Rozsah střely - Range of a projectile

Ve fyzice , je projektil vypustil se specifickými počátečními podmínkami budou mít rozsah . Může to být předvídatelnější za předpokladu ploché Země s jednotným gravitačním polem a bez odporu vzduchu .

Následující postup platí pro rozsahy, které jsou malé ve srovnání s velikostí Země. U delších rozsahů viz suborbitální vesmírný let . Maximální vodorovnou vzdálenost projetou projektilem , zanedbávající odpor vzduchu, lze vypočítat takto:

${\ displaystyle d = {\ frac {v \ cos \ theta} {g}} \ vlevo (v \ sin \ theta + {\ sqrt {v ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + 2gy_ {0} }}\že jo)}$

kde

• d je celková vodorovná vzdálenost uražená střelou.
• v je rychlost, při které je projektil vystřelen
• g je gravitační zrychlení - obvykle se považuje za 9,81 m / s ² (32 f / s ² ) blízko zemského povrchu
• θ je úhel, pod kterým je projektil vystřelen
• y ₀ je počáteční výška střely

Pokud je y ₀ považováno za nulu, což znamená, že objekt je spouštěn na rovném povrchu, rozsah střely se zjednoduší na:

${\ displaystyle d = {\ frac {v ^ {2}} {g}} \ sin 2 \ theta}$

Ideální pohyb střely

Ideální pohyb střely uvádí, že nedochází k žádnému odporu vzduchu a ke změně gravitačního zrychlení . Tento předpoklad značně zjednodušuje matematiku a je blízkým přiblížením skutečného pohybu střely v případech, kdy jsou ujeté vzdálenosti malé. Ideální pohyb střely je také dobrým úvodem do tématu před přidáním komplikací odporu vzduchu.

Odvození

Úhel spuštění 45 stupňů posouvá projektil nejdále vodorovně. To je způsobeno povahou pravoúhlých trojúhelníků. Navíc z rovnice pro rozsah:

${\ displaystyle d = {\ frac {v ^ {2} \ sin 2 \ theta} {g}}}$

Vidíme, že rozsah bude maximální, když je hodnota nejvyšší (tj. Když je rovna 1). Je zřejmé, že musí být 90 stupňů. To znamená, že je 45 stupňů. ${\ displaystyle \ sin 2 \ theta}$${\ displaystyle 2 \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$

Rovná zem

Nejprve prozkoumáme případ, kdy ( y ₀ ) je nula. Horizontální poloha střely je

${\ displaystyle x (t) = vt \ cos \ theta}$

Ve svislém směru

${\ displaystyle y (t) = vt \ sin \ theta - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}$

Zajímá nás čas, kdy se projektil vrátí do stejné výšky, v jaké vznikl. Nechť t _g je kdykoli, když se výška střely rovná její počáteční hodnotě.

${\ displaystyle 0 = vt \ sin \ theta - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}$

Rozdělením:

${\ displaystyle t = 0}$

nebo

${\ displaystyle t = {\ frac {2v \ sin \ theta} {g}}}$

ale t = T = doba letu

${\ displaystyle T = {\ frac {2v \ sin \ theta} {g}}}$

První řešení odpovídá okamžiku prvního spuštění střely. Druhé řešení je užitečné pro stanovení dosahu střely. Zapojením této hodnoty pro ( t ) se získá vodorovná rovnice

${\ displaystyle x = {\ frac {2v ^ {2} \ cos \ theta \, \ sin \ theta} {g}}}$

Uplatnění trigonometrické identity

${\ displaystyle \ sin (x + y) = \ sin x \, \ cos y \ + \ \ sin y \, \ cos x}$

Pokud jsou xay stejné,

${\ displaystyle \ sin 2 \ theta = 2 \ sin \ theta \, \ cos \ theta}$

umožňuje nám zjednodušit řešení

${\ displaystyle d = {\ frac {v ^ {2} \ sin 2 \ theta} {g}}}$

Všimněte si, že když ( θ ) je 45 °, roztok se stane

${\ displaystyle d _ {\ max} = {\ frac {v ^ {2}} {g}}}$

Nerovnoměrný povrch

Nyní necháme ( y ₀ ) nenulovou. Naše pohybové rovnice jsou nyní

${\ displaystyle x (t) = vt \ cos \ theta}$

a

${\ displaystyle y (t) = y_ {0} + vt \ sin \ theta - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}$

Opět řešíme pro ( t ) v případě, že poloha ( y ) střely je na nule (protože takto jsme definovali naši počáteční výšku)

${\ displaystyle 0 = y_ {0} + vt \ sin \ theta - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}$

Opět použitím kvadratického vzorce najdeme pro tuto dobu dvě řešení. Po několika krocích algebraické manipulace

${\ displaystyle t = {\ frac {v \ sin \ theta} {g}} \ pm {\ frac {\ sqrt {v ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + 2gy_ {0}}} {g }}}$

Druhá odmocnina musí být kladné číslo, a protože rychlost a sinus úhlu spuštění lze také považovat za kladné, dojde k řešení s větším časem, když se použije kladné znaménko plus nebo minus. Řešení tedy je

${\ displaystyle t = {\ frac {v \ sin \ theta} {g}} + {\ frac {\ sqrt {v ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + 2gy_ {0}}} {g} }}$

Řešení pro rozsah ještě jednou

${\ displaystyle d = {\ frac {v \ cos \ theta} {g}} \ vlevo (v \ sin \ theta + {\ sqrt {v ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + 2gy_ {0} }}\že jo)}$

Maximalizace dosahu v jakékoli výšce

${\ displaystyle \ theta = \ arccos {\ sqrt {\ frac {2gy_ {0} + v ^ {2}} {2gy_ {0} + 2v ^ {2}}}}}$

Kontrola limitu se blíží 0 ${\ displaystyle y_ {0}}$

${\ displaystyle \ lim _ {y_ {0} \ až 0} \ arccos {\ sqrt {\ frac {2gy_ {0} + v ^ {2}} {2gy_ {0} + 2v ^ {2}}}} = {\ frac {\ pi} {4}}}$

Úhel nárazu

Úhel which, pod kterým projektil dopadne, je dán vztahem:

${\ displaystyle \ tan \ psi = {\ frac {-v_ {y} (t_ {d})} {v_ {x} (t_ {d})}} = {\ frac {\ sqrt {v ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + 2gy_ {0}}} {v \ cos \ theta}}}$

Pro maximální rozsah to vede k následující rovnici:

${\ displaystyle \ tan ^ {2} \ psi = {\ frac {2gy_ {0} + v ^ {2}} {v ^ {2}}} = C + 1}$

Přepsáním původního řešení pro θ dostaneme:

${\ displaystyle \ tan ^ {2} \ theta = {\ frac {1- \ cos ^ {2} \ theta} {\ cos ^ {2} \ theta}} = {\ frac {v ^ {2}} { 2gy_ {0} + v ^ {2}}} = {\ frac {1} {C + 1}}}$

Vynásobením rovnice pro (tan ψ) ^ 2 dostaneme:

${\ displaystyle \ tan ^ {2} \ psi \, \ tan ^ {2} \ theta = {\ frac {2gy_ {0} + v ^ {2}} {v ^ {2}}} {\ frac {v ^ {2}} {2gy_ {0} + v ^ {2}}} = 1}$

Kvůli trigonometrické identitě

${\ displaystyle \ tan (\ theta + \ psi) = {\ frac {\ tan \ theta + \ tan \ psi} {1- \ tan \ theta \ tan \ psi}}}$,

to znamená, že θ + ψ musí mít 90 stupňů.

Skutečný pohyb střely

Kromě odporu vzduchu , který zpomaluje projektil a snižuje jeho dosah, je při zohlednění skutečného pohybu střely třeba zohlednit i mnoho dalších faktorů.

Vlastnosti střely

Obecně lze říci, že projektil s větším objemem čelí většímu odporu vzduchu , což snižuje dosah střely. (A viz Trajektorie střely .) Odpor odporu vzduchu lze upravit tvarem střely: vysoký a široký, ale krátký projektil bude čelit většímu odporu vzduchu než nízký a úzký, ale dlouhý projektil se stejným objemem. Rovněž je třeba vzít v úvahu povrch střely: hladká střela bude čelit menšímu odporu vzduchu než drsná a nepravidelnosti na povrchu střely mohou změnit jeho trajektorii, pokud vytvoří větší odpor na jedné straně střely než na jiný. Určité nepravidelnosti, jako jsou důlky na golfovém míčku, však mohou ve skutečnosti zvýšit jeho dosah snížením množství turbulencí způsobených za projektilem při jeho pohybu. Hmota se také stává důležitou, protože masivnější projektil bude mít více kinetické energie a bude tak méně ovlivňován odporem vzduchu. Rozložení hmoty v projektilu může být také důležité, protože nerovnoměrně vážený projektil se může nežádoucím způsobem otáčet, což způsobí nepravidelnosti jeho dráhy v důsledku účinku magnusu .

Pokud je střele dána rotace podél jejích os pohybu, nepravidelnosti ve tvaru a rozložení hmotnosti střely mají tendenci být odstraněny. Pro lepší vysvětlení viz rifling .

Sudy se střelnou zbraní

U střel, které jsou odpalovány střelnými zbraněmi a dělostřelectvem, je důležitá také povaha hlavně zbraně . Delší hlavně umožňují, aby projektil dostal více energie hnacího plynu , čímž se dosáhlo většího dosahu. Puška , i když nemusí zvýšit průměrný ( aritmetický průměr ) dostřel mnoha střel ze stejné zbraně, zvýší přesnost a přesnost zbraně.

Velmi velké rozsahy

Některá děla nebo houfnice byly vytvořeny s velmi velkým rozsahem.

Během první světové války Němci vytvořili mimořádně velké dělo, pařížské dělo, které dokázalo vystřelit z granátu více než 130 kilometrů. Severní Korea vyvinula na Západě zbraň známou jako Koksan , s doletem 60 km pomocí raketových střel. (A viz Trajektorie střely .)

Taková děla se odlišují od raket nebo balistických raket , které mají své vlastní raketové motory, které pokračují ve zrychlování rakety po dobu po jejich vystřelení.

Viz také

• Trajektorie
• Pohyb střely
• Úniková rychlost

Reference