Norm (matematika) - Norm (mathematics)

V matematiky , je norma je funkce z reálné nebo komplexní vektorový prostor nezápornému reálných čísel, která se chová v určitých ohledech, jako je vzdálenost od původu : to dojíždí s měřítka, poslouchá formu nerovnosti trojúhelníku , a je nula pouze na původ. Zejména euklidovská vzdálenost vektoru od počátku je norma, nazývaná euklidovská norma nebo 2-norma , která může být také definována jako druhá odmocnina vnitřního produktu vektoru se sebou samým.

Pseudonorm nebo seminorm splňuje první dvě vlastnosti normy, ale může být nula pro ostatní vektory než původu. Vektorový prostor se zadanou normou se nazývá normovaný vektorový prostor . Podobným způsobem se vektorový prostor se seminormou nazývá seminorovaný vektorový prostor .

Definice

Vzhledem k tomu, vektorový prostor nad podpole F z komplexních čísel normou na je reálná funkce s následujícími vlastnostmi, kde znamená obvyklou absolutní hodnotu skalární :

  1. Subaditivita / nerovnost trojúhelníku : pro všechny
  2. Absolutní homogenita : pro všechny a všechny skaláry
  3. Pozitivní jednoznačnost / Oddělování bodů : pro všechny,pokudano
    • Protože vlastnost (2) implikuje, že někteří autoři nahrazují vlastnost (3) ekvivalentní podmínkou: pro každé tehdy a jen tehdy

Seminorm na je funkce , která má vlastnosti (1) a (2) tak, že zejména, každý standard je také seminorm (a tím i sublinear funkční ). Existují však semináře, které nejsou normami. Vlastnosti (1) a (2) naznačují, že pokud je normou (nebo obecněji seminorem), pak a také má následující vlastnost:

  1. Nezápornost : pro všechny

Někteří autoři zahrnují non-negativitu jako součást definice „normy“, i když to není nutné.

Ekvivalentní normy

Předpokládejme, že p a q jsou dvě normy (nebo seminormy) na vektorový prostor Pak jsou p a q nazývány ekvivalentem , pokud existují dvě skutečné konstanty c a C s c > 0 takové, že pro každý vektor

Normy p a q jsou ekvivalentní tehdy a jen tehdy, pokud indukují stejnou topologii na libovolných dvou normách v konečném dimenzionálním prostoru jsou ekvivalentní, ale toto se nevztahuje na nekonečně dimenzionální prostory.

Zápis

Pokud je ve vektorovém prostoru X dána norma , pak je norma vektoru obvykle označena uzavřením do dvojitých svislých čar: Takový zápis se také někdy používá, pokud p je pouze seminorm. Pro délku vektoru v euklidovském prostoru (což je příklad normy, jak je vysvětleno níže ) je také rozšířený zápis s jednoduchými svislými čarami.

V LaTeXu a souvisejících značkovacích jazycích je dvojitý pruh normativní notace zadán pomocí makra \|, které se vykreslí jako Dvojitá svislá čára používaná k označení rovnoběžných čar , paralelního operátoru a paralelního sčítání se zadává pomocí a je vykreslena jako Přestože vypadají podobně, tyto dva makra nesmí být zaměňována, protože označuje závorku a označuje operátor. Jejich velikost a mezery kolem nich se proto nepočítají stejným způsobem. Podobně je jedna svislá lišta kódována, pokud je použita jako závorka a jako operátor. \parallel\|\parallel|\mid

V Unicode je reprezentace znaku „dvojitá svislá čára“ U+2016 DVOJNÁSOBNÁ VERTIKÁLNÍ ŘÁDKA . Symbol „dvojité svislé čáry“ by neměl být zaměňován se symbolem „rovnoběžně s“, U+2225 PARALLEL TO , který je určen k označení rovnoběžných čar a paralelních operátorů. Dvojitá svislá čára by také neměla být zaměňována s U+01C1 ǁ LATIN LETTER LATERAL CLICK , jejímž cílem je označení bočních kliknutí v lingvistice.

Jediná svislá čára | má reprezentaci Unicode U+007C | VERTIKÁLNÍ LINKA .

Příklady

Každý (skutečný nebo komplexní) vektorový prostor připouští normu: Pokud je Hamelův základ pro vektorový prostor X, pak mapa s reálnou hodnotou, která posílá x = Σ iI s i x iX (kde je všech, ale nakonec mnoho skaláry s i jsou 0) až Σ iI | s i | je norma na X . Existuje také velké množství norem, které vykazují další vlastnosti, díky nimž jsou užitečné pro konkrétní problémy.

Norma absolutní hodnoty

Absolutní hodnota

je normou jednorozměrných vektorových prostorů tvořených skutečnými nebo komplexními čísly .

Jakákoli norma p v jednorozměrném vektorovém prostoru X je ekvivalentní (až do škálování) normě absolutní hodnoty, což znamená, že existuje normoměrný izomorfismus vektorových prostorů, kde je buď nebo, a zachování norem znamená, že je daný tento izomorfismus odesláním do vektoru normy 1 , který existuje, protože takový vektor je získán vynásobením libovolného nenulového vektoru inverzí jeho normy.

Euklidovská norma

V n -dimenzionálním euklidovském prostoru je intuitivní pojem délky vektoru x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) zachycen vzorcem

Toto je euklidovská norma, která udává obvyklou vzdálenost od počátku k bodu X - důsledek Pythagorovy věty . Tato operace může být také označována jako „SRSS“, což je zkratka pro s quare r oot v s um s quares.

Euklidovská norma je zdaleka nejčastěji používanou normou, ale v tomto vektorovém prostoru existují další normy, jak bude ukázáno níže. Všechny tyto normy jsou však ekvivalentní v tom smyslu, že všechny definují stejnou topologii.

Skalární součin dvou vektorů a vektor prostoru je skalární součin jejich souřadnic vektorů přes ortonormální báze . Euklidovskou normu lze tedy zapsat bez souřadnic jako

Euklidovská norma je také nazývána normou L 2 , 2 normou , 2 normou nebo čtvercovou normou ; viz L p prostor . Definuje funkci vzdálenosti nazývanou euklidovská délka , vzdálenost L 2 nebo vzdálenost 2 .

Soubor vektorů, v nichž je euklidovská norma daná kladná konstanta, tvoří n -sféru .

Euklidovská norma komplexních čísel

Euklidovská norma komplexního čísla je jeho absolutní hodnota (také nazývaná modul ), pokud je komplexní rovina identifikována s euklidovskou rovinou Tato identifikace komplexního čísla x + i y jako vektoru v euklidovské rovině činí množství (jak poprvé navrhl Euler) euklidovská norma spojená s komplexním číslem.

Quaternions a octonions

Tam jsou přesně čtyři Eukleidovský Hurwitz algebry v průběhu reálných čísel . Ty jsou reálná čísla komplexní čísla jsou čtveřice a konečně octonions kde jsou rozměry těchto prostorů přes reálných čísel 1 , 2 , 4 a 8 , v tomto pořadí. Jak kanonické normy zapínají a jsou jejich funkcemi absolutní hodnoty , jak bylo diskutováno dříve.

Kanonická norma na of čtveřic je definován

pro každý kvaternion v Toto je stejné jako euklidovská norma považovaná za vektorový prostor Podobně kanonická norma na oktonionech je jen euklidovskou normou na
Konečně dimenzionální komplexní normované prostory

Na n -dimenzionálním komplexním prostoru je nejběžnější normou

V tomto případě, normou může být vyjádřena jako odmocnina z skalárního součinu vektoru a sám o sobě:

kde je reprezentován jako
sloupcový vektor ([ x 1 ; x 2 ; ...; x n ]) a označuje jeho konjugovanou transpozici .

Tento vzorec platí pro jakýkoli vnitřní prostor produktu , včetně euklidovských a složitých prostorů. U složitých prostorů je vnitřní součin ekvivalentem součinu složitých bodů . Proto vzorec v tomto případě lze také napsat pomocí následujícího zápisu:

Norma taxíku nebo norma Manhattanu

Název se vztahuje na vzdálenost, kterou musí taxi ujet v pravoúhlé uliční síti, aby se dostalo z počátku do bodu x .

Soubor vektorů, jejichž 1-normou je daná konstanta, tvoří povrch křížového polytopu o rozměrech ekvivalentních s normou minus 1. Norma taxíku se také nazývá

normou . Vzdálenost odvozená z této normy se nazývá vzdálenost Manhattanu nebo 1 vzdálenost .

1-norma je jednoduše součtem absolutních hodnot sloupců.

V porovnání,

není to norma, protože to může přinést negativní výsledky.

p -norm

Nechť p ≥ 1 je skutečné číslo. P -norm (také nazývaný -norm) vektoru je

Pro p = 1 , dostaneme taxi normu , pro p = 2 , dostaneme Euklidovské normu , a jako p blíží se
p -norm blíží nekonečný normu nebo maximální normu :
P -norm souvisí s generalizované střední nebo elektrické průměru.

Tato definice je stále zajímavá pro 0 < p <1 , ale výsledná funkce nedefinuje normu, protože porušuje nerovnost trojúhelníku . Co platí pro tento případ 0 < p <1 , dokonce i v měřitelném analogu, je, že odpovídající třída L p je vektorový prostor, a také platí, že funkce

(bez p th root) definuje vzdálenost, která dělá L p ( X ) do kompletního metrického topologického vektorového prostoru . Tyto prostory mají velký zájem o funkční analýzu , teorii pravděpodobnosti a harmonickou analýzu . Kromě triviálních případů však tento topologický vektorový prostor není lokálně konvexní a nemá žádné spojité nenulové lineární formy. Topologický duální prostor tedy obsahuje pouze nulovou funkčnost.

Parciální derivace p -normu je dána vztahem

Derivát vzhledem k x tedy je

kde označuje Hadamardův součin a používá se pro absolutní hodnotu každé složky vektoru.

Pro speciální případ p = 2 to platí

nebo

Maximální norma (speciální případ: norma nekonečna, jednotná norma nebo norma supremum)

Pokud je nějaký vektor takový, že pak:

Soubor vektorů, jejichž normou nekonečna je daná konstanta, c , tvoří povrch hyperkrychle o délce hrany 2 c .

Nulová norma

V pravděpodobnostní a funkční analýze nulová norma indukuje úplnou metrickou topologii pro prostor měřitelných funkcí a pro F-prostor sekvencí s F – normou. Zde rozumíme

F-normou nějakou funkci s reálnou hodnotou na F prostoru s vzdálenost d , takže F -norm je popsáno výše, není normou v obvyklém slova smyslu, protože postrádá požadované homogenity vlastnost.

Hammingova vzdálenost vektoru od nuly

V metrické geometriidiskrétní metrika hodnotu jedna pro odlišné body a nulu jinak. Při použití souřadnic na prvky vektorového prostoru definuje diskrétní vzdálenost Hammingovu vzdálenost , která je důležitá v kódování a teorii informací . V oblasti reálných nebo komplexních čísel není vzdálenost diskrétní metriky od nuly v nenulovém bodě homogenní; vzdálenost od nuly skutečně zůstává jedna, protože její nenulový argument se blíží nule. Diskrétní vzdálenost čísla od nuly však splňuje další vlastnosti normy, a to nerovnost trojúhelníku a pozitivní definitivitu. Při aplikování komponentně na vektory se diskrétní vzdálenost od nuly chová jako nehomogenní „norma“, která počítá počet nenulových složek ve svém vektorovém argumentu; opět je tato nehomogenní „norma“ nespojitá.

Ve zpracování signálu a statistiky , David Donoho odkazoval na nulovou normu s uvozovek. Podle Donohoova zápisu je nulová „norma“ x jednoduše počet nenulových souřadnic x nebo Hammingova vzdálenost vektoru od nuly. Když je tato „norma“ lokalizována do ohraničené množiny, je to limit p -norm, jak se p blíží 0. Samozřejmě nulová „norma“ není ve skutečnosti normou, protože není pozitivní homogenní . Ve skutečnosti to není ani F-norma ve smyslu popsaném výše, protože je diskontinuální, společně a nerozdílně, s ohledem na skalární argument při násobení skalár-vektor a s ohledem na jeho vektorový argument. Zneužívání terminologie , někteří inženýři vynechat uvozovky Donoho a nevhodně nazýváme číslo-of-nonzeros fungovat v L 0 normu, odrážet notaci pro Lebesgue prostoru z měřitelných funkcí .

Nekonečné rozměry

Zobecnění výše uvedených norem na nekonečný počet složek vede k

prostorům p a L p s normami

u komplexně hodnocených sekvencí a funkcí , které lze dále zobecnit (viz Haarova míra ).

Jakýkoli vnitřní produkt přirozeně zavádí normu

Další příklady nekonečně dimenzionálních normovaných vektorových prostorů lze nalézt v článku o Banachově prostoru .

Složené normy

Další normy lze sestavit kombinací výše uvedených; například

je normou na

Pro jakoukoli normu a jakoukoli injektivní lineární transformaci A můžeme definovat novou normu x , která se rovná

Ve 2D, s A otáčením o 45 ° a vhodným měřítkem, to změní normu taxíku na maximální normu. Každá A aplikovaná na normu taxíku, až po inverzi a výměnu os, dává jinou jednotkovou kouli: rovnoběžník určitého tvaru, velikosti a orientace.

Ve 3D je to podobné, ale odlišné pro 1-normu ( osmistěn ) a maximální normu ( hranoly s rovnoběžníkovou základnou).

Existují příklady norem, které nejsou definovány vzorci „vstupně“. Například Minkowského funkce centrálně symetrického konvexního tělesa v (se středem na nule) definuje normu na (viz § Klasifikace seminormů: níže zcela konvexně absorbující množiny ).

Všechny výše uvedené vzorce také poskytují normy bez úprav.

Existují také normy pro prostory matic (se skutečnými nebo složitými položkami), takzvané maticové normy .

V abstraktní algebře

Nechť E být konečný rozšíření z pole k části neoddělitelná stupeň p u Stabilizátory , ať k mít algebraické uzavření K . V případě, že různé embeddings z E jsou { σ j } j , pak Galois-teoretické normou prvku alfaE je hodnota, neboť funkci homogenní míry [ E : K ] je Galois-teoretické norma není normou ve smyslu tohoto článku. Nicméně, [ E : K ] tý kořen normy (za předpokladu, že tento pojem má smysl), je normou.

Složení algebry

Pojem normy ve složení algebrách však není sdílet obvyklé vlastnosti normy, jak to může být záporná nebo nulová pro Z ≠ 0. Prostředek algebry ( , *, N ) se skládá z algebry přes pole A , což je involuce * , a kvadratická forma, která se nazývá „norma“.

Charakteristickým rysem složení algebry je homomorphism vlastnictvím N : za produkt WZ dvou prvků w a Z o složení algebry, jeho normou splňuje Pro a O složení algebry normou je čtverec normy je uvedeno výše. V těchto případech je normou jednoznačná kvadratická forma . V jiných kompozičních algebrách je normou izotropní kvadratická forma .

Vlastnosti

Pro jakékoliv normy na vektorovém prostoru reverzní trojúhelník nerovnost platí:

Jestliže je nepřetržitá lineární mapa od normovaných prostorů, pak normou a normou na přemístit ze jsou si rovny.

Pro normy L p máme Hölderovu nerovnost

Zvláštním případem je Cauchy -Schwarzova nerovnost :
Ilustrace jednotkových kruhů v různých normách.

Rovnocennost

Pojem jednotkového kruhu (množina všech vektorů normy 1) se v různých normách liší: pro 1-normu je jednotkový kruh čtverec , pro 2-normu (euklidovská norma) je to dobře známý jednotkový kruh , zatímco pro normu nekonečna je to jiný čtverec. Pro jakýkoli p -norm je to superliplip se shodnými osami (viz doprovodný obrázek). Vzhledem k definici normy musí být jednotková kružnice konvexní a centrálně symetrická (proto například jednotková koule může být obdélník, ale nemůže být trojúhelník, a pro

p -norm).

Pokud jde o vektorový prostor, seminorm definuje topologii prostoru, a to je Hausdorffova topologie právě tehdy, když seminorm dokáže rozlišovat mezi odlišnými vektory, což je opět ekvivalentní tomu, že seminorm je normou. Takto definovanou topologii (buď normou, nebo seminorem) lze chápat buď z hlediska sekvencí, nebo otevřených množin. Sekvence vektorů se říká, že

se sbíhají v normě na pokud jako ekvivalentně, topologie se skládá ze všech souborů, které mohou být reprezentovány jako spojení otevřených koulí . Pokud je to normovaný prostor, pak

Dva normy a na vektorovém prostoru se nazývajíekvivalentní, pokud vyvolávají stejnou topologii, což se stane tehdy a jen tehdy, pokud existují kladná reálná číslaCaDtaková, že pro všechny

Například pokud na pak

Zejména,

To znamená,
Pokud je vektorový prostor konečný-rozměrný skutečný nebo komplexní, všechny normy jsou ekvivalentní. Na druhou stranu v případě nekonečně dimenzionálních vektorových prostorů nejsou všechny normy ekvivalentní.

Ekvivalentní normy definují stejné pojmy kontinuity a konvergence a pro mnoho účelů je není třeba rozlišovat. Přesněji řečeno, jednotná struktura definovaná ekvivalentními normami ve vektorovém prostoru je rovnoměrně izomorfní .

Klasifikace seminárních seminářů: absolutně konvexní absorbující sady

Všechny seminorms na vektorovém prostoru mohou být klasifikovány, pokud jde o

zcela konvexní absorbovat podmnožiny A a pro každou takovou podskupina odpovídá si seminorm p nazývá měřidlo z A , definované jako
kde 'inf' je infimum , s vlastností, která
Naopak:

Každý místně konvexní topologický vektorový prostorlokální základ sestávající z absolutně konvexních množin. Běžnou metodou, jak takový základ sestrojit, je použít rodinu ( p ) seminormů p, která odděluje body : shromáždění všech konečných průsečíků množin { p <1/ n } promění prostor v lokálně konvexní topologický vektorový prostor tak, že každé p je spojité .

Taková metoda se používá k návrhu slabých a slabých* topologií .

normální případ:

Předpokládejme nyní, že ( p ) obsahuje jediné p : protože ( p ) se odděluje , p je norma a je to jeho otevřená
jednotková koule . Pak A je absolutně konvexně ohraničené sousedství 0 a je spojité.
Konverzace je způsobena Andrey Kolmogorovem : jakýkoli místně konvexní a místně ohraničený topologický vektorový prostor je normovatelný . Přesně:
Pokud je absolutně konvexně ohraničené sousedství 0, měřidlo (takže to je norma.

Viz také

Reference

Bibliografie