Radian - Radian

Radian
Systém jednotek Jednotka odvozená od SI
Jednotka Úhel
Symbol rad,  c  nebo r
V jednotkách Bezrozměrné s délkou oblouku rovnající se poloměru, tj. 1  m/m
Konverze
1 rad v ... ... je rovný ...
   miliradiáni    1000 mrad
   zatáčky    1/2 π otáčet se
   stupně    180/π ≈ 57,296 °
   gradiány    200/π≈ 63,662 g
Oblouk kružnice se stejnou délkou jako poloměr této kružnice svírá úhel 1 radiánu. Obvod svírá úhel 2 π radiánů.

Radián , označený symbolem , je jednotka SI pro měření úhlů , a je standardní jednotka úhlové míry používané v mnoha oblastech matematiky . Jednotka byla dříve doplňkovou jednotkou SI (předtím byla tato kategorie zrušena v roce 1995) a radián je nyní jednotkou odvozenou od SI . Radián je v SI definován jako bezrozměrná hodnota a jeho symbol je proto často vynechán, zejména v matematickém psaní.

Definice

Jeden radián je definován jako úhel svíraný ze středu kruhu, který zachycuje oblouk stejné délky s poloměrem kruhu. Obecněji je velikost v radiánech podřízeného úhlu rovna poměru délky oblouku k poloměru kruhu; tj. θ = s / r , kde θ je subtendovaný úhel v radiánech, s je délka oblouku a r je poloměr. Naopak délka zachyceného oblouku se rovná poloměru vynásobenému velikostí úhlu v radiánech; to znamená, s = .

Jako poměr dvou délek je radián čisté číslo . V SI je radián definován jako hodnota 1 . V důsledku toho je v matematickém psaní téměř vždy vynechán symbol „rad“. Při kvantifikaci úhlu při absenci jakéhokoli symbolu se předpokládají radiány, a když se míní stupně, používá se znak stupně ° .

Úplná otáčka je 2 π radiánů (zde je znázorněno kružnicí o poloměru jedna a tedy obvodu 2 π ).

Z toho vyplývá, že velikost v radiánech jedné úplné otáčky (360 stupňů) je délkou celého obvodu dělenou poloměrem, nebo 2 π r / r , nebo 2 π . 2 π radiány se tedy rovnají 360 stupňům, což znamená, že jeden radián se rovná 180/ π57,29577 95130 82320 876 stupňů.

Vztah 2 π rad = 360 ° lze odvodit pomocí vzorce pro délku oblouku . Vezmeme -li vzorec pro délku oblouku, popř . Za předpokladu jednotkového kruhu; poloměr je tedy 1. Vzhledem k tomu, radian je míra úhlu, který svírá oblouku o délce rovnající se poloměru kruhu, . To lze dále zjednodušit na . Vynásobením obou stran o 360 ° získáte 360 ° = 2 π rad .

Dějiny

Koncept radiánské míry, na rozdíl od míry úhlu, je obvykle připisován Rogerovi Cotesovi v roce 1714. Radián popsal ve všem kromě jména a uznal jeho přirozenost jako jednotku úhlové míry. Před tím, než se rozšířil termín radián , se jednotce běžně říkalo kruhová míra úhlu.

Myšlenku na měření úhlů délkou oblouku již používali jiní matematici. Například al-Kashi (asi 1400) používal jako jednotky takzvané části průměru , kde část o průměru byla1/60radián. Použili také sexagesimální podjednotky části průměru.

Termín radian se poprvé objevil v tisku dne 5. června 1873, ve vyšetřovacích otázkách položených Jamesem Thomsonem (bratr lorda Kelvina ) na Queen's College v Belfastu . Tento termín použil již v roce 1871, zatímco v roce 1869 Thomas Muir , tehdejší University of St Andrews , kolísal mezi pojmy rad , radiální a radián . V roce 1874, po konzultaci s Jamesem Thomsonem, Muir přijal radian . Po nějakou dobu nebylo jméno radian všeobecně přijato. Longmansova školní trigonometrie při publikování v roce 1890 stále nazývala radiánová kruhová míra .

Symbol jednotky

Mezinárodní úřad pro míry a váhy a Mezinárodní organizace pro normalizaci specifikovat rad jako symbol pro radián. Alternativními symboly používanými před 100 lety jsou c (horní index c, „kruhová míra“), písmeno r nebo horní index R , ale tyto varianty se používají jen zřídka, protože mohou být zaměněny za symbol stupně (°) nebo poloměr (r). Proto by hodnota 1,2 radiánů byla nejčastěji zapsána jako 1,2 rad; jiné značení zahrnují 1,2 r, 1,2 rad , 1,2 ° C , nebo 1,2 R .

Konverze

Graf pro převod mezi stupni a radiány
Převod společných úhlů
Zatáčky Radiány Stupně Gradiáni neboli goni
0 otáček 0 rad 0 ° 0 g
1/24 otáčet se π/12 rad 15 ° 16+2/3G
1/16 otáčet se π/8 rad 22,5 ° 25 g
1/12 otáčet se π/6 rad 30 ° 33+1/3G
1/10 otáčet se π/5 rad 36 ° 40 g
1/8 otáčet se π/4 rad 45 ° 50 g
1/2 π otáčet se 1 rad C. 57,3 ° C. 63,7 g
1/6 otáčet se π/3 rad 60 ° 66+2/3G
1/5 otáčet se 2 π/5 rad 72 ° 80 g
1/4 otáčet se π/2 rad 90 ° 100 g
1/3 otáčet se 2 π/3 rad 120 ° 133+1/3G
2/5 otáčet se 4 π/5 rad 144 ° 160 g
1/2 otáčet se π rad 180 ° 200 g
3/4 otáčet se 3 π/2 rad 270 ° 300 g
1 otočení 2 π rad 360 ° 400 g

Převod mezi radiány a stupni

Jak bylo uvedeno, jeden radián se rovná . Chcete -li tedy převést z radiánů na stupně, vynásobte .

Například:

Naopak pro převod ze stupňů na radiány vynásobte .

Například:

Radiány lze převést na otáčky (úplné otáčky) vydělením počtu radiánů 2 π .

Odvození převodu z radiánu na stupeň

Délka obvodu kruhu je dána vztahem , kde je poloměr kruhu.

Následující ekvivalentní vztah tedy platí:

 [Protože k nakreslení celého kruhu je zapotřebí zatažení]

Podle definice radiánu představuje plný kruh:

Kombinace obou výše uvedených vztahů:

Konverze mezi radiány a gradiány

radiánů se rovná jedné otáčky , která je podle definice 400 gradians (400 gons nebo 400 g ). Chcete -li tedy převést z radiánů na gradiány, vynásobte je a převeďte z gradiánů na radiány vynásobte . Například,

Výhody měření v radiánech

Některé společné úhly, měřené v radiánech. Všechny velké polygony v tomto diagramu jsou pravidelné polygony .

V počtu a ve většině ostatních odvětvích matematiky mimo praktickou geometrii jsou úhly univerzálně měřeny v radiánech. Je to proto, že radiány mají matematickou „přirozenost“, která vede k elegantnější formulaci řady důležitých výsledků.

Nejpozoruhodnější je, že elegantně lze uvést výsledky v analýze zahrnující goniometrické funkce , když jsou argumenty funkcí vyjádřeny v radiánech. Například použití radiánů vede k jednoduchému meznímu vzorci

což je základem mnoha dalších identit v matematice, včetně

Kvůli těmto a dalším vlastnostem se goniometrické funkce objevují v řešeních matematických úloh, které zjevně nesouvisejí s geometrickými významy funkcí (například řešení diferenciální rovnice , vyhodnocení integrálu atd.). Ve všech takových případech se zjistilo, že argumenty funkcí jsou nejpřirozeněji zapsány ve formě, která v geometrických kontextech odpovídá radiánovému měření úhlů.

Trigonometrické funkce mají také jednoduchá a elegantní rozšíření série, když jsou použity radiány. Například když x je v radiánech, Taylorova řada pro sin  x se stane:

Pokud by x bylo vyjádřeno ve stupních, pak by řada obsahovala chaotické faktory zahrnující mocniny π / 180: pokud x je počet stupňů, počet radiánů je y = π x / 180 , takže

V podobném duchu lze elegantně konstatovat matematicky důležité vztahy mezi sinusovými a kosinovými funkcemi a exponenciální funkcí (viz například Eulerův vzorec ), když jsou argumenty funkcí v radiánech (a jinak chaotické).

Rozměrová analýza

Přestože je radián jednotkou míry, je to bezrozměrná veličina . To lze vidět z výše uvedené definice: úhel svíraný ve středu kruhu, měřený v radiánech, se rovná poměru délky uzavřeného oblouku k délce poloměru kruhu. Protože se měrné jednotky ruší, je tento poměr bezrozměrný.

Ačkoli polární a sférické souřadnice používají radiány k popisu souřadnic ve dvou a třech dimenzích, jednotka je odvozena od souřadnice poloměru, takže míra úhlu je stále bezrozměrná.

Použití ve fyzice

Radián je široce používán ve fyzice, když jsou požadována úhlová měření. Například úhlová rychlost se obvykle měří v radiánech za sekundu (rad/s). Jedna otáčka za sekundu se rovná 2 π radiánů za sekundu.

Podobně se úhlové zrychlení často měří v radiánech za sekundu za sekundu (rad/s 2 ).

Pro účely rozměrové analýzy jsou jednotky úhlové rychlosti a úhlového zrychlení s −1, respektive s −2 .

Stejně tak fázový rozdíl dvou vln lze také měřit v radiánech. Pokud je například fázový rozdíl dvou vln ( k ⋅2 π ) radiány, kde k je celé číslo, uvažují se ve fázi , zatímco pokud je fázový rozdíl dvou vln ( k ⋅2 π + π ), kde k je celé číslo, uvažují se v protifázi.

Násobky SI

Metrické předpony mají omezené použití s ​​radiány a v matematice žádné. Milliradian (mrad) je tisícina radián a microradian (μrad) je millionth radian, tj 1 rad = 10 3 mrad = 10 6 μrad .

V kruhu je 2 π × 1000 miliradiánů (≈ 6283,185 mrad). Miliradian je tedy těsně pod1/6283úhlu svíraného celým kruhem. Tento „skutečný“ Jednotka úhlového měření kružnice je používán teleskopickými zaměřovači výrobců používajících (stadiametric) rangefinding v reticles . Divergence z laserových paprsků je obvykle měřena v miliradiánech.

Aproximaci miliradiánu (0,001 rad) používá NATO a další vojenské organizace při střelbě a cílení . Každý úhlový mil představuje1/6400 z kruhu a je 15/8% nebo 1,875% menší než miliradián. U malých úhlů, které se běžně vyskytují při cílení, převažuje pohodlí při použití čísla 6400 při výpočtu nad malými matematickými chybami, které přináší. V minulosti jiné systémy dělostřelby používaly různé aproximace1/2 000 π; například Švédsko používalo1/6300 streck a použit SSSR1/6000. Vycházeje z miliradiánů, militán NATO snáší zhruba 1 m v rozsahu 1 000 m (v tak malých úhlech je zakřivení zanedbatelné).

V astronomii se používají menší jednotky jako mikroradiány (μrad) a nanoradiany (nrad) a lze je také použít k měření kvality paprsku laserů s velmi nízkou divergencí. Častější je arc second , což jeπ/648 000 rad (kolem 4,8 481 mikroradiánů). Podobně předpony menší než mili- jsou potenciálně užitečné při měření extrémně malých úhlů.

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy

  • Média související s Radianem na Wikimedia Commons