Neměřitelná sada - Non-measurable set

V matematice , je neměřitelné set je sada , která nelze přiřadit smysluplný „svazek“. Matematická existence takových sad je vykládat tak, že poskytuje informace o pojmech délky , plochy a objemu ve formální teorii množin. V teorii množin Zermelo-Fraenkel je axiom výběru znamená, že se neměřitelné podmnožiny existují.

Pojem neměřitelné sady je od jejího zavedení zdrojem velké kontroverze. Historicky to vedlo Borela a Kolmogorova k formulaci teorie pravděpodobnosti na množinách, které jsou omezeny na měřitelné. Měřitelné sady na lince jsou iterované počitatelné svazky a průsečíky intervalů (nazývané Borelské sady ) plus-mínus nulové množiny . Tyto sady jsou dostatečně bohaté na to, aby zahrnovaly všechny myslitelné definice množin, které ve standardní matematice vznikají, ale k prokázání toho, že jsou sady měřitelné, vyžadují hodně formalismu.

V roce 1970 Robert M. Solovay sestrojil Solovayův model , který ukazuje, že je v souladu s teorií standardních množin bez nepočítatelné volby, že všechny podmnožiny reálů jsou měřitelné. Solovayův výsledek však závisí na existenci nepřístupného kardinála , jehož existenci a konzistenci nelze v rámci standardní teorie množin prokázat.

Historické stavby

První náznak, že by mohl být problém s definováním délky libovolné množiny, pocházel z Vitaliho věty .

Dalo by se očekávat, že míra spojení dvou disjunktních množin bude součtem míry těchto dvou množin. Míra s touto přírodní vlastností se nazývá konečně aditivní . Zatímco pro většinu intuice oblasti postačuje konečně aditivní měřítko, které je analogické Riemannově integraci , je považováno za nedostatečné pro pravděpodobnost , protože konvenční moderní zpracování sekvencí událostí nebo náhodných proměnných vyžaduje spočítatelnou aditivitu .

V tomto ohledu je rovina podobná přímce; existuje konečně aditivní míra, rozšiřující Lebesgueovu míru, která je neměnná ve všech izometriích . Při vyšších rozměrech se obraz zhoršuje. Hausdorff paradox a Banach-Tarski paradox ukazují, že trojrozměrné míčem o poloměru 1, může být rozdělen na 5 částí, které mohou být znovu sestavit pro vytvoření dvou koule o poloměru 1.

Příklad

Uvažujme S , množinu všech bodů v jednotkové kružnici a působení na S skupinou G skládající se ze všech racionálních rotací (rotace o úhly, které jsou racionálními násobky π). Zde je G počitatelné (konkrétněji G je izomorfní ), zatímco S je nepočitatelné. Z tohoto důvodu S přestávky až do nespočetně mnoho orbit pod G . Pomocí zvoleného axiomu bychom mohli vybrat jeden bod z každé oběžné dráhy a získat tak nespočetnou podmnožinu s vlastností, že všechny překlady (přeložené kopie) X od G jsou disjunktní od X a od sebe navzájem. Tato sada převádí kružnici na počítatelnou kolekci disjunktních množin, které jsou všechny párově shodné (racionálními rotacemi). Množina X bude neměřitelná pro jakoukoli rotačně invariantní sčítatelně aditivní míru pravděpodobnosti na S : pokud X má nulovou míru, spočitatelná aditivita by znamenala, že celý kruh má nulovou míru. Pokud má X kladnou míru, spočítatelná aditivita by ukázala, že kruh má nekonečnou míru.

Konzistentní definice míry a pravděpodobnosti

Tyto Banach-Tarski paradox ukazuje, že neexistuje žádný způsob, jak definovat objem ve třech rozměrech, pokud je z jednoho z následujících čtyř ústupky:

  1. Hlasitost sady se může při otáčení změnit.
  2. Objem spojení dvou disjunktních množin se může lišit od součtu jejich objemů.
  3. Některé sady mohou být označeny jako „neměřitelné“ a než budeme hovořit o svém objemu, bude třeba zkontrolovat, zda je sada „měřitelná“.
  4. Axiomy ZFC ( teorie množin Zermelo – Fraenkel s zvoleným axiomem) bude možná nutné změnit.

Standardní teorie měří třetí možnost. Jeden definuje rodinu měřitelných množin, která je velmi bohatá, a téměř každá množina výslovně definovaná ve většině oborů matematiky bude mezi touto rodinou. Obvykle je velmi snadné dokázat, že je daná konkrétní podmnožina geometrické roviny měřitelná. Základním předpokladem je, že spočitatelně nekonečná posloupnost disjunktních množin splňuje součtový vzorec, vlastnost zvanou σ-aditivita .

V roce 1970 Solovay prokázal, že existence neměřitelné množiny pro Lebesgueovu míru není v rámci teorie množin Zermelo – Fraenkel prokazatelná bez dalšího axiomu (jako je axiom volby), a to tak, že ukázal ( za předpokladu konzistence nepřístupného kardinála ) existuje model ZF, nazývaný Solovayův model , ve kterém platí počitatelná volba , každá sada je Lebesgueova měřitelná a ve které selhává plný axiom volby.

Axiom volby je ekvivalentní základnímu výsledku topologie bodových množin , Tychonoffově větě a také spojení dvou základních výsledků funkční analýzy, Banachovy – Alaogluovy věty a Kerin – Milmanovy věty . Do značné míry také ovlivňuje studium nekonečných skupin, stejně jako teorii prstenců a řádu (viz Booleova primární ideální věta ). Nicméně, axiomy determinovanosti a závislé volby spolu jsou dostatečné pro většinu geometrické teorie míry , teorie potenciálu , Fourierovy řady a Fourierova transformace , a přitom všechny podskupiny reálné ose Lebesgue-měřitelné.

Viz také

Reference

Poznámky

Bibliografie