Poměr - Ratio

Poměr šířky k výšce televize se standardním rozlišením

V matematice , je poměr udává, kolikrát jedno číslo obsahuje další. Pokud je například v misce ovoce osm pomerančů a šest citronů, pak je poměr pomerančů k citronům osm ku šesti (tedy 8∶6, což odpovídá poměru 4∶3). Podobně je poměr citronů k pomerančům 6∶8 (nebo 3∶4) a poměr pomerančů k celkovému množství ovoce je 8∶14 (nebo 4∶7).

Čísla v poměru mohou být veličiny jakéhokoli druhu, například počty lidí nebo předmětů, nebo například měření délek, hmotností, času atd. Ve většině kontextů jsou obě čísla omezena na kladná.

Poměr lze určit buď zadáním obou konstitučních čísel, zapsaných jako „ ab “ nebo „ ab “, nebo uvedením pouze hodnoty jejich kvocientu A/b. Stejné kvocienty odpovídají stejným poměrům.

V důsledku toho může být poměr považován za uspořádanou dvojici čísel, zlomek s prvním číslem v čitateli a druhým ve jmenovateli, nebo za hodnotu označenou tímto zlomkem. Poměry počtů, dané (nenulovými) přirozenými čísly , jsou racionální čísla a někdy mohou být přirozená čísla. Když jsou dvě veličiny měřeny stejnou jednotkou, jak tomu často bývá, je jejich poměr bezrozměrné číslo . Poměr dvou veličin, které se měří různými jednotkami, se nazývá rychlost .

Zápis a terminologie

Poměr čísel A a B lze vyjádřit jako:

  • poměr A k B
  • AB
  • A je B (když za ním následuje „jako C je D  “; viz níže)
  • frakce s A v čitateli a B, ve jmenovateli, který představuje kvocient (tj děleno B, nebo ). To lze vyjádřit jako jednoduchý nebo desetinný zlomek, nebo jako procento atd.

Místo symbolu poměru, Unicode U+2236 (∶), se často používá dvojtečka (:) .

Čísla A a B se někdy nazývají termíny poměru , přičemž A je předchůdce a B je důsledek .

Prohlášení vyjadřující rovnost dvou poměrů : B a C : D se nazývá část , psaný jako A : B = C : D nebo A : BC : D . Tato druhá forma, když je mluvená nebo psaná v anglickém jazyce, je často vyjádřena jako

( A je B ) jako ( C je D ).

A , B , C a D se nazývají podmínky poměru. A a D se nazývají jeho extrémy a B a C se nazývají jeho prostředky . Rovnost tří nebo více poměrů, jako AB = CD = EF , se nazývá pokračující podíl .

Poměry se někdy používají se třemi nebo dokonce více výrazy, např. Poměr délek hran „ dva krát čtyři “ dlouhý deset palců je proto

(nehoblovaná měření; první dvě čísla se mírně sníží, když je dřevo hoblované hladce)

dobrá betonová směs (v objemových jednotkách) je někdy uváděna jako

U (spíše suché) směsi 4/1 dílů objemu cementu k vodě by se dalo říci, že poměr cementu k vodě je 4∶1, že cementu je čtyřikrát více než vody, nebo že existuje čtvrtina (1/4) vody jako cement.

Význam takového podílu poměrů s více než dvěma členy je ten, že poměr jakýchkoli dvou výrazů na levé straně se rovná poměru odpovídajících dvou výrazů na pravé straně.

Historie a etymologie

Je možné vysledovat původ slova „poměr“ ke starořeckému λόγος ( loga ). Raní překladatelé to vykreslili do latiny jako poměr („rozum“; jako ve slově „racionální“). Modernější interpretace Euclidova významu je více podobná výpočtu nebo zúčtování. Středověcí spisovatelé používali slovo proportio („proporce“) k označení poměru a proporcionality („proporcionality“) pro rovnost poměrů.

Euclid shromáždil výsledky objevující se v Prvcích z dřívějších zdrojů. Tyto Pythagoreans vyvinul teorii poměru a poměru jejich uplatnění na čísla. Pythagorejské pojetí čísla zahrnovalo pouze to, čemu by se dnes říkalo racionální čísla, což zpochybňovalo platnost teorie v geometrii, kde, jak Pythagorejci také zjistili, existují nesouměřitelné poměry (odpovídající iracionálním číslům ). Za objevem teorie poměrů, která nepředpokládá souměřitelnost, stojí pravděpodobně Eudoxus z Cnidus . Expozice teorie proporcí, která se objevuje v knize VII prvků, odráží dřívější teorii poměrů srovnatelných položek.

Existence více teorií se zdá být zbytečně složitá, protože poměry jsou do značné míry identifikovány s kvocienty a jejich potenciálními hodnotami. Jedná se však o poměrně nedávný vývoj, jak je patrné ze skutečnosti, že moderní učebnice geometrie stále používají odlišnou terminologii a notaci pro poměry a kvocienty. Důvody jsou dvojí: zaprvé zde byla dříve zmíněná neochota přijímat iracionální čísla jako skutečná čísla, a zadruhé, absence široce používané symboliky nahrazující již zavedenou terminologii poměrů oddálila úplné přijetí zlomků jako alternativy, dokud 16. století.

Euklidovy definice

Kniha V Euclidových prvků má 18 definic, z nichž všechny se vztahují k poměrům. Euclid navíc používá myšlenky, které byly v tak běžném používání, že pro ně nezahrnul definice. První dvě definice říkají, že součástí množství je další veličina, která jej „měří“, a naopak násobek množství je další veličina, kterou měří. V moderní terminologii to znamená, že násobkem veličiny je to množství vynásobené celým číslem větším než jedna - a část veličiny (což znamená alikvotní část ) je část, která po vynásobení celým číslem větším než jedna dává Množství.

Euclid nedefinuje termín „opatření“, jak je zde používán, avšak je možné usuzovat, že v případě, že množství je vzat jako jednotka měření a druhé množství jsou uvedeny jako integrální počet těchto jednotek, pak první množství opatření na druhý. Tyto definice se opakují téměř slovo od slova jako definice 3 a 5 v knize VII.

Definice 3 popisuje, co je poměr obecně. V matematickém smyslu to není přísné a někteří to připisují spíše Euclidovým editorům než samotnému Euclidovi. Euclid definuje poměr mezi dvěma veličinami stejného typu , takže touto definicí jsou definovány poměry dvou délek nebo dvou oblastí, nikoli však poměr délky a plochy. Definice 4 to zpřísňuje. Uvádí, že existuje poměr dvou veličin, když existuje násobek každého, který převyšuje druhý. V moderní notaci existuje poměr mezi veličinami p a q , pokud existují celá čísla m a n taková, že mp > q a nq > p . Tato podmínka je známá jako vlastnost Archimedes .

Definice 5 je nejsložitější a nejobtížnější. Definuje, co to znamená, že dva poměry jsou stejné. Dnes to lze provést jednoduchým prohlášením, že poměry jsou stejné, když jsou kvocienty výrazů stejné, ale taková definice by pro Euclida neměla smysl. V moderní notaci je Euclidova definice rovnosti taková, že dané veličiny p , q , r a s , pqr  ∶ s právě tehdy, pokud pro jakákoli kladná celá čísla m a n , np < mq , np = mq nebo np > mq podle nr < ms , nr = ms nebo nr > ms . Tato definice má afinity s Dedekind škrty jako, s n a q oba pozitivní, np stojí mq jakop/q stojí na racionálním čísle m/n(dělení obou výrazů nq ).

Definice 6 říká, že veličiny, které mají stejný poměr, jsou proporcionální nebo proporcionální . Euclid používá řecký ἀναλόγον (analogon), který má stejný kořen jako λόγος a souvisí s anglickým slovem „analog“.

Definice 7 definuje, co to znamená, že jeden poměr je menší nebo větší než jiný a vychází z myšlenek přítomných v definici 5. V moderní notaci říká, že dané veličiny p , q , r a s , pq > rs, pokud existují kladná celá čísla m a n, takže np > mq a nrms .

Stejně jako u definice 3 je definice 8 některými považována za pozdější vložení Euclidovými editory. Definuje tři termíny p , q a r tak, aby byly v poměru, když pqqr . Toto je rozšířeno na 4 členy p , q , r a s jako pqqrrs atd. Sekvence, které mají vlastnost, že poměry po sobě jdoucích členů jsou stejné, se nazývají geometrické postupnosti . Definice 9 a 10 platí toto tím, že v případě, p , q a r jsou v poměru pak p : r je duplicitní poměr z p : q a je-li p , q , r a s jsou v poměru pak p : y je poměr trojnásobné z pq .

Počet výrazů a použití zlomků

Obecně lze srovnání množství poměru dvou entit vyjádřit jako zlomek odvozený z poměru. Například v poměru 2∶3 je množství, velikost, objem nebo množství první entity částkou druhé entity.

Pokud existují 2 pomeranče a 3 jablka, poměr pomerančů k jablkům je 2∶3 a poměr pomerančů k celkovému počtu kusů ovoce je 2∶5. Tyto poměry lze také vyjádřit ve zlomkové formě: pomerančů je 2/3 tolik jako jablek a 2/5 kusů ovoce jsou pomeranče. Pokud se má koncentrát pomerančové šťávy ředit vodou v poměru 1: 4, pak se jeden díl koncentrátu smíchá se čtyřmi díly vody, celkem tedy pět dílů; množství koncentrátu pomerančového džusu je 1/4 množství vody, zatímco množství koncentrátu pomerančového džusu je 1/5 celkové tekutiny. V poměrech i zlomcích je důležité mít jasno v tom, co se s čím porovnává, a začátečníci z tohoto důvodu často dělají chyby.

Zlomky lze také odvodit z poměrů s více než dvěma entitami; poměr s více než dvěma entitami však nelze zcela převést na jeden zlomek, protože zlomek může porovnávat pouze dvě veličiny. K porovnání množství jakýchkoli dvou entit, na které se vztahuje poměr, lze použít oddělený zlomek: například z poměru 2∶3∶7 můžeme usoudit, že množství druhé entity je třetí entity.

Proporce a procentní poměry

Vynásobíme -li všechny veličiny zahrnuté v poměru stejným číslem, zůstane poměr v platnosti. Například poměr 3∶2 je stejný jako 12∶8. Je obvyklé buď redukovat termíny na nejnižší společný jmenovatel , nebo je vyjadřovat v částech na sto ( procent ).

Pokud směs obsahuje látky A, B, C a D v poměru 5∶9∶4∶2, pak připadá 5 dílů A na každých 9 dílů B, 4 díly C a 2 díly D. As 5+9 +4+2 = 20, celková směs obsahuje 5/20 A (5 dílů z 20), 9/20 B, 4/20 C a 2/20 D. Pokud vydělíme všechna čísla celkem a vynásobením 100 jsme převedli na procenta : 25% A, 45% B, 20% C a 10% D (ekvivalent zápisu poměru jako 25∶45∶20∶10).

Pokud dvě nebo více poměrných veličin zahrnuje všechna množství v konkrétní situaci, říká se, že „celek“ obsahuje součet částí: například košík s ovocem obsahující dvě jablka a tři pomeranče a žádné jiné ovoce se nevyrábí ze dvou dílů jablek a tří dílů pomerančů. V tomto případě nebo 40% celku tvoří jablka a nebo 60% celku tvoří pomeranče. Toto srovnání konkrétní veličiny s „celkem“ se nazývá proporce.

Pokud se poměr skládá pouze ze dvou hodnot, může být reprezentován jako zlomek, zejména jako desetinný zlomek. Například starší televize mají poměr stran 4∶3 , což znamená, že šířka je 4/3 výšky (to může být také vyjádřeno jako 1,33∶1 nebo jen 1,33 zaokrouhleno na dvě desetinná místa). Novější širokoúhlé televizory mají poměr stran 16∶9 nebo 1,78 zaokrouhlený na dvě desetinná místa. Jeden z populárních širokoúhlých formátů filmů je 2,35∶1 nebo jednoduše 2,35. Zastoupení poměrů jako desetinných zlomků zjednodušuje jejich srovnání. Při porovnání 1,33, 1,78 a 2,35 je zřejmé, který formát nabízí širší obraz. Takové srovnání funguje pouze tehdy, když jsou porovnávané hodnoty konzistentní, jako vždy vyjadřující šířku ve vztahu k výšce.

Snížení

Poměry lze snížit (jako jsou zlomky) vydělením každé veličiny společnými faktory všech veličin. Pokud jde o zlomky, za nejjednodušší formu se považuje ta, ve které jsou čísla v poměru nejmenší možná celá čísla.

Poměr 40∶60 je tedy ve významu ekvivalentní poměru 2∶3, přičemž druhý je získán z prvního tak, že obě veličiny vydělíme 20. Matematicky napíšeme 40∶60 = 2∶3, nebo ekvivalentně 40∶60∷ 2∶3. Slovní ekvivalent je „40 je 60, zatímco 2 je 3.“

Poměr, který má celá čísla pro obě veličiny a který již nelze dále snižovat (pomocí celých čísel), je údajně v nejjednodušší formě nebo nejnižších termínech.

Někdy je užitečné napsat poměr ve tvaru 1∶ x nebo x ∶1, kde x nemusí být nutně celé číslo, aby bylo možné porovnat různé poměry. Například poměr 4∶5 lze zapsat jako 1∶1,25 (dělení obou stran 4) Alternativně lze zapsat jako 0,8∶1 (dělení obou stran 5).

Tam, kde kontext objasňuje význam, je poměr v této formě někdy zapsán bez symbolu 1 a symbolu poměru (∶), ačkoli z matematického hlediska je to faktor nebo multiplikátor .

Iracionální poměry

Lze také stanovit poměry mezi neměřitelnými veličinami (veličinami, jejichž poměr jako hodnota zlomku je iracionální číslo ). Nejdříve objevil příklad, nalezený v Pythagoreans , je poměr délky úhlopříčky d délce strany to ze čtverce , který je druhá odmocnina 2 , formálně Dalším příkladem je poměr v kruhu ‚s obvod jeho průměru, který se nazývá π , a není jen algebraicky iracionální číslo , ale transcendentální iracionální .

Známý je také zlatý řez dvou (většinou) délek a a b , který je definován poměrem

nebo ekvivalentně

Vezmeme -li poměry jako zlomky a hodnoty x , dostaneme rovnici

nebo

který má pozitivní, iracionální řešení Tak alespoň jeden z a a b musí být iracionální, aby byli ve zlatém řezu. Příkladem výskytu zlatého řezu v matematice je mezní hodnota poměru dvou po sobě jdoucích Fibonacciho čísel : přestože všechny tyto poměry jsou poměry dvou celých čísel, a proto jsou racionální, limita posloupnosti těchto racionálních poměrů je iracionální zlatý řez.

Podobně, poměr stříbra z A a B je definována poměrem

souhlasí s

Tato rovnice má kladné iracionální řešení, takže opět alespoň jedna ze dvou veličin a a b v poměru stříbra musí být iracionální.

Kurzy

Šance (jako u hazardních her) jsou vyjádřeny jako poměr. Například šance „7 na 3 proti“ (7∶3) znamená, že existuje sedm šancí, že se událost nestane, každé tři šance, že se to stane. Pravděpodobnost úspěchu je 30%. V každých deseti pokusech se očekávají tři výhry a sedm proher.

Jednotky

Poměry mohou být bez jednotek , protože v případě, že se týkají veličin v jednotkách stejné dimenze , i když jsou jejich měrné jednotky zpočátku odlišné. Například poměr 1 minuta ∶ 40 sekund lze snížit změnou první hodnoty na 60 sekund, takže se poměr stane 60 sekund ∶ 40 sekund . Jakmile jsou jednotky stejné, mohou být vynechány a poměr může být snížen na 3∶2.

Na druhé straně existují bezrozměrné poměry, známé také jako sazby . V chemii jsou poměry hmotnostní koncentrace obvykle vyjádřeny jako hmotnostní/objemové zlomky. Například koncentrace 3% w/v obvykle znamená 3 g látky v každých 100 ml roztoku. Toto nelze převést na bezrozměrný poměr, jako ve zlomcích hmotnost/hmotnost nebo objem/objem.

Trojúhelníkové souřadnice

Umístění bodů vzhledem k trojúhelníku s vrcholy A , B a C a stranami AB , BC a CA jsou často vyjádřeny v rozšířeném poměru jako trojúhelníkové souřadnice .

V barycentrických souřadnicích je bod se souřadnicemi α, β, γ bod, ve kterém by beztížný kovový plech ve tvaru a velikosti trojúhelníku přesně vyvažoval, kdyby byly na vrcholy kladeny závaží, s poměrem závaží v bodě A a B je αβ , přičemž poměr hmotností na B a C je βγ , a proto poměr hmotností na A a C je αγ .

V Trilineární souřadnic , bod o souřadnicích x  : y  : z je kolmé vzdálenosti k boční BC (naproti vrcholu A ) a boční CA (naproti od vrcholu B ) v poměru x  : y , vzdálenosti na stranu, CA a boční AB (přes od C ) v poměru y  ∶ z , a tedy vzdálenosti k stranám BC a AB v poměru x  ∶ z .

Vzhledem k tomu, všechny informace jsou vyjádřeny v poměru (jednotlivá čísla jsou označeny odkazovými značkami a, p, y, x, y, a z, nemají žádný význam, samy o sobě), analýzu trojúhelník pomocí barycentrický nebo Trilineární souřadnic platí bez ohledu na velikost trojúhelníku .

Viz také

Reference

Další čtení

externí odkazy