Ortogonalizace - Orthogonalization
V lineární algebře je ortogonalizace proces nalezení sady ortogonálních vektorů, které pokrývají konkrétní podprostor . Formálně, počínaje lineárně nezávislou sadou vektorů { v 1 , ..., v k } ve vnitřním produktovém prostoru (nejčastěji euklidovském prostoru R n ), vede ortogonalizace k souboru ortogonálních vektorů { u 1 , .. ., u k }, které generují stejný podprostor jako vektory v 1 , ..., v k . Každý vektor v nové sadě je ortogonální ke každému jinému vektoru v nové sadě; a nová sada a stará sada mají stejné lineární rozpětí .
Pokud navíc chceme, aby výsledné vektory byly všechny jednotkové , pak každý vektor normalizujeme a procedura se nazývá orthonormalizace .
Ortogonalizace je také možná s ohledem na jakoukoli symetrickou bilineární formu (ne nutně vnitřní produkt, ne nutně přes reálná čísla ), ale standardní algoritmy se v tomto obecnějším nastavení mohou setkat s dělením nulou .
Ortogonalizační algoritmy
Metody pro provádění ortogonalizace zahrnují:
- Gram – Schmidtův proces , který využívá projekci
- Transformace vlastníka domu , která využívá reflexi
- Dává rotaci
- Symetrická ortogonalizace, která používá rozklad singulárních hodnot
Při provádění ortogonalizace na počítači je obvykle upřednostňována transformace vlastníka domu před procesem Gram – Schmidt, protože je numericky stabilnější , tj. Chyby zaokrouhlování mívají méně závažné dopady.
Na druhou stranu, Gram – Schmidtův proces produkuje j -tý ortogonalizovaný vektor po j -té iteraci, zatímco ortogonalizace pomocí Householderových odrazů produkuje všechny vektory až na konci. Díky tomu je pro iterační metody, jako je Arnoldiho iterace, použitelný pouze Gram – Schmidtův proces .
Rotace Givens je snadněji paralelizována než transformace Householder.
Symetrickou ortogonalizaci zformuloval Per-Olov Löwdin .
Místní ortogonalizace
Aby se kompenzovala ztráta užitečného signálu v tradičních přístupech k útlumu šumu z důvodu nesprávného výběru parametrů nebo nedostatečnosti předpokladů odšumování, lze na původně odhuštěnou část použít operátor vážení pro získání užitečného signálu z počáteční hlukové sekce. Novému procesu odšumování se říká místní ortogonalizace signálu a šumu. Má širokou škálu aplikací v mnoha oblastech zpracování signálů a seismického průzkumu.
Viz také
Reference
- ^ Löwdin, Per-Olov (1970). „K problému neorthogonality“ . Pokroky v kvantové chemii . 5 . Elsevier. s. 185–199.
- ^ Chen, Yangkang; Fomel, Sergey (2015). „Náhodné zeslabení šumu pomocí místní ortogonalizace signálu a šumu“. Geofyzika . 80 (6): WD1 – WD9. doi : 10.1190/GEO2014-0227.1 .