Majetek Baire - Property of Baire

Podmnožina z topologického prostoru má tu vlastnost, že Baire ( majetku Baire , pojmenoval René-Louis Baire ), nebo se nazývá téměř otevřený soubor, pokud se liší od otevřeného souboru prostřednictvím hubené sady ; ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle X}$

Definice

Podskupina z topologického prostoru se nazývá téměř otevřené a říká se, mají vlastnost Baire nebo vlastnost Baire , pokud je otevřený soubor tak, že je hubený podmnožina , kde značí symetrický rozdíl . Dále má vlastnost Baire v omezeném smyslu, jestliže pro každou podmnožinu z křižovatky má Baire vlastností ve vztahu k . ${\ displaystyle A \ subseteq X}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle U \ subseteq X}$${\ displaystyle A \ bigtriangleup U}$${\ displaystyle \ bigtriangleup}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A \ cap E}$${\ displaystyle E}$

Vlastnosti

Rodina množin s vlastností Baire tvoří σ-algebru . To znamená, že doplněk téměř otevřené množiny je téměř otevřený a jakékoli spočítatelné spojení nebo průnik téměř otevřených množin je opět téměř otevřené. Protože každá otevřená sada je téměř otevřená (prázdná sada je hubená), vyplývá z toho, že každá sada Borel je téměř otevřená.

Pokud má podmnožina polského prostoru vlastnost Baire, pak se určí její odpovídající hra Banach – Mazur . Konverzace nedrží; pokud je však určena každá hra v dané adekvátní bodové třídě , pak má každý set vlastnost Baire. Z projektivní rozhodnosti , která vyplývá z dostatečných velkých kardinálů , tedy vyplývá, že každá projektivní množina (v polském prostoru) má vlastnost Baire. ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Vyplývá z axiomu výběru , že existují sady reálných čísel bez majetku Baire. Zejména sada Vitali nemá vlastnost Baire. Už postačují již slabší verze výběru: Booleova věta o ideálním ideálu naznačuje, že na množině přirozených čísel existuje neprincipální ultrafilter ; každý takový ultrafiltr indukuje prostřednictvím binárních reprezentací realů množinu realů bez vlastnosti Baire.

Viz také

• Téměř otevřená mapa
• Věta o kategorii Baire
• Otevřená sada  - základní podmnožina topologického prostoru

Reference

externí odkazy

• Springer Encyclopaedia of Mathematics article on Baire property