Ramanujan prime - Ramanujan prime

V matematice , je Ramanujan prime je prvočíslo , který uspokojí výsledkem prověřené podle Srinivasa Ramanujan týkající se připravit-počítat funkci .

Počátky a definice

V roce 1919 vydal Ramanujan nový důkaz Bertrandova postulátu, který, jak poznamenává, poprvé dokázal Čebyšev . Na konci dvoustránkové publikované práce odvodil Ramanujan zobecněný výsledek, a to je:

${\ displaystyle \ pi (x) - \ pi \ vlevo ({\ frac {x} {2}} \ vpravo) \ geq 1,2,3,4,5, \ ldots {\ text {pro všechny}} x \ geq 2,11,17,29,41, \ ldots {\ text {respektive}}}$     OEIS :  A104272

kde je funkce počítání prvočísel , rovná se počtu prvočísel menších nebo rovných  x . ${\ displaystyle \ pi (x)}$

Opakem tohoto výsledku je definice prvočísel Ramanujan:

N th Ramanujan připravit je nejmenší celé číslo R _n , pro něž pro všechny x ≥ R _n . Jinými slovy: Ramanujan prvočísla jsou nejméně celá čísla R _n, pro která existuje alespoň n prvočísel mezi x a x / 2 pro všechna x ≥ R _n . ${\ displaystyle \ pi (x) - \ pi (x / 2) \ geq n,}$

Prvních pět prvočísel Ramanujan je tedy 2, 11, 17, 29 a 41.

Všimněte si, že celé číslo R _n je nutně prvočíslo: a proto se musí zvýšit získáním dalšího prvočísla při x = R _n . Protože se může zvýšit maximálně o 1, ${\ displaystyle \ pi (x) - \ pi (x / 2)}$${\ displaystyle \ pi (x)}$${\ displaystyle \ pi (x) - \ pi (x / 2)}$

${\ displaystyle \ pi (R_ {n}) - \ pi \ left ({\ frac {R_ {n}} {2}} \ right) = n.}$

Hranice a asymptotický vzorec

Pro všechny , hranice ${\ displaystyle n \ geq 1}$

${\ displaystyle 2n \ ln 2n <R_ {n} <4n \ ln 4n}$

držet. Pokud , pak také ${\ displaystyle n> 1}$

${\ displaystyle p_ {2n} <R_ {n} <p_ {3n}}$

kde p _n je n- té prvočíslo.

Jako n tendenci růst do nekonečna, R _n je asymptoticky k 2 n -té připravit, tj,

R _n ~ p _{2 n} ( n → ∞).

Všechny tyto výsledky dokázal Sondow (2009), s výjimkou horní hranice R _n < p _{3 n,} kterou si domyslel a prokázal Laishram (2010). Vazba byla vylepšena Sondowem, Nicholsonem a Noem (2011) na

${\ displaystyle R_ {n} \ leq {\ frac {41} {47}} \ p_ {3n}}$

což je optimální forma R _n ≤ c · p _{3 n,} protože se jedná o rovnost pro n = 5.

Reference