Ortogonalizace - Orthogonalization

V lineární algebře je ortogonalizace proces nalezení sady ortogonálních vektorů, které pokrývají konkrétní podprostor . Formálně, počínaje lineárně nezávislou sadou vektorů { v 1 , ...,  v k } ve vnitřním produktovém prostoru (nejčastěji euklidovském prostoru R n ), vede ortogonalizace k souboru ortogonálních vektorů { u 1 , .. .,  u k }, které generují stejný podprostor jako vektory v 1 , ...,  v k . Každý vektor v nové sadě je ortogonální ke každému jinému vektoru v nové sadě; a nová sada a stará sada mají stejné lineární rozpětí .

Pokud navíc chceme, aby výsledné vektory byly všechny jednotkové , pak každý vektor normalizujeme a procedura se nazývá orthonormalizace .

Ortogonalizace je také možná s ohledem na jakoukoli symetrickou bilineární formu (ne nutně vnitřní produkt, ne nutně přes reálná čísla ), ale standardní algoritmy se v tomto obecnějším nastavení mohou setkat s dělením nulou .

Ortogonalizační algoritmy

Metody pro provádění ortogonalizace zahrnují:

Při provádění ortogonalizace na počítači je obvykle upřednostňována transformace vlastníka domu před procesem Gram – Schmidt, protože je numericky stabilnější , tj. Chyby zaokrouhlování mívají méně závažné dopady.

Na druhou stranu, Gram – Schmidtův proces produkuje j -tý ortogonalizovaný vektor po j -té iteraci, zatímco ortogonalizace pomocí Householderových odrazů produkuje všechny vektory až na konci. Díky tomu je pro iterační metody, jako je Arnoldiho iterace, použitelný pouze Gram – Schmidtův proces .

Rotace Givens je snadněji paralelizována než transformace Householder.

Symetrickou ortogonalizaci zformuloval Per-Olov Löwdin .

Místní ortogonalizace

Aby se kompenzovala ztráta užitečného signálu v tradičních přístupech k útlumu šumu z důvodu nesprávného výběru parametrů nebo nedostatečnosti předpokladů odšumování, lze na původně odhuštěnou část použít operátor vážení pro získání užitečného signálu z počáteční hlukové sekce. Novému procesu odšumování se říká místní ortogonalizace signálu a šumu. Má širokou škálu aplikací v mnoha oblastech zpracování signálů a seismického průzkumu.

Viz také

Reference

  1. ^ Löwdin, Per-Olov (1970). „K problému neorthogonality“ . Pokroky v kvantové chemii . 5 . Elsevier. s. 185–199.
  2. ^ Chen, Yangkang; Fomel, Sergey (2015). „Náhodné zeslabení šumu pomocí místní ortogonalizace signálu a šumu“. Geofyzika . 80 (6): WD1 – WD9. doi : 10.1190/GEO2014-0227.1 .