Topologie produktu - Product topology

V topologii a souvisejících oblastech matematiky , je prostor produkt je kartézský součin z rodiny topologických prostorů vybavených přirozenou topologii nazývá topologie produktu . Tato topologie se liší od jiné, možná zjevnější, topologie nazývané krabicová topologie , kterou lze také dát produktovému prostoru a která souhlasí s produktovou topologií, když je produktu více než jen konečný počet mezer. Topologie produktu je však „správná“ v tom, že činí z prostoru produktu kategorický součin jeho faktorů, zatímco topologie boxu je příliš jemná ; v tomto smyslu je topologie produktu přirozenou topologií na karteziánském produktu.

Definice

Po celou dobu bude nějaká neprázdná sada indexů a pro každý index bude topologický prostor . Nechat ${\ displaystyle I}$${\ Displaystyle i \ v I,}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$

${\ Displaystyle X: = \ prod _ {i \ in I} X_ {i}}$

je kartézský součin z množin a označují kanonické projekce od The topologie produktu , někdy nazývá topologie Tychonoff , o je definována jako nejhrubší topologie (tj topologie s nejmenším počtem otevřených souborů), pro které jsou všechny výstupky jsou spojité . Kartézský produkt obdařený topologií produktu se nazývá produktový prostor . Topologie produktu se také nazývá topologie bodové konvergence z důvodu následující skutečnosti: posloupnost (nebo síť ) v konverguje tehdy a jen tehdy, pokud se všechny její projekce do prostorů sbíhají. Zejména pokud vezmeme v úvahu, že prostor všech skutečných hodnotných funkcí na konvergenci v produktové topologii je stejný jako bodová konvergence funkcí. ${\ displaystyle X_ {i},}$${\ displaystyle p_ {i}: X \ až X_ {i}.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ Displaystyle X: = \ prod _ {i \ in I} X_ {i}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ Displaystyle X = \ mathbb {R} ^{I}}$${\ displaystyle I,}$

Otevřené množiny v produktové topologii jsou svazky (konečné nebo nekonečné) množin tvaru, kde je každý otevřený a pouze pro konečný počet. Zejména pro konečný součin (zejména pro součin dvou topologických prostorů) množina všech karteziánských produktů mezi jedním základním prvkem z každého dává základ pro topologii produktu To znamená, že pro konečný produkt je množina všeho, kde je prvek (zvoleného) základu, základem pro topologii produktu${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} U_ {i},}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ Displaystyle U_ {i} \ neq X_ {i}}$${\ Displaystyle i.}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ Displaystyle \ prod _ {i \ in I} X_ {i}.}$${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} U_ {i},}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle X_ {i},}$${\ Displaystyle \ prod _ {i \ in I} X_ {i}.}$

Topologie produkt na je topologie generované soubory formě kde a je otevřená podmnožina Jinými slovy, jsou sady ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p_ {i}^{-1} \ left (U_ {i} \ right),}$${\ displaystyle i \ in I}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle X_ {i}.}$

${\ Displaystyle \ left \ {p_ {i}^{-1} \ left (U_ {i} \ right) ~: ~ i \ in I {\ text {and}} U_ {i} \ subseteq X_ {i} {\ text {je otevřen v}} X_ {i} \ vpravo \}}$

tvoří základová deska pro topologii na A podskupiny z otevřeného tehdy a jen tehdy, pokud se jedná o (možná nekonečný) unie z průsečíků z konečně mnoha sad formě jsou někdy nazývány otevřené válce , a jejich průsečíky jsou sady válců . ${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p_ {i}^{-1} \ left (U_ {i} \ right).}$${\ displaystyle p_ {i}^{-1} \ left (U_ {i} \ right)}$

Součin topologií každého tvoří základ pro to, co se nazývá krabicová topologie na Obecně je topologie krabice jemnější než produktová topologie, ale u konečných produktů se shodují. ${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle X.}$

Příklady

Pokud je skutečná linie vybavena standardní topologií, pak topologie produktu na součinu kopií se rovná běžné euklidovské topologii na${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^{n}.}$

Sada Cantor je homeomorfní k součinu spočítatelně mnoha kopií diskrétního prostoru a prostor iracionálních čísel je homeomorfní k produktu spočítatelně mnoha kopií přirozených čísel , kde opět každá kopie nese diskrétní topologii. ${\ displaystyle \ {0,1 \}}$

Několik dalších příkladů je uvedeno v článku o počáteční topologii .

Vlastnosti

Produktový prostor spolu s kanonickými projekcemi lze charakterizovat následující univerzální vlastností : Je -li topologický prostor a pro každý je spojitá mapa, pak existuje přesně jedna souvislá mapa , takže pro každý z následujících diagramů dojíždí : ${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle i \ v I,}$ ${\ displaystyle f_ {i}: Y \ to X_ {i}}$${\ displaystyle f: Y \ to X}$${\ displaystyle i \ in I}$

To ukazuje, že produktový prostor je produktem v kategorii topologických prostorů . Z výše uvedené univerzální vlastnosti vyplývá, že mapa je spojitá tehdy a jen tehdy, je -li spojitá pro všechny V mnoha případech je snadnější zkontrolovat, zda jsou funkce komponent spojité. Kontrola, zda je mapa souvislá, je obvykle obtížnější; člověk se snaží využít toho, že jsou nějakým způsobem spojité. ${\ displaystyle f: Y \ to X}$ ${\ Displaystyle f_ {i} = p_ {i} \ circ f}$${\ Displaystyle i \ v I.}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle f: Y \ to X}$${\ displaystyle p_ {i}}$

Kromě toho, že jsou kanonické projekce souvislé, jsou otevřené mapy . To znamená, že jakákoli otevřená podmnožina produktového prostoru zůstává otevřená, když je promítána dolů na Konverzace není pravdivá: pokud je podprostor produktového prostoru, jehož výstupky dolů do všech jsou otevřené, nemusí být otevřený v (zvažte např. ) Kanonické projekce nejsou obecně uzavřené mapy (vezměte v úvahu například uzavřenou množinu, jejíž projekce jsou na obě osy ). ${\ displaystyle p_ {i}: X \ až X_ {i}}$${\ displaystyle X_ {i}.}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle W = \ mathbb {R} ^{2} \ setminus (0,1) ^{2}.}$${\ Displaystyle \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^{2}: xy = 1 \ right \},}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$

Předpokládejme, že je součinem libovolných podmnožin, kde pro všechny Pokud jsou všechny neprázdné, pak je uzavřenou podmnožinou prostoru produktu právě tehdy, když je každá uzavřenou podmnožinou Obecněji řečeno, uzavření součinu libovolných podmnožin v součinu prostor se rovná součinu uzávěrů: ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} S_ {i}}$${\ displaystyle S_ {i} \ subseteq X_ {i}}$${\ Displaystyle i \ v I.}$${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} S_ {i}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle X_ {i}.}$${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} S_ {i}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ operatorname {Cl} _ {X} \ left (\ prod _ {i \ in I} S_ {i} \ right) = \ prod _ {i \ in I} \ left (\ operatorname {Cl} _ {X_ {i}} S_ {i} \ right).}$

Jakýkoli produkt Hausdorffových prostorů je opět Hausdorffovým prostorem.

Tychonoffova věta , která je ekvivalentní axiomu volby , uvádí, že jakýkoli produkt kompaktních prostorů je kompaktní prostor. Specializace Tychonoffovy věty, která vyžaduje pouze ultrafiltrové lemma (a ne plnou sílu zvoleného axiomu), uvádí, že jakýkoli produkt kompaktních Hausdorffových prostorů je kompaktní prostor.

Pokud je pevná, pak sada ${\ Displaystyle z = \ left (z_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ in X}$

${\ Displaystyle \ left \ {x = \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ in X \ colon x_ {i} = z_ {i} {\ text {pro všechny s výjimkou maximálně konečně mnoho}} mám pravdu \}}$

je hustá podmnožina produktového prostoru . ${\ displaystyle X}$

Vztah k jiným topologickým pojmům

Oddělení

• Každý výrobek z T ₀ prostorů je T ₀
• Každý produkt z T- ₁ prostor je T ₁
• Každý produkt Hausdorffových prostorů je Hausdorff
• Každý produkt pravidelných mezer je pravidelný
• Každý produkt prostorů Tychonoff je Tychonoff
• Součin normálních prostorů nemusí být normální

Kompaktnost

• Každý produkt kompaktních prostorů je kompaktní ( Tychonoffova věta )
• Produkt lokálně kompaktních prostor nemusí být lokálně kompaktní. Libovolný součin lokálně kompaktních prostorů, kde jsou všechny, ale nakonec mnoho kompaktních, je lokálně kompaktní (Tato podmínka je dostačující a nutná).

Propojenost

• Každý produkt spojených (resp. Propojených cest) prostorů je propojen (resp. Propojen s cestou)
• Každý produkt dědičně odpojených prostorů je dědičně odpojen.

Metrické prostory

• Počitatelné produkty metrických prostorů jsou metrizovatelný prostor

Axiom volby

Jedním z mnoha způsobů, jak vyjádřit axiom volby, je říci, že je ekvivalentní tvrzení, že karteziánský součin kolekce neprázdných množin není prázdný. Důkaz, že je to ekvivalentní tvrzení axiomu, pokud jde o funkce výběru, je okamžitý: stačí vybrat prvek z každé sady, aby se v produktu našel zástupce. Naopak zástupcem produktu je sada, která obsahuje přesně jeden prvek z každé složky.

Axiom volby se opět objevuje při studiu (topologických) produktových prostorů; například Tychonoffova věta o kompaktních množinách je složitějším a subtilnějším příkladem tvrzení, které vyžaduje axiom volby a je mu ve své nejobecnější formulaci rovnocenné, a ukazuje, proč lze produktovou topologii považovat za užitečnější topologii na karteziánský výrobek.

Viz také

• Disjoint union (topologie)
• Konečná topologie  - nejlepší topologie, díky níž jsou některé funkce spojité
• Počáteční topologie  - nejhrubší topologie zajišťující kontinuitu určitých funkcí - někdy se nazývá projektivní mezní topologie
• Inverzní limit
• Bodová konvergence  - pojem konvergence v matematice
• Prostor kvocientu (topologie)
• Subprostor (topologie)
• Slabá topologie  - topologie, kde je konvergence bodů definována konvergencí jejich obrazu pod souvislými lineárními funkcionály

Poznámky

Reference

• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Obecná topologie: kapitoly 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Berlín New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Willard, Stephen (1970). Obecná topologie . Reading, Mass .: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0486434796. Citováno 13. února 2013 .