Mnohoúhelník - Polygon

Některé polygony různého druhu: otevřené (bez jeho ohraničení), pouze ohraničující (bez vnitřního), uzavřené (včetně hraničního i vnitřního) a protínající se.

V geometrii , je mnohoúhelník ( / p ɒ l ɪ ɡ ɒ n / ) je rovina údaj , který je popsán pomocí konečného počtu rovných úseček propojených pro vytvoření uzavřeného lomená čára (nebo mnohoúhelníkový obvod ). Ohraničené rovinou oblast , ohraničovací obvod, nebo oba společně, může být označována jako polygon.

Segmenty polygonálního obvodu se nazývají jeho okraje nebo strany . Body, kde se dvě hrany setkávají, jsou vrcholy polygonu (singulární: vrchol) nebo rohy . Vnitřku pevného mnohoúhelníku se někdy říká jeho tělo . N gon je polygon s n stranami; například trojúhelník je 3úhelník.

Jednoduchý polygon je ta, která neprotíná sama. Matematici se často zabývají pouze ohraničujícími polygonálními řetězci jednoduchých polygonů a často podle toho definují mnohoúhelník. Polygonální hranici lze povolit překročit přes sebe, čímž se vytvoří hvězdicové polygony a další samo protínající se polygony .

Mnohoúhelník je dvourozměrný příklad obecnějšího mnohostěnu v libovolném počtu rozměrů. Existuje mnoho dalších generalizací polygonů definovaných pro různé účely.

Etymologie

Slovo mnohoúhelník pochází z řeckého adjektiva πολύς ( polús ) „hodně“, „mnoho“ a γωνία ( gōnía ) „roh“ nebo „úhel“. To bylo navrhl, že γόνυ ( gónu ) 'koleno' může být původ gon .

Klasifikace

Některé různé druhy mnohoúhelníků

Počet stran

Polygony jsou primárně klasifikovány podle počtu stran. Viz tabulka níže .

Konvexita a nekonvexnost

Polygony mohou být charakterizovány svou konvexitou nebo typem nekonvexnosti:

• Konvexní : jakákoli čára protažená mnohoúhelníkem (a ne dotyčná k hraně nebo rohu) splňuje její hranici přesně dvakrát. V důsledku toho jsou všechny jeho vnitřní úhly menší než 180 °. Ekvivalentně jakýkoli segment čáry s koncovými body na hranici prochází pouze vnitřními body mezi svými koncovými body.
• Nekonvexní: může být nalezena čára, která splňuje její hranici více než dvakrát. Ekvivalentně existuje úsečka mezi dvěma hraničními body, která prochází mimo mnohoúhelník.
• Jednoduché : hranice polygonu se sama nepřekračuje. Všechny konvexní polygony jsou jednoduché.
• Konkávní : nekonvexní a jednoduché. Minimálně jeden vnitřní úhel je větší než 180 °.
• Ve tvaru hvězdy : celý interiér je viditelný alespoň z jednoho bodu, aniž by překročil jakoukoli hranu. Mnohoúhelník musí být jednoduchý a může být konvexní nebo konkávní. Všechny konvexní polygony mají tvar hvězdy.
• Samo-protínající se : hranice polygonu překračuje sama sebe. Termín komplex je někdy používán na rozdíl od jednoduchého , ale toto použití riskuje záměnu s představou komplexního polygonu jako jednoho, který existuje v komplexní Hilbertově rovině skládající se ze dvou komplexních dimenzí.
• Hvězdicový mnohoúhelník : mnohoúhelník, který se sám pravidelně protíná. Polygon nemůže mít tvar hvězdy ani hvězdy.

Rovnost a symetrie

• Rovnoměrné : všechny rohové úhly jsou stejné.
• Rovnostranné : všechny hrany jsou stejně dlouhé.
• Pravidelné : rovnostranné i rovnostranné.
• Cyklické : všechny rohy leží na jednom kruhu , kterému se říká circumcircle .
• Tangenciální : všechny strany jsou tečné k vepsané kružnici .
• Isogonální nebo vrcholně tranzitivní : všechny rohy leží na stejné oběžné dráze symetrie . Polygon je také cyklický a rovnostranný.
• Isotoxické nebo hraničně tranzitivní : všechny strany leží na stejné oběžné dráze symetrie . Polygon je také rovnostranný a tangenciální.

Vlastnost pravidelnosti může být definována jinými způsoby: mnohoúhelník je pravidelný právě tehdy, když je izogonální i izotoxický, nebo ekvivalentně je cyklický i rovnostranný. Nekonvexní pravidelný mnohoúhelník se nazývá pravidelný mnohoúhelník hvězdy .

Smíšený

• Přímé : strany polygonu se setkávají v pravém úhlu, tj. Všechny jeho vnitřní úhly jsou 90 nebo 270 stupňů.
• Monotónní vzhledem k dané přímce L : každá přímka kolmá na L protíná polygon nejvýše dvakrát.

Vlastnosti a vzorce

Rozdělení n -gonu na n -2 trojúhelníky

V celém textu se předpokládá euklidovská geometrie .

Úhly

Každý polygon má tolik rohů, kolik má stran. Každý roh má několik úhlů. Dvě nejdůležitější jsou:

• Vnitřní úhel -Součet vnitřních úhlů jednoduchého n -gonu je ( n -2) π radiánů nebo ( n -2) × 180 stupňů . Důvodem je, že jakýkoli jednoduchý n -gon (mající n stran) lze považovat za složený z ( n -2) trojúhelníků, z nichž každý má součet úhlů π radiánů nebo 180 stupňů. Míra jakéhokoli vnitřního úhlu konvexního pravidelného n -gonu jeradián nebostupeň. Vnitřní úhly pravidelných hvězdných mnohoúhelníků nejprve studoval Poinsot ve stejném článku, ve kterém popisuje čtyři pravidelné hvězdicové mnohostěny : pro pravidelný-gon ( p -gon se střední hustotou q ) je každý vnitřní úhelradiány nebostupně .${\ Displaystyle \ left (1-{\ tfrac {2} {n}} \ right) \ pi}$${\ displaystyle 180-{\ tfrac {360} {n}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi (p-2q)} {p}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {180 (p-2q)} {p}}}$
• Vnější úhel - Vnější úhel je doplňkový úhel k vnitřnímu úhlu. Úhel „otočený“ v rohu, kterýobchází konvexní n -gon, je vnější nebo vnější úhel. Trasování po celém polygonu dělá jednu plnou otáčku , takže součet vnějších úhlů musí být 360 °. Tento argument lze zobecnit na konkávní jednoduché polygony, pokud jsou od celkového natočení odečteny vnější úhly, které se otáčejí v opačném směru. Trasování kolem n -gonu obecně, součet vnějších úhlů (celkové množství, které se jeden otočí ve vrcholech) může být libovolné celočíselné násobek d 360 °, např. 720 ° pro pentagram a 0 ° pro úhlovou „osmičku“ nebo antiparallelogram , kde d je hustota nebo číslo soustružení polygonu. Viz také oběžná dráha (dynamika) .

Plocha

Souřadnice nekonvexního pětiúhelníku.

V této části jsou vrcholy uvažovaného polygonu považovány za v pořádku. Pro pohodlí v některých vzorcích bude také použit zápis ( x _n , y _n ) = ( x ₀ , y ₀ ) . ${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}), (x_ {1}, y_ {1}), \ ldots, (x_ {n-1}, y_ {n-1})}$

Pokud mnohoúhelník neprotíná (tj. Je jednoduchý ), je oblast se znaménkem

${\ Displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 0}^{n-1} (x_ {i} y_ {i+1} -x_ {i+1} y_ {i }) \ quad {\ text {where}} x_ {n} = x_ {0} {\ text {and}} y_ {n} = y_ {0},}$

nebo pomocí determinantů

${\ Displaystyle 16A^{2} = \ sum _ {i = 0}^{n-1} \ sum _ {j = 0}^{n-1} {\ begin {vmatrix} Q_ {i, j} & Q_ {i, j+1} \\ Q_ {i+1, j} & Q_ {i+1, j+1} \ end {vmatrix}},}$

kde je čtvercová vzdálenost mezi a${\ displaystyle Q_ {i, j}}$${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}$${\ Displaystyle (x_ {j}, y_ {j}).}$

Podepsaná oblast závisí na uspořádání vrcholů a orientaci roviny. Pozitivní orientace je obvykle definována rotací (proti směru hodinových ručiček), která mapuje kladnou osu x na kladnou osu y . Pokud jsou vrcholy uspořádány proti směru hodinových ručiček (to znamená podle kladné orientace), je podepsaná oblast kladná; jinak je negativní. V obou případech je vzorec plochy správný v absolutní hodnotě . Běžně se tomu říká formule od tkaničky nebo od zeměměřiče.

Plochu A jednoduchého mnohoúhelníku lze také vypočítat, pokud jsou známy délky stran, a ₁ , a ₂ , ..., a _n a vnějších úhlů , θ ₁ , θ ₂ , ..., θ _n , z:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} A = {\ frac {1} {2}} (a_ {1} [a_ {2} \ sin (\ theta _ {1})+a_ {3} \ sin (\ theta _ {1}+\ theta _ {2})+\ cdots+a_ {n-1} \ sin (\ theta _ {1}+\ theta _ {2}+\ cdots+\ theta _ {n-2 })] \\ {}+a_ {2} [a_ {3} \ sin (\ theta _ {2})+a_ {4} \ sin (\ theta _ {2}+\ theta _ {3})+ \ cdots +a_ {n-1} \ sin (\ theta _ {2} +\ cdots +\ theta _ {n-2})] \\ {} +\ cdots +a_ {n-2} [a_ {n -1} \ sin (\ theta _ {n-2})]). \ End {aligned}}}$

Vzorec popsal Lopshits v roce 1963.

Pokud lze mnohoúhelník nakreslit na stejně rozmístěnou mřížku tak, že všechny jeho vrcholy jsou body mřížky, Pickova věta dává jednoduchý vzorec pro oblast polygonu na základě počtu vnitřních a hraničních bodů mřížky: první číslo plus jedna polovina druhé číslo mínus 1.

V každém polygonu s obvodem p a oblastí A platí izoperimetrická nerovnost . ${\ Displaystyle p^{2}> 4 \ pi A}$

U jakýchkoli dvou jednoduchých polygonů stejné plochy Bolyai -Gerwienova věta tvrdí, že první lze rozřezat na polygonální kusy, které lze znovu sestavit a vytvořit druhý polygon.

Délky stran mnohoúhelníku obecně neurčují jeho plochu. Nicméně, pokud je polygon je jednoduchá a cyklický pak strany provést určení oblasti. Ze všech n -úhelníků s danými délkami stran je ten s největší plochou cyklický. Ze všech n -gonů s daným obvodem je ten s největší plochou pravidelný (a tedy cyklický).

Pravidelné mnohoúhelníky

Mnoho specializovaných vzorců platí pro oblasti pravidelných polygonů .

Plocha pravidelného mnohoúhelníku je dána poloměrem r jeho vepsané kružnice a jeho obvodem p by

${\ Displaystyle A = {\ tfrac {1} {2}} \ cdot p \ cdot r.}$

Tento poloměr je označována také jeho apothem a je často reprezentován jako .

Plochu pravidelného n -gonu z hlediska poloměru R jeho ohraničené kružnice lze vyjádřit trigonometricky jako:

${\ Displaystyle A = R^{2} \ cdot {\ frac {n} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {2 \ pi} {n}} = R^{2} \ cdot n \ cdot \ hřích {\ frac {\ pi} {n}} \ cdot \ cos {\ frac {\ pi} {n}}}$

Plochu pravidelného n -gonu vepsaného do kružnice o poloměru o stranách s a vnitřním úhlem lze také vyjádřit trigonometricky jako: ${\ displaystyle \ alpha,}$

${\ Displaystyle A = {\ frac {ns^{2}} {4}} \ cot {\ frac {\ pi} {n}} = {\ frac {ns^{2}} {4}} \ cot { \ frac {\ alpha} {n-2}} = n \ cdot \ sin {\ frac {\ alpha} {n-2}} \ cdot \ cos {\ frac {\ alpha} {n-2}}.}$

Samo-protínající se

Oblast protínajícího se polygonu lze definovat dvěma různými způsoby, které poskytují různé odpovědi:

• Pomocí vzorců pro jednoduché mnohoúhelníky připouštíme, že určité oblasti v polygonu mohou mít svoji plochu vynásobenou faktorem, který nazýváme hustota oblasti. Například centrální konvexní pětiúhelník ve středu pentagramu má hustotu 2. Dvě trojúhelníkové oblasti křížového čtyřúhelníku (jako obrázek 8) mají hustoty s opačným znaménkem a sčítáním jejich oblastí dohromady lze získat celkovou plochu nula pro celou postavu.
• Vzhledem k tomu, že uzavřené oblasti jsou množinami bodů, můžeme najít oblast uzavřené množiny bodů. To odpovídá oblasti roviny pokryté mnohoúhelníkem nebo oblasti jednoho nebo více jednoduchých polygonů, které mají stejný obrys jako ten protínající se. V případě křížového čtyřúhelníku je považován za dva jednoduché trojúhelníky.

Těžiště

Při použití stejné konvence pro souřadnice vrcholů jako v předchozí části jsou souřadnice těžiště pevného jednoduchého mnohoúhelníku

${\ Displaystyle C_ {x} = {\ frac {1} {6A}} \ sum _ {i = 0}^{n-1} (x_ {i}+x_ {i+1}) (x_ {i} y_ {i+1} -x_ {i+1} y_ {i}),}$

${\ Displaystyle C_ {y} = {\ frac {1} {6A}} \ sum _ {i = 0}^{n-1} (y_ {i}+y_ {i+1}) (x_ {i} y_ {i+1} -x_ {i+1} y_ {i}).}$

V těchto vzorcích musí být použita hodnota oblasti se znaménkem . ${\ displaystyle A}$

U trojúhelníků ( n = 3 ) jsou těžiště vrcholů a objemového tvaru stejné, ale obecně to neplatí pro n > 3 . Těžiště z vrcholů souboru polygonu s n vrcholy má souřadnice

${\ displaystyle c_ {x} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 0}^{n-1} x_ {i},}$

${\ Displaystyle c_ {y} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 0}^{n-1} y_ {i}.}$

Zobecnění

Myšlenka polygonu byla zobecněna různými způsoby. Mezi ty důležitější patří:

• Sférický polygon je obvod oblouků kružnic (boky) a vrcholy na povrchu koule. Umožňuje digon , mnohoúhelník, který má pouze dvě strany a dva rohy, což je v rovině nemožné. Sférické mnohoúhelníky hrají důležitou roli v kartografii (mapa procesu) av konstrukci Wythoff se na jednotném polyhedra .
• Zešikmení polygon neleží v ploché rovině, ale kličkování tři (nebo více) rozměrů. K Petrie mnohoúhelníky řádných Polytopes jsou dobře známé příklady.
• Apeirogon je nekonečný sled stran a úhlů, která není uzavřená, ale nemá konce, protože se rozprostírá do nekonečna v obou směrech.
• Výchylka apeirogon je nekonečný sled stran a úhlů, které neleží v ploché rovině.
• Komplex polygon je uspořádání analogické s obyčejnou polygonu, která existuje v komplexní rovině dvou reálné a dvěma pomyslnými rozměrů.
• Abstraktní polygon je algebraická uspořádaná množina představující různé prvky (stěny, vrcholy, atd) a jejich připojení. Skutečný geometrický polygon je údajně realizací přidruženého abstraktního polygonu. V závislosti na mapování lze realizovat všechna zde popsaná zobecnění.
• Polyhedron je trojrozměrný pevný ohraničena plochými polygonální plochami, které jsou analogické k polygonu ve dvou rozměrech. Odpovídající tvary ve čtyřech nebo vyšších dimenzích se nazývají polytopy . (V jiných konvencích se slova mnohostěn a mnohostěn používají v jakékoli dimenzi, přičemž se rozlišuje mezi nimi, že polytop je nutně ohraničen.)

Pojmenování

Slovo polygon pochází z pozdně latinského polygōnum (podstatné jméno), z řeckého πολύγωνον ( polygōnon/polugōnon ), podstatné jméno použití kastrátu πολύγωνος ( polygōnos/polugōnos , mužské přídavné jméno), což znamená „ mnohoúhelníkový “. Jednotlivé polygony jsou pojmenovány (a někdy klasifikovány) podle počtu stran, kombinující řeckou odvozenou číselnou předponu s příponou -gon , např. Pětiúhelník , dodekagon . Trojúhelník , čtyřúhelník a devítiúhelník jsou výjimky.

Kromě dekagonů (10stranných) a dodecagonů (12stranných) matematici obecně používají numerický zápis, například 17-gon a 257-gon.

Výjimky existují pro vedlejší počty, které se snadněji vyjadřují verbálně (např. 20 a 30), nebo je používají nematematici. Některé speciální polygony mají také svá vlastní jména; například pravidelná hvězda pentagon je také známý jako pentagram .

Konstrukce vyšších jmen

Chcete -li sestavit název mnohoúhelníku s více než 20 a méně než 100 hranami, zkombinujte předpony následujícím způsobem. Termín „kai“ se vztahuje na 13 gonů a vyšší a byl používán Keplerem a prosazován Johnem H. Conwayem kvůli jasnosti zřetězených čísel předpon při pojmenovávání kvaziregulárních mnohostěnů .

Dějiny

Historický obraz polygonů (1699)

Mnohoúhelníky jsou známy již od starověku. Tyto pravidelné mnohoúhelníky bylo známo, že staří Řekové, s pentagram , non-konvexní pravidelný polygon ( hvězda polygonů ), se objevit jak brzy jako 7. století před naším letopočtem na Krater od Aristophanes , nalezený v Caere a nyní v Capitoline muzeu .

První známou systematickou studii nekonvexních polygonů obecně provedl Thomas Bradwardine ve 14. století.

V roce 1952 Geoffrey Colin Shephard zobecnil myšlenku polygonů na komplexní rovinu, kde je každá skutečná dimenze doprovázena imaginární , aby vytvořila komplexní polygony .

V přírodě

The Giant's Causeway , v Severním Irsku

Polygony se objevují ve skalních útvarech, nejčastěji jako ploché fazety krystalů , kde úhly mezi stranami závisí na typu minerálu, ze kterého je krystal vyroben.

Pravidelné šestiúhelníky mohou nastat, když ochlazení lávy vytvoří oblasti těsně zabalených čedičových sloupců , které lze vidět na Obří dráze v Severním Irsku nebo na Ďáblově postpile v Kalifornii .

V biologii je povrch voskové voštiny vytvořené včelami maticí šestiúhelníků a boky a základna každé buňky jsou také polygony.

Počítačová grafika

V počítačové grafice je mnohoúhelník primitivem používaným při modelování a vykreslování. Jsou definovány v databázi obsahující pole vrcholů (souřadnice geometrických vrcholů a další atributy polygonu, jako je barva, stínování a textura), informace o konektivitě a materiály .

Jakýkoli povrch je modelován jako mozaika nazývaná polygonová síť . Pokud má čtvercová síť n + 1 bodů (vrcholů) na každé straně, je v síti n čtvercových čtverců nebo 2 n čtvercových trojúhelníků, protože ve čtverci jsou dva trojúhelníky. Existuje ( n + 1) ² /2 ( N ² ) vrcholy na trojúhelníku. Kde n je velké, to se blíží polovině. Nebo každý vrchol uvnitř čtvercové sítě spojuje čtyři hrany (čáry).

Zobrazovací systém vyvolá strukturu polygonů potřebných pro vytvoření scény z databáze. To se přenese do aktivní paměti a nakonec do systému zobrazení (obrazovka, televizní monitory atd.), Aby bylo možné scénu zobrazit. Během tohoto procesu zobrazovací systém vykreslí polygony ve správné perspektivě připravené k přenosu zpracovaných dat do zobrazovacího systému. Přestože jsou polygony dvourozměrné, prostřednictvím systémového počítače jsou umístěny do vizuální scény ve správné trojrozměrné orientaci.

V počítačové grafice a výpočetní geometrii je často nutné určit, zda daný bod leží uvnitř jednoduchého mnohoúhelníku daného posloupností úseček. Toto se nazývá bod v polygonovém testu. ${\ displaystyle P = (x_ {0}, y_ {0})}$

Viz také

Reference

Bibliografie

• Coxeter, HSM ; Regular Polytopes , Methuen and Co., 1948 (3. vydání, Dover, 1973).
• Cromwell, P .; Polyhedra , CUP hbk (1997), pbk. (1999).
• Grünbaum, B .; Jsou vaše mnohostěny stejné jako moje mnohostěny? Diskrétní a výpočetní. geom: Goodman-Pollack festschrift , ed. Aronov a kol. Springer (2003) s. 461–488. ( pdf )

Poznámky

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Polygon“ . MathWorld .
• Co jsou Polyhedra? , s řeckými číselnými předponami
• Polygony, typy polygonů a vlastnosti polygonů s interaktivní animací
• Jak nakreslit monochromatické ortogonální mnohoúhelníky na obrazovkách , Herbert Glarner
• comp.graphics.algorithms Často kladené otázky , řešení matematických problémů při výpočtu 2D a 3D polygonů
• Porovnání různých algoritmů pro polygonové booleovské operace , porovnání schopností, rychlosti a numerické robustnosti
• Součet vnitřních úhlů polygonů: obecný vzorec Poskytuje interaktivní šetření Java, které rozšiřuje vzorec součtu vnitřního úhlu pro jednoduché uzavřené polygony tak, aby zahrnovaly zkřížené (komplexní) polygony