Nim - Nim

Programovací jazyk viz Nim (programovací jazyk) .
Pro jiná použití, vidět Nim (disambiguation) .
Zápasy sestavené v řadách pro hru Nim. Hráči se střídají, aby si vybrali řadu a odebrali z ní libovolný počet zápasů.

Nim je matematická strategická hra, ve které se dva hráči střídají při odstraňování (nebo „hnát“) předmětů z odlišných hromad nebo hromádek. V každém tahu musí hráč odstranit alespoň jeden předmět a smí odstranit libovolný počet předmětů za předpokladu, že všechny pocházejí ze stejné hromady nebo hromádky. V závislosti na verzi, která se hraje, je cílem hry buď vyhnout se převzetí posledního předmětu, nebo zabrat poslední předmět.

Varianty Nim se hrály od starověku. Říká se, že hra pochází z Číny- velmi se podobá čínské hře 捡 石子jiǎn-shízi neboli „sbírání kamenů“-ale původ je nejistý; nejstarší evropské odkazy na Nim pocházejí z počátku 16. století. Jeho současný název vymyslel Charles L. Bouton z Harvardské univerzity , který také v roce 1901 vyvinul úplnou teorii hry, ale původ názvu nebyl nikdy zcela vysvětlen.

Nim se obvykle hraje jako ubohá hra , ve které hráč, který si vezme poslední předmět, prohrává. Nim lze také hrát jako normální hru, kde vyhrává hráč, který si vezme poslední předmět. Tomu se říká normální hra, protože poslední tah je ve většině her vítězným tahem, i když to není normální způsob, jak se hraje Nim. V normální hře, nebo v mizerné hře, kdy je počet hromádek s alespoň dvěma objekty přesně stejný jako jeden, může snadno vyhrát hráč, který bere další. Pokud se tím odstraní buď všechny nebo všechny objekty kromě jednoho z haldy, která má dva nebo více, pak žádné haldy nebudou mít více než jeden objekt, takže hráči budou nuceni střídat odebírání přesně jednoho objektu, dokud hra neskončí. Pokud hráč opustí sudý počet nenulových hromad (jako by to udělal hráč při normální hře), hráč bere poslední; pokud hráč opustí lichý počet hromádek (jako by to udělal hráč při hře Misère), pak druhý bere poslední.

Normální hra Nim (nebo přesněji systém nimbers ) je zásadní pro Spragueovu -Grundyho větu , která v podstatě říká, že v normální hře je každá nestranná hra ekvivalentní haldě Nim, která přináší stejný výsledek, když se hraje souběžně s jinou normální hrou nestranné hry (viz disjunktivní součet ).

I když všem normálním hrám nezaujatým hrám lze přiřadit hodnotu Nim, podle úmluvy Misère tomu tak není. Pouze krotké hry lze hrát se stejnou strategií jako Misère Nim.

Nim je zvláštní případ poset hra , kde poset skládá z disjunktních řetězců (hromady).

Vývojový graf hry Nim se třemi hromadami je stejný jako tři větve vývojového grafu automatu Ulam-Warburton .

Na světové výstavě v New Yorku v roce 1940 Westinghouse vystavil stroj Nimatron , který hrál Nima. Od 11. května 1940 do 27. října 1940 dokázalo stroj v tomto šestitýdenním období porazit jen několik lidí; pokud ano, byla jim předložena mince s nápisem Nim Champ. Byla to také jedna z vůbec prvních elektronických počítačových her. Ferranti postavil hrací počítač Nim, který byl vystaven na Festivalu Británie v roce 1951. V roce 1952 Herbert Koppel, Eugene Grant a Howard Bailer, inženýři z WL Maxon Corporation, vyvinuli stroj o hmotnosti 23 kilogramů (50 liber), který hrál Nima proti lidský protivník a pravidelně vyhrával. Byl popsán hrací stroj Nim vyrobený z TinkerToy .

Hra Nim byla předmětem rubriky Matematických her Martina Gardnera z února 1958 ve Scientific American. Verze Nim se hraje - a má symbolický význam - ve francouzském filmu New Wave Last Year at Marienbad (1961).

Hry a ilustrace

Normální hra je mezi dvěma hráči a hraje se se třemi hromadami libovolného počtu předmětů. Tito dva hráči střídavě odebírají libovolný počet předmětů z jakékoli hromady. Cílem je být posledním, kdo si vezme předmět. Ve hře Misère je cílem místo toho zajistit, aby byl soupeř nucen vzít poslední zbývající předmět.

Následující příklad normální hry se hraje mezi smyšlenými hráči Bobem a Alicí , kteří začínají hromadami tří, čtyř a pěti předmětů.

Halda A. Halda B. Halda C. Přestěhovat se
3 4 5 Hra začíná
1 4 5 Bob bere 2 z A
1 4 2 Alice bere 3 od C.
1 3 2 Bob bere 1 z B
1 2 2 Alice bere 1 z B
0 2 2 Bob si vezme celou hromadu A a nechá dvě 2 s
0 1 2 Alice bere 1 z B
0 1 1 Bob bere 1 z C a nechává dvě 1 s. ( V misère hře by vzal 2 z C odcházejícího (0, 1, 0). )
0 0 1 Alice bere 1 z B
0 0 0 Bob vezme celou hromadu C a vyhrává

Vítězné pozice

Praktickou strategií, jak vyhrát ve hře Nim, je, aby hráč dostal toho druhého na jednu z následujících pozic a každé další kolo poté by mělo být možné dosáhnout jedné z menších pozic. Pouze poslední tah se mění mezi špatným a normálním hraním.

2 hromady 3 hromady 4 haldy
1 1 * 1 1 1 ** 1 1 1 1 *
2 2 1 2 3 1 1 nn
3 3 1 4 5 1 2 4 7
4 4 1 6 7 1 2 5 6
5 5 1 8 9 1 3 4 6
6 6 2 4 6 1 3 5 7
7 7 2 5 7 2 3 4 5
8 8 3 4 7 2 3 6 7
9 9 3 5 6 2 3 8 9
nn 4 8 12 4 5 6 7
4 9 13 4 5 8 9
5 8 13 nnmm
5 9 12 nnnn

* Platí pouze pro normální hraní.

** Platí pouze pro misere.

Pro zobecnění mohou být n a m libovolné hodnoty> 0 a mohou být stejné.

Matematická teorie

Nim byl matematicky vyřešen pro libovolný počet počátečních hromádek a předmětů a existuje snadno vypočítatelný způsob, jak určit, který hráč vyhraje a které výherní tahy jsou tomuto hráči otevřeny.

Klíčem k teorii hry je binární digitální součet velikostí haldy, tj. Součet (v binárním), zanedbávání všech přenosů z jedné číslice na druhou. Tato operace je také známá jako " bitový xor " nebo "vektorové přidání přes GF (2) " (bitový adiční modul 2). V rámci teorie kombinatorické hry se jí obvykle říká nim-sum , jak se bude nazývat zde. Nim-součet x a y je napsán x  ⊕  y, aby se odlišil od běžného součtu, x  +  y . Příklad výpočtu s hromadami velikosti 3, 4 a 5 je následující: 

Binary Decimal
 
  0112    310    Heap A
  1002    410    Heap B
  1012    510    Heap C
  ---
  0102    210    The nim-sum of heaps A, B, and C, 3 ⊕ 4 ⊕ 5 = 2

Ekvivalentní postup, který je často snadněji proveditelný mentálně, je vyjádřit velikosti haldy jako součty odlišných mocnin 2, zrušit dvojice stejných mocnin a poté přidat to, co zbylo: 

3 = 0 + 2 + 1 =     2   1      Heap A
4 = 4 + 0 + 0 = 4              Heap B
5 = 4 + 0 + 1 = 4       1      Heap C
--------------------------------------------------------------------
2 =                 2          What is left after canceling 1s and 4s

V normální hře je vítěznou strategií dokončit každý tah s nim-součtem 0. To je vždy možné, pokud nim-sum není před tahem nula. Pokud je nim-součet nula, pak další hráč prohraje, pokud druhý hráč neudělá chybu. Chcete-li zjistit, který krok provést, nechte X být nim-součtem všech velikostí haldy. Najděte hromadu, kde je nim-součet velikosti X a haldy menší než velikost haldy; vítěznou strategií je hrát v takové hromadě a zmenšit tuto hromadu na nim-součet původní velikosti pomocí X. Ve výše uvedeném příkladu je jejich součet velikostí X  = 3 ⊕ 4 ⊕ 5 = 2 . Nim-součty velikostí haldy A = 3, B = 4 a C = 5 s X = 2 jsou

A ⊕ X = 3 ⊕ 2 = 1 [Protože (011) ⊕ (010) = 001]
B ⊕ X = 4 ⊕ 2 = 6
C ⊕ X = 5 ⊕ 2 = 7

Jediná zmenšená hromada je halda A, takže vítězným tahem je zmenšit velikost haldy A na 1 (odstraněním dvou objektů).

Jako zvlášť jednoduchý případ, pokud zbývají pouze dvě hromady, je strategií snížit počet objektů ve větší hromadě, aby se hromady rovnaly. Poté, bez ohledu na to, jaký tah váš protivník provede, můžete stejný pohyb provést na druhé hromadě a zaručit, že vezmete poslední předmět.

Strategie Nim je odlišná pouze v případě, že se jedná o hru Misère, ale pouze v případě, že by normální hrací tah zanechal jen hromady velikosti jedna. V takovém případě je správným tahem ponechat lichý počet hromádek velikosti jedna (při normální hře by byl správný tah ponechat sudý počet takových hromad).

Tyto strategie pro normální hru a hru pro Misère jsou stejné, dokud se počet hromádek s alespoň dvěma objekty přesně nerovná jednomu. V tu chvíli další hráč odstraní buď všechny objekty (nebo všechny kromě jednoho) z haldy, která má dva nebo více, takže žádná hromada nebude mít více než jeden objekt (jinými slovy, takže všechny zbývající haldy mají každý přesně jeden objekt) , takže hráči jsou nuceni střídavě odstraňovat přesně jeden předmět, dokud hra neskončí. Při běžné hře hráč zanechá sudý počet nenulových hromad, takže stejný hráč bere poslední; ve hře Misère hráč zanechá lichý počet nenulových hromad, takže druhý hráč bere poslední.

Ve hře Misere s hromadami velikostí tři, čtyři a pět by byla tato strategie aplikována takto: 

A B C nim-sum 
 
3 4 5 0102=210   I take 2 from A, leaving a sum of 000, so I will win.
1 4 5 0002=010   You take 2 from C
1 4 3 1102=610   I take 2 from B
1 2 3 0002=010   You take 1 from C
1 2 2 0012=110   I take 1 from A
0 2 2 0002=010   You take 1 from C
0 2 1 0112=310   The normal play strategy would be to take 1 from B, leaving an even number (2)
                 heaps of size 1.  For misère play, I take the entire B heap, to leave an odd
                 number (1) of heaps of size 1.
0 0 1 0012=110   You take 1 from C, and lose.

Příklad implementace

Předchozí strategii pro misere hru lze snadno implementovat (například v Pythonu níže). 

import functools

MISERE = 'misere'
NORMAL = 'normal'

def nim(heaps, game_type):
    """Computes next move for Nim, for both game types normal and misere.

    if there is a winning move:
        return tuple(heap_index, amount_to_remove)
    else:
        return "You will lose :("

    - mid-game scenarios are the same for both game types

    >>> print(nim([1, 2, 3], MISERE))
    misere [1, 2, 3] You will lose :(
    >>> print(nim([1, 2, 3], NORMAL))
    normal [1, 2, 3] You will lose :(
    >>> print(nim([1, 2, 4], MISERE))
    misere [1, 2, 4] (2, 1)
    >>> print(nim([1, 2, 4], NORMAL))
    normal [1, 2, 4] (2, 1)

    - endgame scenarios change depending upon game type

    >>> print(nim([1], MISERE))
    misere [1] You will lose :(
    >>> print(nim([1], NORMAL))
    normal [1] (0, 1)
    >>> print(nim([1, 1], MISERE))
    misere [1, 1] (0, 1)
    >>> print(nim([1, 1], NORMAL))
    normal [1, 1] You will lose :(
    >>> print(nim([1, 5], MISERE))
    misere [1, 5] (1, 5)
    >>> print(nim([1, 5], NORMAL))
    normal [1, 5] (1, 4)
    """

    print(game_type, heaps, end=' ')

    is_misere = game_type == MISERE

    is_near_endgame = False
    count_non_0_1 = sum(1 for x in heaps if x > 1)
    is_near_endgame = (count_non_0_1 <= 1)

    # nim sum will give the correct end-game move for normal play but
    # misere requires the last move be forced onto the opponent
    if is_misere and is_near_endgame:
        moves_left = sum(1 for x in heaps if x > 0)
        is_odd = (moves_left % 2 == 1)
        sizeof_max = max(heaps)
        index_of_max = heaps.index(sizeof_max)

        if sizeof_max == 1 and is_odd:
            return "You will lose :("

        # reduce the game to an odd number of 1's
        return index_of_max, sizeof_max - int(is_odd)

    nim_sum = functools.reduce(lambda x, y: x ^ y, heaps)
    if nim_sum == 0:
        return "You will lose :("

    # Calc which move to make
    for index, heap in enumerate(heaps):
        target_size = heap ^ nim_sum
        if target_size < heap:
            amount_to_remove = heap - target_size
            return index, amount_to_remove

if __name__ == "__main__":
    import doctest
    doctest.testmod()

Doklad o vítězné formuli

Spolehlivost výše popsané optimální strategie prokázal C. Bouton.

Věta . V normální hře Nim má hráč, který provedl první tah, vítěznou strategii právě tehdy, když nim-součet velikostí hromád není nulový. Jinak má druhý hráč vítěznou strategii.

Důkaz: Všimněte si, že nim-sum (⊕) dodržuje obvyklé asociativní a komutativní zákony sčítání (+) a také splňuje další vlastnost, x  ⊕  x  = 0.

Nechť x 1 , ...,  x n jsou velikosti haldy před tahem a y 1 , ...,  y n odpovídající velikosti po tahu. Nechť y  =  x 1  ⊕ ... ⊕  x n a t  =  y 1  ⊕ ... ⊕  y n . Pokud byl tah v hromadě k , máme x i  =  y i pro všechna i  ≠  k a x k  >  y k . Podle výše uvedených vlastností ⊕ máme 

    t = 0 ⊕ t
      = s ⊕ s ⊕ t
      = s ⊕ (x1 ⊕ ... ⊕ xn) ⊕ (y1 ⊕ ... ⊕ yn)
      = s ⊕ (x1 ⊕ y1) ⊕ ... ⊕ (xn ⊕ yn)
      = s ⊕ 0 ⊕ ... ⊕ 0 ⊕ (xk ⊕ yk) ⊕ 0 ⊕ ... ⊕ 0
      = s ⊕ xk ⊕ yk
 
(*) t = s ⊕ xk ⊕ yk.

Věta následuje indukcí o délce hry z těchto dvou lemmatů.

Lemma 1 . Pokud s = 0, pak t ≠ 0 bez ohledu na to, jaký pohyb je proveden.

Důkaz: Pokud není možný tah, pak je lemma nesmyslně pravdivé (a první hráč podle definice prohrává normální hru). Jinak jakýkoli pohyb v hromadě k vytvoří t  =  x k  ⊕  y k z (*). Toto číslo je nenulové, protože x k  ≠  y k .

Lemma 2 . Pokud s ≠ 0, je možné provést tah tak, že t = 0.

Důkaz: Nechť d je poloha nejvíce levého (nejvýznamnějšího) nenulového bitu v binární reprezentaci s a zvolte k tak, aby d t bit x k byl také nenulový. (Takové a k musí existovat, protože jinak by byl d th bit s s 0.) Potom nechme y k  =  s  ⊕ x k , tvrdíme  , že y k  <  x k : všechny bity nalevo od d jsou stejné v x k a y k , bit d klesá z 1 na 0 (snížení hodnoty o 2 d ) a jakákoli změna zbývajících bitů bude činit nejvýše 2 d −1. První hráč tak může provést tah odebráním x k  -  y k předmětů z hromady k , poté 

t = s ⊕ xk ⊕ yk           (by (*))
  = s ⊕ xk ⊕ (s ⊕ xk)
  = 0.

Modifikace hry Misère je demonstrována poznámkou, že modifikace nejprve vzniká v poloze, která má pouze jednu hromadu velikosti 2 nebo více. Všimněte si, že v takové pozici je ≠ 0, a proto tato situace musí nastat, když je řada na hráči, který následuje vítěznou strategii. Běžnou strategií hry je, aby to hráč snížil na velikost 0 nebo 1, přičemž o velikosti 1 zůstane sudý počet hromádek, a strategie Misère je udělat opak. Od tohoto okamžiku jsou všechny pohyby vynucené.

Variace

Hra na odčítání

Interaktivní hra na odčítání: Hráči se střídají při odstraňování 1, 2 nebo 3 předmětů z počátečního fondu 21 objektů. Vyhrává hráč, který vezme poslední předmět.

V jiné hře, která je běžně známá jako Nim (ale lépe se jí říká hra na odčítání ), je na počet objektů, které lze v tahu odebrat, stanovena horní hranice. Namísto libovolného odstraňování mnoha předmětů může hráč odstranit pouze 1 nebo 2 nebo ... nebo k najednou. Tato hra se běžně hraje v praxi pouze s jednou hromadou (například s k  = 3 ve hře Thai 21 na Survivor: Thailand , kde se objevila jako Imunitní výzva).

Boutonova analýza se snadno přenáší na obecnou hromadnou verzi této hry. Jediným rozdílem je, že jako první krok, před výpočtem součtů Nim, musíme zmenšit velikosti haldy modulo k  + 1. Pokud to způsobí, že všechny hromady velikosti nula (při hře Misère), vítězný tah je k předmětů z jedné z hromad. Zejména v ideální hře z jedné hromady n předmětů může druhý hráč vyhrát právě tehdy

0  = n (mod  k  + 1) (při normální hře), nebo
1  = n (mod  k  + 1) (ve hře Misère).

To vyplývá z výpočtu Nim-sekvence z S (1,2, ..., K ),

ze kterého výše uvedená strategie vyplývá z věty Sprague – Grundy .

Hra 21

Viz také: 21 (hra na pití)

Hra „21“ se hraje jako ubohá hra s libovolným počtem hráčů, kteří se střídají a říkají číslo. První hráč říká „1“ a každý hráč postupně zvyšuje číslo o 1, 2 nebo 3, ale nesmí překročit 21; hráč nucen říci „21“ prohrává. To lze modelovat jako hru na odčítání s hromadou 21– n objektů. Vítěznou strategií pro verzi této hry pro dva hráče je vždy říci násobek 4; pak je zaručeno, že druhý hráč bude nakonec muset říci 21; takže ve standardní verzi, kde první hráč otevírá „1“, začínají se ztrátovým tahem.

Hru 21 lze také hrát s různými čísly, např. „Přidejte maximálně 5; prohrajte 34“.

Ukázka hry 21, ve které druhý hráč postupuje podle vítězné strategie: 

Player     Number
  1           1
  2           4
  1        5, 6 or 7
  2           8
  1       9, 10 or 11
  2          12
  1      13, 14 or 15
  2          16
  1      17, 18 or 19
  2          20
  1          21

Hra 100

Podobná verze je „hra 100“: Dva hráči začínají od 0 a střídavě přidávají k součtu číslo od 1 do 10. Hráč, který dosáhne 100, vyhrává. Vítěznou strategií je dosáhnout čísla, ve kterém jsou číslice následující (např. 01, 12, 23, 34, ...) a ovládat hru skokem přes všechna čísla této sekvence. Jakmile hráč dosáhne 89, soupeř si může vybrat pouze čísla od 90 do 99 a další odpověď může být v každém případě 100.

Pravidlo více haldy

Viz také: Wythoffova hra

V jiné variantě Nim je kromě odebrání libovolného počtu objektů z jedné hromady povoleno odebrat stejný počet objektů z každé haldy.

Kruhový Nim

Viz také: Kayles

Ještě další variací Nim je 'Circular Nim', kde je do kruhu umístěn libovolný počet předmětů a dva hráči střídavě odebírají jeden, dva nebo tři sousední objekty. Například počínaje kruhem deseti předmětů, 

. . . . . . . . . .

v prvním tahu jsou pořízeny tři objekty 

_ . . . . . . . _ _

pak další tři 

_ . _ _ _ . . . _ _

pak jeden 

_ . _ _ _ . . _ _ _

ale pak nelze vyjmout tři objekty jedním tahem.

Grundyho hra

V Grundyho hře , další variantě Nimu, je řada předmětů umístěna na počáteční hromadu a dva hráči střídavě rozdělují hromadu na dvě neprázdné hromady různých velikostí. Šest objektů lze tedy rozdělit na hromádky 5+1 nebo 4+2, ale ne 3+3. Grundyho hru lze hrát buď jako obyčejnou, nebo jako normální hru.

Chamtivý Nim

Greedy Nim je variací, ve které jsou hráči omezeni výběrem kamenů pouze z největší hromádky. Je to konečná nestranná hra . Greedy Nim Misère má stejná pravidla jako Greedy Nim, ale zde prohrává poslední hráč, který je schopen provést tah.

Nechť je největší počet kamenů na hromádce m a druhý největší počet kamenů na hromadě n . Nechť p m je počet hromádek s m kameny a p n je počet hromádek s n kameny. Pak existuje věta, že herní pozice s p m dokonce jsou P pozice. Tuto větu lze ukázat zvážením poloh, kde p m je liché. Pokud je p m větší než 1, mohou být z této hromádky odstraněny všechny kameny, aby se p m snížilo o 1, a nová p m bude sudá. Pokud p m = 1 (tj. Největší hromada je jedinečná), existují dva případy:

  • Pokud je p n liché, velikost největší hromady se zmenší na n (takže nyní je nové p m sudé).
  • Je -li p n sudé, největší hromada se úplně odstraní a zůstane sudý počet největších hald.

Existuje tedy přesun do stavu, kde p m je sudé. Naopak, je -li p m sudé, je -li možný jakýkoli tah ( p m ≠ 0), musí hru přivést do stavu, kde p m je liché. Konečné umístění hry je sudé ( p m = 0). Každá pozice hry s p m even proto musí být P pozice.

Index- k Nim

EH Moore , který ji analyzoval v roce 1910, zobecnění vícenásobné hromady Nim nazýval „Nim “ nebo „index- k “ Nim . V indexu k Nim mohou hráči místo odstraňování objektů pouze z jedné hromady odstraňovat objekty z nejméně jedna, ale až k různých hromádek. Počet prvků, které lze odebrat z každé hromady, může být libovolný nebo omezený nejvýše na r prvky, jako ve výše uvedené „odčítací hře“.

Vítězná strategie je následující: Stejně jako v běžném vícehaldovém Nimu se uvažuje o binární reprezentaci velikostí haldy (nebo velikostí haldy modulo r  + 1). V běžném Nim tvoří XOR-součet (nebo součet modulo 2) každé binární číslice a vítěznou strategií je, aby každý XOR součet byl nulový. Při zobecnění na index- k Nim tvoří jeden součet každé binární číslice modulo k  + 1.

Vítěznou strategií je opět pohybovat se tak, aby tento součet byl nulový pro každou číslici. Skutečně, takto vypočítaná hodnota je pro konečnou polohu nula a vzhledem ke konfiguraci haldy, pro kterou je tato hodnota nulová, jakákoli změna nanejvýš k hromádek způsobí, že hodnota bude nenulová. Naopak, vzhledem ke konfiguraci s nenulovou hodnotou lze vždy odebrat maximálně z hromady k , pečlivě vybraných tak, aby se hodnota stala nulou.

Budova Nim

Building Nim je varianta Nim, kde dva hráči nejprve sestrojí hru Nim. Vzhledem k tomu, n kameny a to prázdné hromady, hráči střídavě střídají, místo právě jeden kámen do hromady dle vlastního výběru. Jakmile jsou všechny kameny umístěny, začíná hra Nim, počínaje dalším hráčem, který by se pohnul. Tato hra je označována jako BN (n, s) .

Vyšší dimenze Nim

n -d Nim se hraje na hrací desce, kde lze z libovolné hyperřádky odebrat libovolný počet souvislých figur. Výchozí pozice je obvykle plná penze, ale jsou povoleny další možnosti.

Graf Nim

Startovní deska je odpojený graf a hráči se střídají, aby odstranili sousední vrcholy.

Candy Nim

Candy Nim je verze normální hry Nim, ve které se hráči snaží dosáhnout dvou cílů současně: vzít poslední předmět (v tomto případě bonbóny) a vzít maximální počet bonbónů do konce hry.

Honeycomb Havoc

Videohra Nintendo Mario Party 2 má minihru, což je verze hry Nim, která se nazývá „Honeycomb Havoc“. Hráči mohou odstranit 1 nebo 2 položky ze sekvence na stromě a pokusit se vyhnout získání voštin. Problémem této minihry je, že začíná se 4 hráči, což znamená, že tradiční strategie Game of Nim zahrnující násobky tří nefungují, dokud nejsou dva hráči vyřazeni pomocí voštin. Jakmile se dostanete ke dvěma hráčům a je vidět poslední plástev medu, je to vyřešená hra jako u běžných strategií Nim (přičemž poražený je hráč, který získá plástev).

Wordnim

Wordnim je verbální verze Nim, kde hráči tvoří slova z počátečních sad nebo sérií písmen, dokud nezůstanou žádná nebo nebude možné vytvořit legitimní slovo.

Viz také

Reference

Další čtení

  • WW Rouse Ball: Mathematical Recreations and Esays , The Macmillan Company, 1947.
  • John D. Beasley: Matematika her , Oxford University Press, 1989.
  • Elwyn R. Berlekamp, ​​John H. Conway a Richard K. Guy: Vítězné způsoby pro vaše matematické hry , Academic Press, Inc., 1982.
  • Manfred Eigen a Ruthild Winkler : Zákony hry , Princeton University Press, 1981.
  • Walter R. Fuchs: Počítače: Informační teorie a kybernetika , Rupert Hart-Davis Educational Publications, 1971.
  • GH Hardy a EM Wright: Úvod do teorie čísel , Oxford University Press, 1979.
  • Edward Kasner a James Newman: Matematika a představivost , Simon a Schuster, 1940.
  • M. Kaitchik: Mathematical Recreations , WW Norton, 1942.
  • Donald D. Spencer: Hra s počítači , Hayden Book Company, Inc., 1968.

externí odkazy