Operátorská algebra - Operator algebra

Ve funkční analýze , odvětví matematiky , An algebry operátor je algebry ze spojitých lineárních operátorů na topologický vektorový prostor , s násobením dána složením mapování .

Výsledky získané při studiu operátorových algeber jsou formulovány algebraicky , přičemž použité techniky jsou vysoce analytické . Ačkoli je studium operátorových algeber obvykle klasifikováno jako odvětví funkční analýzy, má přímé aplikace na teorii reprezentace , diferenciální geometrii , kvantovou statistickou mechaniku , kvantovou informaci a kvantovou teorii pole .

Přehled

Algebry operátorů lze použít ke studiu libovolných sad operátorů s malým algebraickým vztahem současně . Z tohoto pohledu lze operátorské algebry považovat za zobecnění spektrální teorie jediného operátora. Obecně operátorové algebry jsou nekomutativní prstence .

Operátorská algebra se obvykle vyžaduje, aby byla uzavřena v určené topologii operátora uvnitř celé algebry spojitých lineárních operátorů. Zejména se jedná o sadu operátorů s algebraickými i topologickými uzavíracími vlastnostmi. V některých oborech jsou tyto vlastnosti axiomizovány a algebry s určitou topologickou strukturou se stávají předmětem výzkumu.

Ačkoli algebry operátorů jsou studovány v různých kontextech (například algebry pseudo-diferenciálních operátorů působících na distribuční prostory ), termín operátor algebra se obvykle používá v odkazu na algebry omezených operátorů na Banachově prostoru, nebo ještě konkrétněji v odkaz na algebry operátorů na oddělitelném Hilbertově prostoru , vybaveném topologií normového operátoru .

V případě operátorů na Hilbertově prostoru dává Hermitova adjungovaná mapa na operátorech přirozenou involuci , která poskytuje další algebraickou strukturu, kterou lze na algebru vnutit. V tomto kontextu, nejlépe studované příklady jsou self-adjoint operátor algebry, což znamená, že jsou uzavřeny v rámci převzetí adjoints. Patří mezi ně C * -algebry , von Neumannovy algebry a AW * -algebra . C * -algebry lze snadno abstraktně charakterizovat podmínkou vztahující se k normě, involuci a násobení. Takto abstraktně definované C * -algebry lze identifikovat do určité uzavřené subalgebry algebry spojitých lineárních operátorů na vhodném Hilbertově prostoru. Podobný výsledek platí pro von Neumannovy algebry.

Komutativní samoadjungované operátorové algebry lze považovat za algebru komplexních hodnotových spojitých funkcí v místně kompaktním prostoru nebo za algebry měřitelných funkcí na standardním měřitelném prostoru . Obecné algebry operátorů jsou tedy často považovány za nekomutativní zobecnění těchto algeber nebo za strukturu základního prostoru, na kterém jsou funkce definovány. Toto hledisko je rozpracováno jako filozofie nekomutativní geometrie , která se pokouší studovat různé neklasické a / nebo patologické objekty pomocí nekomutativních operátorových algeber.

Mezi příklady operátorových algeber, které nejsou samočinné, patří:

Viz také

Reference

Další čtení

  • Blackadar, Bruce (2005). Operátor Algebras: Teorie C * -Algebry a von Neumanna Algebry . Encyklopedie matematických věd. Springer-Verlag . ISBN 3-540-28486-9.
  • M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I , Springer, 2001.