejčastěji používanou a studovanou formu. Ačkoli je srovnatelně kompaktnější než jiná zobrazení, stále se jedná o nelineární systém parciálních diferenciálních rovnic, pro který je obtížné získat řešení.

Válcové souřadnice

Změna proměnných na karteziánských rovnicích poskytne následující rovnice hybnosti pro r , φ a z

Gravitační složky obecně nebudou konstantní, ale pro většinu aplikací jsou buď souřadnice zvoleny tak, aby gravitační složky byly konstantní, nebo se předpokládá, že gravitace působí proti tlakovému poli (například tok v horizontální trubce je zpracováván normálně bez gravitace a bez vertikálního tlakového gradientu). Rovnice kontinuity je:

Tato válcová reprezentace nestlačitelných Navier -Stokesových rovnic je druhou nejčastěji pozorovanou (první je kartézskou nahoře). Válcové souřadnice jsou vybrány tak, aby využívaly výhody symetrie, takže složka rychlosti může zmizet. Velmi častým případem je osově symetrický tok s předpokladem žádné tangenciální rychlosti ( u φ = 0 ) a zbývající veličiny jsou nezávislé na φ :

Sférické souřadnice

| Ve sférických souřadnicích , s r , cp a θ hybnosti rovnice jsou (Všimněte si konvence použité: θ je polární úhel, nebo colatitude , 0 ≤ θ ≤ n ):

Hromadná kontinuita bude znít:

Tyto rovnice by mohly být (mírně) zkomprimovány například faktoringem 1/r 2z viskózních podmínek. To by však nežádoucím způsobem změnilo strukturu Laplaciánu a dalších veličin.

Navier – Stokesovy rovnice používané ve hrách

Navier -Stokesovy rovnice se ve videohrách široce používají k modelování široké škály přírodních jevů. Simulace plynných kapalin v malém měřítku, jako je oheň a kouř, jsou často založeny na klíčovém příspěvku „Real-Time Fluid Dynamics for Games“ od Jos Stam , který rozpracovává jednu z metod navržených ve Stamově dřívějším, známějším příspěvku „Stable Tekutiny “z roku 1999. Stam navrhuje stabilní simulaci tekutin pomocí metody Navier-Stokesova řešení z roku 1968, spojenou s bezpodmínečně stabilním semi-Lagrangeovým schématem advekce , jak bylo poprvé navrženo v roce 1992.

Novější implementace založené na této práci běží na grafické procesorové jednotce herních systémů (GPU) na rozdíl od centrální procesorové jednotky (CPU) a dosahují mnohem vyššího stupně výkonu. Bylo navrženo mnoho vylepšení Stamovy původní práce, která ve své podstatě trpí vysokou numerickou ztrátou rychlosti i hmotnosti.

Úvod do interaktivní simulace tekutin lze nalézt v kurzu ACM SIGGRAPH 2007 , Fluid Simulation for Computer Animation.

Viz také

Citace

Obecné reference

externí odkazy