Kladná reálná čísla - Positive real numbers

V matematice , množina kladných reálných čísel , je podmnožina těch reálných čísel , která jsou větší než nula. Tyto non-záporná reálná čísla , patří nulu. Ačkoli symboly a jsou nejednoznačně použity pro jeden z nich, notace nebo pro a nebo pro byl také široce používán, je v souladu s praxí v algebře označující vyloučení nulového prvku hvězdičkou a měl by být srozumitelný pro většinu procvičování matematiků. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x> 0 \ right \},}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 0} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ geq 0 \ right \},}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{+}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{+}}$${\ Displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x \ geq 0 \ right \}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}^{*}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {*}^{+}}$${\ Displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid x> 0 \ right \}}$

V komplexní rovině , je identifikován s kladnou reálnou osou , a je obvykle koncipován jako horizontální paprsek . Tento paprsek se používá jako reference v polární formě komplexního čísla . Skutečná kladná osa odpovídá komplexním číslům s argumentem${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0}}$ ${\ Displaystyle z = | z | \ mathrm {e} ^{\ mathrm {i} \ varphi},}$ ${\ Displaystyle \ varphi = 0.}$

Vlastnosti

Sada je uzavřena při sčítání, násobení a dělení. Dědí topologii ze skutečné linie , a má tedy strukturu multiplikativní topologické skupiny nebo aditivní topologické poloskupiny . ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0}}$

Pro dané kladné reálné číslo má posloupnost jeho integrálních mocnin tři různé osudy: Když je limit nula; když je sekvence konstantní; a když je sekvence neomezená . ${\ displaystyle x,}$ ${\ Displaystyle \ left \ {x^{n} \ right \}}$${\ Displaystyle x \ in (0,1),}$${\ displaystyle x = 1,}$${\ displaystyle x> 1,}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0} = (0,1) \ cup \ {1 \} \ cup (1, \ infty)}$a multiplikativní inverzní funkce vyměňuje intervaly. Funkcí podlahy , a přebytek , byly použity k popisu prvku jako pokračující frakce , která je posloupnost čísel získaných z funkce podlahy po vratně přebytek. Pro racionální sekvence končí přesnou frakční expresí a pro kvadratickou iracionální se sekvence stává periodickou pokračující frakcí . ${\ Displaystyle \ operatorname {floor}: [1, \ infty) \ to \ mathbb {N}, \, x \ mapsto \ lfloor x \ rfloor,}$${\ displaystyle \ operatorname {nadměrné}: [1, \ infty) \ to (0,1), \, x \ mapsto x- \ lfloor x \ rfloor,}$${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} _ {> 0}}$ ${\ Displaystyle \ left [n_ {0}; n_ {1}, n_ {2}, \ ldots \ right],}$${\ displaystyle x,}$${\ displaystyle x,}$ ${\ displaystyle x,}$

Objednaný set tvoří celkové pořadí , ale není dobře uspořádaná množina . Dvojnásobně nekonečná geometrická , kde je celé číslo , leží zcela v a slouží k části to o přístup. tvoří poměrovou stupnici , nejvyšší úroveň měření . Prvky mohou být zapsány ve vědecké notaci jako kde a je celé číslo v dvojnásobně nekonečné progresi a nazývá se dekáda . Při studiu fyzikálních veličin poskytuje řád desetiletí kladné a záporné pořadové číslo odkazující na pořadové měřítko implicitní v poměrové škále. ${\ Displaystyle \ left (\ mathbb {R} _ {> 0},> \ right)}$ ${\ displaystyle 10^{n},}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ left (\ mathbb {R} _ {> 0},> \ right)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0}}$${\ displaystyle a \ times 10^{n},}$${\ Displaystyle 1 \ leq a <10}$${\ displaystyle b}$

Ve studii zaměřené na klasických skupin , pro každou determinant poskytuje mapy z matric přes reals k reálných čísel: Omezení se invertible matice dává mapy od obecné lineární skupiny do nenulových reálných čísel: Omezení na matice s pozitivním determinant dává mapu ; interpretovat obraz jako podíl skupina podle normálního podskupiny nazývá speciální lineární skupinu , vyjadřuje pozitivní reals jako lživé skupině . ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N},}$${\ displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle \ mathrm {M} (n, \ mathbb {R}) \ to \ mathbb {R}.}$${\ Displaystyle \ mathrm {GL} (n, \ mathbb {R}) \ to \ mathbb {R} ^{\ times}.}$${\ displaystyle \ operatorname {GL} ^{+} (n, \ mathbb {R}) \ to \ mathbb {R} _ {> 0}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {SL} (n, \ mathbb {R}) \ triangleleft \ operatorname {GL} ^{+} (n, \ mathbb {R}),}$

Poměrová stupnice

Poměrová stupnice mezi úrovněmi měření poskytuje nejjemnější detaily. Funkce dělení nabývá hodnoty jedna (1), pokud jsou čitatel a jmenovatel rovni. Jiné poměry jsou porovnávány s jedním pomocí logaritmů, často běžného logaritmu využívajícího základnu 10. Poměrová stupnice se pak segmentuje o řády používané ve vědě a technice, vyjádřené v různých jednotkách měření .

Počáteční vyjádření poměrové stupnice geometricky artikuloval Eudoxus : „v geometrickém jazyce byla vyvinuta obecná teorie podílu Eudoxa, která je ekvivalentní teorii kladných reálných čísel“.

Logaritmická míra

Pokud je to interval , pak určuje míru na určitých podmnožinách odpovídající zpětnému tahu obvyklé Lebesgueovy míry na skutečných číslech pod logaritmem: je to délka na logaritmické stupnici . Ve skutečnosti se jedná o neměnné opatření s ohledem na násobení byla provedena stejně jako opatření Lebesgue je neměnná pod přidání. V kontextu topologických skupin je toto opatření příkladem Haarova opatření . ${\ Displaystyle [a, b] \ subseteq \ mathbb {R} _ {> 0}}$${\ Displaystyle \ mu ([a, b]) = \ log (b/a) = \ log b- \ log a}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0},}$${\ Displaystyle [a, b] \ až [az, bz]}$${\ Displaystyle z \ in \ mathbb {R} _ {> 0},}$

Užitečnost tohoto opatření je ukázána v jeho použití pro popis hvězdných veličin a hladin hluku v decibelech , mimo jiné v aplikacích logaritmické stupnice . Pro účely mezinárodních norem ISO 80000-3 jsou bezrozměrné veličiny označovány jako úrovně .

Aplikace

Non-negativní reals slouží jako obraz pro metriky , normy a míry v matematice.

Včetně 0, soubor má semiring strukturu (0 je identita přísady ), známý jako pravděpodobnost semiring ; přičemž logaritmy (s volbou báze dávající logaritmickou jednotku ) dává izomorfismus s logováním semiring (s 0 odpovídajícím ) a jeho jednotky (konečná čísla, kromě ) odpovídají kladným reálným číslům. ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$${\ displaystyle -\ infty}$${\ displaystyle -\ infty}$

Náměstí

Nechme první kvadrant karteziánské roviny. Samotný kvadrant je rozdělen na čtyři části čarou a standardní hyperbolou${\ displaystyle Q = \ mathbb {R} _ {> 0} \ times \ mathbb {R} _ {> 0},}$${\ Displaystyle L = \ {(x, y): x = y \}}$${\ Displaystyle H = \ {(x, y): xy = 1 \}.}$

Tvoří trojzubec, zatímco je ústředním bodem. Je to prvek identity dvou skupin s jedním parametrem, které se tam protínají: ${\ Displaystyle L \ cup H}$${\ Displaystyle L \ cap H = (1,1)}$

Protože je skupina , je přímým produktem skupin . Jednoparametrové podskupiny L a H v Q profilují aktivitu v produktu a jsou rozlišením typů skupinových akcí. ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {> 0}}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle L \ times H}$

Sféry obchodu a vědy oplývají poměry a jakákoli změna poměrů přitahuje pozornost. Studie se týká hyperbolické souřadnic v Q . Pohyb proti ose L indikuje změnu geometrického průměru, zatímco změna podél H označuje nový hyperbolický úhel . ${\ displaystyle {\ sqrt {xy}},}$

Viz také

• Semifield  - jedna ze dvou zobecnění polí, buď relaxační asociativity a komutativity násobení, nebo uvolnění existence aditivních inverzí
• Znamení (matematika)

Reference

Bibliografie

• Kist, Joseph; Leetsma, Sanford (1970). „Aditivní poloskupiny kladných reálných čísel“. Mathematische Annalen . 188 (3): 214–218. doi : 10,1007/BF01350237 .