$n$ th root - $n$ th root

V matematiky , An n tá odmocnina z čísla x je číslo r , který, když umocněno na n , výnosy x :

{\ displaystyle r^{n} = x,}

kde n je kladné celé číslo , někdy se nazývá stupeň kořene. Kořen stupně 2 se nazývá odmocnina a kořen stupně 3, kořen krychle . Kořeny vyššího stupně jsou označovány řadovými čísly, jako ve čtvrtém kořenu , dvacátém kořenu atd. Výpočet $n$ -tého kořene je extrakce kořene .

Například 3 je druhá odmocnina z 9, protože 3 ² = 9 a −3 je také druhá odmocnina z 9, protože (−3) ² = 9.

Každý nenulový počet považován za komplexní číslo má $n$ různé komplexní $n$ th kořeny, včetně reálných ty (nejvýše dvou). $N$ tá odmocnina 0 je nula pro všechny pozitivní celá čísla $n$ , od $0 n = 0$ . Zejména pokud $n$ je sudé a $x$ je kladné reálné číslo, jeden z jeho $n-$ tých kořenů je skutečný a kladný, jeden je záporný a ostatní (když $n > 2$ ) jsou nereálná komplexní čísla ; pokud $n$ je sudé a $x$ je záporné reálné číslo, žádný z $n$ -tých kořenů není skutečný. Pokud $n$ je liché a $x$ je skutečné, jeden $n.$ Kořen je skutečný a má stejné znaménko jako $x$ , zatímco ostatní ( $n - 1$ ) kořeny nejsou skutečné. Nakonec, pokud $x$ není skutečné, pak žádný z jeho $n$ -tých kořenů není skutečný.

Kořeny reálných čísel se obvykle zapisují pomocí radikálního symbolu nebo radixu , přičemž označuje kladnou odmocninu $x,$ pokud $x$ je kladné; pro vyšší kořeny označuje skutečný $n$ -tý kořen, pokud $n$ je lichý, a kladný n -tý kořen, pokud $n$ je sudý a $x$ je kladný. V ostatních případech není symbol běžně používán jako dvojznačný. Ve výrazu se celé číslo n nazývá index a $x$ se nazývá radicand . ${\ displaystyle {\ sqrt {{~^{~}}^{~} \! \!}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {x}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}}}$

Když jsou brány v úvahu složité $n$ -té kořeny, je často užitečné zvolit jako hlavní hodnotu jeden z kořenů, nazývaný hlavní kořen . Společnou volbou je vybrat hlavní $n$ -tý kořen $x$ jako $n$ -tý kořen s největší skutečnou částí, a pokud existují dva (pro $x$ skutečný a záporný), ten s kladnou imaginární částí . Díky tomu je $n$ -tý kořen funkcí, která je skutečná a kladná pro $x$ skutečná a kladná a je spojitá v celé komplexní rovině , kromě hodnot $x,$ které jsou skutečné a záporné.

Problém při této volbě spočívá v tom, že pro záporné reálné číslo a lichý index není hlavní $n$ -tý kořen skutečný. Například, má tři třetí odmocniny, , a Kořen skutečné kostka a kořen hlavní kostka ${\ displaystyle -8}$ ${\ displaystyle -2}$ ${\ Displaystyle 1+i {\ sqrt {3}}}$ ${\ Displaystyle 1-i {\ sqrt {3}}.}$ ${\ displaystyle -2}$ ${\ Displaystyle 1+i {\ sqrt {3}}.}$

Nevyřešený kořen, zejména ten, který používá symbol radikálu, se někdy označuje jako surd nebo radikál . Jakýkoli výraz obsahující radikál, ať už je to odmocnina, odmocnina nebo vyšší kořen, se nazývá radikální výraz , a pokud neobsahuje žádné transcendentální funkce nebo transcendentální čísla , nazývá se algebraický výraz .

Kořeny může také být definován jako speciální případy umocňování , kde exponent je frakce :

{\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} = x^{1/n}.}

Kořeny se používají pro stanovení poloměru konvergence části elektrické sérii s testem kořene . K $n$ th kořeny 1 se nazývají kořeny jednoty a hrají zásadní roli v různých oblastech matematiky, jako je například teorie čísel , teorie rovnic , a Fourierova transformace .

Dějiny

Archaický termín pro získání n kořenů je radiace .

Definice a zápis

Čtyři 4. kořeny -1,
z nichž žádný není skutečný

Tři 3. kořeny -1,
z nichž jeden je negativní reálný

An n th root of number x , where n is a positive integer, is any of the n real or complex numbers r whose n th power is x :

{\ displaystyle r^{n} = x.}

Každé kladné reálné číslo x má jeden kladný n -tý kořen, nazývaný hlavní n -tý kořen , který je zapsán . Pro n rovno 2 se tomu říká hlavní odmocnina a n se vynechá. N th kořen může také být reprezentovány použitím umocňování jako x ^{1 / n} . ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}}}$

Pro sudé hodnoty n mají kladná čísla také záporný n. Kořen, zatímco záporná čísla nemají skutečný n . Kořen. Pro liché hodnoty n má každé záporné číslo x skutečný záporný n -tý kořen. Například −2 má skutečný 5. kořen, ale −2 nemá žádné skutečné 6. kořeny. ${\ displaystyle {\ sqrt [{5}] {-2}} =-1,148698354 \ ldots}$

Každé nenulové číslo x , skutečné nebo komplexní , má n různých komplexních čísel n . Kořeny. (V případě, že x je skutečné, tento počet zahrnuje všechny skutečné n . Kořeny.) Jediný komplexní kořen 0 je 0.

N th kořeny téměř všech čísel (všechna celá čísla s výjimkou n -tého pravomocí a všechny racionální čísla s výjimkou podílů dvou n tého pravomoci) jsou iracionální . Například,

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = 1,414213562 \ ldots}

Všechny n th kořeny celých čísel jsou algebraická čísla .

Termín surd sahá až k al-Khwārizmī (c. 825), který označoval racionální a iracionální čísla jako slyšitelná a neslyšitelná . To později vedlo k tomu, že arabské slovo „ أصم “ ( asamm , což znamená „hluchý“ nebo „němý“) pro iracionální číslo bylo přeloženo do latiny jako „surdus“ (což znamená „hluchý“ nebo „němý“). Gerard Cremona (c. 1150), Fibonacci (1202), a pak se Robert Recorde (1551), všechny použité termín se odkazovat na nevyřešené iracionální kořeny , tedy výrazů formy , ve kterém a je celé číslo číslicemi a celý výraz označuje, iracionální číslo. Kvadratická iracionální čísla , to znamená iracionální čísla formy, jsou také známá jako „kvadratické surds“. ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {i}},}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {i}},}$

Odmocniny

Graf .

{\ Displaystyle y = \ pm {\ sqrt {x}}}

Odmocnina z čísla x je číslo r , který, když na druhou , se stane x :

{\ displaystyle r^{2} = x.}

Každé kladné reálné číslo má dvě odmocniny, jednu kladnou a jednu zápornou. Například dvě odmocniny z 25 jsou 5 a −5. Pozitivní odmocnina je také známá jako hlavní odmocnina a je označena radikálním znaménkem:

{\ displaystyle {\ sqrt {25}} = 5.}

Protože druhá mocnina každého reálného čísla je nezáporná, záporná čísla nemají skutečné odmocniny. Pro každé záporné reálné číslo však existují dvě pomyslné odmocniny. Například odmocniny −25 jsou 5 i a −5 i , kde i představuje číslo, jehož druhá mocnina je $-1$ .

Kořenové kořeny

Graf .

{\ displaystyle y = {\ sqrt [{3}] {x}}}

Odmocnina z čísla x je číslo r , jehož kostka je x :

{\ displaystyle r^{3} = x.}

Každé skutečné číslo x má přesně jeden skutečný kořen krychle, zapsaný . Například, ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}}}$

{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {8}} = 2}

a

{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {-8}} =-2.}

Každé skutečné číslo má dva další složité odmocniny.

Identity a vlastnosti

Vyjádření stupně n -tého kořene v jeho exponentní formě, jako v , usnadňuje manipulaci se silami a kořeny. Pokud je nezáporné reálné číslo , ${\ Displaystyle x^{1/n}}$ ${\ displaystyle a}$

{\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {a^{m}}} = (a^{m})^{1/n} = a^{m/n} = (a^{1/n} )^{m} = ({\ sqrt [{n}] {a}})^{m}.}

Každé nezáporné číslo má přesně jeden nezáporný reálný n- tý kořen, a proto jsou pravidla pro operace s přebytky zahrnující nezáporné radikály a přímá v reálných číslech: ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ sqrt [{n}] {ab}} & = {\ sqrt [{n}] {a}} {\ sqrt [{n}] {b}} \\ { \ sqrt [{n}] {\ frac {a} {b}}} & = {\ frac {\ sqrt [{n}] {a}} {\ sqrt [{n}] {b}}} \ end {zarovnaný}}}

Jemnosti se mohou vyskytovat při přijímání n -tých kořenů záporných nebo komplexních čísel . Například:

{\ Displaystyle {\ sqrt {-1}} \ times {\ sqrt {-1}} \ neq {\ sqrt {-1 \ times -1}} = 1, \ quad}

ale raději,

{\ Displaystyle \ quad {\ sqrt {-1}} \ times {\ sqrt {-1}} = i \ times i = i^{2} =-1.}

Protože pravidlo striktně platí pouze pro nezáporné skutečné radikály, vede jeho aplikace v prvním kroku výše k nerovnosti. ${\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {a}} \ times {\ sqrt [{n}] {b}} = {\ sqrt [{n}] {ab}}}$

Zjednodušená forma radikálního výrazu

Vnořený radikální výraz je prý ve zjednodušené formě, pokud

Neexistuje žádný faktor radicand, který by mohl být zapsán jako síla větší nebo rovna indexu.
Pod radikálním znamením nejsou žádné zlomky.
Ve jmenovateli nejsou žádní radikálové.

Například pro zápis radikálního výrazu ve zjednodušené formě můžeme postupovat následovně. Nejprve vyhledejte pod odmocninou dokonalý čtverec a odeberte jej: ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {32} {5}}}}$

{\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {32} {5}}} = {\ sqrt {\ tfrac {16 \ times 2} {5}}} = 4 {\ sqrt {\ tfrac {2} {5}} }}

Dále je pod radikálním znaménkem zlomek, který měníme následovně:

{\ Displaystyle 4 {\ sqrt {\ tfrac {2} {5}}} = {\ frac {4 {\ sqrt {2}}} {\ sqrt {5}}}}

Nakonec odstraníme radikál ze jmenovatele následujícím způsobem:

{\ Displaystyle {\ frac {4 {\ sqrt {2}}} {\ sqrt {5}}} = {\ frac {4 {\ sqrt {2}}} {\ sqrt {5}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {5}}} = {\ frac {4 {\ sqrt {10}}} {5}} = {\ frac {4} {5}} {\ sqrt {10 }}}

Pokud existuje jmenovatel zahrnující surdy, je vždy možné najít faktor, který znásobí čitatele i jmenovatele, aby se výraz zjednodušil. Například pomocí faktorizace součtu dvou kostek :

{\ displaystyle {\ frac {1} {{\ sqrt [{3}] {a}}+{\ sqrt [{3}] {b}}}} = {\ frac {{\ sqrt [{3}] {a^{2}}}-{\ sqrt [{3}] {ab}}+{\ sqrt [{3}] {b^{2}}}} {\ left ({\ sqrt [{3} ] {a}}+{\ sqrt [{3}] {b}} \ right) \ left ({\ sqrt [{3}] {a^{2}}}-{\ sqrt [{3}] { ab}}+{\ sqrt [{3}] {b^{2}}} \ right)}}} = {\ frac {{\ sqrt [{3}] {a^{2}}}-{\ sqrt [{3}] {ab}}+{\ sqrt [{3}] {b^{2}}}} {a+b}}.}

Zjednodušení radikálních výrazů zahrnujících vnořené radikály může být docela obtížné. Není například zřejmé, že:

{\ displaystyle {\ sqrt {3+2 {\ sqrt {2}}}} = 1+{\ sqrt {2}}}

Výše uvedené lze odvodit pomocí:

{\ Displaystyle {\ sqrt {3+2 {\ sqrt {2}}}} = {\ sqrt {1+2 {\ sqrt {2}}+2}} = {\ sqrt {1^{2} +2 {\ sqrt {2}}+{\ sqrt {2}}^{2}}} = {\ sqrt {\ left (1+{\ sqrt {2}} \ right)^{2}}} = 1+ {\ sqrt {2}}}

Nechť , s $p$ a $q$ coprime a kladná celá čísla. Pak je racionální právě tehdy, když oba a jsou celá čísla, což znamená, že $p$ i $q$ jsou n -tou mocninou nějakého celého čísla. ${\ Displaystyle r = p/q}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {r}} = {\ sqrt [{n}] {p}}/{\ sqrt [{n}] {q}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {p}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {q}}}$

Nekonečná řada

Radikál nebo kořen může být reprezentován nekonečnou řadou :

{\ Displaystyle (1+x)^{\ frac {s} {t}} = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {\ prod _ {k = 0}^{n-1 } (s-kt)} {n! t^{n}}} x^{n}}

s . Tento výraz lze odvodit z binomické řady . ${\ displaystyle | x | <1}$

Výpočet hlavních kořenů

Pomocí Newtonovy metody

N th odmocninu čísla A, mohou být počítány pomocí Newtonovy metody . Začněte počátečním odhadem x ₀ a poté opakujte pomocí relace opakování

{\ Displaystyle x_ {k+1} = {\ frac {n-1} {n}} x_ {k}+{\ frac {A} {nx_ {k}^{n-1}}}}

dokud není dosaženo požadované přesnosti. Například abychom našli pátý kořen 34, připojíme n = 5, A = 34 a x ₀ = 2 (počáteční odhad). Prvních 5 iterace, přibližně:
x ₀ = 2
x ₁ = 2,025
x ₂ = 2,024397817
x ₃ = 2,024397458
x ₄ = 2,024397458
Aproximace x ₄ je s přesností na 25 desetinných míst.

Newtonovu metodu lze upravit tak, aby vytvářela různé generalizované pokračující frakce pro n -tý kořen. Například,

{\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {z}} = {\ sqrt [{n}] {x^{n}+y}} = x+{\ cfrac {y} {nx^{n-1} +{\ cfrac {(n-1) y} {2x+{\ cfrac {(n+1) y} {3nx^{n-1}+{\ cfrac {(2n-1) y} {2x+{\ cfrac {(2n+1) y} {5nx^{n-1}+{\ cfrac {(3n-1) y} {2x+\ ddots}}}}}}}}}}}}}}}.}

Výpočet hlavních kořenů desetinných čísel (základ 10) po číslicích

Zobrazuje se Pascalův trojúhelník .

{\ displaystyle P (4,1) = 4}

Na základě výpočtu odmocniny od číslice k číslici je vidět, že tam použitý vzorec , nebo , následuje vzor zahrnující Pascalův trojúhelník. Pro n -tý kořen čísla je definována hodnota prvku v řádku Pascalova trojúhelníku, takže můžeme výraz přepsat jako . Pro pohodlí zavolejte výsledek tohoto výrazu . Pomocí tohoto obecnějšího výrazu lze libovolný kladný hlavní kořen vypočítat po jednotlivých číslicích následujícím způsobem. ${\ Displaystyle x (20p+x) \ leq c}$ ${\ Displaystyle x^{2}+20xp \ leq c}$ ${\ Displaystyle P (n, i)}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle P (4,1) = 4}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n-1} 10^{i} P (n, i) p^{i} x^{ni}}$ ${\ displaystyle y}$

Napište původní číslo v desítkové formě. Čísla jsou zapsána podobně jako algoritmus s dlouhým dělením a stejně jako v případě dlouhého dělení bude kořen zapsán na řádek výše. Nyní rozdělte číslice do skupin číslic, které se rovnají přijímanému kořenu, počínaje desetinnou čárkou a pokračujte doleva i doprava. Desetinná tečka kořene bude nad desetinnou čárkou radicand. Nad každou skupinou číslic původního čísla se zobrazí jedna číslice kořene.

Počínaje skupinou číslic úplně vlevo proveďte pro každou skupinu následující postup:

Začněte zleva a sesuňte nejvýznamnější (úplně vlevo) skupinu dosud nepoužitých číslic (pokud byly použity všechny číslice, napište „0“, kolikrát je potřeba k vytvoření skupiny) a napište je napravo od zbytek z předchozího kroku (v prvním kroku žádný zbytek nebude). Jinými slovy, vynásobte zbytek číslem a přidejte číslice z další skupiny. To bude aktuální hodnota c . ${\ displaystyle 10^{n}}$
Najděte p a x následovně:
- Nechme být dosud nalezenou částí kořene , ignorujeme desetinnou čárku. (Pro první krok, ). ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p = 0}$
- Určete největší číslici tak, že . ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle y \ leq c}$
- Umístěte číslici jako další číslici kořene, tj. Nad skupinu číslic, kterou jste právě přinesli dolů. Takže další p bude staré p krát 10 plus x . ${\ displaystyle x}$
Odečtením od vytvoříte nový zbytek. ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle c}$
Pokud je zbytek nula a nejsou žádné další číslice, které by bylo možné snížit, algoritmus byl ukončen. Jinak se vraťte ke kroku 1 pro další iteraci.

Příklady

Najděte druhou odmocninu z 152.2756.

          1  2. 3  4 
       /
     \/  01 52.27 56

         01                   10⁰·1·0⁰·1² + 10¹·2·0¹·1¹     ≤      1   <   10⁰·1·0⁰·2²   + 10¹·2·0¹·2¹         x = 1
         01                      y = 10⁰·1·0⁰·1²   + 10¹·2·0¹·1²   =  1 +    0   =     1
         00 52                10⁰·1·1⁰·2² + 10¹·2·1¹·2¹     ≤     52   <   10⁰·1·1⁰·3²   + 10¹·2·1¹·3¹         x = 2
         00 44                   y = 10⁰·1·1⁰·2²   + 10¹·2·1¹·2¹   =  4 +   40   =    44
            08 27             10⁰·1·12⁰·3² + 10¹·2·12¹·3¹   ≤    827   <   10⁰·1·12⁰·4²  + 10¹·2·12¹·4¹        x = 3
            07 29                y = 10⁰·1·12⁰·3²  + 10¹·2·12¹·3¹  =  9 +  720   =   729
               98 56          10⁰·1·123⁰·4² + 10¹·2·123¹·4¹ ≤   9856   <   10⁰·1·123⁰·5² + 10¹·2·123¹·5¹       x = 4
               98 56             y = 10⁰·1·123⁰·4² + 10¹·2·123¹·4¹ = 16 + 9840   =  9856
               00 00          Algorithm terminates: Answer is 12.34

Najděte kořen krychle 4192 s přesností na setinu.

        1   6.  1   2   4
 3  /
  \/  004 192.000 000 000

      004                      10⁰·1·0⁰·1³    +  10¹·3·0¹·1²   + 10²·3·0²·1¹    ≤          4  <  10⁰·1·0⁰·2³     + 10¹·3·0¹·2²    + 10²·3·0²·2¹     x = 1
      001                         y = 10⁰·1·0⁰·1³   + 10¹·3·0¹·1²   + 10²·3·0²·1¹   =   1 +      0 +          0   =          1
      003 192                  10⁰·1·1⁰·6³    +  10¹·3·1¹·6²   + 10²·3·1²·6¹    ≤       3192  <  10⁰·1·1⁰·7³     + 10¹·3·1¹·7²    + 10²·3·1²·7¹     x = 6
      003 096                     y = 10⁰·1·1⁰·6³   + 10¹·3·1¹·6²   + 10²·3·1²·6¹   = 216 +  1,080 +      1,800   =      3,096
          096 000              10⁰·1·16⁰·1³   + 10¹·3·16¹·1²   + 10²·3·16²·1¹   ≤      96000  <  10⁰·1·16⁰·2³   + 10¹·3·16¹·2²   + 10²·3·16²·2¹    x = 1
          077 281                 y = 10⁰·1·16⁰·1³  + 10¹·3·16¹·1²  + 10²·3·16²·1¹  =   1 +    480 +     76,800   =     77,281
          018 719 000          10⁰·1·161⁰·2³  + 10¹·3·161¹·2²  + 10²·3·161²·2¹  ≤   18719000  <  10⁰·1·161⁰·3³  + 10¹·3·161¹·3²  + 10²·3·161²·3¹   x = 2
              015 571 928         y = 10⁰·1·161⁰·2³ + 10¹·3·161¹·2² + 10²·3·161²·2¹ =   8 + 19,320 + 15,552,600   = 15,571,928
              003 147 072 000  10⁰·1·1612⁰·4³ + 10¹·3·1612¹·4² + 10²·3·1612²·4¹ ≤ 3147072000  <  10⁰·1·1612⁰·5³ + 10¹·3·1612¹·5² + 10²·3·1612²·5¹  x = 4
                               The desired precision is achieved:
                               The cube root of 4192 is about 16.12

Logaritmický výpočet

Hlavní n -tý kořen kladného čísla lze vypočítat pomocí logaritmů . Počínaje rovnicí, která definuje r jako n -tý kořen x , jmenovitě s x kladným a tedy i jeho hlavním kořenem r také kladným, vezmeme logaritmy obou stran (jakákoli základna logaritmu bude stačit), abychom získali ${\ displaystyle r^{n} = x,}$

{\ Displaystyle n \ log _ {b} r = \ log _ {b} x \ quad \ quad {\ text {hence}} \ quad \ quad \ log _ {b} r = {\ frac {\ log _ { b} x} {n}}.}

Kořen r se z toho obnoví provedením antilogu :

{\ displaystyle r = b^{{\ frac {1} {n}} \ log _ {b} x}.}

(Poznámka: Tento vzorec ukazuje, že b je zvýšeno na výsledek výsledku dělení, nikoli b vynásobeno výsledkem dělení.)

Pro případ, kdy je x záporné a n je liché, existuje jeden skutečný kořen r, který je také záporný. Toho lze dosáhnout tak, že nejprve vynásobíte obě strany definující rovnice −1, abyste získali, a poté pokračujte stejně jako dříve, abyste našli | r | a pomocí r = - | r | . ${\ displaystyle | r |^{n} = | x |,}$

Geometrická konstrukce

Tyto Starověcí řečtí matematici uměli používat kompas a pravítkem postavit délka rovná druhé odmocnině z dané délky, je-li dané pomocné linie jednotku délky. V roce 1837 Pierre Wantzel dokázal, že n -tý kořen dané délky nelze sestrojit, pokud n není mocninou 2.

Složité kořeny

Každé komplexní číslo jiné než 0 má n různých n -tých kořenů.

Odmocniny

Odmocniny i

Dvě odmocniny komplexního čísla jsou vždy navzájem negativy. Například odmocniny $-4$ jsou $2 i$ a $-2 i$ a odmocniny $i$ jsou

{\ Displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} (1+i) \ quad {\ text {and}} \ quad -{\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} (1 +i).}

Pokud vyjádříme komplexní číslo v polární formě, pak druhou odmocninu lze získat tak, že vezmeme druhou odmocninu poloměru a polovinu úhlu:

{\ Displaystyle {\ sqrt {re^{i \ theta}}} = \ pm {\ sqrt {r}} \ cdot e^{i \ theta /2}.}

Hlavní kořen komplexního čísla mohou být vybrány různými způsoby, například

{\ Displaystyle {\ sqrt {re^{i \ theta}}} = {\ sqrt {r}} \ cdot e^{i \ theta /2}}

který zavádí řez větví v komplexní rovině podél kladné reálné osy s podmínkou $0 \leq θ <2 π$ , nebo podél záporné reálné osy s $- π < θ \leq π$ .

Pomocí první (poslední) větve rozřízněte hlavní odmocninové mapy na poloviční rovinu s nezápornou imaginární (skutečnou) částí. Poslední řez větve se předpokládá v matematickém softwaru, jako je Matlab nebo Scilab . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {z}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle z}$

Kořeny jednoty

Tři třetí kořeny 1

Číslo 1 má n různých n th kořenů v komplexní rovině, jmenovitě

{\ Displaystyle 1, \; \ omega, \; \ omega ^{2}, \; \ ldots, \; \ omega ^{n-1},}

kde

{\ Displaystyle \ omega = e^{\ frac {2 \ pi i} {n}} = \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right)+i \ sin \ left ({ \ frac {2 \ pi} {n}} \ vpravo)}

Tyto kořeny jsou rovnoměrně rozmístěny kolem jednotkového kruhu v komplexní rovině pod úhly, které jsou násobky . Například odmocniny jednoty jsou 1 a −1 a čtvrté kořeny jednoty jsou 1 , −1 a . ${\ Displaystyle 2 \ pi /n}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle -i}$

n th kořeny

Geometrická reprezentace 2. až 6. kořene komplexního čísla

z

, v polární formě

re iφ

kde

r = | z |

a

φ = arg z

. Pokud je

z

skutečné,

φ = 0

nebo

π

. Hlavní kořeny jsou znázorněny černě.

Každé komplexní číslo má n různých n -tých kořenů v komplexní rovině. Tyto jsou

{\ Displaystyle \ eta, \; \ eta \ omega, \; \ eta \ omega ^{2}, \; \ ldots, \; \ eta \ omega ^{n-1},}

kde η je jeden n -tý kořen a 1, ω , ω ² , ... ω ^{n −1} jsou n -tými kořeny jednoty. Například čtyři různé čtvrté kořeny 2 jsou

{\ Displaystyle {\ sqrt [{4}] {2}}, \ quad i {\ sqrt [{4}] {2}}, \ quad -{\ sqrt [{4}] {2}}, \ quad {\ text {a}} \ quad -i {\ sqrt [{4}] {2}}.}

V polární formě lze podle vzorce najít jediný n -tý kořen

{\ Displaystyle {\ sqrt [{n}] {re^{i \ theta}}} = {\ sqrt [{n}] {r}} \ cdot e^{i \ theta /n}.}

Zde r je velikost (modul, nazývaný také absolutní hodnota ) čísla, jehož kořen má být vzat; pokud lze číslo zapsat jako a+bi, pak . Také je úhel vytvořený tak, že se jeden otáčí na počátku proti směru hodinových ručiček od kladné vodorovné osy k paprsku procházejícímu od počátku k číslu; má vlastnosti, které a ${\ displaystyle r = {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ Displaystyle \ cos \ theta = a/r,}$ ${\ Displaystyle \ sin \ theta = b/r,}$ ${\ Displaystyle \ tan \ theta = b/a.}$

Nalezení n th kořenů v komplexní rovině lze tedy segmentovat do dvou kroků. Za prvé, velikost všech n -tých kořenů je n -tý kořen velikosti původního čísla. Za druhé, úhel mezi kladnou vodorovnou osou a paprskem od počátku k jednomu z n -tých kořenů je , kde je úhel definován stejným způsobem pro číslo, jehož kořen je přijímán. Kromě toho jsou všechny n z n -tých kořenů od sebe v rovnoměrně rozmístěných úhlech. ${\ Displaystyle \ theta /n}$ ${\ displaystyle \ theta}$

Je -li n sudé, přicházejí n -ty odmocniny komplexního čísla , kterých je sudý počet, v aditivních inverzních dvojicích, takže pokud číslo r ₁ je jedním z n -tých kořenů, pak r ₂ = - r ₁ je další. Důvodem je, že když zvýšíme jeho koeficient –1 na n -tý výkon pro sudé n, dostaneme 1: tj. ( - r ₁ ) ⁿ = (–1) ⁿ × r ₁ⁿ = r ₁ⁿ .

Stejně jako u odmocnin, výše uvedený vzorec nedefinuje spojitou funkci v celé komplexní rovině, ale místo toho má řez větví v bodech, kde θ / n je diskontinuální.

Řešení polynomů

Kdysi se předpokládalo, že všechny polynomiální rovnice lze vyřešit algebraicky (to znamená, že všechny kořeny polynomu lze vyjádřit pomocí konečného počtu radikálů a elementárních operací ). Přestože to platí pro polynomy třetího stupně ( krychle ) a polynomy čtvrtého stupně ( kvartiky ), Abel – Ruffiniho věta (1824) ukazuje, že to neplatí obecně, pokud je stupeň 5 nebo vyšší. Například řešení rovnice

{\ Displaystyle x^{5} = x+1}

nelze vyjádřit radikály. ( viz kvintická rovnice )

Důkaz iracionality pro nedokonalou n- tou sílu x

Předpokládejme, že je to racionální. To znamená, že může být redukována na zlomek , kde $a$ a $b$ jsou celá čísla bez společného faktoru. ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}$

To znamená, že . ${\ displaystyle x = {\ frac {a^{n}} {b^{n}}}}$

Protože x je celé číslo a musí sdílet společný faktor, pokud . To znamená, že pokud , není v nejjednodušší formě. B by se tedy mělo rovnat 1. ${\ displaystyle a^{n}}$ ${\ displaystyle b^{n}}$ ${\ Displaystyle b \ neq 1}$ ${\ Displaystyle b \ neq 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {a^{n}} {b^{n}}}}$

Vzhledem k tomu, i , . ${\ displaystyle 1^{n} = 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {1}} = n}$ ${\ displaystyle {\ frac {a^{n}} {b^{n}}} = a^{n}}$

To znamená, že i tak . To znamená, že jde o celé číslo. Protože x není dokonalá n -ta mocnina, je to nemožné. Je to tedy iracionální. ${\ displaystyle x = a^{n}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} = a}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}}}$

Languages

In other projects

$n$ th root - $n$ th root

Obsah

Dějiny

Definice a zápis

Odmocniny

Kořenové kořeny

Identity a vlastnosti

Zjednodušená forma radikálního výrazu

Nekonečná řada

Výpočet hlavních kořenů

Pomocí Newtonovy metody

Výpočet hlavních kořenů desetinných čísel (základ 10) po číslicích

Příklady

Logaritmický výpočet

Geometrická konstrukce

Složité kořeny

Odmocniny

Kořeny jednoty

n th kořeny

Řešení polynomů

Důkaz iracionality pro nedokonalou n- tou sílu x

Viz také

Reference

externí odkazy

Languages

In other projects

n th root - nth root

Dějiny

Definice a zápis

Odmocniny

Kořenové kořeny

Identity a vlastnosti

Zjednodušená forma radikálního výrazu

Nekonečná řada

Výpočet hlavních kořenů

Pomocí Newtonovy metody

Výpočet hlavních kořenů desetinných čísel (základ 10) po číslicích

Příklady

Logaritmický výpočet

Geometrická konstrukce

Složité kořeny

Odmocniny

Kořeny jednoty

n th kořeny

Řešení polynomů

Důkaz iracionality pro nedokonalou n- tou sílu x

Viz také

Reference

externí odkazy

$n$ th root - $n$ th root