Ortografická projekce - Orthographic projection

Část seriálu o
Grafická projekce
Rovinný Paralelní projekce Ortografická projekce Izometrické promítání Šikmá projekce Perspektivní projekce Křivočará perspektiva Opačná perspektiva
Pohledy Pohled z ptačí perspektivy Průřez Výřez kresby Výkres rozloženého pohledu Objektiv typu rybí oko Multiviews Panoráma Pohled z červího oka Přibližovací skla
Témata 3D projekce Anamorfóza Axonometrie Počítačová grafika Počítačem podporovaný design Deskriptivní geometrie Inženýrské kreslení Mapová projekce Obrazová rovina Plány (nákresy) Projekce (lineární algebra) Projekční rovina Projektivní geometrie Stereoskopie Technický výkres Skutečná délka Bod zmizení Grafika videoher Prohlížení frustum
proti t E

Ortografická projekce (někdy označovaná jako ortogonální projekce , dříve nazývaná analemma ) je prostředek k reprezentaci trojrozměrných objektů ve dvou rozměrech . Jedná se o formu paralelní projekce , ve které jsou všechny projekční linie ortogonální k projekční rovině , což má za následek, že každá rovina scény se na pozorovací ploše jeví v afinní transformaci . Avers ortografické projekce je šikmá projekce , což je rovnoběžná projekce, ve které promítací přímky nejsou kolmé k promítací rovině.

Termín ortografický je někdy vyhrazen speciálně pro zobrazení objektů, kde jsou hlavní osy nebo roviny objektu také rovnoběžné s projekční rovinou. Tyto jsou však lépe známé jako primární pohledy v multiview projekci . Kromě toho, když hlavní roviny nebo osy objektu v ortografické projekci nejsou rovnoběžné s projekční rovinou, jsou zobrazení někdy označována jako axonometrická . Tyto pohledy jsou však známější jako pomocné pohledy . ( Axonometrická projekce by mohla být přesněji popsána jako synonymum pro paralelní promítání .) Podtypy primárních pohledů zahrnují půdorysy , pohledy a řezy . Podtypy pomocných pohledů mohou zahrnovat izometrické , dimetrické a trimetrické projekce .

Čočka poskytující ortografickou projekci je známá jako telecentrická čočka v prostoru objektů .

Geometrie

Porovnání několika typů grafické projekce

Různé projekce a způsob jejich výroby

Tři pohledy. Procenta ukazují výši zkrácení.

Jednoduchou ortografickou projekci do roviny z = 0 lze definovat pomocí následující matice:

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

Pro každý bod v = ( v _x , v _y , v _z ) by byl transformovaný bod Pv

${\displaystyle Pv={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end {bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\end{bmatrix}}}$

Často je užitečnější použít homogenní souřadnice . Výše uvedená transformace může být reprezentována pro homogenní souřadnice jako

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Pro každý homogenní vektor v = ( v _x , v _y , v _z , 1) by byl transformovaný vektor Pv

${\displaystyle Pv={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\ \1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\\1\end{bmatrix}}}$

V počítačové grafice může být jedna z nejběžnějších matic používaných pro ortografickou projekci definována pomocí 6-ti , ( vlevo , vpravo , dole , nahoře , blízko , daleko ), která definuje ořezové roviny. Tyto roviny tvoří rámeček s minimálním rohem v ( vlevo , dole , - blízko ) a maximálním rohem v ( vpravo , nahoře , - daleko ).

Kvádr se přeloží tak, že jeho střed je v počátku, pak se změní měřítko na jednotkovou krychli, která je definována tím, že má minimální roh na (−1,−1,−1) a maximální roh na (1,1, 1).

Ortografická transformace může být dána následující maticí:

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\frac {2}{right-left}}&0&0&-{\frac {right+left}{right-left}}\\0&{\frac {2}{nahoře -bottom}}&0&-{\frac {top+bottom}{top-bottom}}\\0&0&{\frac {-2}{daleko-near}}&-{\frac {daleko+near}{daleko-near }}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

který může být uveden jako měřítko S následované překladem T formuláře

${\displaystyle P=ST={\begin{bmatrix}{\frac {2}{right-left}}&0&0&0\\0&{\frac {2}{top-bottom}}&0&0\\0&0&{\frac {2 }{far-near}}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {left+right}{2}}\\0&1&0&-{\frac {top+bottom}{ 2}}\\0&0&-1&-{\frac {daleko+blízko}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Inverze promítací matice P ⁻¹ , kterou lze použít jako nepromítací matici, je definována:

${\displaystyle P^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {right-left}{2}}&0&0&{\frac {left+right}{2}}\\0&{\frac {top- bottom}{2}}&0&{\frac {top+bottom}{2}}\\0&0&{\frac {daleko-near}{-2}}&-{\frac {daleko+near}{2}}\ \0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Typy

Klasifikace ortografického promítání a některých 3D projekcí

Tři poddruhy orthographic projekce jsou izometrická projekce , dimetrická projekce a trimetrická projekce , se spoléhat na přesný úhel u kterého pohled se odchyluje od ortogonal. Typicky v axonometrické kresbě, stejně jako v jiných typech obrázků, je jedna osa prostoru zobrazena jako vertikální.

V izometrické projekci , nejčastěji používané formě axonometrické projekce v technickém kreslení, je směr pohledu takový, že tři osy prostoru vypadají stejně zkrácené a je mezi nimi společný úhel 120°. Protože zkreslení způsobené zkrácením je jednotné, proporcionalita mezi délkami je zachována a osy sdílejí společné měřítko; to usnadňuje možnost provádět měření přímo z výkresu. Další výhodou je, že úhly 120° lze snadno konstruovat pouze pomocí kružítka a pravítka .

V dimetrické projekci je směr pohledu takový, že dvě ze tří os prostoru se jeví stejně zkrácené, přičemž příslušné měřítko a úhly zobrazení jsou určeny podle úhlu pohledu; měřítko třetího směru se určuje samostatně. Rozměrové aproximace jsou běžné v dimetrických výkresech.

V trimetrické projekci je směr pohledu takový, že všechny tři osy prostoru vypadají nestejně zkrácené. Měřítko podél každé ze tří os a úhly mezi nimi jsou určeny samostatně podle úhlu pohledu. Rozměrové aproximace v trimetrických výkresech jsou běžné a trimetrická perspektiva se v technických výkresech používá jen zřídka.

Multiview projekce

Symboly používané k definování, zda je víceúhlová projekce buď ze třetího úhlu (vpravo) nebo z prvního úhlu (vlevo).

Při vícepohledové projekci se vytvoří až šest obrázků objektu, nazývaných primární pohledy , přičemž každá projekční rovina je rovnoběžná s jednou ze souřadnicových os objektu. Pohledy jsou umístěny relativně vůči sobě podle jednoho ze dvou schémat: projekce z prvního nebo třetího úhlu . V každém z nich lze vzhled pohledů považovat za promítaný do rovin, které tvoří šestistranný rámeček kolem objektu. Ačkoli lze nakreslit šest různých stran, obvykle tři pohledy na výkres poskytnou dostatek informací k vytvoření trojrozměrného objektu. Tyto pohledy jsou známé jako pohled zepředu , pohled shora a pohled na konec . Jiné názvy těchto pohledů zahrnují půdorys , pohled a řez . Pokud rovina nebo osa zobrazeného objektu není rovnoběžná s projekční rovinou a pokud je na stejném obrázku vidět více stran objektu, nazývá se to pomocný pohled . Izometrická projekce , dimetrická projekce a trimetrická projekce by tedy byly považovány za pomocné pohledy ve vícepohledové projekci. Typickou vlastností vícepohledové projekce je, že jedna osa prostoru je obvykle zobrazena jako vertikální.

Kartografie

Ortografická projekce (rovníkový aspekt) východní polokoule 30°W–150°E

Ortografická projekční mapa je mapová projekce kartografie . Stejně jako stereografická projekce a gnomonická projekce je ortografická projekce perspektivní (nebo azimutální) projekce , ve které je koule promítnuta na rovinu tečny nebo sečnu . Perspektivní bod pro ortografickou projekci je v nekonečné vzdálenosti. Zobrazuje polokouli zeměkoule , jak se zdá z vesmíru , kde horizont je velký kruh . Tvary a oblasti jsou zdeformované , zejména v blízkosti okrajů.

Pravopisná projekce je známá již od starověku a její kartografické využití je dobře zdokumentováno. Hipparchos použil projekci ve 2. století před naším letopočtem k určení míst východu a západu hvězd. Asi v roce 14 př. n. l. římský inženýr Marcus Vitruvius Pollio použil projekci ke konstrukci slunečních hodin a k výpočtu poloh Slunce.

Zdá se, že Vitruvius také vymyslel pro projekci termín ortografický (z řeckého orthos (= „rovný“) a graphē (= „kresba“). Název analemma , který také znamenal sluneční hodiny ukazující zeměpisnou šířku a délku, však byl běžné jméno až do roku 1613, kdy François d'Aguilon z Antverp propagoval jeho současný název.

Nejstarší dochované mapy na projekci se objevují jako dřevořezové kresby pozemských glóbů z let 1509 (anonymní), 1533 a 1551 (Johannes Schöner) a 1524 a 1551 (Apian).

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Normale (ortogonale) Axonometrie (v němčině)
• Ortografická projekce Video a matematika