Periodická funkce - Periodic function

Periodická funkce je funkce , která opakuje své hodnoty v pravidelných intervalech, například goniometrické funkce , které se opakují v intervalech 2n radiánech . Periodické funkce se v celé vědě používají k popisu oscilací , vln a dalších jevů, které vykazují periodicitu . Každá funkce, která není periodická, se nazývá neperiodická .

Ilustrace periodické funkce s tečkou

Definice

Funkce f je prý periodická, pokud pro nenulovou konstantu P tomu tak je

pro všechny hodnoty x v doméně. Nenulová konstanta P, pro kterou je tomu tak, se nazývá perioda funkce. Pokud existuje s touto vlastností nejméně kladná konstanta P , nazývá se to základní období (také primitivní období , základní období nebo primární období .) Často se „periodou“ funkce rozumí její základní období. Funkce s periodou P se bude opakovat v intervalech délky P a tyto intervaly se někdy také označují jako periody funkce.

Geometricky, periodická funkce může být definována jako funkce, jejíž graf vykazuje translační symetrii , tedy funkce f je periodický s periody P, v případě, že graf f je neměnná v překladu v x exitem směr o vzdálenost P . Tuto definici periodicity lze rozšířit na další geometrické tvary a vzory a také zobecnit na vyšší dimenze, jako jsou periodické mozaiky roviny. Na sekvenci lze také pohlížet jako na funkci definovanou na přirozených číslech a pro periodickou sekvenci jsou tyto pojmy definovány odpovídajícím způsobem.

Příklady

Graf sinusové funkce zobrazující dvě úplná období

Příklady reálných čísel

Funkce sinus je periodická s tečkou , protože

pro všechny hodnoty . Tato funkce se opakuje v intervalech délky (viz graf vpravo).

Každodenní příklady jsou vidět, když je proměnnou čas ; například ručičky hodin nebo fáze měsíce vykazují periodické chování. Periodický pohyb je pohyb, ve kterém jsou polohy systému vyjádřitelné jako periodické funkce, všechny se stejnou periodou.

Pro funkci na skutečných číslech nebo na celých číslech to znamená, že celý graf může být vytvořen z kopií jedné konkrétní části, opakovaných v pravidelných intervalech.

Jednoduchým příkladem periodické funkce je funkce, která udává „ zlomkovou část “ jejího argumentu. Jeho období je 1. Zejména

Graf funkce je pilovitá vlna .

Děj a ; obě funkce jsou periodické s periodou 2π.

Goniometrické funkce sinus a kosinus jsou běžné periodické funkce, s dobovým 2n (viz obrázek vpravo). Předmět Fourierovy řady zkoumá myšlenku, že „libovolná“ periodická funkce je součtem goniometrických funkcí se shodnými periodami.

Podle výše uvedené definice jsou periodické také některé exotické funkce, například Dirichletova funkce ; v případě funkce Dirichlet je jakékoli nenulové racionální číslo tečkou.

Komplexní příklady čísel

Pomocí komplexních proměnných máme společnou periodickou funkci:

Protože kosinové i sinusové funkce jsou periodické s periodou 2π, komplexní exponenciál je tvořen kosinovými a sinusovými vlnami. To znamená, že Eulerův vzorec (výše) má tu vlastnost, že pokud L je období funkce, pak

Dvojité periodické funkce

Funkce, jejíž doménou jsou komplexní čísla, může mít dvě nesouměřitelná období, aniž by byla konstantní. Tyto eliptické funkce jsou takové funkce. („Nesrovnatelné“ v tomto kontextu znamená, že se nejedná o skutečné násobky.)

Vlastnosti

Periodické funkce mohou nabývat hodnot mnohokrát. Přesněji řečeno, pokud je funkce periodická s periodou , pak pro všechny v doméně a všech kladných celých čísel ,

Pokud je funkce s periodou , pak kde je nenulové reálné číslo takové, které je v doméně , je periodické s periodou . Například má období, proto bude mít období .

Některé periodické funkce lze popsat Fourierovou řadou . Například pro L 2 funkce , Carleson teorém říká, že mají bodově ( Lebesgue ) téměř všude konvergentní Fourier série . Fourierovy řady lze použít pouze pro periodické funkce nebo pro funkce v omezeném (kompaktním) intervalu. Pokud jde o periodickou funkci s periodou, kterou lze popsat Fourierovou řadou, lze koeficienty řady popsat integrálem v intervalu délky .

Každá funkce, která se skládá pouze z periodických funkcí se stejnou periodou, je také periodická (s periodou stejnou nebo menší), včetně:

  • sčítání, odčítání, násobení a dělení periodických funkcí a
  • převzetí mocniny nebo kořene periodické funkce (za předpokladu, že je definována pro všechna x ).

Zobecnění

Antiperiodické funkce

Jednou běžnou podskupinou periodických funkcí jsou antiperiodické funkce . Toto je funkce f taková, že f ( x  +  P ) = - f ( x ) pro všechna x . ( P -antiperiodická funkce je tedy 2 P -periodická funkce.) Například sinusová a kosinová funkce jsou π -antiperiodické a 2π -periodické. Zatímco P -antiperiodic funkce je 2 P -periodic funkce bude hovořit není nutně pravda.

Bloch-periodické funkce

Další generalizace se objevuje v kontextu Blochových vět a Floquetovy teorie , které upravují řešení různých periodických diferenciálních rovnic. V této souvislosti je řešení (v jedné dimenzi) obvykle funkcí formuláře:

kde k je skutečné nebo komplexní číslo ( Blochův vlnovník nebo exponent Floquet ). Funkce této formy se v tomto kontextu někdy nazývají Bloch-periodické . Periodická funkce je zvláštní případ k  = 0, a antiperiodic funkce je zvláštní případ K  = π / P .

Prostor kvocientu jako doména

Při zpracování signálu narazíte na problém, že Fourierovy řady představují periodické funkce a že Fourierovy řady splňují konvoluční věty (tj. Konvoluce Fourierových řad odpovídá násobení reprezentované periodické funkce a naopak), ale periodické funkce nelze spojovat s obvyklou definicí, protože zapojené integrály se rozcházejí. Možným východiskem je definovat periodickou funkci na ohraničené, ale periodické doméně. Za tímto účelem můžete použít pojem kvocientu :

.

To znamená, že každý prvek je třída ekvivalence z reálných čísel , které sdílejí stejnou zlomkovou část . Funkce podobná je tedy reprezentací 1-periodické funkce.

Výpočtové období

Uvažujme skutečný tvar vlny skládající se ze superponovaných frekvencí, vyjádřených v sadě jako poměry k základní frekvenci, f: F = 1 / f  [f 1 f 2 f 3 ... f N ], kde všechny nenulové prvky ≥1 a při alespoň jeden z prvků množiny je 1. Chcete -li najít tečku, T, nejprve najděte nejméně společného jmenovatele všech prvků v sadě. Období lze nalézt jako T = LCD / f . Uvažujme, že pro jednoduchou sinusoidu platí T = 1 / f . Na LCD tedy lze pohlížet jako na multiplikátor periodicity.

  • U sady představující všechny noty západní durové stupnice: [1 9 / 8 5 / 4 4 / 3 3 / 2 5 / 3 15 / 8 ] je LCD 24, tedy T = 24 / f .
  • Pro množinu představující všechny noty hlavní triády: [1 5 / 4 3 / 2 ] je LCD 4, tedy T = 4 / f .
  • Pro množinu představující všechny noty vedlejší triády: [1 6 / 5 3 / 2 ] je LCD 10, tedy T = 10 / f .

Pokud neexistuje nejméně společný jmenovatel, například pokud by jeden z výše uvedených prvků byl iracionální, pak by vlna nebyla periodická.

Viz také

Reference

  • Ekeland, Ivar (1990). "Jeden". Konvexní metody v hamiltonovské mechanice . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Výsledky v matematice a příbuzných oblastech (3)]. 19 . Berlín: Springer-Verlag. str. x+247. ISBN 3-540-50613-6. MR  1051888 .

externí odkazy