Percentil - Percentile

Ve statistikách je k -tý percentil ( percentilové skóre nebo percentil ), označovaný jako skóre, pod které dané procento k skóre v jeho rozdělení frekvence spadá (výlučná definice) nebo skóre, pod nebo pod které dané procento klesá (včetně definice). Například 50. percentil ( medián ) je skóre, pod kterým (exkluzivní) nebo pod kterým (včetně) 50% skóre v distribuci lze nalézt. Percentily jsou vyjádřeny ve stejné měrné jednotce jako vstupní skóre; například pokud se skóre týkají lidské hmotnosti , odpovídající percentily budou vyjádřeny v kilogramech nebo librách. ${\ displaystyle P_ {k \%}}$

Skóre percentilu a umístění percentilu jsou související pojmy. Percentilní hodnocení skóre je procento skóre v jeho distribuci, které jsou menší než toto, exkluzivní definice a takové, které lze vyjádřit jediným jednoduchým vzorcem. Percentilní skóre a percentilové pořadí se často používají při vykazování skóre testů z testů odkazovaných na normy , ale, jak bylo právě uvedeno, nejsou stejné. Pro pořadí percentilu je dáno skóre a vypočítá se procento. Percentilní pozice jsou exkluzivní. Pokud je pořadí percentilu pro zadané skóre 90%, pak 90% skóre bylo nižší. Naproti tomu pro percentily je uvedeno procento a je stanoveno odpovídající skóre, které může být buď exkluzivní nebo inkluzivní. Skóre pro zadané procento (např. 90.) udává skóre, pod kterým (výhradní definice) nebo pod nebo (pod (včetně definice)) jiné skóre v distribuci klesá.

25. percentil je také známý jako první kvartil ( Q ₁ ), 50. percentil jako medián nebo druhý kvartil ( Q ₂ ) a 75. percentil jako třetí kvartil ( Q ₃ ).

Aplikace

Když poskytovatelé internetových služeb účtují „prasknutelnou“ šířku pásma internetu , 95. nebo 98. percentil obvykle každý měsíc odřízne horních 5% nebo 2% špiček šířky pásma a poté účtuje s nejbližší sazbou. Tímto způsobem jsou ignorovány občasné špičky a zákazník je účtován spravedlivějším způsobem. Důvod, proč je tato statistika tak užitečná při měření propustnosti dat, je ten, že poskytuje velmi přesný obraz o ceně šířky pásma. 95. percentil říká, že 95% času je využití pod touto částkou: takže zbývajících 5% času je využití nad touto částkou.

Lékaři často používají váhu a výšku kojenců a dětí k hodnocení jejich růstu ve srovnání s národními průměry a percentily, které se nacházejí v grafech růstu .

85. percentil rychlosti provozu na silnici se často používá jako vodítko při stanovování rychlostních limitů a posuzování, zda je takový limit příliš vysoký nebo nízký.

Ve financích je hodnota v riziku standardním měřítkem k posouzení (způsobem závislým na modelu) množství, pod kterým se neočekává pokles hodnoty portfolia v daném časovém období a při dané hodnotě spolehlivosti.

Normální rozdělení a percentily

Znázornění pravidla tří sigma . Tmavě modrá zóna představuje pozorování v rámci jedné standardní odchylky (σ) na obě strany průměru (μ), což představuje asi 68,3% populace. Dvě standardní odchylky od průměru (tmavá a střední modrá) představují přibližně 95,4%a tři standardní odchylky (tmavá, střední a světle modrá) přibližně 99,7%.

Metody uvedené v sekci definic (níže) jsou aproximacemi pro použití ve statistikách malých vzorků. Obecně lze říci, že u velmi velkých populací po normální distribuci mohou být percentily často reprezentovány odkazem na křivku normální křivky. Normální rozdělení je vyneseno podél osy škálované na standardní odchylky nebo jednotky sigma ( ). Matematicky se normální rozdělení rozkládá na negativní nekonečno vlevo a pozitivní nekonečno vpravo. Všimněte si však, že mimo rozsah −3 σ až +3 σ bude spadat jen velmi malý podíl jedinců v populaci . Například s lidskými výškami je velmi málo lidí nad výškovou úrovní +3 σ . ${\ Displaystyle \ sigma}$

Percentily představují oblast pod normální křivkou, která se zvětšuje zleva doprava. Každá standardní odchylka představuje pevný percentil. Zaokrouhleno na dvě desetinná místa tedy −3 σ je 0,13. Percentil, −2 σ 2,28. Percentil, −1 σ 15,87. Percentil, 0 σ 50. percentil (průměr i medián distribuce), + 1 σ 84,13. Percentil, +2 σ 97,72. Percentil a +3 σ 99,87. Percentil. To souvisí s pravidlem 68–95–99,7 nebo pravidlem tří sigma. Všimněte si, že teoreticky 0. percentil klesá na negativní nekonečno a 100. percentil na pozitivní nekonečno, ačkoli v mnoha praktických aplikacích, jako jsou výsledky testů, jsou prosazovány přirozené dolní a/nebo horní limity.

Definice

Neexistuje standardní definice percentilu, ale všechny definice poskytují podobné výsledky, když je počet pozorování velmi velký a rozdělení pravděpodobnosti je spojité. V limitním, protože vzorek velikost se blíží k nekonečnu, 100 p ^th percentil (0 < p <1) se blíží inverzní kumulativní distribuční funkce (CDF) takto vytvořeného, hodnoceny na p , jako p blíží CDF. To lze chápat jako důsledek Glivenkovy -Cantelliho věty . Některé metody pro výpočet percentilů jsou uvedeny níže.

Výpočtové metody

Interpolované a nejbližší, exkluzivní a inkluzivní percentily pro distribuci 10 skóre.

Pro percentilové skóre existuje mnoho vzorců nebo algoritmů. Hyndman a Fan identifikovali devět a většina statistických a tabulkových procesorů používá jednu z metod, které popisují. Algoritmy buď vrátí hodnotu skóre, které existuje v sadě skóre (metody nejbližšího pořadí), nebo interpolují mezi stávajícími skóre a jsou buď exkluzivní nebo inkluzivní.

Obrázek ukazuje rozdělení 10-skóre, ilustruje percentilní skóre, která vyplývají z těchto různých algoritmů, a slouží jako úvod k příkladům uvedeným následně. Nejjednodušší jsou metody nejbližšího pořadí, které vracejí skóre z distribuce, ačkoli ve srovnání s metodami interpolace mohou být výsledky trochu hrubé. Tabulka Metody nejbližších pozic ukazuje výpočetní kroky pro exkluzivní a inkluzivní metody.

Interpolační metody, jak název napovídá, mohou vrátit skóre, které je mezi skóre v distribuci. Algoritmy používané statistickými programy obvykle používají interpolační metody, například funkci percentile.exl a percentile.inc v aplikaci Microsoft Excel. Tabulka Interpolované metody ukazuje výpočetní kroky.

Metoda nejbližšího pořadí

Hodnoty percentilu pro seřazený seznam {15, 20, 35, 40, 50}

Jedna definice percentilu, často uváděná v textech, je, že P -tý percentil seznamu N uspořádaných hodnot (seřazených od nejmenší po největší) je nejmenší hodnotou v seznamu, takže přísně není přísně více než P procent dat menší než hodnota a alespoň P procento dat je menší nebo rovno této hodnotě. Toho se dosáhne tak, že se nejprve vypočítá pořadová hodnost a poté se vezme hodnota z uspořádaného seznamu, která této hodnosti odpovídá. Pořadové číslo n se vypočítá podle následujícího vzorce ${\ Displaystyle (0 <P \ leq 100)}$

${\ Displaystyle n = \ left \ lceil {\ frac {P} {100}} \ times N \ right \ rceil.}$

Všimněte si následujícího:

• Použití metody nejbližšího pořadí v seznamech s méně než 100 odlišnými hodnotami může mít za následek použití stejné hodnoty pro více než jeden percentil.
• Percentil vypočítaný metodou nejbližšího pořadí bude vždy členem původního seřazeného seznamu.
• 100. percentil je definován jako největší hodnota v seřazeném seznamu.

Zpracované příklady metody nejbližšího pořadí

Příklad 1

Zvažte seřazený seznam {15, 20, 35, 40, 50}, který obsahuje 5 datových hodnot. Jaké jsou 5., 30., 40., 50. a 100. percentil tohoto seznamu pomocí metody nejbližšího pořadí?

Percentil P	Číslo v seznamu N.	Pořadová hodnost č	Číslo ze seřazeného seznamu s touto hodností	Percentilní hodnota	Poznámky
5. místo	5	${\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {5} {100}} \ times 5 \ right \ rceil = \ lceil 0,25 \ rceil = 1}$	první číslo v seřazeném seznamu, což je 15	15	15 je nejmenší prvek seznamu; 0% dat je striktně méně než 15 a 20% dat je méně než nebo rovno 15.
30	5	${\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {30} {100}} \ times 5 \ right \ rceil = \ lceil 1,5 \ rceil = 2}$	2. číslo v seřazeném seznamu, což je 20	20	20 je prvek seřazeného seznamu.
40.	5	${\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {40} {100}} \ times 5 \ right \ rceil = \ lceil 2.0 \ rceil = 2}$	2. číslo v seřazeném seznamu, což je 20	20	V tomto případě je to stejné jako 30. percentil.
50.	5	${\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {50} {100}} \ times 5 \ right \ rceil = \ lceil 2.5 \ rceil = 3}$	3. číslo v seřazeném seznamu, což je 35	35	35 je prvek seřazeného seznamu.
100	5	${\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {100} {100}} \ times 5 \ right \ rceil = \ lceil 5 \ rceil = 5}$	poslední číslo v objednaném seznamu, což je 50	50	100. percentil je definován jako největší hodnota v seznamu, což je 50.

Takže 5., 30., 40., 50. a 100. percentil seřazeného seznamu {15, 20, 35, 40, 50} pomocí metody nejbližšího pořadí je {15, 20, 20, 35, 50}.

Příklad 2

Zvažte uspořádanou populaci 10 hodnot dat {3, 6, 7, 8, 8, 10, 13, 15, 16, 20}. Jaký je 25., 50., 75. a 100. percentil tohoto seznamu pomocí metody nejbližšího pořadí?

Percentil P	Číslo v seznamu N.	Pořadová hodnost č	Číslo ze seřazeného seznamu s touto hodností	Percentilní hodnota	Poznámky
25. místo	10	${\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {25} {100}} \ times 10 \ right \ rceil = \ lceil 2.5 \ rceil = 3}$	3. číslo v seřazeném seznamu, což je 7	7	7 je prvek seznamu.
50.	10	${\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {50} {100}} \ times 10 \ right \ rceil = \ lceil 5.0 \ rceil = 5}$	páté číslo v seřazeném seznamu, což je 8	8	8 je prvek seznamu.
75	10	${\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {75} {100}} \ times 10 \ right \ rceil = \ lceil 7.5 \ rceil = 8}$	8. číslo v seřazeném seznamu, což je 15	15	15 je prvek seznamu.
100	10	Poslední	20, což je poslední číslo v seřazeném seznamu	20	100. percentil je definován jako největší hodnota v seznamu, což je 20.

Takže 25., 50., 75. a 100. percentil uspořádaného seznamu {3, 6, 7, 8, 8, 10, 13, 15, 16, 20} pomocí metody nejbližšího pořadí jsou {7, 8, 15, 20 }.

Příklad 3

Zvažte uspořádanou populaci 11 datových hodnot {3, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 20}. Jaký je 25., 50., 75. a 100. percentil tohoto seznamu pomocí metody nejbližšího pořadí?

Percentil P	Číslo v seznamu N.	Pořadová hodnost č	Číslo ze seřazeného seznamu s touto hodností	Percentilní hodnota	Poznámky
25. místo	11	${\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {25} {100}} \ times 11 \ right \ rceil = \ lceil 2,75 \ rceil = 3}$	3. číslo v seřazeném seznamu, což je 7	7	7 je prvek seznamu.
50.	11	${\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {50} {100}} \ times 11 \ right \ rceil = \ lceil 5,50 \ rceil = 6}$	6. číslo v seřazeném seznamu, což je 9	9	9 je prvek seznamu.
75	11	${\ Displaystyle \ left \ lceil {\ frac {75} {100}} \ times 11 \ right \ rceil = \ lceil 8,25 \ rceil = 9}$	9. číslo v seřazeném seznamu, což je 15	15	15 je prvek seznamu.
100	11	Poslední	20, což je poslední číslo v seřazeném seznamu	20	100. percentil je definován jako největší hodnota v seznamu, což je 20.

Takže 25., 50., 75. a 100. percentil uspořádaného seznamu {3, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 13, 15, 16, 20} pomocí metody nejbližšího pořadí jsou {7, 9, 15 , 20}.

Metoda lineární interpolace mezi nejbližšími řadami

Alternativou k zaokrouhlování používaným v mnoha aplikacích je použití lineární interpolace mezi sousedními řadami.

Společné rysy mezi variantami této metody

Všechny následující varianty mají společné následující. S ohledem na statistiku objednávek

${\ Displaystyle \ {v_ {i}, i = 1,2, \ ldots, N: v_ {i+1} \ geq v_ {i}, \ forall i = 1,2, \ ldots, N-1 \} ,}$

hledáme lineární interpolační funkci, která prochází body . Toho je jednoduše dosaženo pomocí ${\ displaystyle (v_ {i}, i)}$

${\ Displaystyle v (x) = v _ {\ lfloor x \ rfloor} +(x {\ bmod {1}}) (v _ {\ lfloor x \ rfloor +1} -v _ {\ lfloor x \ rfloor}), \ forall x \ in [1, N]: v (i) = v_ {i} {\ text {, for}} i = 1,2, \ ldots, N,}$

kde používá funkci floor k reprezentaci integrální části kladného x , zatímco funkci mod používá k reprezentaci její zlomkové části (zbytek po dělení 1). (Povšimněte si, že, i když v koncovém bodě , je definována, nemusí být proto, že se násobí .) Jak je vidět, x je kontinuální verze indexu i , lineární interpolací V mezi sousedními uzly. ${\ Displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$${\ displaystyle x {\ bmod {1}}}$${\ displaystyle x = N}$${\ Displaystyle v _ {\ lfloor x \ rfloor +1}}$${\ displaystyle x {\ bmod {1}} = 0}$

Existují dva způsoby, kterými se varianty variant liší. První je v lineárním vztahu mezi hodností x , procentní hodností a konstantou, která je funkcí velikosti vzorku N : ${\ displaystyle P = 100p}$

${\ Displaystyle x = f (p, N) = (N+c_ {1}) p+c_ {2}.}$

Existuje další požadavek, aby se střední bod rozsahu , odpovídající mediánu , vyskytoval při : ${\ displaystyle (1, N)}$${\ displaystyle p = 0,5}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} f (0,5, N) & = {\ frac {N+c_ {1}} {2}}+c_ {2} = {\ frac {N+1} {2}} \\\ tedy 2c_ {2}+c_ {1} & = 1 \ end {zarovnáno}},}$

a naše revidovaná funkce má nyní jen jeden stupeň volnosti a vypadá takto:

${\ Displaystyle x = f (p, N) = (N+1-2C) p+C.}$

Druhý způsob, kterým se varianty liší, je definice funkce v blízkosti okrajů rozsahu p : měl by produkovat nebo být nucen produkovat výsledek v rozsahu , což může znamenat nepřítomnost jedna korespondence v širším regionu. Jeden autor navrhl volbu, kde ξ je tvar zobecněného rozdělení extrémní hodnoty, což je mezní hodnota extrémní hodnoty vzorkované distribuce. ${\ Displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle f (p, N)}$${\ displaystyle [1, N]}$${\ displaystyle C = {\ tfrac {1} {2}} (1+ \ xi)}$

První varianta, C = 1/2

Výsledek použití každé ze tří variant v seřazeném seznamu {15, 20, 35, 40, 50}

(Zdroje: "prctile" funkce Matlabu,)

${\ Displaystyle x = f (p) = {\ begin {cases} Np+{\ frac {1} {2}}, \ forall p \ in \ left [p_ {1}, p_ {N} \ right], \ \ 1, \ forall p \ in \ left [0, p_ {1} \ right], \\ N, \ forall p \ in \ left [p_ {N}, 1 \ right]. \ End {cases}}}$

kde

${\ Displaystyle p_ {i} = {\ frac {1} {N}} \ left (i-{\ frac {1} {2}} \ right), i \ in [1, N] \ cap \ mathbb { N}}$

${\ Displaystyle \ proto p_ {1} = {\ frac {1} {2N}}, p_ {N} = {\ frac {2N-1} {2N}}.}$

Dále nechť

${\ displaystyle P_ {i} = 100p_ {i}.}$

Inverzní vztah je omezen na užší oblast:

${\ Displaystyle p = {\ frac {1} {N}} \ left (x-{\ frac {1} {2}} \ right), x \ in (1, N) \ cap \ mathbb {R}. }$

Zpracovaný příklad první varianty

Zvažte seřazený seznam {15, 20, 35, 40, 50}, který obsahuje pět hodnot dat. Jaké jsou 5., 30., 40. a 95. percentil tohoto seznamu pomocí metody lineární interpolace mezi nejbližšími hodnostmi? Nejprve vypočítáme procentní pořadí pro každou hodnotu seznamu.

Hodnota seznamu ${\ displaystyle v_ {i}}$	Pozice této hodnoty v seřazeném seznamu i	Počet hodnot N.	Výpočet procentní pozice	Procentní hodnost, ${\ displaystyle P_ {i}}$
15	1	5	${\ displaystyle {\ frac {100} {5}} \ left (1-{\ frac {1} {2}} \ right) = 10.}$	10
20	2	5	${\ displaystyle {\ frac {100} {5}} \ left (2-{\ frac {1} {2}} \ right) = 30.}$	30
35	3	5	${\ displaystyle {\ frac {100} {5}} \ left (3-{\ frac {1} {2}} \ right) = 50.}$	50
40	4	5	${\ displaystyle {\ frac {100} {5}} \ left (4-{\ frac {1} {2}} \ right) = 70.}$	70
50	5	5	${\ displaystyle {\ frac {100} {5}} \ left (5-{\ frac {1} {2}} \ right) = 90.}$	90

Potom vezmeme ta procentní hodnocení a vypočítáme hodnoty percentilu následovně:

Procentní hodnost P	Počet hodnot N.	Je ? ${\ displaystyle P <P_ {1}}$	Je ? ${\ displaystyle P> P_ {n}}$	Existuje procentní pozice rovnající se P ?	Co používáme pro hodnotu percentilu?	Percentilní hodnota ${\ Displaystyle v (f (p))}$	Poznámky
5	5	Ano	Ne	Ne	Vidíme to , což je méně než první procentní hodnocení , takže použijte první hodnotu seznamu , která je 15 ${\ displaystyle P = 5}$${\ displaystyle p_ {1} = 10}$${\ displaystyle v_ {1}}$	15	15 je členem objednaného seznamu
30	5	Ne	Ne	Ano	Vidíme, že je to stejné jako druhé procento , takže použijte druhou hodnotu seznamu , která je 20 ${\ displaystyle P = 30}$${\ displaystyle p_ {2} = 30}$${\ displaystyle v_ {2}}$	20	20 je členem objednaného seznamu
40	5	Ne	Ne	Ne	Vidíme, že je to mezi procenty a , takže bereme ${\ displaystyle P = 40}$${\ displaystyle p_ {2} = 30}$${\ displaystyle p_ {3} = 50}$ ${\ Displaystyle k = 2, k+1 = 3, P = 40, p_ {k} = p_ {2} = 30, v_ {k} = v_ {2} = 20, v_ {k+1} = v_ { 3} = 35, N = 5}$. Vzhledem k těmto hodnotám pak můžeme vypočítat v následujícím způsobem: ${\ displaystyle v = 20+5 \ times {\ frac {40-30} {100}} (35-20) = 27,5}$	27.5	27.5 není členem objednaného seznamu
95	5	Ne	Ano	Ne	Vidíme to , což je větší než poslední procentní pozice , takže použijte poslední hodnotu seznamu, která je 50 ${\ displaystyle P = 95}$${\ displaystyle p_ {N} = 90}$	50	50 je členem objednaného seznamu

Takže 5., 30., 40. a 95. percentil uspořádaného seznamu {15, 20, 35, 40, 50} pomocí metody lineární interpolace mezi nejbližšími hodnostmi je {15, 20, 27,5, 50}

Druhá varianta, C = 1

(Zdroj: Některé softwarové balíčky, včetně NumPy a Microsoft Excel (do verze 2013 včetně pomocí funkce PERCENTILE.INC). Jako alternativu uvádí NIST )

${\ Displaystyle x = f (p, N) = p (N-1) +1 {\ text {,}} p \ v [0,1]}$

${\ Displaystyle \ proto p = {\ frac {x-1} {N-1}} {\ text {,}} x \ in [1, N].}$

Všimněte si, že vztah je jedna ku jedné pro , jedinou ze tří variant s touto vlastností; proto přípona „INC“, včetně , na funkci Excel. ${\ displaystyle x \ leftrightarrow p}$${\ Displaystyle p \ v [0,1]}$

Zpracované příklady druhé varianty

Příklad 1

Zvažte seřazený seznam {15, 20, 35, 40, 50}, který obsahuje pět hodnot dat. Jaký je 40. percentil tohoto seznamu pomocí této varianty?

Nejprve vypočítáme hodnost 40. percentilu:

${\ displaystyle x = {\ frac {40} {100}} (5-1)+1 = 2,6}$

Takže x = 2,6, což nám dává a . Takže hodnota 40. percentilu je ${\ Displaystyle \ lfloor x \ rfloor = 2}$${\ displaystyle x {\ bmod {1}} = 0,6}$

${\ Displaystyle v (2.6) = v_ {2} +0,6 (v_ {3} -v_ {2}) = 20+0,6 (35-20) = 29.}$

Příklad 2

Zvažte seřazený seznam {1,2,3,4}, který obsahuje čtyři datové hodnoty. Jaký je 75. percentil tohoto seznamu pomocí metody Microsoft Excel?

Nejprve vypočítáme hodnost 75. percentilu následovně:

${\ displaystyle x = {\ frac {75} {100}} (4-1)+1 = 3,25}$

Takže x = 3,25, což nám dává integrální část 3 a zlomkovou část 0,25. Takže hodnota 75. percentilu je

${\ Displaystyle v (3,25) = v_ {3} +0,25 (v_ {4} -v_ {3}) = 3+0,25 (4-3) = 3,25.}$

Třetí varianta, C = 0

(Primární varianta doporučená NIST . Přijata Microsoft Excel od roku 2010 pomocí funkce PERCENTIL.EXC. Jak však naznačuje přípona „EXC“, verze aplikace Excel vylučuje oba koncové body rozsahu p , tj. , Zatímco „ Verze INC “, druhá varianta, nikoli; ve skutečnosti je také vyloučen jakýkoli počet menší než a způsobil by chybu.) ${\ Displaystyle p \ in (0,1)}$${\ displaystyle {\ frac {1} {N+1}}}$

${\ Displaystyle x = f (p, N) = {\ begin {cases} 1 {\ text {,}} p \ in \ left [0, {\ frac {1} {N+1}} \ right] \ \ p (N+1) {\ text {,}} p \ in \ left ({\ frac {1} {N+1}}, {\ frac {N} {N+1}} \ right) \\ N {\ text {,}} p \ in \ left [{\ frac {N} {N+1}}, 1 \ right] \ end {cases}}.}$

Inverzní funkce je omezena na užší oblast:

${\ displaystyle p = {\ frac {x} {N+1}} {\ text {,}} x \ in (0, N).}$

Zpracovaný příklad třetí varianty

Zvažte seřazený seznam {15, 20, 35, 40, 50}, který obsahuje pět hodnot dat. Jaký je 40. percentil tohoto seznamu pomocí metody NIST?

Nejprve vypočítáme hodnost 40. percentilu následovně:

${\ displaystyle x = {\ frac {40} {100}} (5+1) = 2,4}$

Takže x = 2,4, což nám dává a . Hodnota 40. percentilu se tedy vypočítá jako: ${\ Displaystyle \ lfloor x \ rfloor = 2}$${\ displaystyle x {\ bmod {1}} = 0,4}$

${\ Displaystyle v (2.4) = v_ {2} +0,4 (v_ {3} -v_ {2}) = 20+0,4 (35-20) = 26}$

Hodnota 40. percentilu uspořádaného seznamu {15, 20, 35, 40, 50} pomocí této varianty je tedy 26.

Metoda váženého percentilu

Kromě percentilové funkce existuje ještě vážený percentil , kde se místo celkového počtu počítá procento z celkové hmotnosti. Pro vážený percentil neexistuje standardní funkce. Jedna metoda přirozeným způsobem rozšiřuje výše uvedený přístup.

Předpokládejme, že máme kladné váhy spojené s našimi N tříděnými hodnotami vzorků. Nechat ${\ Displaystyle w_ {1}, w_ {2}, w_ {3}, \ tečky, w_ {N}}$

${\ Displaystyle S_ {N} = \ sum _ {k = 1}^{N} w_ {k},}$

součet hmotností. Poté jsou vzorce výše zobecněny přijetím

${\ displaystyle p_ {n} = {\ frac {1} {S_ {N}}} \ left (S_ {n}-{\ frac {w_ {n}} {2}} \ right)}$když ,${\ Displaystyle C = 1/2}$

nebo

${\ displaystyle p_ {n} = {\ frac {S_ {n} -Cw_ {n}} {S_ {N}+(1-2C) w_ {n}}}}$pro generála ,${\ displaystyle C}$

a

${\ Displaystyle v = v_ {k}+{\ frac {P-p_ {k}} {p_ {k+1} -p_ {k}}} (v_ {k+1} -v_ {k}).}$

50% vážený percentil je znám jako vážený medián .

Viz také

• Kvantil
• Decile
• Souhrnné statistiky
• Percentilní hodnost

Reference