Částice v buňce- Particle-in-cell

Metoda částice v buňce ( PIC ) označuje techniku používanou k řešení určité třídy parciálních diferenciálních rovnic . V této metodě jsou jednotlivé částice (nebo tekuté prvky) v Lagrangeově rámci sledovány v kontinuálním fázovém prostoru , zatímco momenty distribuce, jako jsou hustoty a proudy, jsou počítány současně na eulerovských (stacionárních) bodech sítě .

Metody PIC se používaly již v roce 1955, ještě předtím, než byly k dispozici první kompilátory Fortran . Tato metoda získala popularitu pro plazmovou simulaci na konci padesátých a na počátku šedesátých let Bunemana , Dawsona , Hockneyho , Birdsalla, Morse a dalších. V aplikacích fyziky plazmatu se metoda rovná sledování trajektorií nabitých částic v konzistentních elektromagnetických (nebo elektrostatických) polích vypočítaných na pevné síti.

Technické aspekty

U mnoha typů problémů je klasická metoda PIC, kterou vymysleli Buneman, Dawson, Hockney, Birdsall, Morse a další, relativně intuitivní a snadno implementovatelná. To pravděpodobně odpovídá za velkou část jejího úspěchu, zejména pro plazmovou simulaci, pro kterou metoda obvykle zahrnuje následující postupy:

Integrace pohybových rovnic.
Interpolace nábojových a aktuálních zdrojových termínů na síť pole.
Výpočet polí na bodech sítě.
Interpolace polí ze sítě na umístění částic.

Modely, které zahrnují interakce částic pouze prostřednictvím průměrných polí, se nazývají PM (částicová síť). Ty, které zahrnují přímé binární interakce, jsou PP (částice-částice). Modely s oběma typy interakcí se nazývají PP-PM nebo P ³ M .

Od prvních dnů se uznává, že metoda PIC je náchylná k chybám způsobeným takzvaným hlukem diskrétních částic . Tato chyba má statistický charakter a dnes zůstává méně dobře pochopitelná než u tradičních metod s pevnou sítí, jako jsou Eulerianova nebo semi-Lagrangeova schémata.

Moderní geometrické algoritmy PIC jsou založeny na velmi odlišném teoretickém rámci. Tyto algoritmy používají nástroje diskrétního potrubí, interpolační diferenciální formy a kanonické nebo nekanonické symplektické integrátory k zajištění invariantu měřidla a zachování náboje, energetické hybnosti, a co je důležitější, nekonečně dimenzionální symplektické struktury systému částic-pole. Tyto požadované vlastnosti jsou přičítány skutečnosti, že geometrické PIC algoritmy jsou postaveny na základnějším rámcovém teoretickém rámci a jsou přímo spojeny s dokonalou formou, tj. Variačním principem fyziky.

Základy techniky simulace plazmatu PIC

Uvnitř komunity pro výzkum plazmatu se zkoumají systémy různých druhů (elektrony, ionty, neutrály, molekuly, prachové částice atd.). Množina rovnic spojených s kódy PIC je tedy Lorentzova síla jako pohybová rovnice, řešená v takzvaném posunovači nebo přesouvači částic kódu, a Maxwellovy rovnice určující elektrické a magnetické pole, vypočítané v (polním) řešiči .

Super-částice

Skutečné studované systémy jsou často extrémně velké, pokud jde o počet částic, které obsahují. Aby byly simulace efektivní nebo vůbec možné, používají se takzvané super-částice . Super-částice (nebo makročástice ) je výpočetní částice, která představuje mnoho skutečných částic; v případě simulace plazmy to mohou být miliony elektronů nebo iontů, nebo například vírový prvek v simulaci tekutiny. Je povoleno změnit měřítko počtu částic, protože zrychlení z Lorentzovy síly závisí pouze na poměru náboje k hmotnosti, takže super částice bude sledovat stejnou trajektorii jako skutečná částice.

Počet skutečných částic odpovídající super částici musí být zvolen tak, aby bylo možné shromáždit dostatečné statistiky o pohybu částic. Pokud existuje významný rozdíl mezi hustotou různých druhů v systému (například mezi ionty a neutrály), lze pro ně použít oddělené reálné poměry k super-částicovým poměrům.

Přesouvač částic

Dokonce se super-částice, počet simulovaných částic je obvykle velmi velké (> 10 ⁵ ), a často sekačka částic je časově nejnáročnější část PIC, protože musí být provedeno pro každou částici odděleně. Po tlačidle se tedy vyžaduje vysoká přesnost a rychlost a mnoho úsilí je vynaloženo na optimalizaci různých schémat.

Schémata použitá pro přesouvač částic lze rozdělit do dvou kategorií, implicitní a explicitní řešiče. Zatímco implicitní řešiče (např. Implicitní Eulerovo schéma) vypočítávají rychlost částic z již aktualizovaných polí, explicitní řešiče používají pouze starou sílu z předchozího časového kroku, a jsou proto jednodušší a rychlejší, ale vyžadují menší časový krok. V simulaci PIC se používá metoda leapfrog , explicitní metoda druhého řádu. Používá se také Borisův algoritmus, který ruší magnetické pole v Newton-Lorentzově rovnici.

Pro plazmové aplikace má metoda leapfrog následující formu:

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathbf {x} _ {k+1}-\ mathbf {x} _ {k}} {\ Delta t}} = \ mathbf {v} _ {k+1/2}, }

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathbf {v} _ {k+1/2}-\ mathbf {v} _ {k-1/2}} {\ Delta t}} = {\ frac {q} {m }} \ left (\ mathbf {E} _ {k}+{\ frac {\ mathbf {v} _ {k+1/2}+\ mathbf {v} _ {k-1/2}} {2} } \ times \ mathbf {B} _ {k} \ right),}

kde dolní index odkazuje na „stará“ množství z předchozího časového kroku, na aktualizovaná množství z dalšího časového kroku (tj. ), a rychlosti se vypočítávají mezi obvyklými časovými kroky . ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k+1}$ ${\ Displaystyle t_ {k+1} = t_ {k}+\ Delta t}$ ${\ displaystyle t_ {k}}$

Rovnice Borisova schématu, které jsou ve výše uvedených rovnicích nahrazeny, jsou:

{\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {k+1} = \ mathbf {x} _ {k}+{\ Delta t} \ mathbf {v} _ {k+1/2},}

{\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {k+1/2} = \ mathbf {u} '+q' \ mathbf {E} _ {k},}

s

{\ Displaystyle \ mathbf {u} '= \ mathbf {u} +(\ mathbf {u} +(\ mathbf {u} \ times \ mathbf {h})) \ times \ mathbf {s},}

{\ Displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {v} _ {k-1/2}+q '\ mathbf {E} _ {k},}

{\ Displaystyle \ mathbf {h} = q '\ mathbf {B} _ {k},}

{\ Displaystyle \ mathbf {s} = 2 \ mathbf {h} /(1+h^{2})}

a . ${\ Displaystyle q '= \ Delta t \ times (q/2m)}$

Díky své vynikající dlouhodobé přesnosti je Borisův algoritmus de facto standardem pro postup nabitých částic. Bylo zjištěno, že vynikající dlouhodobá přesnost nerelativistického Borisova algoritmu je dána skutečností, že zachovává objem fázového prostoru, přestože není symplektický. Globální chyba vázaná na energii typicky spojená se symplektickými algoritmy stále platí pro Borisův algoritmus, což z něj činí účinný algoritmus pro dynamiku plazmatu ve více měřítcích. Ukázalo se také, že je možné zlepšit relativistický Borisův tlak, aby byl zachován objem i řešení konstantní rychlosti v křížených polích E a B.

Řešitel pole

Nejčastěji používané metody pro řešení Maxwellových rovnic (nebo obecněji parciálních diferenciálních rovnic (PDE)) patří do jedné z následujících tří kategorií:

U FDM je spojitá doména nahrazena diskrétní mřížkou bodů, na kterých se vypočítává elektrické a magnetické pole. Deriváty se pak aproximují s rozdíly mezi sousedními hodnotami bodu mřížky a PDE se tak změní na algebraické rovnice.

Pomocí MKP je spojitá doména rozdělena na diskrétní síť prvků. PDE jsou považovány za problém vlastních čísel a zpočátku se zkušební řešení vypočítá pomocí základních funkcí, které jsou lokalizovány v každém prvku. Konečné řešení se pak získá optimalizací, dokud není dosaženo požadované přesnosti.

Také spektrální metody, jako je rychlá Fourierova transformace (FFT), transformují PDE na problém vlastních čísel, ale tentokrát jsou základní funkce vysokého řádu a jsou definovány globálně v celé doméně. Samotná doména v tomto případě není diskretizována, zůstává spojitá. Znovu je nalezeno zkušební řešení vložením základních funkcí do rovnice vlastních čísel a poté optimalizováno pro určení nejlepších hodnot počátečních zkušebních parametrů.

Vážení částic a polí

Název „částic v buňce“ pochází tím způsobem, že v plazmě makro-množství ( počet hustoty , hustota proudu , atd.), Jsou přiřazeny k simulaci částic (tj váhových částic ). Částice mohou být umístěny kdekoli na spojité doméně, ale makro veličiny jsou počítány pouze na bodech sítě, stejně jako pole. Abychom získali makro veličiny, předpokládáme, že částice mají daný „tvar“ určený tvarovou funkcí

{\ Displaystyle S (\ mathbf {x} -\ mathbf {X}),}

kde je souřadnice částice a pozorovacího bodu. Snad nejjednodušší a nejpoužívanější volbou pro funkci tvaru je takzvané schéma cloud-in-cell (CIC), což je schéma lineárního vážení prvního řádu. Ať už je schéma jakékoli, tvarová funkce musí splňovat následující podmínky: vesmírnou izotropii, zachování náboje a zvýšení přesnosti (konvergence) pro výrazy vyššího řádu. ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

Pole získaná z řešiče pole jsou určena pouze v bodech mřížky a nelze je použít přímo v pohyblivém zařízení k výpočtu síly působící na částice, ale musí být interpolována pomocí vážení pole :

{\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {x}) = \ sum _ {i} \ mathbf {E} _ {i} S (\ mathbf {x} _ {i}-\ mathbf {x}), }

kde dolní index označuje bod mřížky. Aby bylo zajištěno, že síly působící na částice jsou získávány konzistentně, musí být konzistentní také způsob výpočtu makro veličin z poloh částic v bodech mřížky a interpolace polí z bodů mřížky do poloh částic, protože se oba objevují v Maxwellově rovnice . Schéma interpolace pole by mělo především zachovat hybnost . Toho lze dosáhnout výběrem stejného schématu vážení pro částice a pole a zajištěním příslušné prostorové symetrie (tj. Bez vlastní síly a splnění zákona o akci a reakci ) řešiče pole současně ${\ displaystyle i}$

Kolize

Vzhledem k tomu, že po řešiteli pole je vyžadováno, aby neobsahoval vlastní síly, musí se pole generované částicí uvnitř buňky zmenšovat s klesající vzdáleností od částice, a proto jsou mezičásticové síly uvnitř buněk podceňovány. To lze vyvážit pomocí Coulombových srážek mezi nabitými částicemi. Simulace interakce pro každý pár velkého systému by byla výpočetně příliš drahá, takže místo toho bylo vyvinuto několik metod Monte Carlo . Široce používanou metodou je model binární kolize , ve kterém jsou částice seskupeny podle jejich buňky, poté jsou tyto částice spárovány náhodně a nakonec jsou páry srazeny.

Ve skutečném plazmatu může hrát roli mnoho dalších reakcí, od pružných srážek, jako jsou srážky mezi nabitými a neutrálními částicemi, přes nepružné srážky, jako je elektronově neutrální ionizační srážka, až po chemické reakce; každý z nich vyžaduje samostatné zacházení. Většina kolizních modelů zpracovávajících nabité-neutrální kolize používá buď přímé schéma Monte-Carlo , ve kterém všechny částice nesou informace o jejich pravděpodobnosti kolize, nebo schéma nulové kolize , které neanalyzuje všechny částice, ale využívá maximální pravděpodobnost kolize pro místo toho každý nabitý druh.

Podmínky přesnosti a stability

Jako v každé simulační metodě, i v PIC, časový krok a velikost mřížky musí být dobře zvoleny, aby byly v problému správně vyřešeny sledované fenomény časové a délkové škály. Časový krok a velikost mřížky navíc ovlivňují rychlost a přesnost kódu.

Pro simulaci elektrostatické plazmy využívající explicitní schéma časové integrace (např. Skokový žabák, který se nejčastěji používá) by měly být splněny dvě důležité podmínky týkající se velikosti mřížky a časového kroku , aby byla zajištěna stabilita řešení: ${\ displaystyle \ Delta x}$ ${\ Displaystyle \ Delta t}$

{\ displaystyle \ Delta x <3,4 \ lambda _ {D},}

{\ Displaystyle \ Delta t \ leq 2 \ omega _ {pe}^{-1},}

které lze odvodit s ohledem na harmonické kmity jednorozměrného nemagnetizovaného plazmatu. Poslední podmínky jsou přísně vyžadovány, ale praktické úvahy týkající se zachování energie naznačují použití mnohem přísnějšího omezení, kde je faktor 2 nahrazen číslem jedna řádově menším. Typické je použití . Není překvapením, že přirozená časová stupnice v plazmatu je dána stupnicí inverzního plazmatického kmitočtu a délky Debyeovou délkou . ${\ Displaystyle \ Delta t \ leq 0,1 \ omega _ {pe}^{-1},}$ ${\ displaystyle \ omega _ {pe}^{-1}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {D}}$

Pro explicitní simulaci elektromagnetické plazmy musí časový krok splňovat také podmínku CFL :

{\ Displaystyle \ Delta t <\ Delta x/c,}

kde , a je rychlost světla. ${\ displaystyle \ Delta x \ sim \ lambda _ {D}}$ ${\ displaystyle c}$

Aplikace

V rámci fyziky plazmatu byla simulace PIC úspěšně použita ke studiu interakcí laser-plazma, zrychlení elektronů a zahřívání iontů v aurorální ionosféře , magnetohydrodynamiky , magnetického opětovného připojení , jakož i gradientu iontové teploty a dalších mikroinstabilit v tokamakech , dále vakuových výbojů , a zaprášené plazmy .

Hybridní modely mohou použít metodu PIC pro kinetické ošetření některých druhů, zatímco jiné druhy (které jsou maxwellovské ) jsou simulovány s fluidním modelem.

Simulace PIC byly také použity mimo fyziku plazmatu na problémy v mechanice pevných a tekutých látek .

Výpočetní aplikace elektromagnetických částic v buňce

Výpočetní aplikace	Licence	Dostupnost	Kanonická reference
OSTRÝ	Proprietární		doi : 10,3847/1538-4357/aa6d13
ALaDyn	GPLv3+	Otevřít repo:	doi : 10,5281/zenodo.49553
EPOCHA	GPL	Otevřeno akademickým uživatelům, ale je nutná registrace:	doi : 10,1088/0741-3335/57/11/113001
FBPIC	3-článek-BSD-LBNL	Otevřít repo:	doi : 10,1016/j.cpc.2016.02.007
LSP	Proprietární	K dostání u ATK	doi : 10,1016/S0168-9002 (01) 00024-9
KOUZLO	Proprietární	K dostání u ATK	doi : 10,1016/0010-4655 (95) 00010-D
OSIRIS	Proprietární	Zavřeno (Spolupracovníci s memorandem o porozumění)	doi : 10,1007/3-540-47789-6_36
PICCANTE	GPLv3+	Otevřít repo:	doi : 10,5281/zenodo.48703
PICLas	Proprietární	Dostupné z Ústavu vesmírných systémů a Ústavu aerodynamiky a plynové dynamiky na univerzitě ve Stuttgartu	doi : 10,1016/j.crme.2014.07.005
PIConGPU	GPLv3+	Otevřít repo:	doi : 10,1145/2503210,2504564
SMILEI	CeCILL-B	Otevřít repo:	doi : 10,1016/j.cpc.2017.09.024
iPIC3D	Licence Apache 2.0	Otevřít repo:	doi : 10.1016/j.matcom.2009.08.038
Virtuální laserová plazmová laboratoř (VLPL)	Proprietární	Neznámý	doi : 10,1017/S0022377899007515
VizGrain	Proprietární	Komerčně dostupné od Esgee Technologies Inc.
VPIC	3-Clause-BSD	Otevřít repo:	doi : 10,1063/1,2840133
VSim (Vorpal)	Proprietární	K dispozici od společnosti Tech-X Corporation	doi : 10.1016/j.jcp.2003.11.004
Warp	3-článek-BSD-LBNL	Otevřít repo:	doi : 10,1063/1,860024
WarpX	3-článek-BSD-LBNL	Otevřít repo:	doi : 10.1016/j.nima.2018.01.035
ZPIC	AGPLv3+	Otevřít repo:
ultraPICA	Proprietární	Komerčně dostupný od Plasma Taiwan Innovation Corporation.

Viz také

Reference

Bibliografie

Birdsall, Charles K .; A. Bruce Langdon (1985). Fyzika plazmatu pomocí počítačové simulace . McGraw-Hill. ISBN 0-07-005371-5.

Hockney, Roger W .; James W. Eastwood (1988). Počítačová simulace pomocí částic . Stiskněte CRC. ISBN 0-85274-392-0.

Languages

In other projects