Číselný systém - Numeral system

Čísla zapsaná v různých číselných systémech.

Číselná soustava (nebo systém číslování ) je systém psaní pro vyjádření čísel; to znamená matematický zápis pro reprezentaci čísel dané sady pomocí číslic nebo jiných symbolů konzistentním způsobem.

Stejná posloupnost symbolů může představovat různá čísla v různých číselných systémech. Například „11“ představuje číslo jedenáct v desítkové číselné soustavě (používá se v běžném životě), číslo tři v binární číselné soustavě (používá se v počítačích ) a číslo dvě v unární číselné soustavě (např. Používá se při sčítání skóre).

Číslo, které číslice představuje, se nazývá její hodnota. Ne všechny číselné systémy mohou představovat všechna čísla, o nichž se v moderní době uvažuje; například římské číslice nemají žádnou nulu.

V ideálním případě číselný systém:

Například obvyklá desetinná reprezentace dává každý nenulový přirozené číslo jedinečnou reprezentaci jako konečný sekvence z číslic , začínající s nenulovou číslicí.

Číselné soustavy se někdy nazývají číselné soustavy , ale tento název je nejednoznačný, protože by mohl odkazovat na různé soustavy čísel, jako je soustava reálných čísel , soustava komplexních čísel , soustava p -adických čísel atd. Takové systémy nejsou však tématem tohoto článku.

Hlavní číselné soustavy

Nejčastěji používaný systém číslic je desítkový . Indičtí matematici mají zásluhu na vývoji celočíselné verze, systému hinduisticko -arabských číslic . Aryabhata z Kusumapury vyvinul v 5. století notaci místa a hodnoty a o století později Brahmagupta zavedl symbol pro nulu . Systém se pomalu rozšířil do dalších okolních oblastí, jako je Arábie, kvůli jejich obchodním a vojenským aktivitám s Indií. Matematici z Blízkého východu rozšířili systém tak, aby zahrnoval záporné mocniny 10 ( zlomky ), jak je zaznamenáno v pojednání syrského matematika Abu'l-Hasana al-Uqlidisiho v letech 952–953, a zápis desetinné čárky zavedl Sind ibn Ali , který také napsal nejstarší pojednání o arabských číslicích. Systém hinduisticko-arabských číslic se poté rozšířil do Evropy kvůli obchodování obchodníků a číslice používané v Evropě se nazývají arabské číslice , protože se je naučili od Arabů.

Nejjednodušší číselná soustava je unární číselná soustava , ve které je každé přirozené číslo reprezentováno odpovídajícím počtem symbolů. Pokud je zvolen například symbol / , pak bude číslo sedm reprezentováno /////// . Značky shod představují jeden takový systém, který se stále běžně používá. Unární systém je užitečný pouze pro malá čísla, přestože hraje důležitou roli v teoretické informatice . Eliasovo gama kódování , které se běžně používá při kompresi dat , vyjadřuje čísla libovolné velikosti pomocí unary k označení délky binární číslice.

Unární notaci lze zkrátit zavedením různých symbolů pro určité nové hodnoty. Velmi běžně jsou tyto hodnoty mocninami 10; například pokud/znamená jeden, - pro deset a + pro 100, pak číslo 304 lze kompaktně znázornit jako +++ //// a číslo 123 jako + - - /// bez potřeby nuly . Toto se nazývá zápis hodnoty znaku . Starověký egyptský číselná soustava bylo tohoto typu, a římská číslice systém byl modifikace tohoto nápadu.

Ještě užitečnější jsou systémy, které používají speciální zkratky pro opakování symbolů; například s použitím prvních devíti písmen abecedy pro tyto zkratky, kde A znamená „jeden výskyt“, B „dva výskyty“ atd., by pak bylo možné psát C+ D/ pro číslo 304. Tento systém se používá při psaní čínských číslic a jiných východoasijských číslic na základě čínštiny. Číselný systém anglického jazyka je tohoto typu („tři sta [a] čtyři“), stejně jako ostatní mluvené jazyky , bez ohledu na to, jaké písemné systémy přijaly. Mnoho jazyků však používá směsi bází a další funkce, například 79 ve francouzštině je soixante dix-neuf ( 60 + 10 + 9 ) a ve velštině je pedwar ar bymtheg a thrigain ( 4 + (5 + 10) + (3 × 20) ) nebo (poněkud archaický) pedwar ugain namyn un ( 4 × 20 - 1 ). V angličtině by se dalo říci „čtyři skóre méně jeden“, jako ve slavné Gettysburgově adrese představující „před 87 lety“ jako „čtyři skóre a před sedmi lety“.

Elegantnější je poziční systém , známý také jako zápis hodnoty místa. Opět pracuje na základně 10, používá se deset různých číslic 0, ..., 9 a poloha číslice se používá k označení síly deseti, s nimiž má být číslice vynásobena, jako v 304 = 3 × 100 + 0 × 10 + 4 × 1 nebo přesněji 3 × 10 2 + 0 × 10 1 + 4 × 10 0 . Nulový bod, který v ostatních systémech není potřebný, má zde zásadní význam, aby bylo možné „přeskočit“ sílu. Systém hinduisticko -arabských číslic, který vznikl v Indii a nyní se používá po celém světě, je poziční základní systém 10.

Aritmetika je v pozičních systémech mnohem jednodušší než v dřívějších aditivních; navíc aditivní systémy potřebují velký počet různých symbolů pro různé mocniny 10; poziční systém potřebuje pouze deset různých symbolů (za předpokladu, že používá základnu 10).

Poziční desítkový systém je v současné době univerzálně používán v lidském psaní. Používá se také základna 1000 (i když ne univerzálně), a to seskupením číslic a zvážením sekvence tří desetinných číslic jako jedné číslice. To je význam společného zápisu 1 000 234 567, který se používá pro velmi velká čísla.

V počítačích jsou hlavní číselné soustavy založeny na pozičním systému v základu 2 ( binární číselná soustava ), se dvěma binárními číslicemi , 0 a 1. Poziční systémy získané seskupením binárních číslic třemi ( osmičkový číselný systém ) nebo čtyřmi ( hexadecimální číslice) systém ) se běžně používají. Pro velmi velká celá čísla se používají základy 2 32 nebo 2 64 (seskupení binárních číslic podle 32 nebo 64, délka strojového slova ), jako například v GMP .

V určitých biologických systémech se používá unární kódovací systém. Unární číslice používané v neurálních obvodech zodpovědných za produkci ptačího zpěvu . Jádrem v mozku zpěvných ptáků, které hraje roli jak při učení, tak při produkci ptačí zpěvu, je HVC ( vysoké vokální centrum ). Příkazové signály pro různé tóny ptačího zpěvu vycházejí z různých bodů HVC. Toto kódování funguje jako vesmírné kódování, což je efektivní strategie pro biologické obvody díky své inherentní jednoduchosti a robustnosti.

Číslice používané při psaní čísel pomocí číslic nebo symbolů lze rozdělit na dva typy, které lze nazvat aritmetickými číslicemi (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) a geometrickými číslicemi (1 , 10, 100, 1000, 10 000 ...). Systémy znakové hodnoty používají pouze geometrické číslice a poziční systémy používají pouze aritmetické číslice. Systém znakové hodnoty nepotřebuje aritmetické číslice, protože jsou vytvářeny opakováním (kromě iontového systému ), a poziční systém nepotřebuje geometrické číslice, protože jsou vytvářeny polohou. Nicméně, mluvený jazyk používá oba aritmetické a geometrické značky.

V určitých oblastech informatiky se používá upravený poziční systém základny k , nazývaný bijektivní číslování , s číslicemi 1, 2, ..., k ( k ≥ 1 ) a nula je reprezentována prázdným řetězcem. To vytváří bijection mezi souborem všech takových číslice-řetězce a soubor non-záporná celá čísla, vyhýbat se non-jedinečnost způsobená nulami na začátku. Bijektivní základ- k číslování se také říká k -adická notace, nezaměňovat s p -adickými čísly . Bijektivní báze 1 je stejná jako unární.

Podrobně polohové systémy

V poziční báze b číselná soustava (s b je přirozené číslo větší než 1 známý jako radix ), b základních symbolů (nebo číslic), které odpovídají první b přirozená čísla včetně nuly jsou použity. Ke generování zbývajících číslic se použije poloha symbolu na obrázku. Symbol na poslední pozici má svou vlastní hodnotu a při pohybu doleva se jeho hodnota vynásobí b .

Například v desítkové soustavě (základ 10) znamená číslice 4327 ( 4 × 10 3 ) + ( 3 × 10 2 ) + ( 2 × 10 1 ) + ( 7 × 10 0 ) s tím, že 10 0 = 1 .

Obecně platí, že pokud b je základ, zapíše se číslo do číselné soustavy báze b tak, že se vyjádří ve tvaru a n b n + a n - 1 b n - 1 + a n - 2 b n - 2 +. .. + a 0 b 0 a psaní vyjmenovaných číslic a n a n - 1 a n - 2 ... a 0 v sestupném pořadí. Číslice jsou přirozená čísla mezi 0 a b - 1 včetně.

Pokud text (jako je tento) pojednává o více základnách a pokud existuje nejednoznačnost, základna (sama reprezentovaná v základně 10) se přidá do dolního indexu napravo od čísla, například takto: číselná základna . Pokud není uvedeno v kontextu, jsou čísla bez dolního indexu považována za desetinná.

Pomocí tečky k rozdělení číslic do dvou skupin lze také psát zlomky v pozičním systému. Například číslice základny 2 10,11 označuje 1 × 2 1 + 0 × 2 0 + 1 × 2 −1 + 1 × 2 −2 = 2,75 .

Obecně mají čísla v systému základny b tvar:

Čísla b k a b - k jsou hmotnosti odpovídajících číslic. Poloha k je logaritmus odpovídající hmotnosti w , tj . Nejvyšší použitá poloha se blíží řádově velikosti čísla.

Počet značek shodných pro popis hmotnosti v unárním číselném systému by byl w . V pozičním systému je počet číslic potřebných k jeho popisu pouze pro k ≥ 0. Například k popisu hmotnosti 1000 jsou potom zapotřebí čtyři číslice, protože . Počet číslic potřebných k popisu pozice je (na pozicích 1, 10, 100, ... pouze pro jednoduchost v desítkovém příkladu).

Řada má ukončení nebo opakující expanzi tehdy a jen tehdy , je racionální ; to nezávisí na základně. Číslo, které končí v jedné bázi, se může opakovat v jiné (tedy 0,3 10 = 0,0100110011001 ... 2 ). Iracionální číslo zůstává neperiodické (s nekonečným počtem neopakujících se číslic) ve všech integrálních základnách. Například v základu 2 lze π = 3,1415926 ... 10 zapsat jako aperiodický 11,001001000011111 ... 2 .

Umístění nadměrných hodnot , n nebo teček, nad běžné číslice je konvence používaná k reprezentaci opakujících se racionálních expanzí. Tím pádem:

14/11 = 1,272727272727 ... = 1, 27   nebo 321,3217878787878 ... = 321,321 78 .

Pokud b = p je prvočíslo , lze definovat základní čísla p, jejichž expanze doleva se nikdy nezastaví; nazývají se p -adická čísla .

Zobecněná celá čísla s proměnnou délkou

Obecnější je použití smíšené radixové notace (zde napsané jako malý endian ) jako pro atd.

To se používá v punycode , jehož jedním aspektem je reprezentace sekvence nezáporných celých čísel libovolné velikosti ve formě sekvence bez oddělovačů, „číslic“ ze sbírky 36: a – z a 0–9 , což představuje 0–25, respektive 26–35. Číslice nižší než prahová hodnota označuje, že jde o nejvýznamnější číslici, a tedy konec čísla. Prahová hodnota závisí na pozici v čísle. Pokud je například prahová hodnota pro první číslici b (tj. 1), pak a (tj. 0) označuje konec čísla (má pouze jednu číslici), takže v počtu více než jedné číslice je rozsah pouze b –9 (1–35), proto je váha b 1 35 místo 36. Předpokládejme, že prahové hodnoty pro druhou a třetí číslici jsou c (2), pak třetí číslice má váhu 35 b 2 , určenou z

s dolním indexem pc odkazujícím na popsaný kód a máme následující posloupnost:

a (0), ba (1), ca (2), .., 9a (35), bb (36), cb (37), .., 9b (70), bca (71), .., 99a (1260), bcb (1261), .., 99b (2450).

Na rozdíl od pravidelného číselného systému existují čísla jako 9b, kde 9 a b představuje 35; přesto je zastoupení jedinečné, protože ac a aca nejsou povoleny - první a by ukončilo číslo.

Obecněji řečeno, pokud t n je prahová hodnota pro n -tou číslici, je snadné to ukázat .

Flexibilita při výběru prahových hodnot umožňuje optimalizaci v závislosti na frekvenci výskytu čísel různých velikostí.

Případ se všemi prahovými hodnotami rovnými 1 odpovídá bijektivnímu číslování , kde nuly odpovídají oddělovačům čísel s číslicemi, které jsou nenulové.

Viz také

  • 0,999 ... - každé nenulové zakončení desítkové soustavy má dvě stejné reprezentace
  • Reference

    1. ^ David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski (1911). Hindsko-arabské číslice . Ginn a společnost.
    2. ^ Chowdhury, Arnab. Návrh efektivního multiplikátoru pomocí DBNS . GIAP deníky. ISBN 978-93-83006-18-2.
    3. ^ Fiete, IR; Seung, HS (2007). „Modely neuronové sítě produkce ptačího zpěvu, učení a kódování“. Ve Squire, L .; Albright, T .; Bloom, F .; Gage, F .; Spitzer, N.Nová encyklopedie neurovědy.

    Prameny

    externí odkazy