Paralelní projekce - Parallel projection

Rovnoběžné promítání (nebo axonometrie ) je projekce objektu v trojrozměrném prostoru na pevné rovině , známý jako projekční roviny nebo obrazové roviny , kde se paprsky , známé jako linie zraku nebo promítacích čar , jsou rovnoběžné k sobě jiný. Je to základní nástroj v deskriptivní geometrii . Projekce se nazývá ortografická, pokud jsou paprsky kolmé (ortogonální) na rovinu obrazu a šikmé nebo šikmé, pokud nejsou.

Přehled

Terminologie a zápisy paralelní projekce. Dva modré paralelní úsečky vpravo zůstávají rovnoběžné, když se promítají na rovinu obrazu vlevo.

Paralelní projekce je konkrétním případem projekce v matematice a grafické projekce v technickém kreslení . Paralelní projekce lze považovat za hranici středové nebo perspektivní projekce , ve které paprsky procházejí pevným bodem nazývaným střed nebo hledisko , protože tento bod se pohybuje směrem k nekonečnu. Jinak řečeno, paralelní projekce odpovídá perspektivní projekci s nekonečnou ohniskovou vzdáleností (vzdálenost mezi objektivem a ohniskem ve fotografii ) nebo „ zoomem “. Dále, v paralelních projekcích, čáry, které jsou rovnoběžné v trojrozměrném prostoru, zůstávají rovnoběžné v dvourozměrně promítaném obrazu.

Perspektivní projekce objektu je často považována za realističtější než paralelní projekce, protože se více podobá lidskému vidění a fotografii . Paralelní projekce jsou však v technických aplikacích oblíbené, protože je zachována rovnoběžnost linií a ploch objektu a z obrazu lze provádět přímá měření. Mezi paralelními projekcemi jsou ortografické projekce považovány za nejrealističtější a inženýři je běžně používají. Na druhou stranu, některé typy šikmých projekcí (například kavalírová projekce , vojenská projekce ) se realizují velmi snadno a používají se k vytváření rychlých a neformálních obrazů objektů.

Termín paralelní projekce se v literatuře používá jak k popisu samotného postupu (funkce matematického mapování), tak i výsledného obrazu vytvořeného tímto postupem .

Vlastnosti

Dvě paralelní projekce krychle. V ortografické projekci (vlevo) jsou projekční čáry kolmé na rovinu obrazu (růžové). V šikmé projekci (vpravo) jsou projekční čáry v šikmém úhlu k rovině obrazu.

Každá paralelní projekce má následující vlastnosti:

Je jednoznačně definována svou projekční rovinou Π a směrem (paralelních) projekčních čar. Směr nesmí být rovnoběžný s projekční rovinou. ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$
Libovolný bod prostoru má jedinečný obraz v projekční rovině Π a body Π jsou pevné.
Jakákoli přímka, která není rovnoběžná se směrem, je namapována na přímku; jakákoli přímka rovnoběžná s je mapována na bod. ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$
Rovnoběžky jsou mapovány na rovnoběžkách nebo na dvojici bodů (pokud jsou rovnoběžné s ). ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$
Poměr délky dvou úseček na lince zůstává beze změny. Jako zvláštní případ jsou středové body mapovány na středové body.
Délka řádku segmentu paralelně k projekční rovině zůstává beze změny . Pokud je projekce ortografická, délka libovolného úsečky se zkrátí.
Libovolný kruh, který leží v rovině rovnoběžné s projekční rovinou, je mapován na kruh se stejným poloměrem. Jakýkoli jiný kruh je mapován na elipsu nebo úsečku (pokud je směr rovnoběžný s rovinou kruhu). ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$
Úhly obecně nejsou zachovány. Ale pravé úhly s možností jedné přímce rovnoběžné s projekční rovině zůstávají nezměněny.
Libovolný obdélník je mapován na rovnoběžník nebo úsečku (pokud je rovnoběžný s rovinou obdélníku). ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$
Jakákoli postava v rovině, která je rovnoběžná s rovinou obrazu, odpovídá jejímu obrazu.

Typy

Klasifikace paralelní projekce a některých 3D projekcí

Paralelní projekce odpovídá perspektivní projekci s hypotetickým hlediskem; tj. takový, kde kamera leží v nekonečné vzdálenosti od objektu a má nekonečnou ohniskovou vzdálenost, neboli „zoom“.

Různé projekce a způsob jejich výroby

Ortografická projekce

Ortografická projekce je odvozena z principů deskriptivní geometrie a je typem paralelní projekce, kde jsou projekční paprsky kolmé k projekční rovině. Jedná se o typ projekce volby pro pracovní výkresy . Termín ortografický je někdy vyhrazen konkrétně pro zobrazení objektů, kde jsou hlavní osy nebo roviny objektu rovnoběžné s projekční rovinou (nebo papírem, na kterém je nakreslen ortografický nebo paralelní projekce). Používá se však také pojem primární pohled . V projekcích s více náhledy se vytvoří až šest obrázků objektu, přičemž každá projekční rovina je kolmá k jedné z os souřadnic. Pokud však hlavní roviny nebo osy objektu nejsou rovnoběžné s projekční rovinou, ale jsou do určité míry nakloněny, aby odhalily více stran objektu, nazývají se pomocnými pohledy nebo obrázky . Někdy je termín axonometrická projekce vyhrazen pouze pro tyto pohledy a je umístěn vedle termínu ortografická projekce . Ale axonometrická projekce může být přesněji popsána jako synonymum pro paralelní projekci a ortografická projekce jako typ axonometrické projekce .

Mezi základní pohledy zahrnují plány , pohledy a řezy ; a izometrické , dimetrické a trimetrické projekce lze považovat za pomocné pohledy . Typickou (ale nepovinnou) charakteristikou multiview ortografických projekcí je to, že jedna osa prostoru je obvykle zobrazena jako svislá.

Když je směr pohledu kolmý k povrchu zobrazeného objektu, bez ohledu na orientaci objektu, označuje se to jako normální projekce . V případě krychle orientované pomocí souřadnicového systému prostoru by se tedy primární pohledy na krychli považovaly za normální projekce .

Šikmá projekce

Porovnání několika typů grafické projekce . Přítomnost jednoho nebo více 90 ° hlavních úhlů je obvykle dobrým znamením, že perspektiva je šikmá .

V šikmé projekci nejsou rovnoběžné projekční paprsky kolmé k pozorovací rovině, ale dopadají na projekční rovinu v jiném úhlu než devadesáti stupňů. V ortografické i šikmé projekci se rovnoběžné čáry v prostoru zobrazují rovnoběžně na promítaném obrazu. Kvůli své jednoduchosti se šikmá projekce používá výhradně pro obrazové účely, nikoli pro formální, pracovní kresby. V šikmém ilustrovaném výkresu jsou zobrazené úhly oddělující souřadnicové osy i faktory zkrácení (měřítko) libovolné. Takto vytvořené zkreslení je obvykle zeslabeno zarovnáním jedné roviny zobrazovaného objektu tak, aby byla rovnoběžná s rovinou promítání, čímž se vytvoří skutečně vytvořený obraz vybrané roviny v plné velikosti. Speciální typy šikmých projekcí zahrnují vojenské , kavalírové a kabinetní projekce .

Analytická reprezentace

Pokud je obrazová rovina dána rovnicí a směr projekce o , pak je projekční čára bodem parametrizována ${\ displaystyle \ Pi: ~ {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {x}} - d = 0}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle P: ~ {\ vec {p}}}$

{\ displaystyle g: ~ {\ vec {x}} = {\ vec {p}} + t {\ vec {v}}}

s .

{\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}

Obraz ze je průsečík přímky s rovinou ; je to dáno rovnicí ${\ displaystyle P '}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle \ Pi}$

{\ displaystyle P ': ~ {\ vec {p}}' = {\ vec {p}} + {\ frac {d - {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {n}}} {{\ vec {n}} \ cdot {\ vec {v}}}} \; {\ vec {v}} \.}

V několika případech lze tyto vzorce zjednodušit.

(S1) Pokud lze zvolit vektory a takové , vzorec obrázku se zjednoduší na ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {v}} = 1}$

{\ displaystyle {\ vec {p}} '= {\ vec {p}} + (d - {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {n}}) \; {\ vec {v}} \ .}

(S2) V ortografické projekci jsou vektory a rovnoběžné. V tomto případě si člověk může vybrat a jeden dostane ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {n}}, \; | {\ vec {n}} | = 1}$

{\ displaystyle {\ vec {p}} '= {\ vec {p}} + (d - {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {n}}) \; {\ vec {n}} \ .}

(S3) Pokud lze zvolit vektory a takové, že a pokud obrazová rovina obsahuje počátek, jeden má a paralelní projekce je lineární mapování : ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {v}} = 1}$ ${\ displaystyle d = 0}$

{\ displaystyle {\ vec {p}} '= {\ vec {p}} - ({\ vec {p}} \ cdot {\ vec {n}}) \; {\ vec {v}} = {\ vec {p}} - ({\ vec {v}} \ otimes {\ vec {n}}) ~ {\ vec {p}} = (I_ {3} - {\ vec {v}} \ otimes {\ vec {n}}) \; {\ vec {p}} \.}

(Zde je matice identity a vnější produkt ). ${\ displaystyle I_ {3}}$ ${\ displaystyle \ otimes}$

Z této analytické reprezentace paralelní projekce lze odvodit většinu vlastností uvedených v předchozích částech.

Dějiny

Axonometrie pochází z Číny . Jeho funkce v čínském umění byla na rozdíl od lineární perspektivy v evropském umění, protože její perspektiva nebyla objektivní, ani při pohledu zvenčí. Místo toho jeho vzory používaly paralelní projekce v obraze, které umožňovaly divákovi uvažovat jak o prostoru, tak o pokračujícím postupu času v jednom svitku. Podle autora vědy a novináře Medium Jan Krikke získala axonometrie a obrazová gramatika, která s ní souvisí, nový význam zavedením vizuálních výpočtů a technického kreslení .

Koncept izometrie existoval v hrubé empirické formě po celá staletí, dlouho předtím, než profesor William Farish (1759–1837) z Cambridgeské univerzity jako první poskytl podrobná pravidla pro izometrické kreslení.

Farish publikoval své myšlenky v článku z roku 1822 „O izometrické perspektivě“, ve kterém rozpoznal „potřebu přesných technických pracovních výkresů bez optického zkreslení. To by ho vedlo k formulování izometrie. Izometrie znamená„ stejná měřítka “, protože stejná stupnice je použité pro výšku, šířku a hloubku ".

Od poloviny 19. století se izometrie podle Jana Krikkeho (2006) stala „neocenitelným nástrojem pro inženýry a brzy poté byla axonometrie a izometrie začleněna do učebních osnov architektonických vzdělávacích kurzů v Evropě a USA . Populární přijetí axonometrie přišlo ve dvacátých letech, kdy ji přijali modernističtí architekti z Bauhausu a De Stijla “. Architekti společnosti De Stijl, jako je Theo van Doesburg, použili pro své architektonické návrhy axonometrii , což vyvolalo senzaci, když byly vystaveny v Paříži v roce 1923 “.

Od 20. let 20. století poskytuje axonometrie neboli paralelní perspektiva důležitou grafickou techniku pro umělce, architekty a inženýry. Stejně jako lineární perspektiva, i axonometrie pomáhá zobrazovat trojrozměrný prostor na rovině dvojrozměrného obrazu. Obvykle přichází jako standardní funkce systémů CAD a dalších vizuálních výpočetních nástrojů.

Model motoru s optickým broušením (1822), nakreslený v izometrické perspektivě 30 °
Příklad dimetrické perspektivní kresby z amerického patentu (1874)
Příklad trimetrické projekce ukazující tvar věže Bank of China v Hongkongu .
Příklad dimetrické projekce v čínském umění v ilustrovaném vydání Románek tří království , Čína, c. 15th century CE .
Detail původní verze Podél řeky během festivalu Qingming připisovaný Zhang Zeduanovi (1085–1145). Všimněte si, že obraz přepíná tam a zpět mezi axonometrickou a perspektivní projekcí v různých částech obrazu, a je tedy nekonzistentní.

Omezení

Na tomto výkresu je modrá koule o dvě jednotky vyšší než červená. Tento rozdíl v nadmořské výšce však není patrný, pokud jeden pokrývá pravou polovinu obrázku.

Tyto Penrose schody znázorňuje schodiště, které se zdá, stoupání (proti směru hodinových ručiček) nebo sestupovat (ve směru hodinových ručiček), ale tvoří nekonečnou smyčku.

Objekty nakreslené paralelní projekcí se nezdají větší nebo menší, protože leží blíže nebo dále od diváka. I když je to výhodné pro architektonické výkresy , kde musí být měření prováděno přímo z obrazu, výsledkem je vnímané zkreslení, protože na rozdíl od perspektivní projekce takto lidské vidění nebo fotografie normálně nefungují. Může také snadno vyústit v situace, kdy je obtížné měřit hloubku a nadmořskou výšku, jak je znázorněno na obrázku vpravo.

Tato vizuální nejednoznačnost byla využívána v op art , stejně jako ve výkresech „nemožného předmětu“. I když není zcela rovnoběžné, MC Escher je vodopád (1961), je dobře známý obraz, ve kterém je kanál vody Zdá se, že bez pomoci cestovat podél klesající tendenci, jen aby se pak paradoxně klesat ještě jednou, protože se vrací ke svému zdroji. Zdá se tedy, že voda porušuje zákon zachování energie .

Viz také

Projekce (lineární algebra)

Reference

Schaum's Outline: Descriptive Geometry , McGraw-Hill, (1. června 1962), ISBN 978-0070272903
Joseph Malkevitch (duben 2003), „Matematika a umění“ , Archiv hlavních sloupců , Americká matematická společnost
Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek (prosinec 1978), „Rovinné geometrické projekce a transformace zobrazení“, ACM Computing Surveys , 10 (4): 465–502, doi : 10,1145 / 356744,356750 , S2CID 708008

Languages

In other projects