Operátor (matematika) - Operator (mathematics)

V matematice je operátor obecně mapování nebo funkce, která působí na prvky prostoru a vytváří prvky jiného prostoru (případně stejného prostoru, někdy se požaduje, aby byl stejným prostorem). Obecná definice operátoru neexistuje , ale termín se často používá místo funkce, když je doménou sada funkcí nebo jiných strukturovaných objektů. Rovněž je často obtížné explicitně charakterizovat doménu operátora (například v případě integrálního operátoru ) a lze ji rozšířit na související objekty (operátor, který působí na funkce, může působit také na diferenciální rovnice, jejichž řešením jsou funkce které splňují rovnici). Další příklady viz Operátor (fyzika) .

Nejzákladnějšími operátory (v jistém smyslu) jsou lineární mapy , které působí na vektorové prostory . Při použití „lineárního operátoru“ místo „lineární mapy“ však matematici často myslí akce na vektorových prostorech funkcí , které zachovávají i další vlastnosti, například spojitost . Například diferenciace a neurčitá integrace jsou lineární operátory; operátory, které jsou z nich postaveny, se nazývají diferenciální operátory , integrální operátory nebo integro-diferenciální operátory .

Operátor slouží také k označení symbolu matematické operace . To souvisí s významem „operátor“ v počítačovém programování , viz operátor (počítačové programování) .

Lineární operátory

Nejběžnějším typem operátorů, se kterými se setkáváme, jsou lineární operátory . Nechť U a V se vektorové prostory přes pole K . Mapování : U → V je lineární, pokud

{\ Displaystyle A (\ alpha \ mathbf {x} +\ beta \ mathbf {y}) = \ alpha A \ mathbf {x} +\ beta A \ mathbf {y}}

pro všechny x , y v U a pro všechny a, p v K . To znamená, že lineární operátor zachovává operace vektorového prostoru v tom smyslu, že nezáleží na tom, zda použijete lineární operátor před nebo po operacích sčítání a skalárního násobení. Technicky řečeno, lineární operátory jsou morfismy mezi vektorovými prostory.

V případě konečných rozměrů mohou být lineární operátory reprezentovány maticemi následujícím způsobem. Dovolit být pole, a a být konečný-rozměrné vektorové prostory nad . Vyberme základnu dovnitř a dovnitř . Pak nechť je libovolný vektor (za předpokladu Einsteinovy konvence ) a je lineárním operátorem. Pak ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {u} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {u} _ {n}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {m}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} = x^{i} \ mathbf {u} _ {i}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ Displaystyle A: U \ až V}$

{\ Displaystyle A \ mathbf {x} = x^{i} A \ mathbf {u} _ {i} = x^{i} (A \ mathbf {u} _ {i})^{j} \ mathbf { v} _ {j}}

.

Potom je matice operátoru v pevných základnách. nezávisí na výběru , a pokud . V pevných základech jsou tedy matice n-by-m v bijektivní korespondenci s lineárními operátory od do . ${\ Displaystyle a_ {i}^{j}: = (A \ mathbf {u} _ {i})^{j} \ v K}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle a_ {i}^{j}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {y}}$ ${\ Displaystyle a_ {i}^{j} x^{i} = y^{j}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle V}$

Mezi důležité pojmy přímo související s operátory mezi konečnými dimenzionálními vektorovými prostory patří pojmy hodnost , determinant , inverzní operátor a vlastní prostor .

Lineární operátory také hrají velkou roli v nekonečně dimenzionálním případě. Pojmy hodnosti a determinantu nelze rozšířit na nekonečně dimenzionální matice. To je důvod, proč se při studiu lineárních operátorů (a operátorů obecně) v nekonečně dimenzionálním případě používají velmi odlišné techniky. Studium lineárních operátorů v nekonečně dimenzionálním případě je známé jako funkční analýza (tzv. Proto, že různé třídy funkcí tvoří zajímavé příklady nekonečně dimenzionálních vektorových prostorů).

Prostor sekvencí reálných čísel, nebo obecněji sekvence vektorů v jakémkoli vektorovém prostoru, tvoří samotný nekonečně dimenzionální vektorový prostor. Nejdůležitějšími případy jsou sekvence reálných nebo komplexních čísel a tyto mezery, společně s lineárními podprostory, se nazývají sekvenční prostory . Operátory v těchto prostorech jsou známé jako sekvenční transformace .

Ohraničené lineární operátory nad Banachovým prostorem tvoří Banachovu algebru vzhledem ke standardní normě operátoru. Teorie Banachových algeber rozvíjí velmi obecný koncept spekter, který elegantně zobecňuje teorii vlastních prostorů.

Omezené operátory

Nechť U a V jsou dva vektorové prostory nad stejným uspořádaným polem (například ) a jsou vybaveny normami . Pak se lineární operátor od U do V nazývá ohraničený, pokud existuje C > 0 takové, že ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$

{\ Displaystyle \ | A \ mathbf {x} \ | _ {V} \ leq C \ | \ mathbf {x} \ | _ {U}}

pro všechny x v U .

Ohraničené operátory tvoří vektorový prostor. Na tomto vektorovém prostoru můžeme zavést normu, která je kompatibilní s normami U a V :

{\ Displaystyle \ | A \ | = \ inf \ {C: \ | A \ mathbf {x} \ | _ {V} \ leq C \ | \ mathbf {x} \ | _ {U} \}}

.

V případě operátorů od U k sobě to může být ukázáno

{\ Displaystyle \ | AB \ | \ leq \ | A \ | \ cdot \ | B \ |}

.

Jakákoli jednotná normovaná algebra s touto vlastností se nazývá Banachova algebra . Na takové algebry je možné zobecnit spektrální teorii . C*-algebry , což jsou Banachovy algebry s nějakou další strukturou, hrají důležitou roli v kvantové mechanice .

Příklady

Geometrie

V geometrii se někdy studují další struktury ve vektorových prostorech . Operátoři, kteří si takové vektorové prostory mapují bijektivně, jsou v těchto studiích velmi užiteční, přirozeně tvoří skupiny podle složení.

Například bijektivní operátory zachovávající strukturu vektorového prostoru jsou přesně invertovatelné lineární operátory . Tvoří obecnou lineární skupinu ve složení. Oni nemají tvoří vektorový prostor pod přidávání operátorů, například jak id a -id jsou invertible (bijective), ale jejich součet, 0, není.

Operátoři zachovávající euklidovskou metriku v takovém prostoru tvoří izometrickou skupinu a ti, kteří opravují původ, tvoří podskupinu známou jako ortogonální skupina . Operátory v ortogonální skupině, které také zachovávají orientaci vektorových n -tic, tvoří speciální ortogonální skupinu neboli skupinu rotací.

Teorie pravděpodobnosti

Operátoři se také zabývají teorií pravděpodobnosti, jako je očekávání , rozptyl a kovariance . Skutečně, každá kovariance je v podstatě bodový produkt; každý rozptyl je bodovým součinem vektoru se sebou samým, a je tedy kvadratickou normou; každá standardní odchylka je normou (druhá odmocnina kvadratické normy); odpovídající kosinus tomuto bodovému součinu je Pearsonův korelační koeficient ; očekávaná hodnota je v podstatě integrální operátor (používá se k měření vážených tvarů v prostoru).

Počet

Z hlediska funkční analýzy je počet studií studiem dvou lineárních operátorů: diferenciálního operátoru a Volterrova operátoru . ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle \ int _ {0}^{t}}$

Fourierova řada a Fourierova transformace

Fourierova transformace je užitečná v aplikované matematice, zejména ve fyzice a zpracování signálu. Je to další integrální operátor; je užitečné hlavně proto, že převádí funkci na jedné (časové) doméně na funkci na jiné (frekvenční) doméně, a to způsobem, který je efektivně invertibilní . Žádné informace nejsou ztraceny, protože existuje operátor inverzní transformace. V jednoduchém případě periodických funkcí je tento výsledek založen na větě, že jakoukoli spojitou periodickou funkci lze vyjádřit jako součet řady sinusových a kosinových vln:

{\ Displaystyle f (t) = {a_ {0} \ over 2}+\ sum _ {n = 1}^{\ infty} {a_ {n} \ cos (\ omega nt)+b_ {n} \ sin (\ omega nt)}}

Tuple ( a ₀ , a ₁ , b ₁ , a ₂ , b ₂ ,…) je ve skutečnosti prvkem nekonečně dimenzionálního vektorového prostoru ℓ ² , a proto je Fourierova řada lineárním operátorem.

Při práci s obecnou funkcí R → C má transformace integrální formu:

{\ Displaystyle f (t) = {1 \ over {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {-\ infty}^{+\ infty} {g (\ omega) e^{i \ omega t} \, d \ omega}.}

Laplaceova transformace

Laplaceova transformace je další integrální operátor a podílí se na zjednodušení procesu řešení diferenciálních rovnic.

Je -li f = f ( s ), je definováno:

{\ Displaystyle F (s) = {\ mathcal {L}} \ {f \} (s) = \ int _ {0}^{\ infty} e^{-st} f (t) \, dt.}

Základní operátory skalárních a vektorových polí

Klíčem k vektorovému počtu jsou tři operátory :

Grad ( gradient ), (se symbolem operátoru ) přiřadí vektor v každém bodě skalárního pole, které ukazuje ve směru největší rychlosti změny tohoto pole a jehož norma měří absolutní hodnotu této největší rychlosti změny. ${\ displaystyle \ nabla}$
Div ( divergence ), (se symbolem operátora ) je vektorový operátor, který měří divergenci vektorového pole od nebo konvergenci k danému bodu. ${\ displaystyle \ nabla \ cdot}$
Curl , (se symbolem operátoru ) je vektorový operátor, který měří trend vlnění (otáčení, otáčení) vektorového pole kolem daného bodu. ${\ displaystyle \ nabla \ times}$

Jako rozšíření operátorů vektorového počtu na fyziku, inženýrství a tenzorové prostory jsou operátory grad, div a curl také často spojovány s tenzovým a vektorovým kalkulem.

Languages

In other projects