Negace - Negation

Negace
NE
Definice
Pravdivá tabulka
Logická brána NE ANSI.svg
Normální formy
Disjunktivní
Spojovací
Zhegalkinův polynom
Mříže příspěvků
0-zachování Ne
1-konzervování Ne
Monotónní Ne
Affine Ano

V logice je negace , nazývaná také logický doplněk , operace, která vezme tvrzení k jinému tvrzení „ne “, napsané , popř . Je interpretováno intuitivně jako pravdivé, když je nepravdivé, a nepravdivé, když je pravdivé. Negace je tedy unárním (jediným argumentem) logickým pojivem . Může být použito jako operace na pojmy , tvrzení , pravdivostní hodnoty nebo sémantické hodnoty obecněji. V klasické logiky , negace je obvykle se identifikoval s logická funkce , která bere pravdu na nepravdě (a naopak). V intuicionistické logice je podle interpretace Brouwer – Heyting – Kolmogorov negace výroku tvrzení, jehož důkazem jsou vyvrácení .

Definice

Neexistuje shoda, pokud jde o možnost definovat negaci, pokud jde o její logický stav, funkci a význam, oblast její použitelnosti a interpretaci negativního úsudku (FH Heinemann 1944).

Klasická negace je operace na jedné logické hodnotě , obvykle hodnotě propozice , která produkuje hodnotu true, pokud je její operand nepravdivá, a hodnotu false, pokud je její operand pravdivý. Pokud je tedy tvrzení P pravdivé, pak (vyslovováno „ne P“) by pak bylo nepravdivé; a naopak, pokud je nepravdivé, pak P by bylo pravdivé.

Pravda tabulka ze je následující:

Skutečný Nepravdivé
Nepravdivé Skutečný

Negaci lze definovat z hlediska jiných logických operací. Lze například definovat jako (kde je logický důsledek a je absolutní klam ). Naopak lze definovat jako pro jakýkoli návrh Q (kde je logická konjunkce ). Myšlenka zde je, že jakýkoli rozpor je falešný, a přestože tyto myšlenky fungují v klasické i intuicionistické logice, nefungují v parakonzistentní logice , kde rozpor nemusí být nutně falešný. V klasické logice také získáme další identitu, kterou lze definovat jako , kde je logická disjunkce .

Algebraicky klasická negace odpovídá komplementaci v booleovské algebře a intuicionistická negace pseudokomplementaci v Heytingově algebře . Tyto algebry poskytují sémantiku pro klasickou a intuitionistickou logiku.

Zápis

Negace výroku p je zaznamenána různými způsoby, v různých kontextech diskuse a oblastí použití. Následující tabulka dokumentuje některé z těchto variant:

Zápis Prostý text Vokalizace
¬p Ne p
~ str Ne p
-p Ne p
N p En str
p '
̅P
! p

Zápis N p je Łukasiewiczův zápis .

V teorii množin , se také používá pro označení ‚není v souboru‘: je množina všech členů U , které nejsou členy A .

Bez ohledu na to, jak je notován nebo symbolizován , lze negaci číst jako „není to tak, že P “, „ne tak P “, nebo obvykle jednodušeji jako „ne P “.

Vlastnosti

Dvojitá negace

V rámci systému klasické logiky , dvojité negace, která je negací negace výroku , je logicky ekvivalent k . Vyjádřeno v symbolickém smyslu, . V intuitionistické logice propozice implikuje její dvojí negaci, ale ne naopak. To představuje jeden důležitý rozdíl mezi klasickou a intuicionistickou negací. Algebraicky se klasické negaci říká involuce období dvě.

V intuitivní logice však platí slabší ekvivalence . Důvodem je, že v intuicionistické logice je to jen zkratka pro a my také máme . Složení této poslední implikace s trojitou negací to znamená .

Výsledkem je, že v propozičním případě je věta klasicky prokazatelná, pokud je její dvojitá negace intuitivně prokazatelná. Tento výsledek je známý jako Glivenkova věta .

Distribuce

De Morganovy zákony poskytují způsob distribuce negace na disjunkci a spojení :

, a
.

Linearita

Nechť značí logickou xor operaci. V booleovské algebře je lineární funkce taková, že:

Pokud existuje , pro všechny .

Dalším způsobem, jak to vyjádřit, je to, že každá proměnná vždy ovlivňuje pravdivostní hodnotu operace, nebo nikdy nezáleží. Negace je lineární logický operátor.

Self dual

V booleovské algebře je vlastní duální funkce funkcí, která:

pro všechny . Negace je duální logický operátor.

Negace kvantifikátorů

V logice prvního řádu existují dva kvantifikátory, jeden je univerzální kvantifikátor (znamená „pro všechny“) a druhý je existenciální kvantifikátor (znamená „existuje“). Negací jednoho kvantifikátoru je druhý kvantifikátor ( a ). Například s predikátem P jako „ x je smrtelný“ a doménou x jako souborem všech lidí znamená „osoba x u všech lidí je smrtelná“ nebo „všichni lidé jsou smrtelní“. Jeho negací je , že „ ve všech lidech existuje člověk x, který není smrtelný“ nebo „existuje někdo, kdo žije navždy“.

Pravidla odvozování

Existuje řada ekvivalentních způsobů, jak formulovat pravidla pro negaci. Jedním z obvyklých způsobů, jak formulovat klasickou negaci v přirozeném dedukčním prostředí, je brát jako primitivní pravidla úvod odvození negace (od odvození k oběma a , usuzovat ; toto pravidlo se také nazývá reductio ad absurdum ), eliminace negace (od a infer ; toto pravidlo se také nazývá ex falso quodlibet ) a eliminace dvojité negace (z infer ). Pravidla pro intuicionalistickou negaci získáte stejným způsobem, ale vyloučením eliminace dvojité negace.

Úvod do negace uvádí, že pokud lze od té doby vyvodit závěr jako absurditu, nesmí tomu tak být (tj. Je nepravdivý (klasicky) nebo vyvratitelný (intuitivně) atd.). Eliminace negace uvádí, že cokoli vyplývá z absurdity. Někdy je eliminace negace formulována pomocí primitivního znaku absurdity . V tomto případě pravidlo říká, že z absurdity vychází a následuje. Spolu s odstraněním dvojité negace lze odvodit naše původně formulované pravidlo, totiž že cokoli vyplývá z absurdity.

Typicky intuicionistická negace z je definován jako . Pak zavedení a eliminace negace jsou jen speciální případy zavedení implikací ( podmíněný důkaz ) a eliminace ( modus ponens ). V tomto případě je třeba také přidat jako primitivní pravidlo ex falso quodlibet .

Programovací jazyk a běžný jazyk

Stejně jako v matematice se negace používá v informatice ke konstrukci logických prohlášení.

if (!(r == t))
{
    /*...statements executed when r does NOT equal t...*/
}

Vykřičník " !" označuje logické NOT v B , C a jazyky s syntaxe C-inspiroval, jako je C ++ , Java , JavaScript , Perl , a PHP . " NOT" je operátor používaný v jazycích ALGOL 60 , BASIC a v jazycích se syntaxí inspirovanou ALGOL nebo BASIC, jako je Pascal , Ada , Eiffel a Seed7 . Některé jazyky (C ++, Perl atd.) Poskytují více než jeden operátor pro negaci. Několik jazyků, jako PL/I a Ratfor, se používá ¬pro negaci. Některé moderní počítače a operační systémy se zobrazí ¬jako !u souborů kódovaných v ASCII . Většina moderních jazyků umožňuje zkrácení výše uvedeného příkazu z if (!(r == t))na if (r != t), což někdy umožňuje rychlejší programy, když to kompilátor/tlumočník nedokáže optimalizovat.

V informatice existuje také bitová negace . To vezme danou hodnotu a přepne všechny binární 1s na 0s a 0s na 1s. Viz bitový provoz . Toho se často používá k vytvoření komplementu jedniček nebo „ ~“ v C nebo C ++ a dvojkového doplňku (zjednodušeně na „ -“ nebo záporné znaménko, protože to je ekvivalentní převzetí aritmetické záporné hodnoty čísla), protože v zásadě vzniká opak ( ekvivalent záporné hodnoty) nebo matematický doplněk hodnoty (kde jsou obě hodnoty sečteny dohromady, tvoří celek).

Abychom získali absolutní (kladný ekvivalent) hodnoty celého čísla, následující by fungovalo, protože " -" jej změní z negativního na kladné (je záporné, protože " x < 0" je pravdivé)

unsigned int abs(int x)
{
    if (x < 0)
        return -x;
    else
        return x;
}

K prokázání logické negace:

unsigned int abs(int x)
{
    if (!(x < 0))
        return x;
    else
        return -x;
}

Invertováním podmínky a obrácením výsledků se vytvoří kód, který je logicky ekvivalentní původnímu kódu, tj. Bude mít stejné výsledky pro jakýkoli vstup (všimněte si, že v závislosti na použitém kompilátoru se skutečné pokyny prováděné počítačem mohou lišit).

Tato konvence se občas objeví v běžné psané řeči, jako počítačový slang pro ne . Fráze například !votingznamená „nehlasovat“. Dalším příkladem je fráze, !cluekterá se používá jako synonymum pro „bezradný“ nebo „bezradný“.

Kripkeho sémantika

V Kripkeově sémantice, kde jsou sémantické hodnoty vzorců množinami možných světů , lze negaci chápat jako set-teoretickou komplementaci (více viz také možná světová sémantika ).

Viz také

Reference

Další čtení

externí odkazy

Tabulky pravdy složených klauzulí