Racionální funkce - Rational function

V matematice je racionální funkcí jakákoli funkce, kterou lze definovat racionálním zlomkem , což je algebraický zlomek , takže čitatel i jmenovatel jsou polynomy . Tyto koeficienty jednotlivých polynomů nemusí být racionální čísla ; Mohou být přijata v jakémkoliv terénu K . V tomto případě mluvíme o racionální funkce a racionální frakce nad K . Hodnoty proměnných mohou být v libovolném terénu L s obsahem K . Potom se doména funkce je množina hodnot proměnných, pro které je jmenovatel není nula, a codomain je L .

Množina racionálních funkcí přes pole K je pole, pole frakcí z prstence z polynomiálních funkcí přes K .

Definice

Funkce se nazývá racionální funkcí tehdy a jen tehdy, pokud ji lze zapsat do formuláře ${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}$

kde a jsou polynom funkce na a není nulová funkce . Doména z je množina všech hodnot , pro které je jmenovatel není nula. ${\ displaystyle P \,}$${\ displaystyle Q \,}$${\ displaystyle x \,}$${\ displaystyle Q \,}$${\ displaystyle f \,}$${\ displaystyle x \,}$${\ displaystyle Q (x) \,}$

Pokud však a mají nekonstantního polynomu největší společný dělitel , pak nastavení a produkuje racionální funkci ${\ displaystyle \ textstyle P}$${\ displaystyle \ textstyle Q}$ ${\ displaystyle \ textstyle R}$${\ Displaystyle \ textstyle P = P_ {1} R}$${\ displaystyle \ textstyle Q = Q_ {1} R}$

${\ displaystyle f_ {1} (x) = {\ frac {P_ {1} (x)} {Q_ {1} (x)}},}$

která může mít větší doméně než , a rovná se na doméně je to běžné použití pro identifikaci a , že je rozšířit „kontinuita“ oblasti k tomu Opravdu, jeden může definovat racionální frakce jako ekvivalence třída zlomků polynomů, kde jsou dvě zlomky a jsou považovány za ekvivalentní, pokud . V tomto případě je ekvivalentní . ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle f (x).}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f_ {1} (x)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f_ {1} (x).}$${\ displaystyle {\ frac {A (x)} {B (x)}}}$${\ displaystyle {\ frac {C (x)} {D (x)}}}$${\ Displaystyle A (x) D (x) = B (x) C (x)}$${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}$${\ displaystyle {\ frac {P_ {1} (x)} {Q_ {1} (x)}}}$

Správné racionální funkce je racionální funkce, ve kterém stupeň z je menší než stupeň a oba jsou reálné polynomy , pojmenované analogicky i pro správné frakce v . ${\ displaystyle P (x)}$${\ displaystyle Q (x)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Stupeň

Existuje několik neekvivalentních definic stupně racionální funkce.

Nejčastěji je stupeň racionální funkce maximum stupňů jeho konstitučních polynomů P a Q , když je zlomek redukován na nejnižší termíny . V případě, že stupeň f je d , pak rovnice

${\ Displaystyle f (z) = w \,}$

má d odlišná řešení v z s výjimkou určitých hodnot w , nazývaných kritické hodnoty , kde se shodují dvě nebo více řešení nebo kde je nějaké řešení odmítnuto v nekonečnu (to znamená, když se stupeň rovnice po vyčištění jmenovatele zmenší ).

V případě komplexních koeficientů je racionální funkcí s jedničkou Möbiova transformace .

Stupeň grafu racionální funkce není stupeň, jak je definováno výše: to je maximální stupně čitatele a jedna plus stupeň jmenovatele.

V některých kontextech, například v asymptotické analýze , je stupeň racionální funkce rozdílem mezi stupni čitatele a jmenovatele.

V síťové syntéze a síťové analýze je racionální funkce stupně dva (tj. Poměr dvou polynomů stupně nejvýše dvou) často nazývána biquadratická funkce .

Příklady

Racionální funkce

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x^{3} -2x} {2 (x^{2} -5)}}}$

není definován na

${\ Displaystyle x^{2} = 5 \ Leftrightarrow x = \ pm {\ sqrt {5}}.}$

Je to asymptotické k as${\ displaystyle {\ tfrac {x} {2}}}$${\ Displaystyle x \ to \ infty.}$

Racionální funkce

${\ Displaystyle f (x) = {\ frac {x^{2} +2} {x^{2} +1}}}$

je definováno pro všechna reálná čísla , ale ne pro všechna komplexní čísla , protože kdyby x byla druhá odmocnina (tj. imaginární jednotka nebo její zápor), formální hodnocení by vedlo k dělení nulou: ${\ Displaystyle -1}$

${\ Displaystyle f (i) = {\ frac {i^{2} +2} {i^{2} +1}} = {\ frac {-1+2} {-1+1}} = {\ frac {1} {0}},}$

který není definován.

Konstantní funkce , jako je f ( x ) = π je racionální funkce, protože konstanty jsou polynomy. Tato funkce sama o sobě je racionální, i když hodnota ze f ( x ) je iracionální pro všechna x .

Každá polynomická funkce je racionální funkcí s funkcí A, kterou nelze zapsat v této formě, jako není racionální funkce. Adjektivum „iracionální“ se však pro funkce obecně nepoužívá. ${\ Displaystyle f (x) = P (x)}$${\ displaystyle Q (x) = 1.}$${\ Displaystyle f (x) = \ sin (x),}$

Racionální funkce se rovná 1 pro všechna x kromě 0, kde je odstranitelná singularita . Součet, součin nebo kvocient (kromě dělení nulovým polynomem) dvou racionálních funkcí je sám racionální funkcí. Proces redukce na standardní formu však může neúmyslně vést k odstranění takových singularit, pokud nebude věnována pozornost. Použití definice racionálních funkcí jako tříd ekvivalence to obejde, protože x / x je ekvivalentní 1/1. ${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {x} {x}}}$

Taylorova řada

Koeficienty Taylorovy řady jakékoli racionální funkce splňují lineární relační relaci , kterou lze nalézt tak, že racionální funkci přirovnáme k Taylorově řadě s neurčitými koeficienty a sbíráme podobné výrazy po vymazání jmenovatele.

Například,

${\ Displaystyle {\ frac {1} {x^{2} -x+2}} = \ sum _ {k = 0}^{\ infty} a_ {k} x^{k}.}$

Násobení ve jmenovateli a distribuce,

${\ Displaystyle 1 = (x^{2} -x+2) \ sum _ {k = 0}^{\ infty} a_ {k} x^{k}}$

${\ Displaystyle 1 = \ sum _ {k = 0}^{\ infty} a_ {k} x^{k+2}-\ sum _ {k = 0}^{\ infty} a_ {k} x^{ k+1} +2 \ součet _ {k = 0}^{\ infty} a_ {k} x^{k}.}$

Po úpravě indexů součtů, abychom získali stejné mocniny x , dostaneme

${\ Displaystyle 1 = \ sum _ {k = 2}^{\ infty} a_ {k-2} x^{k}-\ sum _ {k = 1}^{\ infty} a_ {k-1} x ^{k} +2 \ sum _ {k = 0}^{\ infty} a_ {k} x^{k}.}$

Kombinace podobných výrazů dává

${\ Displaystyle 1 = 2a_ {0}+(2a_ {1} -a_ {0}) x+\ sum _ {k = 2}^{\ infty} (a_ {k-2} -a_ {k-1}+ 2a_ {k}) x^{k}.}$

Protože to platí pro všechna x v poloměru konvergence původní Taylorovy řady, můžeme počítat následovně. Protože konstantní člen vlevo se musí rovnat konstantnímu členu vpravo, vyplývá z toho

${\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {1} {2}}.}$

Potom, protože vlevo nejsou žádné mocniny x , musí být všechny koeficienty vpravo nulové, z čehož vyplývá, že

${\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {1} {4}}}$

${\ Displaystyle a_ {k} = {\ frac {1} {2}} (a_ {k-1} -a_ {k-2}) \ quad {\ text {for}} \ k \ geq 2.}$

Naopak každá sekvence, která splňuje lineární opakování, určuje racionální funkci, pokud je použita jako koeficienty Taylorovy řady. To je užitečné při řešení takových recidiv, protože pomocí rozkladu parciálních zlomků můžeme napsat jakoukoli správnou racionální funkci jako součet faktorů formy 1 / ( ax + b ) a rozšířit je jako geometrické řady , což dává explicitní vzorec pro Taylor koeficienty; toto je metoda generování funkcí .

Abstraktní algebra a geometrický pojem

V abstraktní algebře je koncept polynomu rozšířen o formální výrazy, ve kterých lze koeficienty polynomu převzít z jakéhokoli pole . V tomto nastavení dané pole F a některé neurčité X , je racionální výraz je nějaký prvek pole frakcí na polynomu kroužku F [ X ]. Jakýkoli racionální výraz lze zapsat jako podíl dvou polynomů P / Q s Q ≠ 0, i když tato reprezentace není jedinečná. P / Q je ekvivalentní R / S , pro polynomy P , Q , R a S , když PS = QR . Protože je však F [ X ] jedinečnou faktorizační doménou , existuje jedinečná reprezentace pro jakýkoli racionální výraz P / Q s P a Q polynomy nejnižšího stupně a Q zvolenými jako monické . Je to podobné tomu, jak lze zlomek celých čísel vždy napsat jednoznačně v nejnižších termínech zrušením společných faktorů.

Pole racionálních výrazů je označeno F ( X ). Toto pole se říká, že přes generován (jako pole) F (a transcendentní prvek ) X , protože F ( X ) neobsahuje žádné příslušné sekundární pole obsahující jak F a prvek X .

Složité racionální funkce

• Julia nastavuje racionální mapy
• 

  ${\ displaystyle {\ frac {1} {az^{5}+z^{3}+bz}}}$

• 

  ${\ displaystyle {\ frac {1} {z^{3}+z (-3-3i)}}}}$

• 

  ${\ displaystyle {\ frac {z^{2} -0,2+0,7i} {z^{2} +0,917}}}$

• 

  ${\ displaystyle {\ frac {z^{2}} {z^{9} -z+0,025}}}$

V komplexní analýze racionální funkce

${\ Displaystyle f (z) = {\ frac {P (z)} {Q (z)}}}$

je poměr dvou polynomů s komplexními koeficienty, kde Q není nulový polynom a P a Q nemají žádný společný faktor (tím se zabrání f neurčité hodnotě 0/0).

Doména f je množina komplexních čísel taková, že a její rozsah je množina komplexních čísel w taková, že${\ Displaystyle Q (z) \ neq 0,}$${\ Displaystyle P (z) \ neq wQ (z).}$

Každá racionální funkce může být přirozeně rozšířena na funkci, jejíž doménou a rozsahem je celá Riemannova sféra ( komplexní projektivní linie ).

Racionální funkce jsou reprezentativními příklady meromorfních funkcí .

Iterace racionálních funkcí (mapy) na Riemannově sféře vytváří diskrétní dynamické systémy .

Pojem racionální funkce na algebraické odrůdě

Stejně jako polynomy lze i racionální výrazy zobecnit na n neurčitých X ₁ , ..., X _n , přičemž vezmeme pole zlomků F [ X ₁ , ..., X _n ], které je označeno F ( X ₁ , ..., X _n ).

V algebraické geometrii se používá rozšířená verze abstraktní myšlenky racionální funkce. Tam funkce pole algebraické odrůdy V je vytvořena jako oblasti frakcí souřadnic kruhu o V (přesněji řečeno, z Zariski-husté afinní otevřený soubor v V ). Jeho prvky f jsou považovány za pravidelné funkce ve smyslu algebraické geometrie na neprázdných otevřených množinách U a také je lze považovat za morfismy projektivní linie .

Aplikace

Racionální funkce se používají v numerické analýze k interpolaci a aproximaci funkcí, například Padéovy aproximace zavedené Henri Padém . Aproximace z hlediska racionálních funkcí se dobře hodí pro systémy počítačové algebry a další numerický software . Stejně jako polynomy je lze vyhodnocovat přímočaře a zároveň vyjadřují rozmanitější chování než polynomy.

Racionální funkce se používají k aproximaci nebo modelování složitějších rovnic ve vědě a technice, včetně polí a sil ve fyzice, spektroskopie v analytické chemii, kinetiky enzymů v biochemii, elektronických obvodů, aerodynamiky, koncentrací léků in vivo, vlnových funkcí pro atomy a molekuly, optiky a fotografování ke zlepšení rozlišení obrazu a akustiky a zvuku.

Při zpracování signálu jsou Laplaceova transformace (pro spojité systémy) nebo z-transformace (pro systémy s diskrétním časem) impulsní odezvy běžně používaných lineárních časově invariantních systémů (filtrů) s nekonečnou impulsní odezvou racionální funkce nad komplexními čísly .

Viz také

• Pole zlomků
• Rozklad částečné frakce
• Parciální zlomky v integraci
• Funkční pole algebraické odrůdy
• Algebraické zlomky  - zobecnění racionálních funkcí, které umožňuje převzetí celých kořenů

Reference

• „Racionální funkce“ , encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]
• Stiskněte, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), „Oddíl 3.4. Rational Function Interpolation and Extrapolation“ , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3. vyd.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

externí odkazy

• Dynamická vizualizace racionálních funkcí pomocí JSXGraph