Teorie řádu - Order theory

Teorie řádu je oborem matematiky, který zkoumá intuitivní pojem řádu pomocí binárních vztahů . Poskytuje formální rámec pro popis výroků typu „toto je méně než to“ nebo „toto tomu předchází“. Tento článek uvádí pole a poskytuje základní definice. Seznam termínů teoretické objednávky lze nalézt ve slovníku teorií řádu .

Pozadí a motivace

Objednávky jsou všude v matematice a příbuzných oborech, jako je počítačová věda . První řád často diskutovaný na základní škole je standardní pořadí přirozených čísel, např. „2 je menší než 3“, „10 je větší než 5“ nebo „Má Tom méně cookies než Sally?“. Tento intuitivní koncept lze rozšířit na objednávky na jiné sady čísel , jako jsou celá čísla a reálná čísla . Myšlenka bytí většího nebo menšího než jiné číslo je obecně jednou ze základních intuic číselných systémů (v porovnání s číselnými systémy ) (i když člověka obvykle také zajímá skutečný rozdíl dvou čísel, který není dán pořadím ). Dalšími známými příklady uspořádání jsou abecední pořadí slov ve slovníku a genealogická vlastnost přímého původu ve skupině lidí.

Pojem řádu je velmi obecný a přesahuje kontexty, které mají bezprostřední, intuitivní pocit posloupnosti nebo relativní kvantity. V jiných kontextech mohou objednávky zachycovat pojmy omezení nebo specializace. Abstraktně tento typ řádu odpovídá vztahu podmnožiny , např. „ Pediatři jsou lékaři “ a „ Kruhy jsou pouze elipsy zvláštního případu “.

Některé řády, jako „méně než“ na přirozených číslech a abecední pořadí na slovech, mají zvláštní vlastnost: každý prvek lze porovnat s jakýmkoli jiným prvkem, tj. Je menší (dříve) než, větší (později) než nebo stejný jako. Mnoho dalších objednávek však nikoli. Uvažujme například o pořadí podmnožin ve sbírce sad : ačkoli sada ptáků a skupina psů jsou oběma podmnožinami sady zvířat, ptáci ani psi netvoří podmnožinu toho druhého. Těmto řádům, jako je vztah „podmnožina“, pro které existují nesrovnatelné prvky, se říká dílčí řády ; objednávky, pro které je každý pár prvků srovnatelný, jsou celkové objednávky .

Teorie řádu zachycuje intuici objednávek, která z takových příkladů v obecném prostředí vyplývá. Toho je dosaženo zadáním vlastností, které vztah ≤ musí mít matematický řád. Tento abstraktnější přístup dává velký smysl, protože v obecném prostředí lze odvodit četné věty, aniž bychom se soustředili na detaily jakéhokoli konkrétního řádu. Tyto poznatky je pak možné snadno přenést do mnoha méně abstraktních aplikací.

Díky širokému praktickému využití objednávek bylo definováno mnoho speciálních druhů uspořádaných množin, z nichž některé přerostly do vlastních matematických polí. Teorie řádu se navíc neomezuje na různé třídy vztahů uspořádání, ale také zvažuje vhodné funkce mezi nimi. Jednoduchý příklad vlastnosti teoretické objednávky pro funkce pochází z analýzy, kde se často nacházejí monotónní funkce.

Základní definice

Tato část představuje uspořádané množiny stavěním na konceptech teorie množin , aritmetických a binárních relací .

Částečně objednané sady

Objednávky jsou speciální binární vztahy. Předpokládejme, že P je množina a že ≤ je vztah na P („vztah na množině“ znamená „vztah mezi jejími obyvateli“). Pak ≤ je částečný řád, pokud je reflexivní , antisymetrický a tranzitivní , to znamená, že pokud pro všechna a , b a c v P máme toto:

aa (reflexivita)
pokud ab a ba, pak a = b (antisymetrie)
pokud ab a bc, pak ac (tranzitivita).

Soubor s částečným pořadí na to se nazývá uspořádaná množina , poset , nebo jen objednat sadu v případě, že zamýšlený význam je jasný. Kontrolou těchto vlastností člověk okamžitě zjistí, že známé řády na přirozených číslech , celých číslech , racionálních číslech a realitách jsou všechny řády ve výše uvedeném smyslu. Tyto příklady však mají další vlastnost, že jakékoli dva prvky jsou srovnatelné, to znamená, že pro všechna a a b v P máme toto:

ab nebo ba .

Částečná objednávka s touto vlastností se nazývá celková objednávka . Tyto objednávky lze také nazvat lineární objednávky nebo řetězce . Zatímco mnoho známých řádů je lineárních, pořadí podmnožin u sad poskytuje příklad, kde tomu tak není. Dalším příkladem je dán dělitelnosti (nebo „je-a- faktor -z“) Vztah |. Pro dvě přirozená čísla n a m napíšeme n | m pokud n dělí m beze zbytku. Člověk snadno vidí, že to přináší částečné pořadí. Vztah identity = v jakékoli sadě je také částečným pořadím, ve kterém jsou každé dva odlišné prvky nesrovnatelné. Je to také jediný vztah, který je dílčím řádem i vztahem ekvivalence . Mnoho pokročilých vlastností pozetů je zajímavých hlavně pro nelineární objednávky.

Vizualizace posetu

Hasseův diagram množiny všech dělitelů po 60, částečně seřazený podle dělitelnosti

Hasseovy diagramy mohou vizuálně představovat prvky a vztahy dílčího uspořádání. Jedná se o grafy, kde vrcholy jsou prvky sady a vztah uspořádání je indikován jak hranami, tak relativním umístěním vrcholů. Objednávky se kreslí zdola nahoru: pokud je prvek x menší než (předchází) y, pak existuje cesta od x do y, která je směrována nahoru. Často je nutné, aby se hranové spojovací prvky navzájem křížely, ale prvky se nikdy nesmí nacházet uvnitř hrany. Poučné cvičení je nakreslit Hasseův diagram pro množinu přirozených čísel, která jsou menší nebo rovna 13, seřazeno podle | ( vztah dělí ).

Dokonce i některé nekonečné množiny lze nakreslit superponováním elipsy (...) na konečný podřad. To funguje dobře pro přirozená čísla, ale selhává pro reálná čísla, kde neexistuje žádný bezprostřední nástupce nad 0; poměrně často však lze získat intuici související s diagramy podobného druhu.

Speciální prvky v rámci objednávky

V částečně seřazené sadě mohou existovat některé prvky, které hrají zvláštní roli. Nejzákladnější příklad je dána nejmenší prvek části uspořádané množiny . Například 1 je nejmenší prvek kladných celých čísel a prázdná množina je nejmenší množina v pořadí podmnožiny. Formálně je prvek m nejmenším prvkem, pokud:

ma , pro všechny prvky a řádu.

Záznam 0 se často nachází u nejmenšího prvku, i když se nejedná o žádná čísla. V objednávkách na sadách čísel však může být tento zápis nevhodný nebo nejednoznačný, protože číslo 0 není vždy nejmenší. Příklad je uveden ve výše uvedeném pořadí dělitelnosti |, kde 1 je nejmenší prvek, protože rozděluje všechna ostatní čísla. Naproti tomu 0 je číslo, které je děleno všemi ostatními čísly. Proto je to největší prvek řádu. Další časté výrazy pro nejmenší a největší prvky jsou spodní a horní nebo nula a jednotka .

Jak ukazuje příklad skutečných čísel, nemusí existovat nejmenší a největší prvky . Ale pokud existují, jsou vždy jedinečné. Naproti tomu vezměte v úvahu vztah dělitelnosti | na setu {2,3,4,5,6}. Ačkoli tato sada nemá ani horní ani dolní část, prvky 2, 3 a 5 nemají žádné prvky pod nimi, zatímco 4, 5 a 6 nemají žádné výše. Takové prvky se nazývají minimální a maximální . Formálně prvek m je minimální , pokud:

am znamená a = m , pro všechny prvky a řádu.

Výměna ≤ s ≥ poskytuje definici maximality . Jak ukazuje příklad, může existovat mnoho maximálních prvků a některé prvky mohou být maximální i minimální (např. 5 výše). Pokud však existuje nejmenší prvek, pak je to jediný minimální prvek objednávky. Opět platí, že v nekonečných sadách ne vždy existují maximální prvky - množina všech konečných podmnožin dané nekonečné množiny seřazená podle zahrnutí podmnožiny poskytuje jeden z mnoha protipříkladů. Důležitým nástrojem k zajištění existence maximálních prvků za určitých podmínek je Zornova Lemma .

Podmnožiny částečně seřazených sad dědí pořadí. Už jsme to použili zvážením podmnožiny {2,3,4,5,6} přirozených čísel s uspořádáním indukované dělitelnosti. Nyní existují také prvky posetu, které jsou zvláštní s ohledem na určitou podmnožinu objednávky. To vede k definici horních hranic . Vzhledem k tomu, podmnožina S nějaké uspořádané množiny P , horní hranice S je prvek b z P , která je nad všechny prvky S . Formálně to znamená

Sb , pro všechny S v S .

Dolní hranice jsou opět definovány obrácením pořadí. Například -5 je dolní mez přirozených čísel jako podmnožina celých čísel. Vzhledem k sadě sad je horní hranice pro tyto sady v rámci uspořádání podmnožiny dána jejich spojením . Ve skutečnosti je tato horní hranice zcela zvláštní: je to nejmenší sada, která obsahuje všechny sady. Proto jsme našli nejmenší horní hranici sady množin. Tento koncept se také nazývá supremum nebo join a pro množinu S se píše sup ( S ) nebo pro jeho nejnižší horní hranici. Naopak největší dolní mez je známá jako infimum nebo splnit a označena inf ( S ) nebo . Tyto koncepty hrají důležitou roli v mnoha aplikacích teorie řádu. Pro dva prvky x a y jeden také zapíše a pro sup ({ x , y }) a inf ({ x , y }).

Například 1 je infimum kladných celých čísel jako podmnožina celých čísel.

Pro další příklad zvažte opět vztah | na přirozených číslech. Nejmenší horní hranice dvou čísel je nejmenší číslo, které je oběma děleno, tj. Nejmenší společný násobek čísel. Největší spodní hranice jsou zase dány největším společným dělitelem .

Dualita

V předchozích definicích jsme si často všimli, že koncept lze definovat pouhým převrácením řazení v dřívější definici. To platí pro „nejmenší“ a „největší“, pro „minimální“ a „maximální“, pro „horní mez“ a „dolní mez“ atd. Toto je obecná situace v teorii pořadí: Daný řád lze převrátit pouhou výměnou jeho směru a obrazovým překlopením Hasseova diagramu shora dolů. Výsledkem je takzvané dvojí , inverzní nebo opačné pořadí .

Každá teoretická definice řádu má své dvojí: je to pojem, který člověk získá aplikací definice na inverzní pořadí. Protože jsou všechny koncepty symetrické, tato operace zachovává věty o dílčích řádech. Pro daný matematický výsledek stačí obrátit pořadí a nahradit všechny definice jejich duály a získá se další platná věta. To je důležité a užitečné, protože člověk získá dvě věty za cenu jedné. Některé další podrobnosti a příklady lze nalézt v článku o dualitě v teorii řádu .

Vytváření nových objednávek

Existuje mnoho způsobů, jak sestavit objednávky z daných příkazů. Duální objednávka je jedním příkladem. Další důležitou konstrukcí je karteziánský součin dvou částečně uspořádaných množin, společně s pořadím produktu na dvojicích prvků. Pořadí je definováno ( a , x ) ≤ ( b , y ), pokud (a pouze pokud) ab a xy . (Všimněte si pozorně, že v této definici existují tři různé významy pro vztahový symbol ≤.) Disjunktní spojení dvou posetů je dalším typickým příkladem konstrukce řádu, kde je řád jen (disjunktním) spojením původních řádů.

Každé dílčí pořadí ≤ vede k takzvanému přísnému řádu <definováním a < b, pokud ab a ne ba . Tuto transformaci lze převrátit nastavením ab, pokud a < b nebo a = b . Tyto dva koncepty jsou ekvivalentní, i když za určitých okolností může být práce s nimi pohodlnější než s ostatními.

Funkce mezi objednávkami

Je rozumné uvažovat o funkcích mezi částečně uspořádanými množinami s určitými dalšími vlastnostmi, které souvisejí s uspořádacími vztahy těchto dvou sad. Nejzákladnější podmínkou, která se v tomto kontextu vyskytuje, je monotónnost . Funkce f z množiny P do množiny Q je monotónní nebo zachovává pořádek , pokud ab v P znamená f ( a ) ≤ f ( b ) v Q (Berouce na vědomí, že tyto dva vztahy jsou zde striktně odlišné, protože platí pro různé sady.) Obrácení této implikace vede k funkcím, které odrážejí pořadí , tj. K funkcím f uvedeným výše, pro které f ( a ) ≤ f ( b ) znamená ab . Na druhou stranu může být funkcí také obrácení pořadí nebo antitón , pokud ab znamená f ( a ) ≥ f ( b ).

Objednávek vkládání je funkce f mezi příkazy, které je jak objednávky zachování a pořadí odrážející. Příklady těchto definic lze snadno najít. Například funkce, která mapuje přirozené číslo na svého nástupce, je vzhledem k přirozenému řádu jasně monotónní. Monotónní je také jakákoli funkce z diskrétního pořadí, tj. Ze sady seřazené podle pořadí identity "=". Mapování každého přirozeného čísla na odpovídající reálné číslo je příkladem pro vložení objednávky. Sada doplněk na POWERSET je příklad funkce antitone.

Důležitou otázkou je, když jsou dva řády „v podstatě stejné“, tj. Když jsou stejné až do přejmenování prvků. Izomorfismy řádu jsou funkce, které definují takové přejmenování. Izomorfismus řádu je monotónní bijektivní funkce, která má monotónní inverzi. To je ekvivalentní tomu, že jde o surjektivní vkládání objednávek. Proto je obraz f ( P ) vložení objednávky vždy izomorfní k P , což ospravedlňuje termín „vkládání“.

Propracovanější typ funkcí je dán takzvanými Galoisovými spojeními . Monotónní Galoisova spojení lze považovat za zobecnění řádově izomorfismů, protože představují dvojici dvou funkcí v opačných směrech, které k sobě „nejsou úplně“ inverzní, ale přesto mají blízké vztahy.

Dalším zvláštním typem vlastních map na svazku jsou uzavírací operátory , které jsou nejen monotónní, ale také idempotentní , tj. F ( x ) = f ( f ( x )) a rozsáhlé (nebo inflační ), tj. Xf ( x ). Ty mají mnoho aplikací ve všech druzích „uzávěrů“, které se objevují v matematice.

Kromě toho, že jsou funkce mezi posety kompatibilní s pouhými vztahy pořadí, mohou se také chovat dobře s ohledem na speciální prvky a konstrukce. Například, když mluvíme o sadách s nejmenším prvkem, může se zdát rozumné uvažovat pouze o monotónních funkcích, které zachovávají tento prvek, tj. Které mapují nejméně prvků na nejmenší prvky. Pokud existuje binární infima ∧, pak rozumnou vlastností může být požadavek, že f ( xy ) = f ( x ) ∧ f ( y ), pro všechna x a y . Všechny tyto vlastnosti, a dokonce mnoho dalších, mohou být kompilovány pod označením funkcí zachovávajících limity .

Nakonec lze pohled převrátit a přepnout z funkcí příkazů na pořadí funkcí . Funkce mezi dvěma polohami P a Q lze skutečně uspořádat pomocí bodového pořadí . Pro dvě funkce f a g , máme fg v případě, f ( x ) ≤ g ( x ) pro všechny prvky x z P . K tomu dochází například v teorii domén , kde funkční prostory hrají důležitou roli.

Zvláštní typy objednávek

Mnoho struktur, které jsou studovány v teorii řádu, využívá řádové vztahy s dalšími vlastnostmi. Ve skutečnosti mají zvláštní zájem dokonce i některé vztahy, které nejsou dílčími řády. Je třeba zmínit hlavně koncept předobjednávky . Předobjednávka je relace, která je reflexivní a tranzitivní, ale nemusí být nutně antisymetrická. Každá předobjednávka indukuje vztah ekvivalence mezi prvky, kde a je ekvivalentní b , pokud ab a ba . Předobjednávky lze převést na objednávky identifikací všech prvků, které jsou s ohledem na tento vztah ekvivalentní.

Z číselných údajů o položkách objednávky lze definovat několik typů objednávek: celková objednávka vyplývá z přiřazení odlišných skutečných čísel ke každé položce a použití číselných srovnání k objednání položek; místo toho, pokud mají různé položky stejné číselné skóre, získá se přísné slabé uspořádání . Vyžadování oddělení dvou skóre pevnou prahovou hodnotou před jejich porovnáním vede ke konceptu poloviční objednávky , přičemž umožňuje, aby se prahová hodnota měnila na základě jednotlivých položek, vytvářela intervalové pořadí .

Další jednoduchá, ale užitečná vlastnost vede k takzvaným fundovaným , u nichž mají všechny neprázdné podmnožiny minimální prvek. Zobecněním řádů z lineárních na dílčí řády je sada dobře částečně uspořádána, pokud všechny její neprázdné podmnožiny mají konečný počet minimálních prvků.

Mnoho dalších typů objednávek vzniká, když je zaručena existence infima a suprema určitých sad. Zaměřením na tento aspekt, obvykle označovaný jako úplnost objednávek, získáme:

Lze však jít ještě dále: pokud existují všechny konečné neprázdné infima, pak lze na ∧ pohlížet jako na úplnou binární operaci ve smyslu univerzální algebry . V mřížce jsou tedy k dispozici dvě operace ∧ a ∨ a nové vlastnosti lze definovat zadáním identit, jako je

x  ∧ ( y  ∨  z ) = ( x  ∧  y ) ∨ ( x  ∧  z ), pro všechna x , y a z .

Tato podmínka se nazývá distribučnost a vede k distribučním mřížkám . Existuje několik dalších důležitých zákonů distribuce, které jsou popsány v článku o distribuci v teorii pořadí . Některé další řádové struktury, které jsou často specifikovány pomocí algebraických operací a definujících identit, jsou

které oba zavádějí novou operaci ~ nazývanou negace . Obě struktury hrají roli v matematické logice a zejména booleovské algebry mají hlavní aplikace v informatice . Nakonec různé struktury v matematice kombinují řády s ještě více algebraickými operacemi, jako v případě kvantál , které umožňují definovat operaci sčítání.

Existuje mnoho dalších důležitých vlastností posetů. Poset je například místně konečný, pokud je v něm každý uzavřený interval [ a , b ] konečný . Místně konečné posety vedou k výskytu algeber, které mohou být použity k definování Eulerovy charakteristiky konečných ohraničených pozet.

Podmnožiny objednaných sad

V seřazené sadě lze definovat mnoho typů speciálních podmnožin na základě dané objednávky. Jednoduchým příkladem jsou horní sady ; tj. sady, které obsahují všechny prvky, které jsou v pořadí nad nimi. Formálně je horní uzávěr množiny S v sadě P dán množinou { x v P | existuje nějaké y v S s yx }. Sada, která se rovná jejímu hornímu uzávěru, se nazývá horní sada. Nižší sady jsou definovány duálně.

Složitější nižší podmnožiny jsou ideály , které mají další vlastnost, že každé dva jejich prvky mají v rámci ideálu horní hranici. Jejich duály jsou dány filtry . Souvisejícím konceptem je směrovaná podmnožina , která jako ideál obsahuje horní hranice konečných podmnožin, ale nemusí být nižší. Kromě toho je často generalizováno na předobjednané sady.

Podskupina, která je - jako podmnožina - lineárně seřazená, se nazývá řetěz . Opačný pojem, antichain , je podmnožina, která neobsahuje žádné dva srovnatelné prvky; tj. to je diskrétní pořadí.

Související matematické oblasti

Ačkoli většina matematických oblastí používá řády jedním nebo druhým způsobem, existuje také několik teorií, které mají vztahy, které daleko přesahují pouhou aplikaci. Spolu s jejich hlavními styčnými body s teorií řádu budou některé z nich uvedeny níže.

Univerzální algebra

Jak již bylo zmíněno, metody a formalismy univerzální algebry jsou důležitým nástrojem mnoha teoretických úvah o řádu. Kromě formalizace řádů z hlediska algebraických struktur, které uspokojují určité identity, lze také vytvořit další spojení s algebrou. Příkladem je korespondence mezi booleovskými algebrami a booleovskými prstenci . Další problémy se týkají existence volných konstrukcí , jako jsou například volné mříže založené na dané sadě generátorů. Kromě toho jsou při studiu univerzální algebry důležité operátory uzavření.

Topologie

V topologii hrají objednávky velmi důležitou roli. Ve skutečnosti kolekce otevřených množin poskytuje klasický příklad úplné mřížky, přesněji úplné Heytingovy algebry (nebo „ rámce “ nebo „ národního prostředí “). Filtry a sítě jsou pojmy úzce související s teorií řádu a k definování topologie lze použít uzavírací operátor sad . Kromě těchto vztahů lze na topologii pohlížet pouze z hlediska otevřených množin, což vede ke studiu nesmyslné topologie . Kromě toho je přirozená předobjednávka prvků podkladové množiny topologie dána takzvaným specializačním řádem , což je vlastně částečné pořadí, pokud je topologie T 0 .

Naopak v teorii řádu se často využívá topologických výsledků. Existují různé způsoby, jak definovat podmnožiny objednávky, které lze považovat za otevřené sady topologie. Vzhledem k topologiím na sadě ( X , ≤), které naopak indukují ≤ jako pořadí jejich specializace, je nejlepší takovou topologií Alexandrovská topologie , daná tím, že se všechny horní množiny berou jako otevřené. Naopak, nejhrubší topologie, že indukuje specializace pořadí je horní topologie s komplementy hlavní ideál (tj sady formě { y v X | yx } nějakého x ) jako podloží . Topologie se specializačním pořadím ≤ může být navíc konzistentní v pořadí , což znamená, že jejich otevřené sady jsou „nepřístupné řízenou suprema“ (s ohledem na ≤). Nejkvalitnější konzistentní topologií je topologie Scott , která je hrubší než topologie Alexandrov. Třetí důležitou topologií v tomto duchu je topologie Lawson . Mezi těmito topologiemi a koncepty teorie řádu existuje úzké spojení. Například funkce zachovává řízené suprema právě tehdy, pokud je spojitá s ohledem na topologii Scott (z tohoto důvodu se tato teoretická vlastnost řádu také nazývá Scottova kontinuita ).

Teorie kategorie

Vizualizace objednávek pomocí Hasseových diagramů má jednoduchou generalizaci: místo zobrazení menších prvků pod většími lze směr objednávky znázornit také udáním směrů k okrajům grafu. Tímto způsobem je každý řád považován za ekvivalent směrovaného acyklického grafu , kde uzly jsou prvky posetu a existuje směrovaná cesta od a do b právě tehdy, když ab . Snížením požadavku být acyklickým lze také získat všechny předobjednávky.

Když jsou tyto grafy vybaveny všemi přechodnými hranami, jsou to zase jen speciální kategorie , kde prvky jsou objekty a každá sada morfismů mezi dvěma prvky je maximálně singleton. Funkce mezi objednávkami se stávají funktory mezi kategoriemi. Mnoho myšlenek teorie řádu je jen konceptem teorie kategorií v malém. Například infimum je jen kategorický produkt . Obecněji lze zachytit infima a suprema pod abstraktním pojmem kategorického limitu (respektive kolimitu ). Dalším místem, kde se vyskytují kategorické myšlenky, je koncept (monotónního) Galoisova spojení , které je stejné jako dvojice pomocných funktorů .

Ale teorie kategorií má také svůj vliv na teorii řádu ve větším měřítku. Třídy posetů s příslušnými funkcemi, jak jsou diskutovány výše, tvoří zajímavé kategorie. Často lze také uvést konstrukce objednávek, jako je pořadí produktů , z hlediska kategorií. Další poznatky vyplývají z toho, že kategorie objednávek jsou kategoricky ekvivalentní jiným kategoriím, například topologickým prostorům. Tato linie výzkumu vede k různým reprezentačním větám , často shromažďovaným pod nálepkou kamenné duality .

Dějiny

Jak již bylo vysvětleno dříve, řády jsou v matematice všudypřítomné. Nejstarší výslovné zmínky o dílčích řádech však pravděpodobně najdeme až v 19. století. V této souvislosti mají díla George Booleho velký význam. Díla Charlese Sanderse Peirce , Richarda Dedekinda a Ernsta Schrödera navíc zvažují koncepty teorie řádu.

Přispěvatelé do uspořádané geometrie byli uvedeni v učebnici z roku 1961 :

Byl to Pasch v roce 1882, kdo poprvé poukázal na to, že geometrii řádu lze vyvinout bez odkazu na měření. Jeho systém axiomů postupně vylepšovali Peano (1889), Hilbert (1899) a Veblen (1904).

-  HSM Coxeter , Úvod do geometrie

V roce 1901 napsal Bertrand Russell „O pojmu řádu“ zkoumáním základů myšlenky prostřednictvím generování sérií . K tématu se vrátil v části IV Principů matematiky (1903). Russell poznamenal, že binární relace aRb má smysl postupující od a do b, přičemž konverzní relace má opačný smysl, a smysl „je zdrojem řádu a řady“. (str. 95) Uznává, že Immanuel Kant si „uvědomoval rozdíl mezi logickou opozicí a opozicí pozitivního a negativního“. Napsal, že Kant si zaslouží uznání, protože „nejprve upozornil na logický význam asymetrických vztahů“.

Termín poset jako zkratka pro částečně uspořádanou množinu vytvořil Garrett Birkhoff ve druhém vydání své vlivné knihy The Lattice Theory .

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy