Poyntingův vektor - Poynting vector

Dipólové záření dipólu svisle na stránce ukazující sílu elektrického pole (barva) a Poyntingův vektor (šipky) v rovině stránky.

Ve fyzice se Poyntingův vektor představuje směrový tok energie (Přenos energie na jednotku plochy za jednotku času) produktu ve formě elektromagnetického pole . Jednotka SI vektoru Poynting je watt na metr čtvereční (W/m ² ). Je pojmenována po svém objeviteli Johnu Henrym Poyntingovi, který ji poprvé odvodil v roce 1884. Oliver Heaviside ji také objevil samostatně v obecnější podobě, která uznává svobodu přidání zvlnění libovolného vektorového pole do definice. Poyntingův vektor se používá v celé elektromagnetice ve spojení s Poyntingovou větou , rovnicí spojitosti vyjadřující zachování elektromagnetické energie , pro výpočet toku energie v elektrických a magnetických polích.

Definice

V původním dokumentu Poyntinga a v mnoha učebnicích je Poyntingův vektor definován jako

{\ Displaystyle \ mathbf {S} = \ mathbf {E} \ times \ mathbf {H},}

kde tučná písmena představují vektory a

E je vektor elektrického pole ;
H je vektor magnetického pole .

Tento výraz se často nazývá Abrahamova forma . Poyntingův vektor je obvykle označován S nebo N .

V „mikroskopické“ verzi Maxwellových rovnic musí být tato definice nahrazena definicí z hlediska elektrického pole E a hustoty magnetického toku B (popsáno dále v článku).

Je také možné kombinovat pole elektrického výtlaku D s hustotou magnetického toku B, aby se získala Minkowského forma Poyntingova vektoru, nebo použít D a H ke konstrukci další verze. Volba byla kontroverzní: Pfeifer a kol. shrnout a do určité míry vyřešit stoletý spor mezi zastánci forem Abrahama a Minkowského (viz kontroverze Abraham – Minkowski ).

Poyntingův vektor představuje konkrétní případ vektoru energetického toku pro elektromagnetickou energii. Jakýkoli druh energie má však svůj směr pohybu v prostoru a také svoji hustotu, takže vektory energetického toku lze definovat i pro jiné druhy energie, např. Pro mechanickou energii . Vektor Umov – Poynting objevený Nikolayem Umovem v roce 1874 popisuje tok energie v kapalných a elastických médiích ve zcela zobecněném pohledu.

Výklad

DC obvod skládající se z baterie ( V ) a rezistoru ( R ), ukazující směr Poyntingova vektoru ( S , modré šipky ) v prostoru, který jej obklopuje, spolu s poli, ze kterých je odvozen; elektrické pole ( E , červené šipky ) a magnetického pole ( H , zelené šipky ). V oblasti kolem baterie je Poyntingův vektor směrován ven, což indikuje proudění energie z baterie do polí; v oblasti kolem rezistoru je vektor směrován dovnitř, což indikuje výkon pole proudící do rezistoru. V jakékoli rovině P mezi baterií a rezistorem je Poyntingův tok ve směru rezistoru. Velikosti (délky) vektorů nejsou zobrazeny přesně; významné jsou pouze směry.

Poyntingův vektor se objevuje v Poyntingově větě (odvození viz ten článek), zákon o zachování energie:

{\ Displaystyle {\ frac {\ částečný u} {\ částečný t}} = -\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {S} -\ mathbf {J _ {\ mathrm {f}}} \ cdot \ mathbf { E},}

kde J _f je hustota proudu na volných nábojů a u je elektromagnetická hustota energie pro lineární, nedisperzivní materiály, daný

{\ Displaystyle u = {\ frac {1} {2}} \! \ left (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {D} +\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {H} \ right) \! ,}

kde

E je elektrické pole;
D je pole elektrického posunu;
B je hustota magnetického toku;
H je magnetické pole.

První výraz na pravé straně představuje tok elektromagnetické energie do malého objemu, zatímco druhý výraz odečítá práci odvedenou polem na volných elektrických proudech, které tím vystupují z elektromagnetické energie jako rozptyl , teplo atd. definice, vázané elektrické proudy nejsou zahrnuty v tomto termínu a místo toho přispívají k S a u .

U lineárních, nedisperzivních a izotropních (pro jednoduchost) materiálů lze konstitutivní vztahy zapsat jako

{\ Displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E}, \ quad \ mathbf {B} = \ mu \ mathbf {H},}

kde

ε je permitivita materiálu;
μ je propustnost materiálu.

Zde ε a μ jsou skalární, reálné hodnoty konstanty nezávislé na poloze, směru a frekvenci.

V zásadě to omezuje Poyntingovu větu v této formě na pole ve vakuu a nedisperzní lineární materiály. Zobecnění na disperzní materiály je možné za určitých okolností za cenu dodatečných podmínek.

Jedním z důsledků Poyntingova vzorce je, že aby elektromagnetické pole fungovalo, musí být přítomno magnetické i elektrické pole. Samotné magnetické pole a elektrické pole nemohou vykonávat žádnou práci.

Formulace z hlediska mikroskopických polí

„Mikroskopická“ (diferenciální) verze Maxwellových rovnic připouští pouze základní pole E a B , bez vestavěného modelu hmotných médií. Pouze vakua permitivita a permeabilita jsou používány, a neexistuje žádný D nebo H . Při použití tohoto modelu je Poyntingův vektor definován jako

{\ Displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B},}

kde

μ ₀ je vakuová propustnost ;
E je vektor elektrického pole;
B je vektor magnetického pole.

Toto je vlastně obecné vyjádření Poyntingova vektoru. Odpovídající forma Poyntingovy věty je

{\ Displaystyle {\ frac {\ částečný u} {\ částečný t}} = -\ nabla \ cdot \ mathbf {S} -\ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {E},}

kde J je celková proudová hustota a energetická hustota u je dána vztahem

{\ Displaystyle u = {\ frac {1} {2}} \! \ left (\ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} ^{2}+{\ frac {1} {\ mu _ {0}} } \ mathbf {B} ^{2} \ right) \ !,}

kde ε ₀ je vakuum permitivita , a zápis E ² se rozumí skalární součin vložila vektoru E (t) se sama o sobě, tedy na čtverec o vektoru normy || E ||. Lze jej odvodit přímo z Maxwellových rovnic, pokud jde o celkový náboj a proud a pouze Lorentzův zákon síly .

Tyto dvě alternativní definice Poyntingovým vektoru jsou stejné ve vakuu nebo v nemagnetického materiálu, kde B = u Stabilizátory ₀H . Ve všech ostatních případech se liší tím, že S = (1/ μ ₀ ) E × B a odpovídající u jsou čistě radiační, protože rozptylový člen - J ⋅ E pokrývá celkový proud, zatímco definice E × H má příspěvky od vázané proudy, které jsou poté vyloučeny z rozptylového členu.

Protože se při derivaci S = (1/ μ ₀ ) E × B a hustotě energie vyskytují pouze mikroskopická pole E a B, jsou vyloučeny předpoklady o jakémkoli přítomném materiálu. Poyntingův vektor a věta a výraz pro hustotu energie jsou univerzálně platné ve vakuu a ve všech materiálech.

Časově zprůměrovaný vektor Poynting

Polní čáry časově zprůměrovaného Poyntingova vektoru elektrického dipólu blízko zrcadla vytvářejí složité obrazce.

Výše uvedená forma pro Poyntingův vektor představuje okamžitý tok energie v důsledku okamžitých elektrických a magnetických polí. Běžněji jsou problémy v elektromagnetice řešeny pomocí sinusově proměnných polí na zadané frekvenci. Výsledky pak mohou být aplikovány obecněji, například reprezentací nesoudržného záření jako superpozice takových vln na různých frekvencích a s kolísavými amplitudami.

Neuvažovali bychom tedy o výše použitých okamžitých $E (t)$ a $H (t)$ , ale spíše o komplexní (vektorové) amplitudě pro každou, která popisuje fázi koherentní vlny (stejně jako amplitudu) pomocí fázorové notace. Tyto komplexní amplitudové vektory nejsou funkcí času, protože se rozumí, že odkazují na oscilace po celou dobu. Fasor, jako je $E m,$ znamená sinusově proměnlivé pole, jehož okamžitá amplituda $E (t)$ sleduje skutečnou část $E m e jωt,$ kde $ω$ je (radiánová) frekvence uvažované sinusové vlny.

V časové oblasti bude vidět, že okamžitý tok energie bude kolísat na frekvenci 2 ω . Ale to, co je obvykle zajímavé, je průměrný tok energie, ve kterém se tyto výkyvy neberou v úvahu. V níže uvedené matematice je toho dosaženo integrací v celém cyklu $T = 2 π / ω$ . Následující množství, stále označované jako „Poyntingův vektor“, je vyjádřeno přímo ve fázorech jako:

{\ Displaystyle \ mathbf {S} _ {\ mathrm {m}} = {\ tfrac {1} {2}} \ mathbf {E} _ {\ mathrm {m}} \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}}^{*},}

kde ^∗ označuje komplexní konjugát. Tok energie časově zprůměrované (podle okamžité Poynting vektoru v průměru přes celý cyklus, například), je pak dána reálnou část z $S m$ . Imaginární část je obvykle ignorována, nicméně to znamená „jalový výkon“, jako je interference způsobená stojatou vlnou nebo blízkým polem antény. V jedné elektromagnetické rovinné vlně (spíše než stojaté vlně, kterou lze popsat jako dvě takové vlny cestující v opačných směrech) jsou $E$ a $H$ přesně ve fázi, takže $S m$ je podle výše uvedené definice jednoduše skutečné číslo.

Ekvivalenci $Re (S m)$ k časovému průměru okamžitého Poyntingova vektoru $S$ lze znázornit následovně.

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {S} (t) & = \ mathbf {E} (t) \ times \ mathbf {H} (t) \\ & = \ operatorname {Re} \! \ left (\ mathbf {E} _ {\ mathrm {m}} e^{j \ omega t} \ right) \ times \ operatorname {Re} \! \ left (\ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}} e^{j \ omega t} \ right) \\ & = {\ tfrac {1} {2}} \! \ left (\ mathbf {E} _ {\ mathrm {m}} e^{j \ omega t }+\ mathbf {E} _ {\ mathrm {m}}^{*} e^{-j \ omega t} \ right) \ times {\ tfrac {1} {2}} \! \ left (\ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}} e^{j \ omega t}+\ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}}^{*} e^{-j \ omega t} \ right) \ \ & = {\ tfrac {1} {4}} \! \ left (\ mathbf {E} _ {\ mathrm {m}} \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}}^{*} +\ mathbf {E} _ {\ mathrm {m}}^{*} \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}}+\ mathbf {E} _ {\ mathrm {m}} \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}} e^{2j \ omega t}+\ mathbf {E} _ {\ mathrm {m}}^{*} \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm { m}}^{*} e^{-2j \ omega t} \ right) \\ & = {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Re} \! \ left (\ mathbf {E} _ { \ mathrm {m}} \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}}^{*} \ right)+{\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Re} \! \ left (\ mathbf {E} _ {\ mathrm {m} } \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}} e^{2j \ omega t} \ right) \!. \ end {aligned}}}

Průměr okamžitého Poyntingova vektoru S v čase je dán vztahem:

{\ Displaystyle \ langle \ mathbf {S} \ rangle = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0}^{T} \ mathbf {S} (t) \, dt = {\ frac {1 } {T}} \ int _ {0}^{T} \! \ Left [{\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Re} \! \ Left (\ mathbf {E} _ {\ mathrm { m}} \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}}^{*} \ right)+{\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Re} \! \ left ({\ mathbf { E} _ {\ mathrm {m}}} \ times {\ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}}} e^{2j \ omega t} \ right) \ right] dt.}

Druhý termín je dvoufrekvenční složka s průměrnou hodnotou nula, takže najdeme:

{\ Displaystyle \ langle \ mathbf {S} \ rangle = \ operatorname {Re} \! \ left ({\ tfrac {1} {2}} {\ mathbf {E} _ {\ mathrm {m}}} \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm {m}}^{*} \ right) = \ operatorname {Re} \! \ left (\ mathbf {S} _ {\ mathrm {m}} \ right)}

Podle některých konvencí může být faktor 1/2 ve výše uvedené definici vynechán. Násobení 1/2 je nutné, aby správně popsat tok energie, jelikož velikostmi $E m$ a $H m$ odkazují na vrcholových oblastech množství oscilačních. Pokud jsou pole spíše popsána z hlediska jejich kořenových středních čtverců (efektivní hodnoty) (které jsou každé o faktor menší ), pak se získá správný průměrný tok výkonu bez vynásobení 1/2. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}/2}$

Příklady a aplikace

Koaxiál

Poyntingův vektor v koaxiálním kabelu, zobrazený červeně.

Například Poyntingův vektor v dielektrické izolační části koaxiálního kabelu je téměř rovnoběžná s osou drátu (za předpokladu, žádná pole mimo kabelu a vlnovou délkou delší než je průměr kabelu, včetně DC). Elektrická energie dodávaná do zátěže zcela protéká dielektrikem mezi vodiči . V samotných vodičích teče velmi málo energie, protože síla elektrického pole je téměř nulová. Energie proudící ve vodičích proudí radiálně do vodičů a odpovídá za energii ztracenou odporovým ohřevem vodiče. Mimo kabel také neteče žádná energie, protože tam se magnetická pole vnitřních a vnějších vodičů ruší na nulu.

Odporový rozptyl

Pokud má vodič značný odpor, pak by se v blízkosti povrchu tohoto vodiče Poyntingův vektor naklonil směrem k vodiči a narážel na něj. Jakmile se Poyntingův vektor dostane do vodiče, ohne se do směru, který je téměř kolmý na povrch. To je důsledek Snellova zákona a velmi nízké rychlosti světla uvnitř vodiče. Lze uvést definici a výpočet rychlosti světla ve vodiči. Uvnitř vodiče představuje Poyntingův vektor tok energie z elektromagnetického pole do drátu, který vytváří odporový Jouleův ohřev v drátu. Odvození, které začíná Snellovým zákonem, najdete na Reitzově straně 454.

Rovinné vlny

V šířící se sinusové lineárně polarizované elektromagnetické rovinné vlně s pevnou frekvencí Poyntingův vektor vždy směřuje ve směru šíření, zatímco osciluje ve velikosti. Časově zprůměrovaná velikost Poyntingova vektoru je shora uvedena jako:

{\ Displaystyle \ langle S \ rangle = {\ frac {1} {2 \ eta}} | E _ {\ mathrm {m}} |^{2}}

kde E _m je komplexní amplituda elektrického pole a η je charakteristická impedance přenosového média, nebo jen $η 0$ ≈ 377 Ω pro rovinnou vlnu ve volném prostoru. To přímo vyplývá z výše uvedeného výrazu pro průměrný Poyntingův vektor využívající fázorové veličiny a ze skutečnosti, že v rovinné vlně je magnetické pole $H m$ rovno elektrickému poli $E m$ dělenému η (a tedy přesně ve fázi).

V optice je časově zprůměrovaná hodnota vyzařovaného toku technicky známá jako ozáření , častěji jednoduše označovaná jako intenzita .

Radiační tlak

Hustota lineárního hybnosti elektromagnetického pole je S /c ^2, kde S je velikost Poyntingova vektoru a c je rychlost světla ve volném prostoru. Tlak záření vyvíjený elektromagnetické vlny na povrchu terče je dána

{\ Displaystyle P _ {\ mathrm {rad}} = {\ frac {\ langle S \ rangle} {\ mathrm {c}}}.}

Statická pole

Poyntingův vektor ve statickém poli, kde E je elektrické pole, H magnetické pole a S Poyntingův vektor.

Zohlednění Poyntingova vektoru v statická pole ukazuje relativistická povaha Maxwellových rovnic, a umožňuje lepší porozumění magnetické složky síly Lorentz , q ( v x B ) . Pro ilustraci je uvažován doprovodný obrázek, který popisuje Poyntingův vektor ve válcovém kondenzátoru, který je umístěn v poli H (směřujícím do stránky) generovaném permanentním magnetem. Ačkoli existují pouze statická elektrická a magnetická pole, výpočet Poyntingova vektoru produkuje kruhový tok elektromagnetické energie ve směru hodinových ručiček bez začátku nebo konce.

Zatímco tok cirkulující energie může být neintuitivní, je nutné zachovat zachování momentu hybnosti . Hustota hybnosti je úměrná hustotě toku energie, takže cirkulující tok energie obsahuje moment hybnosti. To je příčinou magnetické složky Lorentzovy síly, ke které dochází při vybití kondenzátoru. Během vybíjení se moment hybnosti obsažený v energetickém toku vyčerpává, když je přenášen na náboje vybíjecího proudu procházejícího magnetickým polem.

Přidání zvlnění vektorového pole

Poyntingův vektor se v Poyntingově větě vyskytuje pouze díky své divergenci ∇ ⋅ S , to znamená, že je pouze vyžadováno, aby povrchový integrál Poyntingova vektoru kolem uzavřeného povrchu popisoval čistý tok elektromagnetické energie do uzavřeného objemu nebo z něj. To znamená, že přidání solenoidového vektorového pole (jednoho s nulovou divergencí) do S bude mít za následek další pole, které splňuje tuto požadovanou vlastnost Poyntingova vektorového pole podle Poyntingovy věty. Protože divergence jakéhokoli zvlnění je nulová , lze do Poyntingova vektoru přidat zvlnění jakéhokoli vektorového pole a výsledné vektorové pole S ' bude stále uspokojovat Poyntingovu větu.

Teorie speciální relativity , ve které jsou energie a hybnost definována lokálně a invariantně pomocí tenzoru napětí-energie , však ukazuje, že výše uvedený výraz pro Poyntingův vektor je jedinečný.

Reference

Další čtení

Becker, Richard (1982). Elektromagnetická pole a interakce (1. vyd.). Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-64290-1.
Edminister, Joseph; Nahvi, Mahmood (2013). Elektromagnetika (4. vyd.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-183149-9.

Languages

In other projects