Obecná topologie - General topology
V matematice je obecná topologie obor topologie, který se zabývá základními množinou teoretických definic a konstrukcí používaných v topologii. Je základem většiny ostatních odvětví topologie, včetně diferenciální topologie , geometrické topologie a algebraické topologie . Jiný název pro obecnou topologii je topologie s množinou bodů .
Základními pojmy v bodové topologii jsou kontinuita , kompaktnost a propojenost :
- Nepřetržité funkce , intuitivně, přenášejí blízké body do blízkých bodů.
- Kompaktní sady jsou ty, které lze pokrýt konečným počtem sad libovolně malých velikostí.
- Propojené sady jsou sady, které nelze rozdělit na dva kusy, které jsou daleko od sebe.
Pojmy „poblíž“, „libovolně malý“ a „daleko od sebe“ lze všechny upřesnit pomocí konceptu otevřených sad . Pokud změníme definici „otevřené množiny“, změníme, co jsou to spojité funkce, kompaktní množiny a připojené množiny. Každá volba definice pro „otevřenou sadu“ se nazývá topologie . Sada s topologií se nazývá topologický prostor .
Metrické prostory jsou důležitou třídou topologických prostorů, kdelze na dvojicích bodů v sadě definovatskutečnou, nezápornou vzdálenost, nazývanou také metrika . Metrika zjednodušuje mnoho důkazů a mnoho z nejběžnějších topologických prostorů je metrických prostorů.
Dějiny
Obecná topologie vyrostla z několika oblastí, a to především z následujících:
- podrobná studie podmnožin reálné přímky (dříve známá jako topologie množin bodů ; toto použití je nyní zastaralé)
- zavedení konceptu potrubí
- studium metrických prostorů , zejména normovaných lineárních prostorů , v počátcích funkční analýzy .
Obecná topologie převzala svoji současnou podobu kolem roku 1940. Zachycuje, dalo by se říci, téměř vše v intuici kontinuity , v technicky adekvátní formě, kterou lze použít v jakékoli oblasti matematiky.
Topologie na sadě
Nechť X je množina a nechť τ být rodina z podskupin na X . Pak se τ nazývá topologie na X, pokud:
- Jak prázdná množina a X jsou prvky ▼ se
- Jakékoli spojení prvků τ je prvkem τ
- Jakýkoli průsečík konečně mnoha prvků τ je prvek τ
Pokud τ je topologie na X , pak se dvojici ( X , τ ) říká topologický prostor . Zápis X τ lze použít k označení množiny X obdařené konkrétní topologií τ .
Členům τ se v X říká otevřené sady . O podmnožině X se říká, že je uzavřená, pokud je její komplement v τ (tj. Její komplement je otevřený). Podskupina X může být otevřená, uzavřená, obě ( sada clopen ) nebo žádná. Prázdná množina a samotné X jsou vždy uzavřené i otevřené.
Základ pro topologii
Báze (nebo báze ), B pro topologické prostoru X s topologii T je sbírka otevřených souborů v T tak, že každý otevřený soubor v T může být psáno jako spojení prvků B . Říkáme, že základna generuje o topologii T . Báze jsou užitečné, protože mnoho vlastností topologií lze redukovat na prohlášení o základně, která generuje tuto topologii - a protože mnoho topologií je nejsnadněji definováno z hlediska báze, která je generuje.
Subprostor a kvocient
Každé podmnožině topologického prostoru může být přidělena podprostorová topologie, ve které jsou otevřené množiny průsečíky otevřených množin většího prostoru s podmnožinou. Pro jakoukoli indexovanou rodinu topologických prostorů lze produktu přiřadit topologii produktu , která je generována inverzními obrazy otevřených sad faktorů v rámci mapování projekcí . Například u konečných produktů tvoří základ pro topologii produktů všechny produkty otevřených sad. U nekonečných produktů existuje další požadavek, aby v základní otevřené sadě byly všechny, ale nakonec i mnohé její projekce, celý prostor.
Kvocient prostor je definován takto: pokud X je topologický prostor a Y je soubor, a je-li f : X → Y je surjektivní funkce , pak topologie kvocientu na Y je sbírka podmnožin Y , které mají otevřené inverzní obrázky pod f . Jinými slovy, topologie kvocientu je nejlepší topologie na Y, pro které f je spojité. Běžným příkladem kvocientové topologie je, když je v topologickém prostoru X definován vztah ekvivalence . Mapa f je pak přirozenou projekcí na množinu tříd ekvivalence .
Příklady topologických prostorů
Daná sada může mít mnoho různých topologií. Pokud je sadě přidělena jiná topologie, je na ni nahlíženo jako na jiný topologický prostor.
Diskrétní a triviální topologie
Libovolné sadě může být přidělena diskrétní topologie , ve které je otevřena každá podmnožina. Jediné konvergentní sekvence nebo sítě v této topologii jsou ty, které jsou nakonec konstantní. Triviální topologii (nazývané také indiskrétní topologie) lze také přiřadit jakékoli sadě , ve které je otevřená pouze prázdná množina a celý prostor. Každá sekvence a síť v této topologii konverguje ke každému bodu prostoru. Tento příklad ukazuje, že v obecných topologických prostorech nemusí být limity sekvencí jedinečné. Topologické prostory však často musí být Hausdorffovy prostory, kde jsou mezní body jedinečné.
Cofinite a sčítatelné topologie
Libovolné množině může být dána cofinitová topologie, ve které jsou otevřenými množinami prázdná množina a množinami, jejichž doplněk je konečný. Toto je nejmenší topologie T 1 na jakékoli nekonečné množině.
Libovolné sadě může být přidělena cotabletable topology , ve které je sada definována jako otevřená, pokud je buď prázdná, nebo je započitatelný její doplněk. Když je sada nepočitatelná, slouží tato topologie jako protipříklad v mnoha situacích.
Topologie skutečných a komplexních čísel
Existuje mnoho způsobů, jak definovat topologii na R , množině reálných čísel . Standardní topologie na R je generována otevřenými intervaly . Sada všech otevřených intervalů tvoří základ nebo základ pro topologii, což znamená, že každá otevřená sada je sjednocením nějaké kolekce sad ze základny. Zejména to znamená, že sada je otevřená, pokud existuje otevřený interval nenulového poloměru kolem každého bodu v sadě. Obecněji lze euklidovským prostorům R n dát topologii. V obvyklé topologii na R n jsou základními otevřenými sadami otevřené koule . Podobně C , množina komplexních čísel a C n mají standardní topologii, ve které jsou základními otevřenými množinami otevřené koule.
Skutečné linii lze také dát topologii dolního limitu . Zde jsou základními otevřenými množinami pootevřené intervaly [ a , b ). Tato topologie na R je přísně jemnější než euklidovská topologie definovaná výše; posloupnost konverguje k bodu v této topologii právě tehdy, pokud konverguje shora v euklidovské topologii. Tento příklad ukazuje, že sada může mít definováno mnoho odlišných topologií.
Metrická topologie
Každý metrický prostor může mít metrickou topologii, ve které jsou základními otevřenými množinami otevřené koule definované metrikou. Toto je standardní topologie na jakémkoli normovaném vektorovém prostoru . Na vektorovém prostoru s konečnou dimenzí je tato topologie stejná pro všechny normy.
Další příklady
- Existuje mnoho topologií na jakékoli dané konečné sadě . Takovým prostorům se říká konečné topologické prostory . Konečné mezery se někdy používají k poskytnutí příkladů nebo protipříkladů k dohadům o topologických prostorech obecně.
- Každé potrubí má přirozenou topologii , protože je místně euklidovské. Podobně každý simplex a každý zjednodušující komplex dědí přirozenou topologii z R n .
- Topologie Zariski je definována algebraicky na spektru prstenu nebo algebraické odrůdy . Na R n nebo C n jsou uzavřené sady topologie Zariski množiny řešení soustav polynomiálních rovnic.
- Lineární graf má přirozenou topologii, která zevšeobecní mnoho z geometrických aspektů grafů s vrcholů a hran .
- Mnoho sad lineárních operátorů ve funkční analýze je vybaveno topologiemi, které jsou definovány zadáním, kdy konkrétní posloupnost funkcí konverguje k nulové funkci.
- Jakékoli místní pole má topologii, která je v něm nativní, a to lze rozšířit na vektorové mezery nad tímto polem.
- Sierpinski prostor je nejjednodušší non-diskrétní topologický prostor. Má důležité vztahy k teorii výpočtu a sémantice.
- Pokud Γ je pořadové číslo , pak množina Γ = [0, Γ) může být vybavena topologií řádu generovanou intervaly ( a , b ), [0, b ) a ( a , Γ), kde a a b jsou prvky Γ.
Spojité funkce
Kontinuita je vyjádřena čtvrtích : f je spojité v určitém bodě x ∈ X právě tehdy, když pro každou sousedství V o f ( x ) , existuje okolí U o x, tak, že f ( U ) ⊆ V . Intuitivně kontinuita znamená, že bez ohledu na to, jak se „malé“ V stane, vždy existuje U obsahující x, které mapuje uvnitř V a jehož obraz pod f obsahuje f ( x ) . Toto je ekvivalent k podmínce, že nalezení multivzorů z otevřených (uzavřený) sady v Y jsou otevřené (uzavřený) v X . V metrických prostorech je tato definice ekvivalentní definici ε – δ, která se často používá při analýze.
Extrémní příklad: pokud je sadě X dána diskrétní topologie , všechny funkce
do jakéhokoli topologického prostoru T jsou spojité. Na druhou stranu, pokud je X vybaveno nerozlišenou topologií a množina prostoru T je alespoň T 0 , pak jedinými spojitými funkcemi jsou funkce konstantní. Naopak každá funkce, jejíž rozsah je nerozlišený, je spojitá.
Alternativní definice
Existuje několik ekvivalentních definic pro topologickou strukturu , a proto existuje několik ekvivalentních způsobů, jak definovat spojitou funkci.
Definice sousedství
Definice založené na předobrazech je často obtížné přímo použít. Následující kritérium vyjadřuje kontinuitu, pokud jde o čtvrtích : f je spojité v určitém bodě x ∈ X právě tehdy, když pro každou sousedství V o f ( x ), existuje okolí U o x, tak, že f ( U ) ⊆ V . Intuitivně, kontinuity znamená bez ohledu na to, jak „malá“ V stane, tam je vždy U , obsahující x , která mapuje vnitřní V .
Pokud X a Y jsou metrické prostory, to je ekvivalentní zvážit sousedství systém z otevřených koulí se středem v x a f ( x ) namísto všech čtvrtích. To vrací výše uvedenou definici kontinuity v kontextu metrických prostorů δ-ε. V obecných topologických prostorech však neexistuje představa blízkosti ani vzdálenosti.
Všimněte si však, že pokud je cílovým prostorem Hausdorff , stále platí, že f je spojité v a právě tehdy, když se limita f jako x blíží a je f ( a ). V izolovaném bodě je každá funkce spojitá.
Sekvence a sítě
V několika kontextech je topologie prostoru vhodně specifikována z hlediska mezních bodů . V mnoha případech je toho dosaženo zadáním, kdy je bod limitem posloupnosti , ale u některých mezer, které jsou v určitém smyslu příliš velké, se také uvádí, kdy je bod limitem obecnějších sad bodů indexovaných směrovaným sada , známá jako sítě . Funkce je spojitá pouze tehdy, pokud omezuje limity sekvencí na limity sekvencí. V prvním případě postačuje také zachování limitů; v posledně jmenovaném může funkce zachovat všechny limity sekvencí, ale stále není spojitá a zachování sítí je nezbytnou a dostatečnou podmínkou.
V detailu, funkce f : X → Y je postupně kontinuální , jestliže vždy sekvence ( x n ) v X konverguje k mezní x sekvence ( f ( x n )) konverguje k f ( x ). Postupně spojité funkce tedy „zachovávají sekvenční limity“. Každá souvislá funkce je postupně spojitá. Pokud X je první počitatelný prostor a počitatelná volba platí, pak platí i obrácený: jakákoli funkce zachovávající sekvenční limity je spojitá. Zejména pokud X je metrický prostor, sekvenční kontinuita a kontinuita jsou ekvivalentní. U mezer, které nelze spočítat jako první, může být sekvenční kontinuita přísně slabší než kontinuita. (Prostory, pro které jsou tyto dvě vlastnosti ekvivalentní, se nazývají sekvenční prostory .) Toto motivuje uvažování o sítích místo sekvencí v obecných topologických prostorech. Spojité funkce zachovávají limity sítí a ve skutečnosti tato vlastnost charakterizuje spojité funkce.
Definice operátoru uzavření
Místo určení otevřených podmnožin topologického prostoru může být topologie také určena operátorem uzavření (označeným cl), který přiřadí jakékoli podmnožině A ⊆ X jeho uzavření , nebo operátorem interiéru (označeným int), který přiřadí libovolnému podmnožina z X jeho interiéru . V těchto pojmech funkce
mezi topologických prostorů je kontinuální ve smyslu výše tehdy a jen tehdy, jestliže pro všechny podskupiny A z X
To znamená, že vzhledem k jakémukoli prvku x z X, který je v uzavření jakékoli podmnožiny A , f ( x ) patří k uzavření f ( A ). To je ekvivalentní požadavku, aby pro všechny podmnožiny A 'z X '
Navíc,
je kontinuální tehdy a jen tehdy
pro jakékoliv podmnožiny A z X .
Vlastnosti
Pokud f : X → Y a g : Y → Z jsou spojité, pak tak je kompozice g ∘ f : X → Z . Je -li f : X → Y spojité a
- X je kompaktní , pak f ( X ) je kompaktní.
- X je připojeno , pak je připojeno f ( X ).
- X je připojeno k cestě , pak f ( X ) je připojeno k cestě.
- X je Lindelöf , pak f ( X ) je Lindelöf.
- X je oddělitelné , pak f ( X ) je oddělitelné.
Možné topologie na pevné sadě X jsou částečně uspořádány : topologie τ 1 je hrubší než jiná topologie τ 2 (zápis: τ 1 ⊆ τ 2 ), pokud je každá otevřená podmnožina s ohledem na τ 1 také otevřená s ohledem na τ 2 . Poté mapa identity
- id X : ( X , τ 2 ) → ( X , τ 1 )
je spojitý právě tehdy, když τ 1 ⊆ τ 2 (viz také srovnání topologií ). Obecněji, spojitá funkce
zůstává spojitý, pokud je topologie τ Y nahrazena hrubší topologií a/nebo τ X je nahrazena jemnější topologií .
Homeomorfismy
Symetrický k pojmu spojité mapy je otevřená mapa , pro kterou jsou otevřené obrázky otevřených sad. Ve skutečnosti, je-li otevřený mapa f má inverzní funkce , že inverzní je kontinuální, a v případě, že kontinuální mapa g má inverzní, že inverzní je otevřený. Vzhledem k bijektivní funkci f mezi dvěma topologickými prostory nemusí být inverzní funkce f −1 spojitá. Bijektivní spojitá funkce s kontinuální inverzní funkcí se nazývá homeomorfismus .
V případě kontinuální bijection má za doménu na malém prostoru a jeho codomain je Hausdorff , pak je to homeomorfismus.
Definování topologií prostřednictvím spojitých funkcí
Daná funkce
kde X je topologický prostor a S je množina (bez určeného topologii), přičemž konečný topologie na S je definována tím, že nechá otevřené sady S být tyto podmnožiny A z S , pro které f -1 ( ) je otevřen v X . Jestliže S má existující topologie, f je spojitá vzhledem k této topologii tehdy a jen tehdy, pokud by stávající topologie je hrubší než konečný topologie na S . Konečnou topologii lze tedy charakterizovat jako nejlepší topologii na S, která činí f spojitou. Pokud f je surjektivní , je tato topologie kanonicky identifikována s kvocientovou topologií podle vztahu ekvivalence definovaného f .
Duálně, pro funkce f z množiny S na topologického prostoru, počáteční topologie na S má, jak otevřené podmnožin A z S tyto podmnožiny, pro které f ( ) je otevřená v X . Jestliže S má existující topologie, f je spojitá vzhledem k této topologii tehdy a jen tehdy, pokud by stávající topologie je jemnější než počáteční topologie na S . Počáteční topologii lze tedy charakterizovat jako nejhrubší topologii na S, která činí f spojitou. Pokud je f injective, Tato topologie je canonically identifikován s podprostoru topologie z S , viděno jako podmnožina X .
Topologie na množině S je jednoznačně určen třídě všech spojitých funkcí do všech prostorů topological X . Podobně lze podobný nápad použít na mapy
Kompaktní sady
Formálně se topologický prostor X nazývá kompaktní, pokud každý z jeho otevřených krytů má konečný podkryt . Jinak se tomu říká nekompaktní . Explicitně to znamená, že pro každou libovolnou kolekci
otevřených podmnožin X tak, že
existuje konečná podmnožina J z A taková, že
Některé obory matematiky, jako je algebraická geometrie , typicky ovlivněné francouzskou školou Bourbakiho , používají pro obecný pojem termín kvazi-kompakt a pro kompaktní prostory, které jsou jak Hausdorffovy, tak kvazi-kompaktní , si vyhrazují termín kompaktní . Kompaktní sada je někdy označována jako compactum , plural compacta .
Každý uzavřený interval v R konečné délky je kompaktní . Další platí: v R n , soubor je kompaktní tehdy a jen tehdy, pokud je uzavřen a omezená. (Viz Heine -Borelova věta ).
Každý souvislý obraz kompaktního prostoru je kompaktní.
Kompaktní podmnožina Hausdorffova prostoru je uzavřena.
Každá souvislá bijection z kompaktního prostoru do Hausdorffova prostoru je nutně homeomorphism .
Každá posloupnost bodů v kompaktním metrickém prostoru má konvergentní podposloupnost.
Každý kompaktní konečno-rozměrný rozdělovač může být vložen do nějakého euklidovského prostoru R n .
Propojené sady
Topologický prostor X je řekl, aby byl odpojen , pokud se jedná o sjednocení dvou disjunktních neprázdných otevřených souborů . Jinak je prý X připojeno . O podmnožině topologického prostoru se říká, že je spojen, pokud je připojen pod svou subprostorovou topologií . Někteří autoři vylučují prázdnou množinu (s její jedinečnou topologií) jako propojený prostor, ale tento článek tuto praxi nedodržuje.
Pro topologický prostor X jsou následující podmínky ekvivalentní:
- X je připojeno.
- X nelze rozdělit na dvě disjunktní neprázdné uzavřené sady .
- Jedinou podmnožinou X, která je otevřená i zavřená ( sady clopen ), je X a prázdná sada.
- Jedinou podmnožinou X s prázdnou hranicí jsou X a prázdná množina.
- X nelze zapsat jako spojení dvou neprázdných oddělených sad .
- Jediné spojité funkce od X do {0,1}, dvoubodový prostor obdařený diskrétní topologií, jsou konstantní.
Každý interval v R je spojen .
Spojitý obraz propojeného prostoru je propojen.
Připojené komponenty
K maximální připojený podmnožiny (objednané začlenění ) o neprázdnou topologického prostoru se nazývají připojená zařízení z prostoru. Složky jakéhokoliv prostoru topological X tvoří oddíl z X : jsou disjunktní , neprázdné, a jejich odbor je celý prostor. Každá součást je uzavřenou podmnožinou původního prostoru. Z toho vyplývá, že v případě, že je jejich počet konečný, je každá součást také otevřenou podmnožinou. Pokud je však jejich počet nekonečný, nemusí tomu tak být; například připojené komponenty množiny racionálních čísel jsou jednobodové sady, které nejsou otevřené.
Dovolit být připojený složkou x v prostoru topological X a být křižovatka všech otevřených uzavřeným sad obsahujících x (nazývané kvazi-komponentní of x .) Poté , kdy rovnost platí, pokud X je kompaktní Hausdorff nebo lokálně připojený.
Odpojené mezery
Prostor, ve kterém jsou všechny součásti jednobodové sady, se nazývá zcela odpojený . Ve vztahu k této vlastnosti, prostor X se nazývá úplně oddělí -li z nějakého dvou různých prvků x a y z X , existují disjunktní otevřené sousedství U z x a V z y tak, že X je spojení U a V . Je zřejmé, že jakýkoli zcela oddělený prostor je zcela odpojen, ale konverzace nedrží. Vezměte například dvě kopie racionálních čísel Q a identifikujte je v každém bodě kromě nuly. Výsledný prostor s kvocientovou topologií je zcela odpojen. Když však vezmeme v úvahu dvě kopie nuly, zjistíme, že prostor není zcela oddělen. Ve skutečnosti to není ani Hausdorff a podmínka úplného oddělení je přísně silnější než podmínka být Hausdorffem.
Soupravy připojené k cestě
Cesta od bodu X do bodu y v prostoru topological X je spojitá funkce f z jednotky intervalu [0,1] na X s f (0) = x a f (1) = y . Dráha-složka z X je třída ekvivalence z X v rámci ekvivalence , což Ix ekvivalentní y v případě, že je cesta od x do y . Prostor X se říká, že cesta připojené (nebo pathwise připojen nebo 0-připojený ) v případě, že je nanejvýš jedna cesta složky A, tedy v případě, že je cesta spojující jakékoliv dva body X . Mnoho autorů opět vylučuje prázdné místo.
Každý prostor spojený s cestou je propojen. Opak není vždy pravdivý: příklady propojených prostorů, které nejsou spojeny s cestou, zahrnují prodlouženou dlouhou linii L * a topologickou sinusovou křivku .
Podmnožiny skutečné linky R jsou však spojeny právě tehdy , jsou-li připojeny k cestě; Tyto podskupiny jsou intervaly z R . Také otevřené podmnožiny z R n nebo C n jsou spojeny pouze v případě, že jsou cesta-připojený. Navíc propojenost a propojenost cest jsou stejné pro konečné topologické prostory .
Produkty prostorů
Vzhledem k tomu X takové
je kartézský součin topologických prostorů Xa i , indexované podle a kanonický výstupky p i : X → X i je topologie produkt na X, je definován jako nejhrubší topologie (tj topologie s nejmenším počtem otevřených souborů), pro které jsou všechny projekce p i jsou spojité . Topologii produktu se někdy říká topologie Tychonoff .
Otevřené sady v produktové topologii jsou svazky (konečné nebo nekonečné) množin formuláře , kde každý U i je otevřený v X i a U i ≠ X i jen konečně mnohokrát. Zejména pro konečný produkt (zejména pro součin dvou topologických prostorů), produkty základních prvků X i poskytuje základ pro produkt .
Topologie produktu na X je topologie generovaná množinami tvaru p i −1 ( U ), kde i je v I a U je otevřená podmnožina X i . Jinými slovy, jsou sady { p i -1 ( U )} tvoří základová deska pro topologie na X . Podmnožina z X, je otevřený tehdy, když se jedná o (možná nekonečný) unie z průsečíků z konečně mnoha sad tvaru p i -1 ( U ). P i -1 ( U ) jsou někdy označovány jako otevřené válce , a jejich průsečíky jsou sady válců .
Obecně platí, že součin topologií každé X i je základem pro to, co se nazývá topologie box na X . Topologie pole je obecně jemnější než topologie produktu, ale u konečných produktů se shodují.
S kompaktností souvisí Tychonoffova věta : (libovolný) součin kompaktních prostorů je kompaktní.
Separační axiomy
Mnoho z těchto jmen má alternativní významy v některé z matematické literatury, jak je vysvětleno v části Historie separačních axiomů ; například významy „normálního“ a „T 4 “ se někdy zaměňují, podobně „pravidelný“ a „T 3 “ atd. Mnoho pojmů má také několik jmen; nicméně ten, který je uveden jako první, je vždy nejméně pravděpodobný, že bude nejednoznačný.
Většina těchto axiomů má alternativní definice se stejným významem; zde uvedené definice spadají do konzistentního vzorce, který spojuje různé pojmy separace definované v předchozí části. Další možné definice najdete v jednotlivých článcích.
Ve všech následujících definicích je X opět topologický prostor .
- X je T 0 , nebo Kolmogorov , pokud vůbec nějaké dva různé body v X jsou topologicky rozlišitelné . (Mezi separačními axiomy je běžným tématem mít jednu verzi axiomu, který vyžaduje T 0 a jednu verzi, která ji nemá.)
- X je T 1 , nebo přístupný nebo Fréchet , pokud jsou v X odděleny jakékoli dva odlišné body . Tak, X je T 1 tehdy, když je to i T 0 a R 0 . (I když můžete říkat věci jako T 1 prostor , Fréchetova topologie a Předpokládejme, že topologický prostor X je Fréchet , vyvarujte se v tomto kontextu říkání Fréchetova prostoru , protože ve funkční analýze existuje jiný zcela odlišný pojem Fréchetova prostoru .)
- X je Hausdorff nebo T 2 nebo oddělené , pokud jsou jakékoli dva odlišné body v X odděleny sousedstvími. Tak, X je Hausdorff jestliže a pouze tehdy, když je to i T 0 a R 1 . Hausdorffův prostor musí být také T 1 .
- X je T 2½ nebo Urysohn , pokud jsou jakékoli dva odlišné body v X odděleny uzavřenými sousedstvími. AT 2½ prostoru musí být také Hausdorff.
- X je pravidelné , nebo T 3 , je -li T 0 a je -li mu dán jakýkoli bod x a uzavřená množina F v X tak, že x nepatří do F , jsou odděleny sousedstvími. (Ve skutečnosti v pravidelném prostoru jsou všechna taková x a F také oddělena uzavřenými čtvrtěmi.)
- X je Tychonoff , nebo T 3½ , zcela T 3 , nebo zcela pravidelný , pokud je T 0 a pokud f, vzhledem k libovolnému bodu x a uzavřené množině F v X tak, že x nepatří do F , jsou odděleny spojitou funkce.
- X je normální , nebo T 4 , je -li Hausdorff a jsou -li jakékoli dvě disjunktní uzavřené podmnožiny X odděleny sousedstvími. (Prostor je ve skutečnosti normální tehdy a jen tehdy, pokud lze libovolné dvě disjunktní uzavřené množiny oddělit spojitou funkcí; toto je Urysohnovo lemma .)
- X je zcela normální , nebo T 5 nebo zcela T 4 , pokud je to T 1 a jsou -li nějaké dvě oddělené množiny odděleny sousedstvími. Normální musí být i úplně normální prostor.
- X je zcela normální , nebo T 6 nebo dokonale T 4 , pokud je to T 1 a pokud jsou nějaké dvě disjunktní uzavřené množiny přesně odděleny spojitou funkcí. Naprosto normální Hausdorffův prostor musí být také zcela normální Hausdorff.
Rozšíření věta Tietze : V normálním prostoru, každá spojitá reálná funkce definovaná na uzavřeném podprostoru může být prodloužena na kontinuální mapy definované na celém prostoru.
Axiomy hratelnosti
Axiom spočetnost je vlastnost některých matematických objektů (obvykle v kategorii ), která vyžaduje existenci spočetné množiny s určitými vlastnostmi, zatímco aniž by takové soupravy nemusí existovat.
Důležité axiomy spočítatelnosti pro topologické prostory :
- sekvenční prostor : množina je otevřená, pokud je každá posloupnost konvergentní k bodu v sadě nakonec v sadě
- první spočítatelný prostor : každý bod má spočitatelný sousedský základ (místní základnu)
- druhý počitatelný prostor : topologie má počitatelnou základnu
- oddělitelný prostor : existuje počitatelný hustý podprostor
- Prostor Lindelöf : každý otevřený kryt má spočitatelné podkrytí
- σ-kompaktní prostor : existuje spočitatelné pokrytí kompaktními prostory
Vztahy:
- Každý první počitatelný prostor je sekvenční.
- Každý druhý spočítatelný prostor je nejprve spočítatelný, oddělitelný a Lindelöf.
- Každý σ-kompaktní prostor je Lindelöf.
- Metrický prostor je first-počitatelné.
- U metrických prostorů je druhá počítatelnost, oddělitelnost a vlastnost Lindelöf ekvivalentní.
Metrické prostory
Metrický prostor je nařízeno dvojice , kde je množina a je metrika na , tj funkce
takové, že pro všechny platí následující:
- ( nezáporné ),
- iff ( identita nerozeznatelných ),
- ( symetrie ) a
- ( nerovnost trojúhelníku ).
Tato funkce se také nazývá funkce vzdálenosti nebo jednoduše vzdálenost . Často je vynechán a člověk jen píše pro metrický prostor, pokud je z kontextu zřejmé, jaká metrika je použita.
Každý metrický prostor je paracompact a Hausdorff , a tedy normální .
Tyto metrization věty poskytovat potřebné a dostatečné podmínky pro topologie pochází z metriky.
Věta o kategorii Baire
Teorém kategorie Baire říká: Když X je úplný metrický prostor nebo místně kompaktní Hausdorff prostor, pak je interiér každého svazku countably mnoha řídká sad je prázdný.
Jakýkoli otevřený podprostor prostoru Baire je sám o sobě prostorem Baire.
Hlavní oblasti výzkumu
Teorie kontinua
Kontinuum (pl kontinua ) je neprázdná kompaktní připojený metrický prostor , nebo méně často, je kompaktní připojený Hausdorff prostoru . Teorie kontinua je obor topologie věnovaný studiu kontinua. Tyto objekty vznikají často téměř ve všech oblastech topologie a analýzy a jejich vlastnosti jsou dostatečně silné, aby poskytly mnoho „geometrických“ vlastností.
Dynamické systémy
Topologická dynamika se týká chování prostoru a jeho podprostorů v průběhu času, když je podroben nepřetržité změně. Mnoho příkladů s aplikacemi do fyziky a dalších oblastí matematiky zahrnuje dynamiku tekutin , kulečník a toky na potrubích. Pro pochopení těchto systémů jsou často topologické charakteristiky fraktálů ve fraktální geometrii, Juliových množin a Mandelbrotových množin vznikajících v komplexní dynamice a atraktorů v diferenciálních rovnicích.
Bezúčelná topologie
Bezúčelová topologie (také nazývaná topologie bez bodů nebo bez bodů ) je přístup k topologii, který se vyhýbá uvádění bodů. Název „nesmyslná topologie“ má John von Neumann . Myšlenky nesmyslné topologie jsou úzce spjaty s pouhými topologiemi , ve kterých jsou regiony (množiny) považovány za základní bez výslovného odkazu na základní množiny bodů.
Teorie dimenzí
Teorie dimenze je obor všeobecné topologie se zabývá trojrozměrnými invarianty z topologických prostorů .
Topologické algebry
A topologická algebra A nad topologickým polem K je topologický vektorový prostor společně se spojitým násobením
které z něj dělá algebra nad K. . Jednotná asociativní topologická algebra je topologický prsten .
Termín vytvořil David van Dantzig ; objevuje se v názvu jeho disertační práce (1931).
Teorie metrizability
V topologii a souvisejících oblastech matematiky , je metrizable prostor je topologický prostor , který je homeomorphic do metrického prostoru . To znamená, že topologický prostor je údajně metrizovatelný, pokud existuje metrika
taková, že topologie vyvolaná d je . Metrizační věty jsou věty, které poskytují dostatečné podmínky pro topologický prostor, aby byl metrizovatelný.
Set-teoretická topologie
Set-teoretická topologie je předmět, který kombinuje teorii množin a obecnou topologii. Zaměřuje se na topologické otázky, které jsou nezávislé na teorii množin Zermelo – Fraenkel (ZFC). Slavným problémem je normální Mooreova vesmírná otázka , otázka obecné topologie, která byla předmětem intenzivního výzkumu. Odpověď na normální Mooreovu vesmírnou otázku se nakonec ukázala jako nezávislá na ZFC.
Viz také
- Seznam příkladů v obecné topologii
- Glosář obecné topologie pro podrobné definice
- Seznam obecných témat topologie pro související články
- Kategorie topologických prostorů
Reference
Další čtení
Některé standardní knihy o obecné topologii zahrnují:
- Bourbaki , Topologie Générale ( Obecná topologie ), ISBN 0-387-19374-X .
- John L. Kelley (1955) Obecná topologie , odkaz z internetového archivu , původně publikoval David Van Nostrand Company.
- Stephen Willard , Obecná topologie , ISBN 0-486-43479-6 .
- James Munkres , topologie , ISBN 0-13-181629-2 .
- George F. Simmons , Úvod do topologie a moderní analýzy , ISBN 1-575-24238-9 .
- Paul L. Shick , Topologie: Point-Set a Geometric , ISBN 0-470-09605-5 .
- Ryszard Engelking , Obecná topologie , ISBN 3-88538-006-4 .
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
- O.Ya. Viro, OA Ivanov, VM Kharlamov a N.Yu. Netsvetaev, Elementární topologie: učebnice v problémech , ISBN 978-0-8218-4506-6 .
- Topologické tvary a jejich význam od KARousana arvXiv id- 1905.13481
externí odkazy
- Média související s obecnou topologií na Wikimedia Commons