Poincaré dohady - Poincaré conjecture

Poincarého domněnka
P1S2all.jpg
Kompaktní 2-rozměrný povrch bez hranice je topologicky homeomorphic na 2-koule, pokud každý smyčka může být kontinuálně utaženy do bodu. Poincaréova domněnka tvrdí, že totéž platí pro 3-dimenzionální prostory.
Pole Geometrická topologie
Předpokládá Henri Poincaré
Předpokládá se v 1904
První důkaz od Grigori Perelman
První důkaz v 2002
Implikováno
Ekvivalentní
Zobecnění Zobecněná Poincarého domněnka

V matematiky je domněnka Poincaré ( UK : / p w æ k AER / , USA : / ˌ p w æ k ɑː r / , francouzský:  [pwɛkaʁe] ) je věta o charakterizaci na 3-koule , což je hypersféra, která ohraničuje jednotkovou kouli ve čtyřrozměrném prostoru.

Dohad uvádí:

Každý jednoduše spojený , uzavřený 3- rozdělovač je homeomorfní s 3-sférou .

Ekvivalentní forma dohadů zahrnuje hrubší formu ekvivalence než homeomorfismus nazývanou ekvivalence homotopie : je-li 3-varieta homotopy ekvivalentní 3-sféře, pak je pro ni nutně homeomorfní .

Původně se domníval Henri Poincaré , věta se týká prostoru, který místně vypadá jako obyčejný trojrozměrný prostor, ale je propojený, má konečnou velikost a postrádá jakoukoli hranici ( uzavřený 3-variet ). Poincaréova domněnka tvrdí, že pokud má takový prostor další vlastnost, že každou smyčku v prostoru lze plynule utahovat do bodu, pak je to nutně trojrozměrná koule. K obdobné dohady všech vyšších dimenzí byly prokázány předtím byl nalezen důkaz původní domněnky.

Po téměř století úsilí matematiků předložil Grigori Perelman důkaz dohadů ve třech dokumentech, které byly k dispozici v letech 2002 a 2003 o arXiv . Důkaz postavený na programu Richarda S. Hamiltona použít tok Ricci k pokusu o vyřešení problému. Hamilton později představil modifikaci standardního Ricciho toku, nazývaného Ricciho tok s chirurgickým zákrokem, který kontrolovaným způsobem systematicky vyjímá singulární oblasti, jak se vyvíjejí, ale nebyl schopen prokázat, že se tato metoda „sbíhala“ ve třech dimenzích. Perelman dokončil tuto část důkazu. Několik týmů matematiků ověřilo, že Perelmanův důkaz byl správný.

Poincarého domněnka, než byla prokázána, byla jednou z nejdůležitějších otevřených otázek v topologii . V roce 2000 byl jmenován jedním ze sedmi problémů s cenou tisíciletí , za které Clay Mathematics Institute nabídl cenu 1 milion dolarů za první správné řešení. Perelmanova práce přežila recenzi a byla potvrzena v roce 2006, což vedlo k tomu, že mu byla nabídnuta Fieldsova medaile , kterou odmítl. Perelman získal cenu Millenium 18. března 2010. Dne 1. července 2010 cenu odmítl s tím, že věří, že jeho přínos při dokazování Poincarého domněnky nebyl větší než u Hamiltona. Od 17. října 2021 je poincarská domněnka jediným vyřešeným problémem tisíciletí.

22. prosince 2006 časopis Science ocenil Perelmanův důkaz o Poincaréově domněnce jako vědeckém „ průlomu roku “, což bylo poprvé, kdy bylo toto ocenění uděleno v oblasti matematiky.

Dějiny

Žádnou ze dvou barevných smyček na tomto torusu nelze plynule utáhnout do bodu. Torus není pro kouli homeomorfní.

Poincaréova otázka

Henri Poincaré pracoval na základech topologie - čemu se později říkalo kombinatorická topologie a poté algebraická topologie . Zejména ho zajímalo, jaké topologické vlastnosti charakterizují kouli .

Poincaré tvrdil v roce 1900, že homologie , nástroj, který vymyslel na základě předchozí práce Enrica Bettiho , byl dostatečný k tomu, aby zjistil, zda 3-potrubí je 3-koule . V dokumentu z roku 1904 však popsal protipříklad tohoto tvrzení, prostor, kterému se nyní říká sféra homologie Poincaré . Poincaréova sféra byla prvním příkladem sféry homologie , rozmanité, která měla stejnou homologii jako sféra, z nichž od té doby bylo postaveno mnoho dalších. Aby určil, že Poincaréova sféra je odlišná od 3 sféry, Poincaré představil nový topologický invariant , základní skupinu , a ukázal, že Poincaréova sféra měla základní skupinu řádu 120, zatímco 3 sféra měla triviální základní skupinu. Tímto způsobem mohl dojít k závěru, že tyto dva prostory jsou skutečně odlišné.

Ve stejném článku Poincaré přemýšlel, zda 3-varieta s homologií 3-sféry a také triviální fundamentální skupiny musí být 3-koulí. Poincarého novou podmínku - tj. „Triviální fundamentální skupinu“ - lze přepracovat jako „každou smyčku lze zmenšit do určitého bodu“.

Původní formulace byla následující:

Uvažujme kompaktní 3-dimenzionální rozdělovač V bez ohraničení. Je možné, že by základní skupina V mohla být triviální, přestože V není 3-dimenzionální sférou homeomorfní?

Poincaré nikdy neprohlásil, zda věří, že tato dodatečná podmínka bude charakterizovat 3 sféru, ale prohlášení, že ano, je známé jako Poincarého domněnka. Zde je standardní forma domněnky:

Každý jednoduše spojený , uzavřený 3- rozdělovač je homeomorfní s 3-sférou.

Všimněte si, že „uzavřený“ zde znamená, jak je v této oblasti obvyklé, podmínku být kompaktní, pokud jde o nastavenou topologii, a také bez hranic (3-dimenzionální euklidovský prostor je příkladem jednoduše připojeného 3-variet, ne homeomorfního k 3 -sféra; ale není kompaktní, a proto není protipříkladem).

Řešení

Zdálo se, že tento problém ležel ladem, dokud JHC Whitehead neobnovil zájem o domněnku, když ve 30. letech 20. století nejprve požadoval důkaz a poté jej stáhl. Během toho objevil několik příkladů jednoduše připojených (vskutku stahovatelných, tj. Homotopicky ekvivalentních bodu) nekompaktních 3 variet, které nejsou homeomorfní , jejichž prototyp se nyní nazývá Whitehead manifold .

V padesátých a šedesátých letech se další matematici pokoušeli dokázat dohady, aby zjistili, že obsahují nedostatky. Vlivní matematici jako Georges de Rham , RH Bing , Wolfgang Haken , Edwin E. Moise a Christos Papakyriakopoulos se pokusili tuto domněnku dokázat. V roce 1958 se Bing ukázal jako slabá verze Poincarého domněnky: pokud je každá jednoduchá uzavřená křivka kompaktního 3-potrubí obsažena v 3-kouli, pak je potrubí 3-sféře homeomorfní. Bing také popsal některá úskalí ve snaze dokázat Poincarého domněnku.

Włodzimierz Jakobsche v roce 1978 ukázal, že pokud je Bing – Borsukova domněnka pravdivá v dimenzi 3, pak musí být pravdivá také Poincaréova domněnka.

Postupem času si tato domněnka získala pověst zvláště složitého řešení. John Milnor poznamenal, že někdy mohou být chyby ve falešných důkazech „poměrně jemné a obtížně zjistitelné“. Práce na dohadech zlepšila porozumění 3-varietám. Odborníci v této oblasti se často zdráhali oznámit důkazy a měli sklon pohlížet na každé takové oznámení skepticky. 80. a 90. léta byla svědkem několika dobře propagovaných klamných důkazů (které ve skutečnosti nebyly publikovány v recenzované formě).

Expozici pokusů o prokázání této domněnky najdete v netechnické knize Poincaréova cena od George Szpira .

Rozměry

Klasifikace uzavřených povrchů dává kladnou odpověď na podobné otázce ve dvou rozměrech. U rozměrů větších než tři lze předpokládat zobecněnou Poincarého domněnku: je homotopy n -sféry homeomorfní s n -sférou? Je nutný silnější předpoklad; v rozměrech čtyři a vyšší jsou jednoduše spojené, uzavřené potrubí, které nejsou homotopy ekvivalentní k n -sphere.

Historicky, zatímco domněnka v dimenzi tři vypadala věrohodně, zobecněná domněnka byla považována za falešnou. V roce 1961 Stephen Smale šokoval matematiky tím, že prokázal zobecněnou Poincarého domněnku o dimenzích větších než čtyři a rozšířil své techniky, aby dokázal základní h-cobordistickou větu . V roce 1982 Michael Freedman dokázal Poincarého domněnku ve čtyřech dimenzích. Freedman práce ponechal otevřenou možnost, že tam je hladký čtyři rozdělovače homeomorphic za čtyři koule, která není diffeomorphic za čtyři koule. Tato takzvaná hladká Poincaréova domněnka v dimenzi čtyři zůstává otevřená a je považována za velmi obtížnou. Milnor ‚s exotických sfér ukazují, že hladký Poincarého domněnka je falešný v dimenzi sedm, například.

Tyto dřívější úspěchy ve vyšších dimenzích zanechaly případ tří dimenzí v limbu. Poincarého domněnka byla v podstatě pravdivá jak v dimenzi čtyři, tak ve všech vyšších dimenzích z podstatně jiných důvodů. Ve třetí dimenzi měla domněnka nejistou pověst, dokud ji dohad o geometrizaci nevložil do rámce, kterým se řídí všechny 3-variety. John Morgan napsal:

Domnívám se, že před Thurstonovou prací na hyperbolických 3-rozdělovačích a. . . geometrizační domněnka mezi odborníky neexistovala shoda v tom, zda byla Poincarého domněnka pravdivá nebo nepravdivá. Po Thurstonově práci, bez ohledu na skutečnost, že neměla přímý vliv na Poincaréovu domněnku, se vyvinul konsensus, že Poincaréova domněnka (a Geometrizační domněnka) byla pravdivá.

Hamiltonův program a řešení

Několik fází Ricciho proudí na dvourozměrném potrubí

Hamiltonův program byl zahájen v jeho dokumentu z roku 1982, ve kterém představil tok Ricciho na potrubí a ukázal, jak jej použít k prokázání některých zvláštních případů Poincaréovy domněnky. V následujících letech tuto práci rozšířil, ale nedokázal dohady dokázat. Skutečné řešení nebylo nalezeno, dokud Grigori Perelman nezveřejnil své dokumenty.

Na konci roku 2002 a 2003 zveřejnil Perelman tři příspěvky na arXiv . V těchto dokumentech načrtl důkaz Poincaréovy domněnky a obecnější dohadu, Thurstonovu geometrizační domněnku , čímž dokončil Ricciho tokový program, který dříve načrtl Richard S. Hamilton .

Od května do července 2006 několik skupin předložilo dokumenty, které vyplňovaly podrobnosti o Perelmanově důkazu o Poincaréově domněnce, a to následovně:

  • Bruce Kleiner a John W. Lott zveřejnili v květnu 2006 referát o arXiv, který vyplňoval detaily Perelmanova důkazu o domněnce o geometrizaci podle dílčích verzí, které byly veřejně dostupné od roku 2003. Jejich rukopis byl publikován v časopise „Geometry and Topologie “v roce 2008. V letech 2011 a 2013 bylo provedeno malé množství oprav; například první verze jejich publikovaného článku použila nesprávnou verzi Hamiltonovy věty o kompaktnosti pro tok Ricci.
  • Huai-Dong Cao a Xi-Ping Zhu publikovali článek v červnu 2006 v časopise Asian Journal of Mathematics s expozicí úplného důkazu Poincarého a geometrizačních dohadů. Uvedl se úvodní odstavec jejich listu

V tomto příspěvku představíme Hamilton-Perelmanovu teorii Ricciho toku. Na jejím základě poskytneme první písemný popis úplného důkazu o Poincarého domněnce a o geometrizační dohadě Thurstona. Zatímco celá práce je kumulovaným úsilím mnoha geometrických analytiků, hlavními přispěvateli jsou nepochybně Hamilton a Perelman.

Někteří pozorovatelé interpretovali Cao a Zhu jako zásluhy o Perelmanovu práci. Později na arXiv zveřejnili revidovanou verzi s novým zněním. Stránka jejich expozice byla navíc v podstatě identická se stránkou v jednom z prvních veřejně dostupných konceptů Kleinera a Lotta; toto bylo také upraveno v revidované verzi spolu s omluvou redakční rady časopisu.
  • John Morgan a Gang Tian zveřejnili v červenci 2006 referát o arXivu, který poskytl podrobný důkaz jen o Poincaréově domněnce (což je poněkud jednodušší než úplná domněnka o geometrizaci) a rozšířili ji na knihu. V roce 2015 Abbas Bahri poukázal na to, že strany 441-445 expozice Morgana a Tian jsou nesprávné. Tuto chybu později opravili Morgan a Tian.

Všechny tři skupiny zjistily, že mezery v Perelmanových listech byly malé a že je možné je vyplnit pomocí vlastních technik.

22. srpna 2006 udělila ICM Perelmanovi Fieldsovu medaili za práci na dohadech, ale Perelman medaili odmítl. John Morgan hovořil na ICM o domněnce Poincarého 24. srpna 2006 a prohlásil, že „v roce 2003 Perelman vyřešil Poincarého dohad“.

V prosinci 2006 časopis Science ocenil důkaz Poincarého domněnky jako Průlom roku a uvedl jej na obálce.

Ricciho tok s chirurgickým zákrokem

Hamiltonův program pro prokázání Poincaréovy domněnky zahrnuje nejprve vložení Riemannovy metriky na neznámé jednoduše připojené uzavřené 3-potrubí. Základní myšlenkou je pokusit se tuto metriku „vylepšit“; například pokud lze metriku dostatečně zlepšit, aby měla konstantní kladné zakřivení, pak podle klasických výsledků v Riemannově geometrii to musí být 3 sféra. Hamilton předepsal „ Ricciho rovnice toku “ pro zlepšení metriky;

kde g je metrika a R její Ricciho zakřivení, a člověk doufá, že s rostoucím časem t bude potrubí srozumitelnější. Ricciho tok rozšiřuje část negativního zakřivení potrubí a smršťuje část pozitivního zakřivení.

V některých případech Hamilton dokázal, že to funguje; jeho původním průlomem bylo například ukázat, že pokud má riemannianský rozdělovač kladné Ricciho zakřivení všude, lze výše uvedený postup dodržet pouze pro ohraničený interval hodnot parametrů, přičemž , a co je ještě důležitější, existují čísla taková, že jako , Riemannovská metrika plynule přechází do konstantního kladného zakřivení. Podle klasické Riemannovy geometrie je jediným jednoduše připojeným kompaktním rozdělovačem, který může podporovat Riemannovu metriku konstantního kladného zakřivení, koule. Ve skutečnosti tedy Hamilton ukázal zvláštní případ Poincaréovy domněnky: pokud kompaktní jednoduše připojený 3-rozdělovač podporuje riemannovskou metriku pozitivního Ricciho zakřivení, pak musí být pro 3 sféru odlišný.

Pokud má místo toho jen libovolnou riemannovskou metriku, musí Ricciho rovnice toku vést ke komplikovanějším singularitám. Perelmanovým hlavním úspěchem bylo ukázat, že pokud člověk vezme určitou perspektivu, pokud se objeví v omezeném čase, tyto singularity mohou vypadat jen jako zmenšující se koule nebo válce. S kvantitativním porozuměním tomuto jevu rozřezává potrubí podél singularit, rozděluje potrubí na několik kusů a poté pokračuje tokem Ricci na každém z těchto kusů. Tento postup je známý jako Ricciho tok s chirurgickým zákrokem.

Perelman poskytl samostatný argument založený na toku zkracování křivek, aby ukázal, že na jednoduše připojeném kompaktním 3-potrubí každé řešení Ricciho toku s chirurgickým zákrokem zanikne v konečném čase. Alternativní argument, založený na min-max teorii minimálních povrchů a teorii geometrických opatření, poskytli Tobias Colding a William Minicozzi . V jednoduše propojeném kontextu jsou tedy relevantní výše uvedené jevy konečných časů Ricciho toku s chirurgickým zákrokem. Ve skutečnosti to dokonce platí, pokud je základní skupina volným produktem konečných skupin a cyklických skupin.

Tato podmínka základní skupiny se ukazuje jako nezbytná a dostačující pro vyhynutí v konečném čase. Je ekvivalentní tvrzení, že primární rozklad potrubí nemá žádné acyklické složky, a ukazuje se, že je ekvivalentní podmínce, že všechny geometrické kusy potrubí mají geometrii založenou na dvou Thurstonových geometriích S 2 × R a S 3 . V kontextu toho, že člověk vůbec nepředpokládá základní skupinu, Perelman provedl další technickou studii limitu potrubí pro nekonečně velké časy, a tím prokázal Thurstonovu domněnku o geometrizaci: ve velké době má potrubí tlustý- tenký rozklad , jehož tlustý kus má hyperbolickou strukturu a jehož tenký kus je mnohočetný graf . Vzhledem k výsledkům Perelmana a Coldinga a Minicozziho však tyto další výsledky nejsou nutné k prokázání Poincarého domněnky.

Řešení

13. listopadu 2002 zveřejnil ruský matematik Grigori Perelman první ze série tří eprintů na arXiv, kde nastínil řešení Poincarého domněnky. Perelmanův důkaz používá upravenou verzi programu toku Ricci vyvinutého Richardem S. Hamiltonem . V srpnu 2006 byl Perelman za svůj důkaz oceněn, ale odmítl Fieldsovu medaili (v hodnotě 15 000 USD CAD). 18. března 2010 Clay Mathematics Institute udělil Perelmanovi cenu Milénia 1 milion dolarů jako uznání jeho důkazu. Perelman také tuto cenu odmítl.

Perelman dokázal dohadu tím, že deformoval potrubí pomocí Ricciho toku (který se chová podobně jako tepelná rovnice, která popisuje difúzi tepla objektem). Ricciho tok obvykle deformuje potrubí směrem k zaoblenějšímu tvaru, s výjimkou některých případů, kdy natahuje potrubí od sebe směrem k tomu, čemu se říká singularity . Perelman a Hamilton poté rozřezali potrubí na singularity (proces nazývaný „chirurgie“), což způsobilo, že se jednotlivé kusy formovaly do tvarů podobných kouli. Hlavní kroky v důkazu zahrnují ukázání toho, jak se různá potrubí chovají, když jsou deformovány Ricciho proudem, zkoumání toho, jaký druh singularit se vyvíjí, určení, zda lze tento chirurgický proces dokončit, a stanovení, že chirurgický zákrok nemusí být opakován nekonečně mnohokrát.

Prvním krokem je deformace potrubí pomocí Ricciho toku . Ricciho tok definoval Richard S. Hamilton jako způsob deformace potrubí. Vzorec pro Ricciho tok je imitací tepelné rovnice, která popisuje způsob proudění tepla v pevné látce. Stejně jako tepelný tok, i Ricciho proud směřuje k jednotnému chování. Na rozdíl od toku tepla by tok Ricci mohl narazit na singularity a přestat fungovat. Singularita v potrubí je místo, kde není odlišitelné: jako roh nebo hrot nebo skřípnutí. Ricciho tok byl definován pouze pro hladké diferencovatelné rozdělovače. Hamilton použil tok Ricciho, aby dokázal, že některé kompaktní rozdělovače byly rozdílné od sféry a doufal, že to použije k prokázání Poincarého domněnky. Potřeboval porozumět zvláštnostem.

Hamilton vytvořil seznam možných singularit, které by se mohly vytvořit, ale měl obavy, že některé singularity mohou vést k obtížím. Chtěl rozdělit potrubí na singularitách a vložit je do víček a poté znovu spustit tok Ricci, takže potřeboval porozumět singularitám a ukázat, že určité druhy singularit se nevyskytují. Perelman zjistil, že singularity jsou velmi jednoduché: v podstatě trojrozměrné válce vyrobené z koulí roztažených podél čáry. Běžný válec je vyroben tak, že se vezmou kruhy natažené podél čáry. Perelman to dokázal pomocí něčeho, čemu se říká „zmenšený objem“, což úzce souvisí s vlastním číslem určité eliptické rovnice .

Někdy se jinak komplikovaná operace sníží na násobení skalárem (číslem). Taková čísla se nazývají vlastní čísla této operace. Vlastní čísla úzce souvisí s frekvencemi vibrací a používají se při analýze slavného problému: slyšíte tvar bubnu? Vlastní číslo je v podstatě jako nota, kterou hraje varieté. Perelman dokázal, že tato nota stoupá, protože potrubí je deformováno proudem Ricci. To mu pomohlo odstranit některé z více nepříjemných zvláštností, které se týkaly Hamiltona, zejména řešení soliton doutníku, které vypadalo jako pramen trčící z potrubí a na druhé straně nic. Perelman v podstatě ukázal, že všechny prameny, které tvoří, lze stříhat a uzavírat a žádné nevyčnívají pouze na jedné straně.

Dokončení důkazu, Perelman vezme jakýkoli kompaktní, jednoduše připojený, trojrozměrný rozdělovač bez ohraničení a spustí tok Ricci. To deformuje sběrné potrubí na kulaté kusy, přičemž mezi nimi probíhají prameny. Přestřihne prameny a pokračuje v deformaci potrubí, dokud mu nakonec nezbude sbírka kulatých trojrozměrných koulí. Poté znovu sestaví původní potrubí spojením koulí dohromady s trojrozměrnými válci, promění je do kulatého tvaru a vidí, že i přes veškerý počáteční zmatek bylo potrubí ve skutečnosti homeomorfní do sféry.

Okamžitě byla položena otázka, jak si být jistý, že nekonečně mnoho škrtů není nutných. To bylo vyvoláno kvůli řezání, které potenciálně pokračuje navždy. Perelman dokázal, že se to nemůže stát, použitím minimálních povrchů na sběrném potrubí. Minimální povrch je v podstatě mýdlový film. Hamilton ukázal, že plocha minimálního povrchu klesá, když potrubí prochází Ricciho tokem. Perelman ověřil, co se stalo s oblastí minimálního povrchu, když bylo rozřezáno potrubí. Dokázal, že nakonec je oblast tak malá, že jakýkoli řez po této oblasti je ten, že malé mohou být pouze odřezáním trojrozměrných koulí a ne složitějších kusů. Toto je popisováno jako boj s Hydra od Sormani v Szpiro knize níže citované. Tato poslední část důkazu se objevila v Perelmanově třetím a posledním příspěvku na toto téma.

Reference

Další čtení

externí odkazy