Polynom -Polynomial

V matematice je polynom výraz sestávající z neurčitých (také nazývaných proměnné ) a koeficientů , který zahrnuje pouze operace sčítání , odčítání , násobení a nezáporné celé číslo umocňování proměnných. Příkladem polynomu jediného neurčitého x je x 2 − 4 x + 7 . Příkladem ve třech proměnných je x 3 + 2 xyz 2yz+ 1 .

Polynomy se objevují v mnoha oblastech matematiky a přírodních věd. Používají se například k vytvoření polynomických rovnic , které kódují širokou škálu problémů, od elementárních slovních úloh až po složité vědecké problémy; používají se k definování polynomiálních funkcí , které se objevují v nastaveních od základní chemie a fyziky po ekonomii a sociální vědy ; používají se v počtu a numerické analýze k aproximaci jiných funkcí. V pokročilé matematice se polynomy používají ke konstrukci polynomiálních kruhů a algebraických variet , což jsou ústřední pojmy v algebře a algebraické geometrii .

Etymologie

Slovo polynom spojuje dva různé kořeny : řecké poly , což znamená „mnoho“, a latinské nomen , neboli „jméno“. Byl odvozen od termínu binomický nahrazením latinského kořene bi- řeckým poly- . To znamená, že to znamená součet mnoha členů (mnoho monočlenů ). Slovo polynom byl poprvé použit v 17. století.

Notace a terminologie

Graf polynomiální funkce stupně 3

X vyskytující se v polynomu se běžně nazývá proměnná nebo neurčitá . Když je polynom považován za výraz, x je pevný symbol, který nemá žádnou hodnotu (jeho hodnota je "neurčitá"). Když však vezmeme v úvahu funkci definovanou polynomem, pak x představuje argument funkce, a proto se nazývá „proměnná“. Mnoho autorů používá tato dvě slova zaměnitelně.

Polynom P v neurčitém x se běžně označuje buď jako P nebo jako P ( x ). Formálně je název polynomu P , nikoli P ( x ), ale použití funkčního zápisu P ( x ) pochází z doby, kdy nebylo jasné rozlišení mezi polynomem a přidruženou funkcí. Funkční notace je navíc často užitečná pro specifikaci, v jedné frázi, polynomu a jeho neurčitosti. Například „nechť P ( x ) je polynom“ je zkratka pro „nechť P je polynom v neurčitém x “. Na druhou stranu, když není nutné klást důraz na název neurčitého, je mnoho vzorců mnohem jednodušších a snáze čitelných, pokud se jméno (názvy) neurčitého (určitých) neobjeví při každém výskytu polynomu.

Nejednoznačnost dvou zápisů pro jeden matematický objekt může být formálně vyřešena zvážením obecného významu funkčního zápisu pro polynomy. Jestliže a označuje číslo, proměnnou, jiný polynom nebo obecněji jakýkoli výraz, pak P ( a ) označuje podle konvence výsledek dosazení a za x v P . Polynom P tedy definuje funkci

což je polynomiální funkce spojená s P . Při použití tohoto zápisu se často předpokládá, že a je číslo. Lze jej však použít v jakékoli doméně, kde je definováno sčítání a násobení (tj. jakýkoli kruh ). Konkrétně, je-li a polynom, pak P ( a ) je také polynom.

Přesněji, když a je neurčité x , pak obrazem x touto funkcí je samotný polynom P ( dosazením x za x se nic nezmění). Jinými slovy,

což formálně ospravedlňuje existenci dvou zápisů pro stejný polynom.

Definice

Polynomiální výraz je výraz , který lze sestavit z konstant a symbolů nazývaných proměnné nebo neurčitosti pomocí sčítání , násobení a umocňování na nezápornou mocninu celého čísla. Konstanty jsou obecně čísla , ale může to být jakýkoli výraz, který nezahrnuje neurčitosti a představuje matematické objekty , které lze sčítat a násobit. Dva polynomiální výrazy jsou považovány za definující stejný polynom , pokud mohou být transformovány, jeden na druhého, použitím obvyklých vlastností komutativnosti , asociativnosti a distributivity sčítání a násobení. Například a jsou dva polynomické výrazy, které představují stejný polynom; tak jeden píše

Polynom v jediném neurčitém x lze vždy zapsat (nebo přepsat) ve tvaru

kde jsou konstanty, které se nazývají koeficienty polynomu, a je neurčitý. Slovo "neurčité" znamená, že nepředstavuje žádnou konkrétní hodnotu, ačkoli ji lze nahradit jakoukoli hodnotou. Mapování, které spojuje výsledek této substituce se substituovanou hodnotou, je funkce nazývaná polynomiální funkce .

To lze vyjádřit stručněji pomocí součtového zápisu :

To znamená, že polynom může být buď nula, nebo může být zapsán jako součet konečného počtu nenulových členů . Každý člen se skládá ze součinu čísla – nazývaného koeficient termínu – a konečného počtu neurčitých, umocněných na nezáporné celé číslo.

Klasifikace

Exponent na neurčitém v termínu se nazývá stupeň tohoto neurčitého v tomto termínu; stupeň členu je součtem stupňů neurčitých v tomto členu a stupeň polynomu je největší stupeň jakéhokoli členu s nenulovým koeficientem. Protože x = x 1 , stupeň neurčitosti bez zapsaného exponentu je jedna.

Člen bez neurčitel a polynom bez neurčitosti se nazývají konstantní člen a konstantní polynom . Stupeň konstantního členu a nenulového konstantního polynomu je 0. Stupeň nulového polynomu 0 (který nemá vůbec žádné členy) je obecně považován za nedefinovaný (ale viz níže).

Například:

je termín. Koeficient je −5 , neurčité jsou x a y , stupeň x je dva a stupeň y je jedna. Stupeň celého členu je součtem stupňů každého neurčitého v něm, takže v tomto příkladu je stupeň 2 + 1 = 3 .

Vytvořením součtu několika členů vznikne polynom. Například následující je polynom:

Skládá se ze tří termínů: první je stupeň dva, druhý stupeň jedna a třetí stupeň nula.

Polynomy malého stupně dostaly specifická jména. Polynom nulového stupně je konstantní polynom nebo jednoduše konstanta . Polynomy stupně jedna, dva nebo tři jsou lineární polynomy, kvadratické polynomy a kubické polynomy . Pro vyšší stupně se konkrétní názvy běžně nepoužívají, i když se někdy používá kvartický polynom (pro stupeň čtyři) a kvintický polynom (pro stupeň pět). Názvy stupňů mohou být aplikovány na polynom nebo na jeho členy. Například člen 2 x v x 2 + 2 x + 1 je lineární člen v kvadratickém polynomu.

Polynom 0, o kterém lze mít za to, že nemá vůbec žádné členy, se nazývá nulový polynom . Na rozdíl od jiných konstantních polynomů není jeho stupeň nulový. Spíše je stupeň nulového polynomu buď ponechán explicitně nedefinovaný, nebo definovaný jako záporný (buď −1 nebo −∞). Nula polynomial je také jedinečný v tom to je jediný polynomial v jednom neurčitém to má nekonečný počet kořenů . Grafem nulového polynomu, f ( x ) = 0 , je osa x .

V případě polynomů ve více než jednom neurčitém se polynom nazývá homogenní stupně n , pokud všechny jeho nenulové členy mají stupeň n . Nulový polynom je homogenní a jako homogenní polynom je jeho stupeň nedefinovaný. Například x 3 y 2 + 7 x 2 y 3 − 3 x 5 je homogenní stupně 5. Další podrobnosti viz Homogenní polynom .

Komutativní zákon sčítání lze použít k přeskupení termínů do libovolného preferovaného pořadí. V polynomech s jedním neurčitým jsou členy obvykle uspořádány podle stupně, buď v "sestupných mocninách x ", s členem největšího stupně jako první, nebo ve "vzestupných mocninách x ". Polynom 3 x 2 - 5 x + 4 se zapisuje sestupnými mocninami x . První člen má koeficient 3 , neurčité x a exponent 2 . Ve druhém členu je koeficient −5 . Třetí člen je konstanta. Protože stupeň nenulového polynomu je největším stupněm kteréhokoli jednoho členu, má tento polynom stupeň dva.

Dva termíny se stejnými neurčitými umocněnými stejnými mocninami se nazývají „podobné termíny“ nebo „podobné termíny“ a lze je spojit pomocí distributivního zákona do jediného termínu, jehož koeficient je součtem koeficientů členů, které byly kombinovány. Může se stát, že tím bude koeficient 0. Polynomy lze klasifikovat podle počtu členů s nenulovými koeficienty, takže jednočlenný polynom se nazývá monočlen , dvoučlenný polynom se nazývá binom a tříčlenný polynom se nazývá trinom . Termín „kvadrinom“ se občas používá pro čtyřčlenný polynom.

Reálný polynom je polynom s reálnými koeficienty. Když se používá k definování funkce , doména není tak omezena. Reálná polynomická funkce je však funkcí od reálných k reálným veličinám, která je definována reálným polynomem. Podobně celočíselný polynom je polynom s celočíselnými koeficienty a komplexní polynom je polynom s komplexními koeficienty.

Polynom v jednom neurčitém se nazývá jednorozměrný polynom , polynom ve více než jednom neurčitém se nazývá mnohorozměrný polynom . Polynom se dvěma neurčitými se nazývá dvourozměrný polynom . Tyto pojmy odkazují více na druh polynomů, se kterými se obecně pracuje, než na jednotlivé polynomy; například při práci s jednorozměrnými polynomy nevylučujeme konstantní polynomy (které mohou vzniknout odečtením nekonstantních polynomů), ačkoli přísně vzato konstantní polynomy neobsahují vůbec žádné neurčitosti. Vícerozměrné polynomy je možné dále klasifikovat jako dvourozměrné , trojrozměrné atd. podle maximálního povoleného počtu neurčitých. Opět, aby byla množina uvažovaných objektů uzavřena pod odečítáním, studium trojrozměrných polynomů obvykle umožňuje dvourozměrné polynomy a tak dále. To je také obyčejné říkat jednoduše “polynomials v x , y , a z ”, vypisovat neurčité povolené.

Vyhodnocení polynomu spočívá v dosazení číselné hodnoty do každé neurčité a provedení uvedených násobení a sčítání. Pro polynomy v jedné neurčité je vyhodnocení obvykle efektivnější (nižší počet aritmetických operací) pomocí Hornerovy metody :

Aritmetický

Sčítání a odčítání

Polynomy lze sčítat pomocí asociativního zákona sčítání (seskupení všech jejich členů do jediného součtu), případně následované přeskupením (pomocí komutativního zákona ) a kombinováním podobných termínů. Například pokud

a

pak součet

lze přeskupit a přeskupit jako

a poté zjednodušené na

Když se polynomy sečtou, výsledkem je další polynom.

Odečítání polynomů je podobné.

Násobení

Polynomy lze také násobit. Pro rozšíření součinu dvou polynomů na součet termínů se opakovaně aplikuje distributivní zákon, což má za následek, že každý člen jednoho polynomu je násoben každým členem druhého. Například pokud

pak

Provedení násobení v každém termínu produkuje

Kombinace podobných podmínek přináší výnosy

které lze zjednodušit

Stejně jako v příkladu je součin polynomů vždy polynom.

Složení

Je- li dán polynom jedné proměnné a další polynom g libovolného počtu proměnných, složení se získá nahrazením každé kopie proměnné prvního polynomu druhým polynomem. Například když a pak

Složení lze rozšířit na součet členů pomocí pravidel pro násobení a dělení polynomů. Složení dvou polynomů je další polynom.

Divize

Dělení jednoho polynomu druhým není typicky polynom. Místo toho jsou takové poměry obecnější rodinou objektů, nazývaných racionální zlomky , racionální výrazy nebo racionální funkce , v závislosti na kontextu. To je analogické se skutečností, že poměr dvou celých čísel je racionální číslo , ne nutně celé číslo. Například zlomek 1/( x 2 + 1) není polynom a nelze jej zapsat jako konečný součet mocnin proměnné x .

Pro polynomy v jedné proměnné existuje pojem euklidovské dělení polynomů , zobecňující euklidovské dělení celých čísel. Tento pojem dělení a ( x ) / b ( x ) má za následek dva polynomy, kvocient q ( x ) a zbytek r ( x ) , takže a = b q + r a stupeň ( r ) < stupeň ( b ) . Kvocient a zbytek mohou být počítány některým z několika algoritmů, včetně polynomiálního dlouhého dělení a syntetického dělení .

Když je jmenovatel b ( x ) monický a lineární, to znamená b ( x ) = x c pro nějakou konstantu c , pak věta o polynomickém zbytku tvrdí, že zbytek dělení a ( x ) b ( x ) je hodnocení a ( c ) . V tomto případě lze kvocient vypočítat Ruffiniho pravidlem , což je speciální případ syntetického dělení.

Faktoring

Všechny polynomy s koeficienty v jedinečné oblasti faktorizace (například celá čísla nebo pole ) mají také tvarovaný tvar, ve kterém je polynom zapsán jako součin ireducibilních polynomů a konstanty. Tento faktorizovaný tvar je jedinečný až do pořadí faktorů a jejich násobení invertibilní konstantou. V případě oboru komplexních čísel jsou neredukovatelné faktory lineární. Přes reálná čísla mají stupeň jeden nebo dva. Přes celá čísla a racionální čísla mohou mít neredukovatelné faktory jakýkoli stupeň. Například faktorizovaná forma

je

přes celá čísla a reálná čísla a

přes komplexní čísla.

Výpočet faktorizované formy, nazývané faktorizace , je obecně příliš obtížný na to, aby mohl být proveden ručně psaným výpočtem. Ve většině systémů počítačové algebry jsou však k dispozici účinné polynomiální faktorizační algoritmy .

Počet

Výpočet derivací a integrálů polynomů je ve srovnání s jinými druhy funkcí obzvláště jednoduchý. Derivace polynomu _

vzhledem k x je polynom
Podobně obecný primitivní prvek (nebo neurčitý integrál) is
kde c je libovolná konstanta. Například antideriváty x 2 + 1 mají tvar 1/3x 3 + x + c .

Pro polynomy, jejichž koeficienty pocházejí z abstraktnějších nastavení (například pokud jsou koeficienty celá čísla modulo nějaké prvočíslo p , nebo prvky libovolného kruhu), lze vzorec pro derivaci stále interpretovat formálně, přičemž koeficient ka k chápeme jako znamená součet k kopií k . Například přes celá čísla modulo p je derivací polynomu x p + x polynom 1 .

Polynomiální funkce

Polynomiální funkce je funkce, kterou lze definovat vyhodnocením polynomu. Přesněji, funkce f jednoho argumentu z dané oblasti je polynomiální funkcí, pokud existuje polynom

to se vyhodnotí jako pro všechna x v oboru f (zde n je nezáporné celé číslo a a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n jsou konstantní koeficienty). Obecně, pokud není uvedeno jinak, mají polynomiální funkce složité koeficienty, argumenty a hodnoty. Konkrétně polynom, omezený na reálné koeficienty, definuje funkci od komplexních čísel po komplexní čísla. Pokud je definiční obor této funkce také omezen na reálné hodnoty, je výsledná funkce skutečnou funkcí , která mapuje reálné hodnoty na reálné hodnoty.

Například funkce f , definovaná pomocí

je polynomiální funkce jedné proměnné. Polynomiální funkce několika proměnných jsou definovány podobně, pomocí polynomů ve více než jedné neurčité, jako v

Podle definice polynomiálních funkcí mohou existovat výrazy, které zjevně nejsou polynomy, ale přesto definují polynomiální funkce. Příkladem je výraz , který nabývá stejných hodnot jako polynom na intervalu , a tedy oba výrazy definují stejnou polynomickou funkci na tomto intervalu.

Každá polynomiální funkce je spojitá , hladká a celistvá .

Grafy

Polynomiální funkce v jedné reálné proměnné může být reprezentována grafem .

  • Graf nulového polynomu
    f ( x ) = 0
    je osa x .
  • Graf polynomu stupně 0
    f ( x ) = a 0 , kde a 0 ≠ 0 ,
    je vodorovná čára s průsečíkem y a 0
  • Graf polynomu stupně 1 (nebo lineární funkce)
    f ( x ) = a 0 + a 1 x , kde a 1 ≠ 0 ,
    je šikmá přímka s průsečíkem y a 0 a sklonem a 1 .
  • Graf polynomu 2. stupně
    f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 , kde a 2 ≠ 0
    je parabola .
  • Graf polynomu 3. stupně
    f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 , kde a 3 ≠ 0
    je kubická křivka .
  • Graf libovolného polynomu se stupněm 2 nebo vyšším
    f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n , kde a n ≠ 0 an ≥ 2
    je spojitá nelineární křivka.

Nekonstantní polynomiální funkce inklinuje k nekonečnu , když proměnná roste donekonečna (v absolutní hodnotě ). Pokud je stupeň vyšší než jedna, graf nemá žádnou asymptotu . Má dvě parabolické větve s vertikálním směrem (jedna větev pro kladné x a jedna pro záporné x ).

Polynomiální grafy jsou analyzovány v kalkulu pomocí průsečíků, sklonů, konkávnosti a koncového chování.

Rovnice

Polynomiální rovnice , také nazývaná algebraická rovnice , je rovnice tvaru

Například,

je polynomiální rovnice.

Při zvažování rovnic se neurčité (proměnné) polynomů také nazývají neznámé a řešení jsou možné hodnoty neznámých, pro které platí rovnost (obecně může existovat více než jedno řešení). Polynomiální rovnice stojí v protikladu k polynomiální identitě jako ( x + y )( xy ) = x 2y 2 , kde oba výrazy představují stejný polynom v různých tvarech a v důsledku toho jakékoli vyhodnocení obou členů dává platná rovnost.

V elementární algebře jsou metody, jako je kvadratická rovnice , učeny pro řešení všech polynomických rovnic prvního stupně a druhého stupně v jedné proměnné. Existují také vzorce pro kubické a kvartické rovnice . Pro vyšší stupně Abel-Ruffiniho teorém tvrdí, že v radikálech nemůže existovat obecný vzorec. Algoritmy pro vyhledávání kořenů však lze použít k nalezení numerických aproximací kořenů polynomického výrazu libovolného stupně.

Počet řešení polynomické rovnice s reálnými koeficienty nesmí překročit míru a rovná se míře, kdy se komplexní řešení počítají s jejich násobností . Tato skutečnost se nazývá základní věta algebry .

Řešení rovnic

Kořenem nenulového jednorozměrného polynomu P je hodnota a z x taková, že P ( a ) = 0 . Jinými slovy, kořen P je řešením polynomické rovnice P ( x ) = 0 nebo nula polynomické funkce definované pomocí P . V případě nulového polynomu je každé číslo mj. nulou odpovídající funkce a pojem odmocnina se zvažuje jen zřídka.

Číslo a je kořenem polynomu P právě tehdy, když lineární polynom xa dělí P , tedy pokud existuje další polynom Q takový, že P = ( xa ) Q . Může se stát, že mocnina (větší než 1 ) xa dělí P ; v tomto případě je a násobkem odmocniny P a jinak a je jednoduchým odmocninou P . Jestliže P je nenulový polynom, existuje nejvyšší mocnina m taková, že ( xa ) m dělí P , což se nazývá násobnost a jako odmocnina z P . Počet kořenů nenulového polynomu P , počítaný s jejich příslušnými násobnostmi, nemůže překročit stupeň P a rovná se tomuto stupni, pokud jsou uvažovány všechny komplexní kořeny (toto je důsledek základní věty algebry . Koeficienty polynomu a jeho kořeny souvisejí podle vzorců Viety .

Některé polynomy, jako například x 2 + 1 , nemají mezi reálnými čísly žádné kořeny . Pokud je však množina přijatých řešení rozšířena na komplexní čísla , má každý nekonstantní polynom alespoň jeden kořen; toto je základní teorém algebry . Postupným dělením faktorů xa , vidíme, že jakýkoli polynom s komplexními koeficienty lze zapsat jako konstantu (jeho vedoucí koeficient) krát součin takových polynomických faktorů stupně 1; v důsledku toho se počet (komplexních) kořenů počítaný s jejich násobnostmi přesně rovná stupni polynomu.

Výraz "řešení rovnice" může mít několik významů. Jeden může chtít vyjádřit řešení jako explicitní čísla; například jedinečné řešení 2 x − 1 = 0 je 1/2 . Bohužel, toto je obecně nemožné pro rovnice stupně větší než jedna, a od starověku, matematici hledali vyjádřit řešení jako algebraický výraz ; například zlatý řez je unikátním kladným řešením V dávných dobách se jim dařilo pouze pro stupně jedna a dva. Pro kvadratické rovnice poskytuje kvadratický vzorec takové vyjádření řešení. Od 16. století jsou pro rovnice stupně tři a čtyři známy podobné vzorce (s použitím krychlových odmocnin kromě odmocnin), ale mnohem komplikovanější (viz kubická rovnice a kvartická rovnice ). Ale vzorce pro stupeň 5 a vyšší unikaly výzkumníkům několik století. V roce 1824 Niels Henrik Abel dokázal pozoruhodný výsledek, že existují rovnice stupně 5, jejichž řešení nelze vyjádřit (konečným) vzorcem, zahrnujícím pouze aritmetické operace a radikály (viz Abel-Ruffiniho teorém ). V roce 1830 Évariste Galois dokázal, že většinu rovnic stupně vyššího než čtyři nelze vyřešit radikály, a ukázal, že pro každou rovnici se lze rozhodnout, zda je řešitelná radikály, a pokud ano, vyřešit ji. Tento výsledek znamenal začátek Galoisovy teorie a teorie grup , dvou důležitých odvětví moderní algebry . Galois sám poznamenal, že výpočty implikované jeho metodou byly neproveditelné. Přesto byly publikovány vzorce pro řešitelné rovnice stupňů 5 a 6 (viz kvintická funkce a sextická rovnice ).

Pokud neexistuje žádný algebraický výraz pro kořeny a když takový algebraický výraz existuje, ale je příliš komplikovaný na to, aby byl užitečný, jedinečným způsobem řešení je počítat numerické aproximace řešení. Na to existuje mnoho metod; některé jsou omezeny na polynomy a jiné mohou platit pro jakoukoli spojitou funkci . Nejúčinnější algoritmy umožňují snadno řešit (na počítači ) polynomiální rovnice stupně vyššího než 1 000 (viz Algoritmus hledání kořenů ).

Pro polynomy ve více než jedné neurčité se kombinace hodnot pro proměnné, pro které má polynomická funkce hodnotu nula, obecně nazývají nuly namísto „kořenů“. Studium souborů nul polynomials je předmět algebraické geometrie . Pro sadu polynomiálních rovnic v několika neznámých existují algoritmy , které rozhodují, zda mají konečný počet komplexních řešení, a pokud je tento počet konečný, pro výpočet řešení. Viz Systém polynomiálních rovnic .

Speciální případ, kdy jsou všechny polynomy stupně jedna, se nazývá soustava lineárních rovnic , pro kterou existuje další řada různých metod řešení , včetně klasické Gaussovy eliminace .

Polynomiální rovnice, pro kterou se zajímáme pouze o řešení, která jsou celá čísla , se nazývá diofantická rovnice . Řešení diofantických rovnic je obecně velmi těžký úkol. Bylo dokázáno, že nemůže existovat žádný obecný algoritmus pro jejich řešení a dokonce ani pro rozhodování, zda je množina řešení prázdná (viz Hilbertův desátý problém ). Některé z nejznámějších problémů, které byly vyřešeny během posledních padesáti let, souvisí s diofantickými rovnicemi, jako je Fermatův poslední teorém .

Zobecnění

Existuje několik zobecnění pojmu polynomy.

Trigonometrické polynomy

Trigonometrický polynom je konečná lineární kombinace funkcí sin( nx ) a cos( nx ), přičemž n nabývá hodnot jednoho nebo více přirozených čísel . Koeficienty mohou být brány jako reálná čísla pro funkce s reálnou hodnotou.

Pokud se sin( nx ) a cos ( nx ) rozvinou pomocí sin ( x ) a cos ( x ), stane se trigonometrický polynom polynomem ve dvou proměnných sin ( x ) a cos ( x ) ( pomocí Seznamu goniometrických identit #Vzorce z více úhlů ). Naopak každý polynom v sin( x ) a cos( x ) lze převést s identitami Součin k součtu na lineární kombinaci funkcí sin( nx ) a cos( nx ). Tato ekvivalence vysvětluje, proč se lineární kombinace nazývají polynomy.

Pro komplexní koeficienty není žádný rozdíl mezi takovou funkcí a konečnou Fourierovou řadou .

Goniometrické polynomy jsou široce používány, například v trigonometrické interpolaci aplikované na interpolaci periodických funkcí . Používají se také v diskrétní Fourierově transformaci .

Maticové polynomy

Maticový polynom je polynom se čtvercovými maticemi jako proměnnými. Je dán obyčejný, skalárně hodnocený polynom

tento polynom hodnocený v matici A je

kde I je matice identity .

Maticová polynomická rovnice je rovnost mezi dvěma maticovými polynomy, která platí pro konkrétní matice. Maticová polynomická identita je maticová polynomická rovnice, která platí pro všechny matice A ve specifikovaném maticovém kruhu M n ( R ).

Laurentovy polynomy

Laurentovy polynomy jsou jako polynomy, ale umožňují výskyt záporných mocnin proměnné (proměnných).

Racionální funkce

Racionální zlomek je podíl ( algebraický zlomek ) dvou polynomů. Každý algebraický výraz , který lze přepsat jako racionální zlomek, je racionální funkcí .

Zatímco polynomiální funkce jsou definovány pro všechny hodnoty proměnných, racionální funkce je definována pouze pro hodnoty proměnných, pro které není jmenovatel nulový.

Racionální zlomky zahrnují Laurentovy polynomy, ale neomezují jmenovatele na mocniny neurčité.

Mocninná řada

Formální mocninné řady jsou jako polynomy, ale umožňují výskyt nekonečně mnoha nenulových členů, takže nemají konečný stupeň. Na rozdíl od polynomů je nelze obecně explicitně a úplně zapsat (stejně jako neracionální čísla ), ale pravidla pro manipulaci s jejich členy jsou stejná jako pro polynomy. Neformální mocninné řady také zobecňují polynomy, ale násobení dvou mocninných řad nemusí konvergovat.

Další příklady

Dvourozměrný polynom, kde je druhá proměnná nahrazena exponenciální funkcí aplikovanou na první proměnnou, například P ( x , ex ) , může být nazýván exponenciálním polynomem .

Polynomiální prstenec

Polynom f nad komutativním kruhem R je polynom , jehož všechny koeficienty patří R . Je přímočaré ověřit, že polynomy v dané množině neurčitých přes R tvoří komutativní kruh, nazývaný polynomický kruh v těchto neurčitých, označovaný v jednorozměrném případě a ve vícerozměrném případě.

Jeden má

Většinu teorie vícerozměrného případu lze tedy zredukovat na iterovaný případ s jednou proměnnou.

Mapa z R do R [ x ] posílající r sobě samému považovanému za konstantní polynom je injektivní kruhový homomorfismus , kterým je R viděn jako podkruh R [ x ] . Konkrétně R [ x ] je algebra nad R .

Můžeme si myslet, že kruh R [ x ] vzniká z R přidáním jednoho nového prvku x k R a rozšiřuje se minimálně na kruh, ve kterém x nesplňuje žádné jiné vztahy než ty povinné, plus komutaci se všemi prvky R (to je xr = rx ). K tomu je třeba sečíst všechny mocniny x a také jejich lineární kombinace.

Tvorba polynomiálního prstence spolu s prstenci formovacího faktoru vyčleněním ideálů jsou důležitými nástroji pro konstrukci nových prstenců ze známých. Například kruh (ve skutečnosti pole) komplexních čísel, který lze sestavit z kruhu polynomu R [ x ] nad reálnými čísly tím, že se vyloučí ideál násobků polynomu x 2 + 1 . Dalším příkladem je konstrukce konečných těles , která postupuje podobně, přičemž začíná polem celých čísel modulo nějaké prvočíslo jako koeficientový prstenec R (viz modulární aritmetika ).

Je-li R komutativní, pak lze s každým polynomem P v R [ x ] spojit polynomickou funkci f s doménou a rozsahem rovným R . (Obecněji lze doménu a rozsah považovat za libovolnou stejnou jednotkovou asociativní algebru nad R .) Hodnotu f ( r ) získáme nahrazením hodnoty r za symbol x v P . Jeden důvod, proč rozlišovat mezi polynomy a polynomiálními funkcemi, je to, že přes některé kruhy mohou různé polynomy dát vznik stejné polynomiální funkci (viz Fermatův malý teorém pro příklad, kde R jsou celá čísla modulo p ). Toto není případ když R je skutečná nebo komplexní čísla, odkud dva pojmy nejsou vždy rozlišovány v analýze . Ještě důležitějším důvodem pro rozlišení mezi polynomy a polynomiálními funkcemi je to, že mnoho operací s polynomy (jako euklidovské dělení ) vyžaduje pohled na to, z čeho je polynom složen, jako výraz spíše než jeho hodnocení na nějaké konstantní hodnotě pro x .

Dělitelnost

Jestliže R je integrální doména a f a g jsou polynomy v R [ x ] , říká se , že f dělí g nebo f je dělitel g , pokud v R [ x ] existuje polynom q takový , že f q = g . Jestliže pak a je odmocnina z f tehdy a pouze dělí f . V tomto případě lze kvocient vypočítat pomocí polynomického dlouhého dělení .

Jestliže F je pole a f a g jsou polynomy v F [ x ] s g ≠ 0 , pak existují jedinečné polynomy q a r v F [ x ] s

a takový, že stupeň r je menší než stupeň g (s použitím konvence, že polynom 0 má záporný stupeň). Polynomy q a r jsou jednoznačně určeny pomocí f a g . Toto se nazývá euklidovské dělení , dělení se zbytkem nebo polynomiální dlouhé dělení a ukazuje, že prstenec F [ x ] je euklidovská doména .

Analogicky, primární polynomy (přesněji ireducibilní polynomy ) lze definovat jako nenulové polynomy, které nelze faktorizovat na součin dvou nekonstantních polynomů . V případě koeficientů v kruhu musí být "nekonstantní" nahrazeno "nekonstantní nebo nejednotkové " ( obě definice se shodují v případě koeficientů v poli). Každý polynom může být rozložen na součin invertibilní konstanty součinem neredukovatelných polynomů. Pokud koeficienty patří k poli nebo jedinečné doméně faktorizace, je tento rozklad jednoznačný až do pořadí faktorů a násobení libovolného nejednotkového faktoru jednotkou (a dělení jednotkového faktoru stejnou jednotkou). Když koeficienty patří k celým číslům, racionálním číslům nebo konečnému poli, existují algoritmy pro testování neredukovatelnosti a pro výpočet faktorizace na ireducibilní polynomy (viz Faktorizace polynomů ). Tyto algoritmy nejsou použitelné pro ručně psané výpočty, ale jsou dostupné v jakémkoli systému počítačové algebry . Pro stanovení neredukovatelnosti lze v některých případech použít i Eisensteinovo kritérium .

Aplikace

Poziční zápis

V moderních pozičních číselných systémech, jako je desítková soustava , jsou číslice a jejich pozice v reprezentaci celého čísla, například 45, zkráceným zápisem pro polynom v základu nebo základu, v tomto případě 4 × 10 1 + 5 × 100 . Jako další příklad, v základu 5, řetězec číslic, jako je 132, označuje (desetinné) číslo 1 × 5 2 + 3 × 5 1 + 2 × 5 0 = 42. Tato reprezentace je jedinečná. Nechť b je kladné celé číslo větší než 1. Potom každé kladné celé číslo a může být vyjádřeno jednoznačně ve tvaru

kde m je nezáporné celé číslo a r 's jsou celá čísla taková, že

0 < r m < b a 0 ≤ r i < b pro i = 0, 1, . . . , m − 1 .

Interpolace a aproximace

Jednoduchá struktura polynomiálních funkcí je činí docela užitečnými při analýze obecných funkcí pomocí polynomiálních aproximací. Důležitým příkladem v kalkulu je Taylorův teorém , který zhruba říká, že každá diferencovatelná funkce lokálně vypadá jako polynomiální funkce, a Stone–Weierstrassova věta , která říká, že každou spojitou funkci definovanou na kompaktním intervalu reálné osy lze aproximovat na celý interval tak blízko, jak to vyžaduje polynomiální funkce. Mezi praktické metody aproximace patří polynomiální interpolace a použití splajnů .

Jiné aplikace

Polynomy se často používají ke kódování informací o nějakém jiném objektu. Charakteristický polynom maticového nebo lineárního operátoru obsahuje informace o vlastních číslech operátora . Minimální polynom algebraického prvku zaznamenává nejjednodušší algebraický vztah splněný tímto prvkem. Chromatický polynom grafu počítá počet správných zabarvení tohoto grafu .

Termín „polynom“, jako přídavné jméno, lze také použít pro veličiny nebo funkce, které lze zapsat v polynomickém tvaru. Například v teorii výpočetní složitosti fráze polynomiální čas znamená, že čas potřebný k dokončení algoritmu je ohraničen polynomickou funkcí nějaké proměnné, jako je velikost vstupu.

Dějiny

Určování kořenů polynomů neboli „řešení algebraických rovnic“ patří mezi nejstarší problémy v matematice. Elegantní a praktická notace, kterou dnes používáme, se však vyvinula až od 15. století. Předtím se rovnice psaly slovy. Například problém algebry z čínské aritmetiky v devíti sekcích , přibližně 200 př. n. l., začíná „Tři snopy dobré úrody, dva snopy průměrné úrody a jeden snop špatné úrody se prodávají za 29 dou.“ Napsali bychom 3 x + 2 y + z = 29 .

Historie zápisu

Nejstarší známé použití znaménka rovná se v knize Roberta Recorda The Whetstone of Witte , 1557. Znaky + pro sčítání, − pro odčítání a použití písmene pro neznámé se objevují v Arithemetica integra Michaela Stifela , 1544. René Descartes v La géometrie , 1637, představil koncept grafu polynomiální rovnice. Zpopularizoval používání písmen ze začátku abecedy k označení konstant a písmen z konce abecedy k označení proměnných, jak je vidět výše, v obecném vzorci pro polynom v jedné proměnné, kde ' ' označují konstanty a x značí proměnnou. Descartes zavedl použití horních indexů také k označení exponentů.

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy