Noetherova věta - Noether's theorem

První stránka článku Emmy Noetherové „Problém invarteálních variací“ (1918), kde dokázala svoji větu.

Teorém noetherové nebo Noether první věta říká, že každý differentiable symetrie z působení fyzického systému s konzervativních sil má odpovídající zákon zachování . Věta byla prokázána matematik Emmy Noether v roce 1915 a zveřejněna v roce 1918, poté, co zvláštní případ bylo prokázáno tím, E. Cosserat a F. Cosserat v roce 1909. Činnost fyzického systému je integrál v čase jednoho Lagrangeovy funkce, z nichž chování systému lze určit podle zásady nejmenší akce . Tato věta platí pouze pro spojité a hladké symetrie nad fyzickým prostorem .

Noetherova věta se používá v teoretické fyzice a variačním počtu . Zobecnění formulací pohybových konstant v Lagrangeově a Hamiltonově mechanice (vyvinutých v letech 1788, respektive 1833) se nevztahuje na systémy, které nelze modelovat pouze pomocí Lagrangeova (např. Systémy s Rayleighovou disipační funkcí ). Zejména disipativní systémy s kontinuální symetrií nemusí mít odpovídající zákon zachování.

Základní ilustrace a pozadí

Pro ilustraci, pokud se fyzický systém chová stejně bez ohledu na to, jak je orientován v prostoru, jeho Lagrangian je symetrický pod souvislými rotacemi: z této symetrie Noetherova věta diktuje, že moment hybnosti systému bude zachován, jako důsledek jeho pohybové zákony. Samotný fyzický systém nemusí být symetrický; zubatý asteroid padající v prostoru zachovává moment hybnosti navzdory své asymetrii. Jsou to zákony jeho pohybu, které jsou symetrické.

Jako další příklad, je-li fyzikální proces vykazuje stejné výsledky bez ohledu na místo a čas, pak jeho lagrangián je symetrický za kontinuálních překlady v prostoru a čase, v tomto pořadí podle Noetherové věty, tyto symetrie odpovídat za zákonů zachování v hybnosti a energie v této systému, resp.

Noetherova věta je důležitá, a to jednak kvůli vhledu, který dává do zákonů zachování, a také jako praktický výpočetní nástroj. Umožňuje vyšetřovatelům určit konzervované veličiny (invarianty) z pozorovaných symetrií fyzického systému. Naopak to umožňuje vědcům uvažovat o celých třídách hypotetických Lagrangiánů s danými invarianty a popsat fyzický systém. Pro ilustraci předpokládejme, že fyzikální teorie, se navrhuje, který zachovává množstevní X . Výzkumník může vypočítat typy Lagrangiánů, kteří zachovávají X prostřednictvím spojité symetrie. Díky Noetherově větě poskytují vlastnosti těchto Lagrangiánů další kritéria pro pochopení implikací a posouzení vhodnosti nové teorie.

Existuje mnoho verzí Noetherovy věty, s různým stupněm obecnosti. Existují přirozené kvantové protějšky této věty, vyjádřené v identitách Ward -Takahashi . Zobecnění Noetherovy věty na nadprostory také existuje.

Neformální prohlášení věty

Kromě všech jemných technických bodů lze Noetherovu větu neformálně uvést

Pokud má systém vlastnost spojité symetrie, pak existují odpovídající veličiny, jejichž hodnoty jsou v čase zachovány.

Sofistikovanější verze věty zahrnující pole uvádí, že:

Každé diferencovatelné symetrii generované místními akcemi odpovídá zachovaný proud .

Slovo „symetrie“ ve výše uvedeném tvrzení přesněji odkazuje na kovarianci formy, kterou má fyzikální zákon s ohledem na jednorozměrnou Lieovu skupinu transformací splňujících určitá technická kritéria. Zákon zachování z fyzikální veličiny se obvykle vyjadřuje jako rovnice kontinuity .

Formální důkaz věty využívá podmínku invariance k odvození výrazu pro proud spojený se zachovanou fyzikální veličinou. V moderní terminologii (od roku 1980) se konzervované množství nazývá náboj Noether , zatímco tok nesoucí tento náboj se nazývá proud Noether . Noether proud je definován na solenoidálního (divergenceless) vektorového pole.

V kontextu gravitace stanoví pro invarianty prohlášení Felixe Kleina o Noetherově větě pro akci I :

Pokud je integrál I invariantní pod spojitou skupinou G ρ s parametry ρ , pak ρ lineárně nezávislé kombinace Lagrangianových výrazů jsou divergence.

Stručná ilustrace a přehled konceptu

Děj ilustrující Noetherovu větu pro souřadnicovou symetrii.

Hlavní myšlenku Noetherovy věty nejsnadněji ilustruje systém s jednou souřadnicí a spojitou symetrií (šedé šipky na diagramu). Zvažte jakoukoli trajektorii (tučně vyznačenou na diagramu), která splňuje pohybové zákony systému . To znamená, že akce řídící tento systém je na této trajektorii stacionární , tj. Nemění se pod žádnou místní variací trajektorie. Zejména by se neměnilo pod variantou, která aplikuje tok symetrie na časový úsek [ t 0 , t 1 ] a je mimo tento segment nehybná. Aby byla trajektorie spojitá, používáme „vyrovnávací“ periody malého času k postupnému přechodu mezi segmenty.

Celková změna v akci nyní zahrnuje změny, které přináší každý interval ve hře. Části, kde variace sama mizí, přinášejí ne . Prostřední část také nemění akci, protože její transformace je symetrie a zachovává tak Lagrangian a akci . Jedinými zbývajícími částmi jsou „nárazníkové“ kusy. Zhruba řečeno, přispívají většinou svým „šikmo“ .

Tím se změní Lagrangian podle , který se integruje do

Tyto poslední termíny, vyhodnocené kolem koncových bodů a , by se měly navzájem rušit, aby celková změna v akci byla nulová, jak by se dalo očekávat, pokud je trajektorie řešením. To je

což znamená, že množství je zachováno, což je závěr Noetherovy věty. Pokud jsou například symetrií čisté překlady konstanty, pak se konzervovaná veličina stane spravedlivou , kanonickou hybností.

Obecnější případy se řídí stejnou myšlenkou:

  • Když více souřadnic projde transformací symetrie , jejich efekty se sčítají lineárností s konzervovanou veličinou .
  • Když dojde k časové transformaci , způsobí, že segmenty „ukládání do vyrovnávací paměti“ budou přispívat dvěma následujícími termíny :
    první termín je způsoben roztažením v časové dimenzi „vyrovnávacího“ segmentu (který mění velikost domény integrace), a druhý je způsoben jeho „šikmým“, stejně jako v příkladném případě. Dohromady přidají součet k konzervovanému množství.
  • Nakonec, když se místo trajektorie uvažují celá pole , argument nahradí
    • interval s ohraničené oblasti v -domény,
    • koncové body a s hranicí regionu,
    • a jeho příspěvek k je interpretován jako tok konzervovaného proudu , který je postaven způsobem analogickým k předchozí definici konzervované veličiny.
    Nulový příspěvek „ukládání do vyrovnávací paměti“ je interpretován jako úbytek celkového toku proudu skrz . To je smysl, ve kterém je zachován: kolik „proudí“ dovnitř, stejně jako „proudí“ ven.

Historický kontext

A zákon zachování uvádí, že některé množství X v matematickém popisu vývoje daného systému zůstává konstantní po celou dobu jeho pohybu - to je neměnné . Matematicky je rychlost změny X (její derivace vzhledem k času ) nulová,

Taková množství jsou prý konzervována; často se jim říká pohybové konstanty (i když pohyb sám o sobě nemusí být zapojen, stačí vývoj v čase). Pokud je například energie systému zachována, její energie je po celou dobu neměnná, což způsobuje omezení pohybu systému a může pomoci při jeho řešení. Kromě vhledů, které takové pohybové konstanty dávají do povahy systému, jsou užitečným nástrojem pro výpočet; přibližné řešení lze například opravit nalezením nejbližšího stavu, který vyhovuje příslušným zákonům zachování.

Nejdříve objevené pohybové konstanty byly hybnost a kinetická energie , které byly navrženy v 17. století René Descartesem a Gottfriedem Leibnizem na základě kolizních experimentů a upřesněny následnými výzkumníky. Isaac Newton byl první, kdo vyslovil zachování hybnosti v její moderní podobě, a ukázal, že je to důsledek třetího Newtonova zákona . Podle obecné relativity jsou zákony zachování lineární hybnosti, energie a momentu hybnosti globálně přesně pravdivé pouze tehdy, jsou-li vyjádřeny součtem tenzoru napětí – energie (negravitační napětí – energie) a Landau – Lifshitzova napětí – energie –Momentum pseudotensor (gravitační stres – energie). Místní ochrana negravitačních hybnosti a energie ve volně padající referenčního framu je vyjádřena mizení z kovariantní divergence na stres-energie tensor . Další důležitou konzervovanou veličinou, objevenou ve studiích nebeské mechaniky astronomických těles, je vektor Laplace – Runge – Lenz .

Na konci 18. a na počátku 19. století fyzici vyvinuli systematičtější metody pro objevování invariantů. Významný pokrok nastal v roce 1788 s rozvojem Lagrangeovy mechaniky , která souvisí s principem nejmenší akce . V tomto přístupu může být stav systému popsán jakýmkoli typem generalizovaných souřadnic q ; zákony pohybu nemusí být vyjádřeny v kartézském souřadném systému , jak bylo zvykem v newtonovské mechanice. Akce je definován jako časový integrální I z funkce známé jako Lagrangeovy  L

kde tečka nad q značí rychlost změny souřadnic q ,

Hamiltonův princip říká, že fyzická cesta q ( t ) - ta, kterou systém skutečně vzal - je cesta, u níž nekonečně malé variace na této cestě nezpůsobí žádnou změnu I , alespoň do prvního řádu. Výsledkem tohoto principu jsou Euler -Lagrangeovy rovnice ,

Pokud se tedy jedna ze souřadnic, řekněme q k , neobjeví v Lagrangian, pravá strana rovnice je nulová a levá strana vyžaduje, aby

kde hybnost

je zachována v celém pohybu (na fyzické dráze).

Absence ignorovatelné souřadnice q k z Lagrangian tedy znamená, že Lagrangian není ovlivněn změnami nebo transformacemi q k ; Lagrangian je invariantní a říká se, že při takových transformacích vykazuje symetrii . Toto je základní myšlenka zobecněná v Noetherově větě.

V 19. století bylo vyvinuto několik alternativních metod pro hledání konzervovaných množství, zejména William Rowan Hamilton . Například vyvinul teorii kanonických transformací, která umožňovala změnu souřadnic tak, že některé souřadnice z Lagrangian zmizely, jak je uvedeno výše, což vedlo ke konzervovaným kanonickým momentům. Dalším přístupem, a možná nejúčinnějším pro hledání konzervovaných veličin, je Hamiltonova -Jacobiho rovnice .

Matematický výraz

Jednoduchá forma využívající poruchy

Podstatou Noetherovy věty je zobecnění nastíněných ignorovatelných souřadnic.

Lze předpokládat, že výše definovaný Lagrangian L je invariantní při malých poruchách (deformacích) časové proměnné t a generalizovaných souřadnic q . Člověk může psát

kde poruchy δt a δ q jsou malé, ale proměnlivé. Pro obecnost předpokládejme, že existuje (řekněme) N takových symetrických transformací akce, tj. Transformace ponechávající akci beze změny; označeny indexu r  = 1, 2, 3, ...,  N .

Potom lze výslednou poruchu zapsat jako lineární součet jednotlivých typů poruch,

kde ε r jsou nekonečně malé koeficienty parametrů odpovídající každému:

U překladů je Q r konstanta s jednotkami délky ; pro rotace je to výraz lineární ve složkách q a parametry tvoří úhel .

Pomocí těchto definic Noether ukázal, že N množství

(které mají rozměry [energie] · [čas] + [hybnost] · [délka] = [akce]) jsou zachovány ( pohybové konstanty ).

Příklady

Časová invariance

Pro ilustraci uvažujme Lagrangian, který nezávisí na čase, tj. Je invariantní (symetrický) při změnách tt + δ t , beze změny souřadnic q . V tomto případě N  = 1, T  = 1 a Q  = 0; odpovídající konzervované množství je celková energie H

Translační invariance

Uvažujme Lagrangian, který nezávisí na („ignorovatelné“, jak je uvedeno výše) souřadnici q k ; je tedy invariantní (symetrický) při změnách q kq k + δq k . V takovém případě N  = 1, T  = 0 a Q k  = 1; konzervovaná veličina je odpovídající lineární hybnost p k

Ve speciální a obecné relativitě jsou tyto zjevně oddělené zákony zachování aspekty jediného zákona zachování, tenzoru napětí -energie , který je odvozen v další části.

Rotační invariance

Zachování momentu hybnosti L = r × p je analogické jeho lineárnímu protějšku hybnosti. Předpokládá se, že symetrie Lagrangian je rotační, tj. Že Lagrangian nezávisí na absolutní orientaci fyzického systému v prostoru. Pro konkrétnost předpokládejme, že Lagrangian se nemění pod malými rotacemi úhlu δθ kolem osy n ; taková rotace transformuje karteziánské souřadnice podle rovnice

Protože čas se netransformuje, T = 0. Vezmeme -li δθ jako parametr ε a karteziánské souřadnice r jako zobecněné souřadnice q , odpovídající proměnné Q jsou dány vztahem

Pak Noetherova věta říká, že následující množství je zachováno,

Jinými slovy, složka momentu hybnosti L podél osy n je zachována.

Pokud n je libovolné, tj. Pokud je systém necitlivý na jakékoli otáčení, pak je každá složka L zachována; zkrátka moment hybnosti je zachován.

Verze teorie pole

Přestože je verze Noetherovy věty užitečná sama o sobě, je právě uvedenou verzí Noetherovy věty zvláštním případem obecné verze odvozené z roku 1915. Aby byla příchuť obecné věty, verze Noetherovy věty pro spojitá pole ve čtyřrozměrném časoprostoru je nyní dána. Protože problémy teorie pole jsou v moderní fyzice běžnější než problémy mechaniky , je tato verze teorie pole nejčastěji používanou (nebo nejčastěji implementovanou) verzí Noetherovy věty.

Nechť je v celém prostoru a čase definována sada odlišitelných polí ; například teplota by byla pro takové pole reprezentativní, což je číslo definované v každém místě a čase. Na taková pole lze aplikovat princip nejmenší akce , ale akce je nyní integrální v prostoru a čase

(větu lze dále zobecnit na případ, kdy Lagrangian závisí až na n -té derivaci, a lze ji také formulovat pomocí paprskových svazků ).

Souvislou transformaci polí lze zapsat nekonečně jako

kde je obecně funkce, která může záviset na obou a . Podmínkou generování fyzické symetrie je, že akce zůstane invariantní. To bude určitě platit, pokud bude Lagrangeova hustota ponechána neměnná, ale bude to také pravda, pokud se Lagrangian změní o divergenci,

protože integrál divergence se stává hraničním termínem podle věty o divergenci . Systém popsaný danou akcí může mít více nezávislých symetrií tohoto typu, indexovaných tak, aby nejobecnější transformace symetrie byla zapsána jako

s následkem

Pro takové systémy Noetherova věta uvádí, že existují zachované proudové hustoty

(kde se rozumí, že bodový produkt smršťuje indexy polí , nikoli index nebo index).

V takových případech je zákon zachování vyjádřen čtyřrozměrným způsobem

což vyjadřuje myšlenku, že množství konzervované veličiny v kouli se nemůže změnit, pokud část z ní nevyteče ze sféry. Například je zachován elektrický náboj ; množství náboje v kouli se nemůže změnit, pokud část náboje kouli neopustí.

Pro ilustraci zvažte fyzický systém polí, který se chová stejně při překladech v čase a prostoru, jak je uvedeno výše; jinými slovy, je konstantní ve svém třetím argumentu. V takovém případě N  = 4, jedna pro každou dimenzi prostoru a času. Nekonečně malý překlad v prostoru (s označením Kroneckerovy delty ) ovlivňuje pole jako : to znamená, že opětovné označení souřadnic je ekvivalentní ponechání souřadnic na místě při překladu samotného pole, což je zase ekvivalentní transformaci pole nahrazením jeho hodnota v každém bodě s hodnotou v bodě „za ním“, na kterou by bylo mapováno uvažovaným nekonečně malým posunem. Protože toto je nekonečně malé, můžeme tuto transformaci napsat jako

Lagrangeova hustota se transformuje stejným způsobem , takže

a tedy Noetherova věta odpovídá zákonu zachování pro tenzor napětí – energie T μ ν , kde jsme použili místo . Noetherova věta uvádí , že pomocí výše uvedeného výrazu a shromážděním čtyř konzervovaných proudů (jeden pro každý ) do tenzoru

s

(znovu jsme označili jako mezistupeň, abychom se vyhnuli konfliktu). ( Takto získaný způsob se však může lišit od symetrického tenzoru používaného jako zdrojový termín v obecné relativitě; viz kanonický tenzor napětí - energie .)

Konzervaci elektrického náboje lze naopak odvodit uvažováním Ψ lineárních v polích φ spíše než v derivátech. V kvantové mechanice je amplituda pravděpodobnosti ψ ( x ) nalezení částice v bodě x komplexním polem φ , protože každému bodu v prostoru a čase připisuje komplexní číslo . Amplituda pravděpodobnosti je fyzicky neměřitelná; pouze pravděpodobnost p = | ψ | 2 lze odvodit ze sady měření. Proto je systém neměnný při transformacích pole ψ a jeho komplexního konjugovaného pole ψ *, které opouští | ψ | 2 beze změny, jako např

komplexní rotace. V mezích, kdy se fáze θ stane nekonečně malou, δθ , může být brána jako parametr ε , zatímco Ψ jsou rovno a - *. Specifickým příkladem je Klein -Gordonova rovnice , relativisticky správná verze Schrödingerovy rovnice pro bezpáteřové částice, která má Lagrangeovu hustotu

V tomto případě Noetherova věta uvádí, že konzervovaný (∂ ⋅  j  = 0) proud se rovná

který, když se vynásobí nábojem na tomto druhu částic, se rovná hustotě elektrického proudu způsobené tímto typem částic. Tuto „neměnnost měřidla“ poprvé zaznamenal Hermann Weyl a je jednou z prototypových měřidel symetrie fyziky.

Odvození

Jedna nezávislá proměnná

Uvažujme nejjednodušší případ, systém s jednou nezávislou proměnnou, čas. Předpokládejme, že závislé proměnné q jsou takové, že akční integrál

je invariantní při krátkých nekonečně malých variacích v závislých proměnných. Jinými slovy, splňují Euler -Lagrangeovy rovnice

A předpokládejme, že integrál je neměnný pod spojitou symetrií. Matematicky taková symetrie je reprezentován jako toku , cp , který působí na proměnných následovně

kde ε je skutečná proměnná udávající množství toku a T je skutečná konstanta (která může být nulová) udávající, jak moc tok posouvá čas.

Akční integrál teče do

které lze považovat za funkci ε . Výpočet derivátu na ε ' = 0 a pomocí Leibnizova pravidla dostaneme

Všimněte si, že z toho vyplývají rovnice Euler – Lagrange

Když to nahradíme předchozí rovnicí, dostaneme

Opět pomocí Euler -Lagrangeových rovnic získáme

Když to nahradíme předchozí rovnicí, dostaneme

Ze kterého je to vidět

je konstanta pohybu, tj. je to konzervovaná veličina. Protože φ [ q , 0] = q , dostaneme, takže konzervovaná veličina se zjednoduší na

Aby se předešlo nadměrným komplikacím vzorců, tato derivace předpokládala, že tok se postupem času nemění. Stejného výsledku lze dosáhnout v obecnějším případě.

Field-teoretická derivace

Noetherovu větu lze také odvodit pro tenzorová pole φ A, kde se index A pohybuje nad různými složkami různých tenzorových polí. Tyto veličiny pole jsou funkce definované ve čtyřrozměrném prostoru, jehož body jsou označeny souřadnicemi x μ, kde se index μ pohybuje v čase ( μ  = 0) a třech prostorových rozměrech ( μ  = 1, 2, 3). Tyto čtyři souřadnice jsou nezávislé proměnné; a hodnoty polí při každé události jsou závislé proměnné. Pod nekonečně malou transformací je zapsána variace souřadnic

zatímco transformace proměnných pole je vyjádřena jako

Podle této definice vyplývají odchylky pole δφ A ze dvou faktorů: vnitřní změny v samotném poli a změny souřadnic, protože transformované pole α A závisí na transformovaných souřadnicích ξ μ . K izolaci vnitřních změn lze definovat variace pole v jednom bodě x μ

Pokud se změní souřadnice, změní se také hranice oblasti časoprostoru, do které je Lagrangian integrován; původní hranice a její transformovaná verze jsou označeny jako Ω, respektive Ω '.

Noetherova věta začíná předpokladem, že konkrétní transformace souřadnic a proměnných pole nemění akci , která je definována jako integrál Lagrangeovy hustoty v dané oblasti časoprostoru. Matematicky vyjádřeno, tento předpoklad lze zapsat jako

kde dolní čárka označuje částečnou derivaci vzhledem k souřadnicím, které následují za čárkou, např

Protože ξ je fiktivní proměnná integrace a protože změna hranice Ω je za předpokladu nekonečně malá, lze tyto dva integrály kombinovat pomocí čtyřrozměrné verze divergenční věty do následující podoby

Rozdíl v Lagrangianech lze zapsat do prvního řádu v nekonečně malých variacích jako

Protože jsou však variace definovány ve stejném bodě, jak je popsáno výše, lze variace a derivace provádět v opačném pořadí; oni dojíždí

Použití Euler -Lagrangeových rovnic pole

rozdíl v Lagrangianech lze zapsat úhledně jako

Změnu v akci lze tedy zapsat jako

Protože to platí pro jakoukoli oblast Ω, integrand musí být nulový

Pro jakoukoli kombinaci různých transformací symetrie lze zapsat poruchu

kde je Lieova derivace φ A ve směru X μ . Když φ A je skalární nebo ,

Tyto rovnice naznačují, že variace pole pořízená v jednom bodě se rovná

Rozlišením výše uvedené divergence vzhledem k ε při ε  = 0 a změnou znaménka se získá zákon zachování

kde se konzervovaný proud rovná

Odvození potrubí/svazku vláken

Předpokládejme, že máme n rozměrný orientovaný Riemannových potrubí , M a rozdělovači cílové T . Nechť je konfigurace prostor z hladkých funkcí z M na T . (Obecněji můžeme mít hladké části svazku vláken přes M. )

Mezi příklady tohoto M ve fyzice patří:

  • V klasické mechanice , v Hamiltonova formulace, M je jednorozměrná potrubí , což představuje čas a cílový prostor je cotangent svazek z prostoru všeobecných pozic.
  • V teorii pole , M je časoprostor potrubí a cílový prostor je soubor hodnot pole může trvat v daném bodě. Například pokud existují m real cenil skalární pole , a pak cílový potrubí je . V případě, že pole je skutečný vektorové pole, pak cílový potrubí je isomorphic k .

Předpokládejme nyní, že existuje funkční

volal akci . (Bere hodnoty spíše než ; je to z fyzických důvodů a není pro tento důkaz důležité.)

Abychom se dostali k obvyklé verzi Noetherovy věty, potřebujeme další omezení akce . Předpokládáme, že je integrál přes M funkce

nazývá se Lagrangeova hustota , v závislosti na φ , její derivaci a poloze. Jinými slovy, pro φ in

Předpokládejme, že jsme dostali okrajové podmínky , tj. Specifikaci hodnoty φ na hranici, pokud je M kompaktní , nebo nějaké omezení na φ, když se x blíží ∞. Pak podprostor ze se skládá z funkcí, cp tak, že všechny funkční deriváty obecného v φ jsou nulové, to je:

a že φ splňuje dané okrajové podmínky, je podprostor řešení na skořápce . (Viz princip stacionárního působení )

Nyní předpokládejme, že máme transformaci nekonečně o , generovaného funkčním derivací , Q takové, že

u všech kompaktních podrozvaděčů N nebo jinými slovy,

pro všechna x , kde jsme nastavili

Pokud toto platí pro shell a off shell , říkáme, že Q generuje off-shell symetrii. Pokud to platí pouze pro shell , říkáme, že Q generuje symetrii na shellu. Potom říkáme, že Q je generátor jednoparametrické symetrické Lieovy skupiny .

Nyní pro libovolné N , kvůli Eulerově-Lagrangeově větě, na shellu (a pouze na shellu) máme

Protože to platí pro jakékoli N , máme

Ale toto je rovnice kontinuity pro proud definovaný:

který se nazývá proud Noether spojený se symetrií . Rovnice kontinuity nám říká, že pokud tento proud integrujeme přes prostorový řez, dostaneme konzervovanou veličinu nazývanou Noetherův náboj (ovšem za předpokladu, že pokud je M nekompaktní, proudy v nekonečnu vypadávají dostatečně rychle).

Komentáře

Noetherova věta je teorém o skořápce : spoléhá na použití pohybových rovnic - klasické dráhy. Odráží vztah mezi okrajovými podmínkami a variačním principem. Za předpokladu, že v akci nejsou žádné okrajové podmínky, Noetherova věta to znamená

Kvantové analogy Noetherovy věty zahrnující hodnoty očekávání (např. ) Snímající také množství skořápky jsou identity Ward -Takahashi .

Zobecnění na Lieovy algebry

Předpokládejme, že máme dvě derivace symetrie Q 1 a Q 2 . Potom [ Q 1Q 2 ] je také derivací symetrie. Podívejme se na to výslovně. Řekněme

a

Pak,

kde f 12  =  Q 1 [ f 2 μ ] -  Q 2 [ f 1 μ ]. Tak,

To ukazuje, že můžeme Noetherovu větu přirozeně rozšířit na větší Lieovy algebry.

Zobecnění důkazu

To platí pro jakoukoli derivaci lokální symetrie Q splňující QS  ≈ 0, a také pro obecnější lokální funkční diferencovatelné akce, včetně těch, kde Lagrangian závisí na vyšších derivátech polí. Nechť ε je libovolná plynulá funkce časoprostorového (nebo časového) rozdělovače tak, že uzavření jeho podpory je odděleno od hranice. ε  je testovací funkce . Potom, protože variačního principu (která se nebude vztahovat na hranici, mimochodem), distribuční odvození q generovaného q [ ε ] [Φ ( x )] = ε ( x ) Q [Φ ( x )] splňuje q [ ε ] [ S ] ≈ 0 pro každé  ε , nebo kompaktněji, q ( x ) [ S ] ≈ 0 pro všechna x, která nejsou na hranici (pamatujte však, že q ( x ) je zkratka pro derivační distribuci , nikoli derivace parametrizovaná x obecně). Toto je zobecnění Noetherovy věty.

Chcete -li zjistit, jak generalizace souvisí s výše uvedenou verzí, předpokládejte, že akce je časoprostorový integrál Lagrangian, který závisí pouze na φ a jeho prvních derivacích. Také předpokládej

Pak,

pro všechny .

Obecněji řečeno, pokud Lagrangian závisí na vyšších derivátech, pak

Příklady

Příklad 1: Úspora energie

Při pohledu na konkrétní případ newtonovské částice o hmotnosti m , souřadnici x , pohybující se pod vlivem potenciálu V , koordinované časem t . Akce , S , je:

První termín v závorkách je kinetická energie částice, zatímco druhý je její potenciální energie . Uvažujme generátor časových překladů Q = d / dt . Jinými slovy, . Souřadnice x má explicitní závislost na čase, zatímco V ne; tudíž:

abychom mohli nastavit

Pak,

Pravá strana je energie a Noetherova věta uvádí, že (tj. Princip zachování energie je důsledkem invariance při překladech času).

Obecněji řečeno, pokud Lagrangian nezávisí výslovně na čase, množství

(nazývaný hamiltonián ) je zachován.

Příklad 2: Zachování středu hybnosti

Stále zvažujeme jednorozměrný čas

nebo newtonovské částice, kde potenciál závisí pouze na páru na relativním posunutí.

Pro zvažte generátor Galilean transformacemi (tedy ke změně v rámci odkazu). Jinými slovy,

A

To má formu, takže můžeme nastavit

Pak,

kde je celková hybnost, M je celková hmotnost a je těžiště. Noetherova věta uvádí:

Příklad 3: Konformní transformace

Oba příklady 1 a 2 jsou přes 1-dimenzionální potrubí (čas). Příklad zahrnující časoprostor je konformní transformace bezhmotného skutečného skalárního pole s kvartickým potenciálem v (3 + 1)- Minkowského časoprostoru .

U Q zvažte generátor časoprostorové změny měřítka. Jinými slovy,

Druhý výraz na pravé straně je dán „konformní hmotností“ . A

To má formu

(kde jsme provedli změnu fiktivních indexů) tak nastaveno

Pak

Noetherova věta uvádí, že (jak lze výslovně ověřit nahrazením Euler -Lagrangeových rovnic na levou stranu).

Pokud se někdo pokusí najít Ward -Takahashiho analog této rovnice, narazí na problém kvůli anomáliím .

Aplikace

Aplikace Noetherovy věty umožňuje fyzikům získat silný pohled na jakoukoli obecnou teorii fyziky pouhou analýzou různých transformací, které by způsobily, že by forma zákonů byla invariantní. Například:

V kvantové teorie pole , je analog Noetherové teorému, na Ward-Takahashi identitu , se získá další zákonů zachování, jako je zachování elektrického náboje z invariance s ohledem na změny v fáze faktoru z komplexního pole nabitých částic a přidružené měřidlo z elektrického potenciálu a vektorového potenciálu .

Noetherové náboje je také použit pro výpočet entropie ve stacionárních černé díry .

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy