Paraboloid - Paraboloid

Paraboloid revoluce

V geometrii , je paraboloid je quadric povrch , který má přesně jeden osu souměrnosti a žádný střed souměrnosti . Termín „paraboloid“ je odvozen z paraboly , která označuje kuželovitý řez, který má podobnou vlastnost symetrie.

Každý rovinný úsek paraboloidu rovinou rovnoběžnou s osou symetrie je parabola. Paraboloid je hyperbolický, pokud každý další rovinný úsek je buď hyperbola , nebo dvě křížené čáry (v případě řezu tečnou rovinou). Paraboloid je eliptický, pokud každý další neprázdný rovinný řez je buď elipsa , nebo jediný bod (v případě řezu tečnou rovinou). Paraboloid je buď eliptický nebo hyperbolický.

Ekvivalentně může být paraboloid definován jako kvadrický povrch, který není válcem , a má implicitní rovnici, jejíž část druhého stupně lze započítat přes komplexní čísla do dvou různých lineárních faktorů. Paraboloid je hyperbolický, pokud jsou faktory skutečné; eliptické, pokud jsou faktory komplexně sdružené .

Eliptický paraboloid má tvar oválného kalíšku a má maximální nebo minimální bod, když je jeho osa svislá. Ve vhodném souřadném systému se třemi osami x , y a z může být reprezentován rovnicí

kde a a b jsou konstanty, které určují úroveň zakřivení v rovinách xz a yz . V této poloze se eliptický paraboloid otevírá nahoru.

Hyperbolický paraboloid

Hyperbolický paraboloid (nezaměňovat s hyperboloidem ) je dvakrát ovládaný povrch ve tvaru sedla . Ve vhodném souřadném systému může být hyperbolický paraboloid reprezentován rovnicí

V této poloze se hyperbolický paraboloid otevírá dolů podél osy x a nahoru podél osy y (to znamená, že parabola v rovině x = 0 se otevírá nahoru a parabola v rovině y = 0 se otevírá dolů).

Jakýkoli paraboloid (eliptický nebo hyperbolický) je translační plocha , protože může být generována pohybující se parabolou řízenou druhou parabolou.

Vlastnosti a aplikace

Eliptický paraboloid

Polygonová síť kruhového paraboloidu
Kruhový paraboloid

Ve vhodném kartézském souřadném systému má eliptický paraboloid rovnici

Pokud a = b , eliptický paraboloid je kruhový paraboloid nebo paraboloid otáčení . Je to rotační plocha získaná otáčením paraboly kolem své osy.

Kruhový paraboloid samozřejmě obsahuje kruhy. To platí také v obecném případě (viz kruhová část ).

Z hlediska projektivní geometrie je eliptický paraboloid elipsoid, který je tečnou k rovině v nekonečnu .

Letadlové sekce

Rovinné části eliptického paraboloidu mohou být:

  • parabola , v případě, že rovina je rovnoběžná s osou,
  • bod , v případě, že letadlo je tangenta roviny .
  • elipsa nebo vyprázdnit , jinak.

Parabolický reflektor

Na ose kruhového paraboloidu je bod nazývaný ohnisko (nebo ohnisko ), takže pokud je paraboloidem zrcadlo, světlo (nebo jiné vlny) z bodového zdroje v ohnisku se odráží do paralelního paprsku , rovnoběžně s osou paraboloidu. Funguje to i obráceně: v ohnisku je soustředěn rovnoběžný paprsek světla, který je rovnoběžný s osou paraboloidu. Důkaz viz Parabola § Důkaz o reflexní vlastnosti .

Tvar kruhového paraboloidu je proto v astronomii široce používán pro parabolické reflektory a parabolické antény.

Povrch rotující kapaliny je také kruhový paraboloid. Toho se používá v teleskopech s kapalinovým zrcadlem a při výrobě pevných zrcadel dalekohledů (viz rotační pec ).

Hyperbolický paraboloid

Hyperbolický paraboloid s řádky v něm obsaženými
Smažené občerstvení Pringles má tvar hyperbolického paraboloidu.

Hyperbolický paraboloid je dvojnásobně ovládaný povrch : obsahuje dvě rodiny vzájemně zkosených čar . Čáry v každé rodině jsou rovnoběžné se společnou rovinou, ale ne navzájem. Hyperbolický paraboloid je tedy konoid .

Tyto vlastnosti charakterizují hyperbolické paraboloidy a jsou použity v jedné z nejstarších definic hyperbolických paraboloidů: hyperbolický paraboloid je povrch, který může být generován pohybující se čarou, která je rovnoběžná s pevnou rovinou a protíná dvě pevné šikmé čáry .

Tato vlastnost usnadňuje výrobu hyperbolického paraboloidu z různých materiálů a pro různé účely, od betonových střech po lehká jídla. Zvláště smažené občerstvení Pringles připomíná zkrácený hyperbolický paraboloid.

Hyperbolický paraboloid je sedlový povrch , protože jeho Gaussovo zakřivení je v každém bodě záporné. I když se tedy jedná o vládnutý povrch, nelze jej vyvíjet .

Z hlediska projektivní geometrie je hyperbolický paraboloid jednobarevný hyperboloid, který je tečnou k rovině v nekonečnu .

Hyperbolický paraboloid rovnice nebo (to je stejné na rotaci os ), může být označována jako obdélníkový hyperbolický paraboloid , analogicky s obdélníkovými hyperbolas .

Letadlové sekce
Hyperbolický paraboloid s hyperbolami a parabolami

Rovinný řez hyperbolickým paraboloidem s rovnicí

může být

  • linka , v případě, že rovina je rovnoběžná s z aretačním kroužkem, a má rovnici tvaru ,
  • parabola , v případě, že rovina je rovnoběžná s z aretačním kroužkem, a část není řádek,
  • dvojice protínajících se čar , je -li rovina tečnou rovinou ,
  • hyperbola , jinak.
Hyperbolický paraboloidní model STL

Příklady v architektuře

Sedlové střechy jsou často hyperbolické paraboloidy, protože jsou snadno konstruovány z rovných částí materiálu. Nějaké příklady:

Válec mezi tužkami eliptických a hyperbolických paraboloidů

eliptický paraboloid, parabolický válec, hyperbolický paraboloid

Tužka eliptických paraboloidů

a tužka hyperbolických paraboloidů

přiblížit se ke stejnému povrchu

for , což je parabolický válec (viz obrázek).

Zakřivení

Eliptický paraboloid, parametrizovaný jednoduše jako

Gaussovo zakřivení

a střední zakřivení

které jsou vždy kladné, mají své maximum na počátku, zmenšují se, když se bod na povrchu pohybuje dále od počátku, a mají tendenci asymptoticky k nule, když se uvedený bod pohybuje nekonečně od počátku.

Hyperbolický paraboloid, když je parametrizován jako

má Gaussovo zakřivení

a střední zakřivení

Geometrická reprezentace multiplikační tabulky

Pokud hyperbolický paraboloid

je otočen o úhel o π/4ve směru + z (podle pravidla pravé ruky ) je výsledkem plocha

a pokud a = b, pak se to zjednoduší na

.

Nakonec, když necháme a = 2 , vidíme, že hyperbolický paraboloid

je shodný s povrchem

kterou lze považovat za geometrickou reprezentaci ( jako by to byl trojrozměrný nomograf ) multiplikační tabulky .

Dvě paraboloidní 2 → ℝ funkce

a

jsou harmonické konjugáty a společně tvoří analytickou funkci

což je analytická pokračování v ℝ → ℝ parabolické funkce f ( x ) =x 2/2.

Rozměry paraboloidní paraboly

Rozměry symetrické paraboloidální paraboly souvisejí s rovnicí

kde F je ohnisková vzdálenost, D je hloubka paraboly (měřeno podél osy symetrie od vrcholu k rovině ráfku) a R je poloměr okraje. Všechny musí mít stejnou jednotku délky . Pokud jsou známy dvě z těchto tří délek, lze tuto rovnici použít pro výpočet třetí.

K nalezení průměru talíře měřeného podél jeho povrchu je zapotřebí složitější výpočet . Někdy se tomu říká „lineární průměr“ a rovná se průměru plochého, kruhového listu materiálu, obvykle kovového, což je správná velikost, která se má řezat a ohýbat, aby se vyrobila miska. Při výpočtu jsou užitečné dva mezivýsledky: P = 2 F (nebo ekvivalent: P =R 2/2 D) a Q = P 2 + R 2 , kde F , D a R jsou definovány výše. Průměr talíře, měřený podél povrchu, je pak dán vztahem

kde ln x , se rozumí přirozený logaritmus o x , tedy jeho logaritmus k základně e .

Objem misky, množství tekutiny, které by pojalo, kdyby byl okraj vodorovný a vrchol ve spodní části (např. Kapacita paraboloidního woku ), je dán vztahem

kde symboly jsou definovány výše. To lze porovnat se vzorci pro objemy válce ( π R 2 D ), polokoule (/3R 2 D , kde D = R ), a kužel (π/3R 2 D ). π R 2 je plocha clony paraboly, oblast ohraničená okrajem, která je úměrná množství slunečního světla, které reflektorová parabola může zachytit. Plochu parabolické misky lze zjistit pomocí vzorce plochy pro povrch otáčení, který dává

Viz také

Reference

externí odkazy