Prázdná sada - Empty set

Prázdná sada je sada, která neobsahuje žádné prvky.

V matematice je prázdná množina jedinečnou sadou bez prvků ; jeho velikost nebo mohutnost (počet prvků v sadě) je nulová . Některé teorie axiomatických množin zajišťují, že prázdná množina existuje tím, že obsahuje axiom prázdné množiny , zatímco v jiných teoriích lze její existenci odvodit. Mnoho možných vlastností množin prázdně platí pro prázdnou množinu.

Jakákoli jiná sada než prázdná sada se nazývá neprázdná .

V některých učebnicích a popularizacích je prázdná množina označována jako „nulová množina“. Avšak sada null je zřetelným pojem v rámci teorie míry , ve kterém se popisuje množinu nulové míry (což není nutně prázdný). Prázdná množina může být také nazývána prázdnou sadou .

Zápis

Symbol pro prázdnou sadu

Mezi běžné zápisy prázdné sady patří „{}“, „ “ a „∅“. Poslední dva symboly představila skupina Bourbaki (konkrétně André Weil ) v roce 1939, inspirováno písmenem Ø v dánské a norské abecedě. V minulosti byla příležitostně jako symbol prázdné množiny používána „0“, ale nyní je to považováno za nevhodné použití notace.

Symbol ∅ je k dispozici v bodě Unicode U+2205. Lze jej kódovat v HTML jako ∅a jako ∅. Lze jej kódovat v LaTeX as \varnothing. Symbol je kódován v LaTeX as . \emptyset

Při psaní v jazycích, jako je dánština a norština, kde může být znak prázdné množiny zaměněn s abecedním písmenem Ø (jako při použití symbolu v lingvistice), lze místo toho použít znak Unicode U+29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰.

Vlastnosti

Ve standardní teorii axiomatických množin jsou podle principu extenze dvě sady stejné, pokud mají stejné prvky. Výsledkem je, že může existovat pouze jedna sada bez prvků, a tedy spíše použití „prázdné sady“ než „prázdné sady“.

Následující seznam uvádí dokument s některými z nejpozoruhodnějších vlastností souvisejících s prázdnou sadou. Další informace o použitých matematických symbolech naleznete v části Seznam matematických symbolů .

Pro libovolnou sadu A :

  • Prázdná množina je podmnožina z A :
  • Union of A s prázdnou množinou je :
  • Křižovatka of A s prázdnou množinou je prázdná množina:
  • Kartézský součin z A a prázdná množina je prázdná množina:

Prázdná sada má následující vlastnosti:

  • Jeho jedinou podmnožinou je samotná prázdná množina:
  • Výkon set prázdné množiny je množina obsahující pouze prázdnou množinu:
  • Počet prvků prázdné množiny (tj. Její mohutnosti ) je nula:

Spojení mezi prázdnou množinou a nulou jde však ještě dále: ve standardní množinově teoretické definici přirozených čísel se k modelování přirozených čísel používají množiny . V tomto kontextu je nula modelována prázdnou sadou.

Pro jakýkoli majetek P :

  • Pro každý prvek platí vlastnost P ( prázdná pravda ).
  • Neexistuje žádný prvek , u nichž je vlastnost P drží.

Naopak, pokud pro nějakou vlastnost P a nějakou množinu V platí následující dva příkazy:

  • Pro každý prvek V vlastnost P je držitelem
  • Neexistuje žádný prvek V , pro které je vlastnost P je držitelem

pak

Podle definice podmnožiny , prázdná množina je podmnožina nějaký soubor A . To znamená, že každý element x of náleží A . Pokud by nebylo pravda, že každý prvek je v A , pak by alespoň jeden prvek nebyl v A přítomen . Vzhledem k tomu, existují žádné prvky vůbec neexistuje žádný prvek , který není v A . Jakékoli prohlášení, které začíná „pro každý prvek “, neznamená žádné věcné tvrzení; je to prázdná pravda . Často se to parafrázuje jako „všechno platí o prvcích prázdné množiny“.

Operace na prázdné sadě

Když hovoříme o součtu prvků konečné množiny, jedna nevyhnutelně vede ke konvence, že součet prvků prázdné množiny je nulový. Důvodem je to, že nula je prvek identity pro přidání. Podobně by měl být součin prvků prázdné množiny považován za jeden (viz prázdný součin ), protože jeden je prvek identity pro násobení.

Porucha je permutace množiny bez pevných bodů . Prázdnou množinu lze považovat za odchylku, protože má pouze jednu permutaci ( ), a nesmírně platí, že nelze najít žádný prvek (prázdné množiny), který by si zachoval původní polohu.

V jiných oblastech matematiky

Rozšířená reálná čísla

Protože prázdná sada nemá žádného člena, když je považována za podmnožinu libovolné uspořádané sady , bude každý člen této sady horní a dolní mezí pro prázdnou množinu. Pokud je například považováno za podmnožinu reálných čísel s obvyklým uspořádáním reprezentovaným řádkem skutečných čísel, je každé reálné číslo horní i dolní mezí prázdné množiny. Jsou -li považovány za podmnožinu rozšířených realit vytvořených přidáním dvou „čísel“ nebo „bodů“ ke skutečným číslům (jmenovitě záporné nekonečno , které je definováno jako menší než každé jiné rozšířené reálné číslo, a kladné nekonečno , které je označeno definován jako větší než každé jiné rozšířené reálné číslo), máme následující:

a

To znamená, že nejmenší horní hranice (sup nebo supremum ) prázdné množiny je negativní nekonečno, zatímco největší dolní hranice (inf nebo infimum ) je pozitivní nekonečno. Analogicky k výše uvedenému je v doméně rozšířených realit záporné nekonečno prvkem identity pro maximální a nadřazené operátory, zatímco kladné nekonečno je prvkem identity pro minimální a nekonečné operátory.

Topologie

V každém prostoru topological X je prázdná množina je otevřena podle definice, jak je X . Vzhledem k tomu, že komplement otevřené sady je uzavřen a prázdná množina a X jsou navzájem komplementární, prázdná množina je také uzavřena, což z ní činí sadu clopen . Prázdná sada je navíc kompaktní tím, že každá konečná sada je kompaktní.

Uzavření prázdné množiny je prázdná. Toto je známé jako „zachování nulových svazků “.

Teorie kategorie

Pokud je soubor, pak existuje právě jeden funkci ze se do prázdného funkci . Jako výsledek, prázdná množina je jedinečný počáteční objekt v kategorii souborů a funkce.

Prázdnou množinu lze proměnit v topologický prostor , nazývaný prázdný prostor, pouze jedním způsobem: definováním prázdné sady jako otevřené . Tento prázdný topologický prostor je jedinečným počátečním objektem v kategorii topologických prostorů se souvislými mapami . Ve skutečnosti je to přísný počáteční objekt : pouze prázdná množina má funkci prázdné množiny.

Teorie množin

Ve von Neumannově konstrukci ordinálů je 0 definována jako prázdná množina a následník ordinály je definován jako . Takže máme , , a tak dále. Konstrukci von Neumanna spolu s axiomem nekonečna , který zaručuje existenci alespoň jedné nekonečné množiny, lze použít ke konstrukci množiny přirozených čísel tak, aby byly splněny Peanoovy axiomy aritmetiky.

Zpochybněná existence

Axiomatická teorie množin

V teorii množin Zermelo je existence prázdné množiny zajištěna axiomem prázdné množiny a její jedinečnost vyplývá z axiomu extenze . Axiom prázdné množiny lze však zobrazit nadbytečný alespoň dvěma způsoby:

Filozofické problémy

Zatímco prázdná množina je standardní a široce přijímaný matematický koncept, zůstává ontologickou kuriozitou, o jejímž smyslu a užitečnosti diskutují filozofové a logici.

Prázdná množina není totéž jako nic ; spíše, jedná se o sadu s ničím uvnitř něj a soubor je vždy něco . Tento problém lze vyřešit prohlížením sady jako tašky - prázdná taška nepochybně stále existuje. Darling (2004) vysvětluje, že prázdná množina není nic, ale spíše „množina všech trojúhelníků se čtyřmi stranami, množina všech čísel, která jsou větší než devět, ale menší než osm, a množina všech otevíracích tahů v šachu, která zapojit krále . "

Populární sylogismus

Nic není lepší než věčné štěstí; šunkový sendvič je lepší než nic; šunkový sendvič je proto lepší než věčné štěstí

se často používá k demonstraci filozofického vztahu mezi pojmem nic a prázdnou množinou. Darling píše, že kontrast je vidět přepsáním výroků „Nic není lepší než věčné štěstí“ a „[A] šunkový sendvič je lepší než nic“ matematickým tónem. Podle Darlinga je první ekvivalent „Sada všech věcí, které jsou lepší než věčné štěstí “ a druhý „Sada {ham sandwich} je lepší než sada “. První porovnává prvky množin, zatímco druhý porovnává samotné sady.

Jonathan Lowe tvrdí, že zatímco prázdná sada:

"byl nepochybně důležitým mezníkem v historii matematiky, ... neměli bychom předpokládat, že jeho užitečnost při výpočtu závisí na tom, že ve skutečnosti označuje nějaký objekt."

je také případ, že:

"O prázdné sadě jsme vždy informováni, že (1) je sada, (2) nemá žádné členy a (3) je mezi sadami jedinečná, protože nemá žádné členy. Existuje však mnoho věcí, které ' nemají žádné členy ', v množině-teoretickém smyslu-totiž všechny ne-sady. Je naprosto jasné, proč tyto věci nemají žádné členy, protože nejsou množinami. Není jasné, jak může, jedinečně mezi množinami, existovat množina, která nemá žádné členy. Nemůžeme takovou entitu vykouzlit na existenci pouhým stanovením. “

George Boolos tvrdil, že hodně z toho, co bylo dosud získáno teorií množin, lze stejně snadno získat množnou kvantifikací nad jednotlivci, aniž by se reifikovaly množiny jako singulární entity, které měly jako členy jiné entity.

Viz také

  • 0  - číslo
  • Obydlená množina  - Druh množiny v konstruktivní matematice
  • Nic  - koncept označující nepřítomnost něčeho
  • Power set  - Matematická sada obsahující všechny podmnožiny dané sady

Reference

Další čtení

externí odkazy