Rafael Bombelli - Rafael Bombelli

L'Algebra od Rafaela Bombelliho: frontispis Boloňské edice z roku 1579

Rafael Bombelli ( pokřtěn 20. ledna 1526; zemřel 1572) byl italský matematik . Narodil se v Bologni a je autorem pojednání o algebře a je ústřední postavou v chápání imaginárních čísel .

Byl to on, komu se nakonec podařilo vyřešit problém s imaginárními čísly. Ve své knize z roku 1572 L'Algebra řešil Bombelli rovnice metodou del Ferro / Tartaglia . Představil rétoriku, která předcházela reprezentativním symbolům + i a - i, a popsal, jak oba fungují.

Život

Rafael Bombelli byl pokřtěn 20. ledna 1526 v Boloni v papežských státech . Narodil se Antonio Mazzoli, obchodník s vlnou, a Diamante Scudieri, dcera krejčího. Rodina Mazzoli byla kdysi v Bologni docela silná. Když se v roce 1506 dostal k moci papež Julius II. , Vyhnal vládnoucí rodinu Bentivoglios do vyhnanství . Rodina Bentivoglio se pokusila dobýt Bolognu v roce 1508, ale neuspěla. Rafaelův dědeček se zúčastnil pokusu o převrat a byl zajat a popraven. Později se Antonio mohl vrátit do Boloně poté, co si změnil příjmení na Bombelli, aby unikl pověsti rodiny Mazzoli. Rafael byl nejstarší ze šesti dětí. Rafael nedostal žádné vysokoškolské vzdělání, ale místo toho ho učil inženýr-architekt jménem Pier Francesco Clementi .

Rafael Bombelli měl pocit, že žádná z prací na algebře předních matematiků své doby neposkytuje pečlivou a důkladnou expozici předmětu. Místo dalšího spletitého pojednání, kterému by rozuměli pouze matematici, se Rafael rozhodl napsat knihu o algebře, které by rozuměl kdokoli. Jeho text by byl soběstačný a snadno čitelný pro ty, kteří nemají vyšší vzdělání.

Rafael Bombelli zemřel v roce 1572 v Římě.

Bombelliho algebra

Algebra , 1572

V knize, která byla vydána v roce 1572 s názvem Algebra , Bombelli podal komplexní popis tehdy známé algebry. Byl prvním Evropanem, který zapsal způsob provádění výpočtů se zápornými čísly. Následuje úryvek z textu:

„Plus krát plus dělá plus plus
Minus krát minus dělá plus
Plus krát mínus dělá mínus
Mínus krát plus dělá mínus
Plus 8krát plus 8 dělá plus 64
Mínus 5krát mínus 6 dělá plus 30
Mínus 4krát plus 5 dělá mínus 20
Plus 5krát mínus 4 dělá minus 20 "

Jak bylo zamýšleno, Bombelli používal jednoduchý jazyk, jak je vidět výše, aby mu každý rozuměl. Ale zároveň byl důkladný.

Složitá čísla

Možná důležitější než jeho práce s algebrou však kniha obsahuje také Bombelliho monumentální příspěvky k teorii komplexních čísel. Než začne psát o komplexních číslech, poukáže na to, že se vyskytují v řešeních rovnic daného tvaru , což je další způsob, jak říci, že diskriminant kubické je záporný. Řešení tohoto druhu rovnice vyžaduje vzít odmocninu ze součtu jednoho čísla a odmocniny z nějakého záporného čísla. ${\ Displaystyle x^{3} = sekera+b,}$${\ Displaystyle (a/3)^{3}> (b/2)^{2},}$

Než se Bombelli ponoří do praktického používání imaginárních čísel, pustí se do podrobného vysvětlení vlastností komplexních čísel. Hned dává najevo, že pravidla pro aritmetiku pro imaginární čísla nejsou stejná jako pro reálná čísla. Byl to velký úspěch, protože i mnozí další matematici byli v tomto tématu velmi zmatení.

Bombelli se vyhnul záměně tím, že dal speciální název odmocninám záporných čísel, místo aby se s nimi snažil vypořádat tak, jak to dělali běžní radikálové jako ostatní matematici. Tím bylo jasné, že tato čísla nebyla ani kladná, ani záporná. Tento druh systému předchází zmatkům, se kterými se Euler setkal. Bombelli nazýval imaginární číslo i „plus mínus“ a použil „mínus mínus“ pro - i .

Bombelli měl předvídavost, aby viděl, že imaginární čísla jsou klíčová a nezbytná pro řešení kvartických a kubických rovnic. V té době se lidé starali o komplexní čísla pouze jako o nástroje k řešení praktických rovnic. Jako takový byl Bombelli schopen získat řešení pomocí pravidla Scipione del Ferro, a to i v neredukovatelném případě, kdy se jiní matematici jako Cardano vzdali.

Bombelli ve své knize vysvětluje složitou aritmetiku takto:

"Plus plus mínus, plus plus mínus.
Mínus plus mínus, mínus mínus.
Plus mínus mínus, mínus mínus.
Mínus mínus mínus, dělá plus mínus.
Plus mínus plus mínus, dělá minus.
Plus mínus mínus mínus, dělá plus.
Mínus mínus plus mínus, dělá plus.
Mínus mínus mínus mínus dělá mínus. "

Poté, co se Bombelli vypořádal s násobením reálných a imaginárních čísel, pokračuje v mluvení o pravidlech sčítání a odčítání. Pečlivě upozorňuje na to, že skutečné části se přidávají ke skutečným částem a imaginární části se přidávají k imaginárním částem.

Pověst

Bombelli je obecně považován za vynálezce komplexních čísel, protože nikdo před ním nevytvořil pravidla pro nakládání s takovými čísly a nikdo nevěřil, že práce s imaginárními čísly bude mít užitečné výsledky. Po přečtení Bombelli v algebry , Leibniz chválil Bombelli jako „.. Vynikající mistr analytické techniky.“ Crossley ve své knize píše: „Máme tedy inženýra, Bombelliho, který prakticky využívá složitá čísla, možná proto, že mu dávají užitečné výsledky, zatímco Cardan shledal, že odmocniny záporných čísel jsou zbytečné. Bombelli je první, kdo léčí jakékoli komplexní čísla ... Je pozoruhodné, jak důkladně prezentuje zákony výpočtu komplexních čísel ... “[3]

Na počest jeho úspěchů byl měsíční kráter pojmenován Bombelli .

Bombelliho metoda výpočtu odmocnin

Bombelli použita metoda vztahující se k řetězové zlomky pro výpočet druhé odmocniny . Dosud neměl koncept pokračujícího zlomku a níže je algoritmus pozdější verze, který uvedl Pietro Cataldi (1613).

Způsob zjištění, začíná se , ze kterého může být prokázáno, že . Opakovaná substituce výrazu na pravé straně za sebe vede k pokračující frakci ${\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$${\ Displaystyle n = (a \ pm r)^{2} = a^{2} \ pm 2ar+r^{2} \}$${\ Displaystyle 0 <r <1 \}$${\ Displaystyle r = {\ frac {| na^{2} |} {2a \ pm r}}}$${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle a \ pm {\ frac {| na^{2} |} {2a \ pm {\ frac {| na^{2} |} {2a \ pm {\ frac {| na^{2} |} {2a \ pm \ cdots}}}}}}}}$

pro kořen, ale Bombelli se více zajímá o lepší aproximace pro . Hodnota zvolená pro je buď celé číslo, jehož čtverce leží mezi. Metoda dává následující convergents pro zatímco skutečná hodnota je 3,605551275 ...: ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ sqrt {13}} \}$

${\ Displaystyle 3 {\ frac {2} {3}}, \ 3 {\ frac {3} {5}}, \ 3 {\ frac {20} {33}}, \ 3 {\ frac {66} { 109}}, \ 3 {\ frac {109} {180}}, \ 3 {\ frac {720} {1189}}, \ \ cdots}$

Poslední konvergent se rovná 3,605550883 .... Bombelliho metoda by měla být porovnána se vzorci a výsledky používanými Herosem a Archimedem . Výsledek, který použil Archimedes při určování hodnoty, lze zjistit pomocí 1 a 0 pro počáteční hodnoty . ${\ displaystyle {\ frac {265} {153}} <{\ sqrt {3}} <{\ frac {1351} {780}}}$${\ displaystyle \ pi \}$${\ displaystyle r}$

Reference

Poznámky pod čarou

Citace

Prameny

• Morris Kline , Matematické myšlení od starověku do moderní doby , 1972, Oxford University Press, New York, ISBN  0-19-501496-0
• David Eugene Smith , A Source Book in Mathematics , 1959, Dover Publications, New York, ISBN  0-486-64690-4

externí odkazy

• L'Algebra, Libri I, II, III , IV e V , původní italské texty.
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , „Rafael Bombelli“ , MacTutor Dějiny archivu matematiky , University of St Andrews
• Pozadí