Norm (matematika) - Norm (mathematics)
V matematiky , je norma je funkce z reálné nebo komplexní vektorový prostor nezápornému reálných čísel, která se chová v určitých ohledech, jako je vzdálenost od původu : to dojíždí s měřítka, poslouchá formu nerovnosti trojúhelníku , a je nula pouze na původ. Zejména euklidovská vzdálenost vektoru od počátku je norma, nazývaná euklidovská norma nebo 2-norma , která může být také definována jako druhá odmocnina vnitřního produktu vektoru se sebou samým.
Pseudonorm nebo seminorm splňuje první dvě vlastnosti normy, ale může být nula pro ostatní vektory než původu. Vektorový prostor se zadanou normou se nazývá normovaný vektorový prostor . Podobným způsobem se vektorový prostor se seminormou nazývá seminorovaný vektorový prostor .
Definice
Vzhledem k tomu, vektorový prostor nad podpole F z komplexních čísel normou na je reálná funkce s následujícími vlastnostmi, kde znamená obvyklou absolutní hodnotu skalární :
- Subaditivita / nerovnost trojúhelníku : pro všechny
- Absolutní homogenita : pro všechny a všechny skaláry
-
Pozitivní jednoznačnost /
Oddělování bodů : pro všechny,pokudano
- Protože vlastnost (2) implikuje, že někteří autoři nahrazují vlastnost (3) ekvivalentní podmínkou: pro každé tehdy a jen tehdy
Seminorm na je funkce , která má vlastnosti (1) a (2) tak, že zejména, každý standard je také seminorm (a tím i sublinear funkční ). Existují však semináře, které nejsou normami. Vlastnosti (1) a (2) naznačují, že pokud je normou (nebo obecněji seminorem), pak a také má následující vlastnost:
- Nezápornost : pro všechny
Někteří autoři zahrnují non-negativitu jako součást definice „normy“, i když to není nutné.
Ekvivalentní normy
Předpokládejme, že p a q jsou dvě normy (nebo seminormy) na vektorový prostor Pak jsou p a q nazývány ekvivalentem , pokud existují dvě skutečné konstanty c a C s c > 0 takové, že pro každý vektor
Zápis
Pokud je ve vektorovém prostoru X dána norma , pak je norma vektoru obvykle označena uzavřením do dvojitých svislých čar: Takový zápis se také někdy používá, pokud p je pouze seminorm. Pro délku vektoru v euklidovském prostoru (což je příklad normy, jak je vysvětleno níže ) je také rozšířený zápis s jednoduchými svislými čarami.
V LaTeXu a souvisejících značkovacích jazycích je dvojitý pruh normativní notace zadán pomocí makra \|
, které se vykreslí jako Dvojitá svislá čára používaná k označení rovnoběžných čar , paralelního operátoru a paralelního sčítání se zadává pomocí a je vykreslena jako Přestože vypadají podobně, tyto dva makra nesmí být zaměňována, protože označuje závorku a označuje operátor. Jejich velikost a mezery kolem nich se proto nepočítají stejným způsobem. Podobně je jedna svislá lišta kódována, pokud je použita jako závorka a jako operátor.
\parallel
\|
\parallel
|
\mid
V Unicode je reprezentace znaku „dvojitá svislá čára“ U+2016 ‖ DVOJNÁSOBNÁ VERTIKÁLNÍ ŘÁDKA . Symbol „dvojité svislé čáry“ by neměl být zaměňován se symbolem „rovnoběžně s“, U+2225 ∥ PARALLEL TO , který je určen k označení rovnoběžných čar a paralelních operátorů. Dvojitá svislá čára by také neměla být zaměňována s U+01C1 ǁ LATIN LETTER LATERAL CLICK , jejímž cílem je označení bočních kliknutí v lingvistice.
Jediná svislá čára | má reprezentaci Unicode U+007C | VERTIKÁLNÍ LINKA .
Příklady
Každý (skutečný nebo komplexní) vektorový prostor připouští normu: Pokud je Hamelův základ pro vektorový prostor X, pak mapa s reálnou hodnotou, která posílá x = Σ i ∈ I s i x i ∈ X (kde je všech, ale nakonec mnoho skaláry s i jsou 0) až Σ i ∈ I | s i | je norma na X . Existuje také velké množství norem, které vykazují další vlastnosti, díky nimž jsou užitečné pro konkrétní problémy.
Norma absolutní hodnoty
Jakákoli norma p v jednorozměrném vektorovém prostoru X je ekvivalentní (až do škálování) normě absolutní hodnoty, což znamená, že existuje normoměrný izomorfismus vektorových prostorů, kde je buď nebo, a zachování norem znamená, že je daný tento izomorfismus odesláním do vektoru normy 1 , který existuje, protože takový vektor je získán vynásobením libovolného nenulového vektoru inverzí jeho normy.
Euklidovská norma
V n -dimenzionálním euklidovském prostoru je intuitivní pojem délky vektoru x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ) zachycen vzorcem
Toto je euklidovská norma, která udává obvyklou vzdálenost od počátku k bodu X - důsledek Pythagorovy věty . Tato operace může být také označována jako „SRSS“, což je zkratka pro s quare r oot v s um s quares.
Euklidovská norma je zdaleka nejčastěji používanou normou, ale v tomto vektorovém prostoru existují další normy, jak bude ukázáno níže. Všechny tyto normy jsou však ekvivalentní v tom smyslu, že všechny definují stejnou topologii.
Skalární součin dvou vektorů a vektor prostoru je skalární součin jejich souřadnic vektorů přes ortonormální báze . Euklidovskou normu lze tedy zapsat bez souřadnic jako
Euklidovská norma je také nazývána normou L 2 , ℓ 2 normou , 2 normou nebo čtvercovou normou ; viz L p prostor . Definuje funkci vzdálenosti nazývanou euklidovská délka , vzdálenost L 2 nebo vzdálenost ℓ 2 .
Soubor vektorů, v nichž je euklidovská norma daná kladná konstanta, tvoří n -sféru .
Euklidovská norma komplexních čísel
Euklidovská norma komplexního čísla je jeho absolutní hodnota (také nazývaná modul ), pokud je komplexní rovina identifikována s euklidovskou rovinou Tato identifikace komplexního čísla x + i y jako vektoru v euklidovské rovině činí množství (jak poprvé navrhl Euler) euklidovská norma spojená s komplexním číslem.
Quaternions a octonions
Tam jsou přesně čtyři Eukleidovský Hurwitz algebry v průběhu reálných čísel . Ty jsou reálná čísla komplexní čísla jsou čtveřice a konečně octonions kde jsou rozměry těchto prostorů přes reálných čísel 1 , 2 , 4 a 8 , v tomto pořadí. Jak kanonické normy zapínají a jsou jejich funkcemi absolutní hodnoty , jak bylo diskutováno dříve.
Kanonická norma na of čtveřic je definován
- Konečně dimenzionální komplexní normované prostory
Na n -dimenzionálním komplexním prostoru je nejběžnější normou
V tomto případě, normou může být vyjádřena jako odmocnina z skalárního součinu vektoru a sám o sobě:
Tento vzorec platí pro jakýkoli vnitřní prostor produktu , včetně euklidovských a složitých prostorů. U složitých prostorů je vnitřní součin ekvivalentem součinu složitých bodů . Proto vzorec v tomto případě lze také napsat pomocí následujícího zápisu:
Norma taxíku nebo norma Manhattanu
Soubor vektorů, jejichž 1-normou je daná konstanta, tvoří povrch křížového polytopu o rozměrech ekvivalentních s normou minus 1. Norma taxíku se také nazývá
normou . Vzdálenost odvozená z této normy se nazývá vzdálenost Manhattanu nebo ℓ 1 vzdálenost .1-norma je jednoduše součtem absolutních hodnot sloupců.
V porovnání,
p -norm
Nechť p ≥ 1 je skutečné číslo. P -norm (také nazývaný -norm) vektoru je
Tato definice je stále zajímavá pro 0 < p <1 , ale výsledná funkce nedefinuje normu, protože porušuje nerovnost trojúhelníku . Co platí pro tento případ 0 < p <1 , dokonce i v měřitelném analogu, je, že odpovídající třída L p je vektorový prostor, a také platí, že funkce
Parciální derivace p -normu je dána vztahem
Derivát vzhledem k x tedy je
Pro speciální případ p = 2 to platí
Maximální norma (speciální případ: norma nekonečna, jednotná norma nebo norma supremum)
Pokud je nějaký vektor takový, že pak:
Soubor vektorů, jejichž normou nekonečna je daná konstanta, c , tvoří povrch hyperkrychle o délce hrany 2 c .
Nulová norma
V pravděpodobnostní a funkční analýze nulová norma indukuje úplnou metrickou topologii pro prostor měřitelných funkcí a pro F-prostor sekvencí s F – normou. Zde rozumíme
F-normou nějakou funkci s reálnou hodnotou na F prostoru s vzdálenost d , takže F -norm je popsáno výše, není normou v obvyklém slova smyslu, protože postrádá požadované homogenity vlastnost.Hammingova vzdálenost vektoru od nuly
V metrické geometrii má diskrétní metrika hodnotu jedna pro odlišné body a nulu jinak. Při použití souřadnic na prvky vektorového prostoru definuje diskrétní vzdálenost Hammingovu vzdálenost , která je důležitá v kódování a teorii informací . V oblasti reálných nebo komplexních čísel není vzdálenost diskrétní metriky od nuly v nenulovém bodě homogenní; vzdálenost od nuly skutečně zůstává jedna, protože její nenulový argument se blíží nule. Diskrétní vzdálenost čísla od nuly však splňuje další vlastnosti normy, a to nerovnost trojúhelníku a pozitivní definitivitu. Při aplikování komponentně na vektory se diskrétní vzdálenost od nuly chová jako nehomogenní „norma“, která počítá počet nenulových složek ve svém vektorovém argumentu; opět je tato nehomogenní „norma“ nespojitá.
Ve zpracování signálu a statistiky , David Donoho odkazoval na nulovou „ normu “ s uvozovek. Podle Donohoova zápisu je nulová „norma“ x jednoduše počet nenulových souřadnic x nebo Hammingova vzdálenost vektoru od nuly. Když je tato „norma“ lokalizována do ohraničené množiny, je to limit p -norm, jak se p blíží 0. Samozřejmě nulová „norma“ není ve skutečnosti normou, protože není pozitivní homogenní . Ve skutečnosti to není ani F-norma ve smyslu popsaném výše, protože je diskontinuální, společně a nerozdílně, s ohledem na skalární argument při násobení skalár-vektor a s ohledem na jeho vektorový argument. Zneužívání terminologie , někteří inženýři vynechat uvozovky Donoho a nevhodně nazýváme číslo-of-nonzeros fungovat v L 0 normu, odrážet notaci pro Lebesgue prostoru z měřitelných funkcí .
Nekonečné rozměry
Zobecnění výše uvedených norem na nekonečný počet složek vede k
prostorům ℓ p a L p s normamiu komplexně hodnocených sekvencí a funkcí , které lze dále zobecnit (viz Haarova míra ).
Jakýkoli vnitřní produkt přirozeně zavádí normu
Další příklady nekonečně dimenzionálních normovaných vektorových prostorů lze nalézt v článku o Banachově prostoru .
Složené normy
Další normy lze sestavit kombinací výše uvedených; například
Pro jakoukoli normu a jakoukoli injektivní lineární transformaci A můžeme definovat novou normu x , která se rovná
Ve 3D je to podobné, ale odlišné pro 1-normu ( osmistěn ) a maximální normu ( hranoly s rovnoběžníkovou základnou).
Existují příklady norem, které nejsou definovány vzorci „vstupně“. Například Minkowského funkce centrálně symetrického konvexního tělesa v (se středem na nule) definuje normu na (viz § Klasifikace seminormů: níže zcela konvexně absorbující množiny ).
Všechny výše uvedené vzorce také poskytují normy bez úprav.
Existují také normy pro prostory matic (se skutečnými nebo složitými položkami), takzvané maticové normy .
V abstraktní algebře
Nechť E být konečný rozšíření z pole k části neoddělitelná stupeň p u Stabilizátory , ať k mít algebraické uzavření K . V případě, že různé embeddings z E jsou { σ j } j , pak Galois-teoretické normou prvku alfa ∈ E je hodnota, neboť funkci homogenní míry [ E : K ] je Galois-teoretické norma není normou ve smyslu tohoto článku. Nicméně, [ E : K ] tý kořen normy (za předpokladu, že tento pojem má smysl), je normou.
Složení algebry
Pojem normy ve složení algebrách však není sdílet obvyklé vlastnosti normy, jak to může být záporná nebo nulová pro Z ≠ 0. Prostředek algebry ( , *, N ) se skládá z algebry přes pole A , což je involuce * , a kvadratická forma, která se nazývá „norma“.
Charakteristickým rysem složení algebry je homomorphism vlastnictvím N : za produkt WZ dvou prvků w a Z o složení algebry, jeho normou splňuje Pro a O složení algebry normou je čtverec normy je uvedeno výše. V těchto případech je normou jednoznačná kvadratická forma . V jiných kompozičních algebrách je normou izotropní kvadratická forma .
Vlastnosti
Pro jakékoliv normy na vektorovém prostoru reverzní trojúhelník nerovnost platí:
Pro normy L p máme Hölderovu nerovnost
Rovnocennost
Pojem jednotkového kruhu (množina všech vektorů normy 1) se v různých normách liší: pro 1-normu je jednotkový kruh čtverec , pro 2-normu (euklidovská norma) je to dobře známý jednotkový kruh , zatímco pro normu nekonečna je to jiný čtverec. Pro jakýkoli p -norm je to superliplip se shodnými osami (viz doprovodný obrázek). Vzhledem k definici normy musí být jednotková kružnice konvexní a centrálně symetrická (proto například jednotková koule může být obdélník, ale nemůže být trojúhelník, a pro
p -norm).Pokud jde o vektorový prostor, seminorm definuje topologii prostoru, a to je Hausdorffova topologie právě tehdy, když seminorm dokáže rozlišovat mezi odlišnými vektory, což je opět ekvivalentní tomu, že seminorm je normou. Takto definovanou topologii (buď normou, nebo seminorem) lze chápat buď z hlediska sekvencí, nebo otevřených množin. Sekvence vektorů se říká, že
se sbíhají v normě na pokud jako ekvivalentně, topologie se skládá ze všech souborů, které mohou být reprezentovány jako spojení otevřených koulí . Pokud je to normovaný prostor, pakDva normy a na vektorovém prostoru se nazývajíekvivalentní, pokud vyvolávají stejnou topologii, což se stane tehdy a jen tehdy, pokud existují kladná reálná číslaCaDtaková, že pro všechny
Zejména,
Ekvivalentní normy definují stejné pojmy kontinuity a konvergence a pro mnoho účelů je není třeba rozlišovat. Přesněji řečeno, jednotná struktura definovaná ekvivalentními normami ve vektorovém prostoru je rovnoměrně izomorfní .
Klasifikace seminárních seminářů: absolutně konvexní absorbující sady
Všechny seminorms na vektorovém prostoru mohou být klasifikovány, pokud jde o
zcela konvexní absorbovat podmnožiny A a pro každou takovou podskupina odpovídá si seminorm p nazývá měřidlo z A , definované jakoKaždý místně konvexní topologický vektorový prostor má lokální základ sestávající z absolutně konvexních množin. Běžnou metodou, jak takový základ sestrojit, je použít rodinu ( p ) seminormů p, která odděluje body : shromáždění všech konečných průsečíků množin { p <1/ n } promění prostor v lokálně konvexní topologický vektorový prostor tak, že každé p je spojité .
Taková metoda se používá k návrhu slabých a slabých* topologií .
normální případ:
- Předpokládejme nyní, že ( p ) obsahuje jediné p : protože ( p ) se odděluje , p je norma a je to jeho otevřená
- Konverzace je způsobena Andrey Kolmogorovem : jakýkoli místně konvexní a místně ohraničený topologický vektorový prostor je normovatelný . Přesně:
- Pokud je absolutně konvexně ohraničené sousedství 0, měřidlo (takže to je norma.
Viz také
- Asymetrická norma - zobecnění pojmu normy
- F-seminorm
- Gowersova norma
- Mahalanobisova vzdálenost
- Magnituda (matematika)
- Maticová norma - Norma ve vektorovém prostoru matic
- Minkowského vzdálenost
- Minkowski funkční
- Operátorská norma - Míra „velikosti“ lineárních operátorů
- Paranorm
- Vztah norem a metrik
- Seminorm
- Sublineární funkce
Reference
Bibliografie
- Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [ Topological Vector Spaces: Chapter 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Přeložil Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Khaleelulla, SM (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces . Přednášky z matematiky . 936 . Berlín, Heidelberg, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory . Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory . GTM . 8 (druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wilansky, Albert (2013). Moderní metody v topologických vektorových prostorech . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .