Racionální číslo - Rational number

Racionální čísla ( ) jsou zahrnuta v reálných číslech ( ), zatímco sama obsahují celá čísla ( ), která zase zahrnují přirozená čísla ( )

V matematiky , je racionální číslo je číslo , které může být vyjádřeno jako kvocient nebo frakce p/qdvou celých čísel , čitatele p a nenulového jmenovatele q . Například,−3/7je racionální číslo, stejně jako každé celé číslo (např. 5 =5/1). Množina všech racionálních čísel, označovaný také jako „ rationals “, v oblasti rationals nebo oblasti racionálních čísel je obvykle označován pomocí tučným Q (nebo tabule tučný , Unicode U + 1D410 𝐐 MATEMATICKÉM BOLD CAPITAL Q nebo U + 211A AP KAPITÁL DVOJNÁSOBKŮ Q ); označil ji tedy v roce 1895 Giuseppe Peano po quoziente , italsky „ kvocient “, a poprvé se objevil v Bourbakiho Algèbre .

Desítková expanze racionální číslo buď končí až na konečný počet číslic (příklad:3/4= 0,75 ), nebo nakonec začne opakovat stejnou konečnou posloupnost číslic znovu a znovu (příklad:9/44= 0,20454545 ... ). Naopak každé opakující se nebo ukončující desetinné číslo představuje racionální číslo. Tato tvrzení platí v základu 10 a v každé další celočíselné bázi (například binární nebo hexadecimální ).

Reálné číslo , které není racionální, se nazývá iracionální . Iracionální čísla zahrnují 2 , π , e a φ . Expanze desítkové z iracionální číslo pokračuje bez opakování. Protože množina racionálních čísel je spočitatelná a množina reálných čísel je nepočitatelná , jsou téměř všechna reálná čísla iracionální.

Racionální čísla lze formálně definovat jako třídy ekvivalence dvojic celých čísel ( p , q ) s q ≠ 0 , a to pomocí vztahu ekvivalence definovaného následovně:

Zlomek p/qpak označuje třídu ekvivalence ( p , q ) .

Racionální čísla spolu s sčítáním a násobením tvoří pole, které obsahuje celá čísla a je obsaženo v jakémkoli poli obsahujícím celá čísla. Jinými slovy, pole racionálních čísel je prvočíselné pole a pole má charakteristickou nulu právě tehdy, pokud obsahuje racionální čísla jako podpole. Konečné rozšíření o Q se nazývají algebraických čísel a algebraické uzavření of Q je pole algebraických čísel .

V matematické analýze tvoří racionální čísla hustou podmnožinu skutečných čísel. Skutečná čísla lze sestrojit z racionálních čísel dokončením pomocí Cauchyho posloupnosti , Dedekindových řezů nebo nekonečných desetinných míst (více viz Konstrukce reálných čísel ).

Terminologie

Termín racionální ve vztahu k množině Q odkazuje na skutečnost, že racionální číslo představuje poměr dvou celých čísel. V matematice je „racionální“ často používáno jako podstatné jméno zkracovající „racionální číslo“. Adjektivum racionální někdy znamená, že koeficienty jsou racionální čísla. Například racionální bod je bod s racionálními souřadnic (tj bodem, jehož souřadnice jsou racionální čísla); racionální matice je matice racionálních čísel; racionální polynom může být polynom s racionálními koeficienty, i když je obecně výhodné, termín „polynom nad rationals“, aby nedošlo k záměně „ racionální výraz “ a „ racionální funkce “ (A polynom je racionální exprese a definuje racionální funkce, i když jeho koeficienty nejsou racionální čísla). Nicméně, racionální křivka není křivka definována přes rationals, ale křivka, která může být parametrizovány racionální funkce.

Etymologie

I když v současné době racionální čísla jsou definovány v podmínkách poměru , termín racionální není odvození z poměru . Naopak je to poměr, který je odvozen od racionálního : první použití poměru s jeho moderním významem bylo doloženo v angličtině kolem roku 1660, zatímco použití racionálního pro kvalifikační čísla se objevilo téměř o století dříve, v roce 1570. Tento význam racionálního pocházel z matematického významu iracionálního , který byl poprvé použit v roce 1551, a byl použit v „překladech Euclida (po jeho zvláštním použití ἄλογος )“.

Tato neobvyklá historie má původ ve skutečnosti, že starověcí Řekové „se vyhnuli kacířství tím, že si zakázali myslet na ty [iracionální] délky jako na čísla“. Takže takové délky byly iracionální , ve smyslu nelogické , to znamená „ nemluvit o tom“ ( řecky ἄλογος ).

Tato etymologie je podobná té u imaginárních čísel a skutečných čísel .

Aritmetický

Neredukovatelná frakce

Každé racionální číslo může být vyjádřeno jedinečným způsobem jako neredukovatelný zlomek A/b, kde a a b jsou ceprime celá čísla a b > 0 . Toto je často nazýváno kanonickou formou racionálního čísla.

Počínaje racionálním číslem A/b, jeho kanonickou podobu lze získat dělením a a b jejich největším společným dělitelem , a pokud b <0 , změnou znaménka výsledného čitatele a jmenovatele.

Vkládání celých čísel

Jakékoli celé číslo n lze vyjádřit jako racionální číslon/1, což je jeho kanonická forma jako racionální číslo.

Rovnost

kdyby a jen kdyby

Pokud jsou obě frakce v kanonické formě, pak:

jestli a jen když a

Objednání

Pokud jsou oba jmenovatelé kladní (zvláště pokud jsou obě zlomky v kanonické formě):

kdyby a jen kdyby

Na druhou stranu, pokud je kterýkoli ze jmenovatelů záporný, pak musí být každý zlomek se záporným jmenovatelem nejprve převeden do ekvivalentní podoby s kladným jmenovatelem - změnou znaků jeho čitatele i jmenovatele.

Přidání

Dvě frakce se přidávají následovně:

Pokud jsou obě zlomky v kanonické formě, výsledek je v kanonické formě právě tehdy, když b a d jsou ceprime celá čísla .

Odčítání

Pokud jsou obě zlomky v kanonické formě, výsledek je v kanonické formě právě tehdy, když b a d jsou ceprime celá čísla .

Násobení

Pravidlo pro násobení je:

kde výsledkem může být redukovatelná frakce - i když jsou obě původní frakce v kanonické formě.

Inverzní

Každé racionální číslo A/baditivní inverzi , často nazývanou její opak ,

Li A/b je v kanonické formě, totéž platí pro jeho opak.

Nenulové racionální číslo A/bmultiplikativní inverzi , nazývanou také reciproční ,

Li A/b je v kanonické formě, pak kanonická forma jeho reciproční je buď b/A nebo - b/- a, v závislosti na znaménku a .

Divize

Pokud b , c a d jsou nenulové, pravidlo rozdělení je

Tedy dělení A/b podle C/d je ekvivalentní násobení A/bpodle převrácenou zC/d:

Zesílení na celočíselnou mocninu

Pokud n je nezáporné celé číslo, pak

Pokud totéž platí pro, je výsledek v kanonické podobě A/b. Zejména,

Pokud ≠ 0 , pak

Li A/b je v kanonické formě, kanonická forma výsledku je b n/a npokud a > 0 nebo n je sudé. Jinak je kanonická forma výsledku- b n/- a n.

Pokračující zastoupení zlomků

Konečný řetězový zlomek je výraz, jako je

kde a n jsou celá čísla. Každé racionální čísloA/bmůže být reprezentován jako konečný pokračující zlomek, jehož koeficienty a n lze určit použitím euklidovského algoritmu na ( a , b ) .

Jiná zobrazení

jsou různé způsoby, jak reprezentovat stejnou racionální hodnotu.

Formální konstrukce

Diagram znázorňující reprezentaci ekvivalentních tříd dvojic celých čísel

Racionální čísla mohou být postaveny jako ekvivalence tříd ze spořádaných párů na celá čísla .

Přesněji, nechť ( Z × ( Z \ {0})) je množina párů ( m , n ) celých čísel, jako je n ≠ 0 . Vztah ekvivalence je definován na této sady podle

Sčítání a násobení lze definovat podle následujících pravidel:

Tento vztah ekvivalence je shodný vztah , což znamená, že je kompatibilní s výše uvedeným sčítáním a násobením; množina racionálních čísel Q je definována jako kvocient nastavený tímto vztahem ekvivalence, ( Z × ( Z \ {0})) / ~ , vybavený sčítáním a násobením indukovanými výše uvedenými operacemi. (Tuto konstrukci lze provést s jakoukoli integrální doménou a vytváří její pole zlomků .)

Ekvivalence třída dvojice ( m , n ), je označovánm/n. Dva páry ( m 1 , n 1 ) a ( m 2 , n 2 ) patří do stejné třídy ekvivalence (to je ekvivalent) právě tehdy, když m 1 n 2 = m 2 n 1 . Tohle znamená tamtom 1/n 1 = m 2/n 2právě a jen m 1 n 2 = m 2 n 1 .

Každá třída ekvivalence m/n může být reprezentováno nekonečně mnoha páry, protože

Každá třída ekvivalence obsahuje jedinečný kanonický reprezentativní prvek . Kanonický zástupce je jedinečný pár ( m , n ) ve třídě ekvivalence tak, že m a n jsou coprime , a n > 0 . Říká se tomu reprezentace racionálního čísla v nejnižších termínech .

Celá čísla mohou být považována za racionální čísla identifikující celé číslo n s racionálním číslemn/1.

Na racionálních číslech lze definovat celkové pořadí , které rozšiřuje přirozené pořadí celých čísel. Jeden má

-li

Vlastnosti

Ilustrace spočítatelnosti pozitivních racionálů

Množina Q všech racionálních čísel spolu s výše uvedenými sčítacími a násobícími operacemi tvoří pole .

Q nemákromě identityžádný automorfismus v terénu .

S objednávkou definované výše, Q je nařízeno pole , které nemá žádný jiný než sám podpole, a je nejmenší objednané pole, v tom smyslu, že každý objednal pole obsahuje jedinečný podpole izomorfní k Q .

Q je primární pole , což je pole, které kromě sebe nemá žádné jiné podpolí. Racionály jsou nejmenší pole s charakteristickou nulou. Každé pole charakteristických nuly obsahuje unikátní sekundární pole izomorfní s Q .

Q je pole frakcí na celá čísla Z . Algebraická uzávěr z Q , tj pole kořenů racionálních polynomů, je pole algebraických čísel .

Množina všech racionálních čísel je spočitatelná (viz obrázek), zatímco množina všech reálných čísel (stejně jako množina iracionálních čísel) je nepočitatelná. Počítatelné je, že množina racionálních čísel je nulová , to znamená, že téměř všechna reálná čísla jsou iracionální, ve smyslu Lebesgueovy míry .

Racionály jsou hustě uspořádanou sadou: mezi jakýmikoli dvěma racionály sedí další, a tedy nekonečně mnoho dalších. Například pro jakékoli dvě zlomky takové, že

(kde jsou pozitivní), máme

Jakákoli zcela uspořádaná množina, která je spočítatelná, hustá (ve výše uvedeném smyslu) a která nemá nejmenší nebo největší prvek, je řád izomorfní k racionálním číslům.

Reálná čísla a topologické vlastnosti

Racionály jsou hustou podmnožinou reálných čísel: každé reálné číslo má racionální čísla libovolně blízko. Související vlastností je, že racionální čísla jsou jediná čísla s konečnými expanzemi jako pravidelné pokračující zlomky .

Racionálové na základě svého řádu nesou topologii řádu . Racionální čísla, jako podprostor skutečných čísel, také nesou topologii podprostoru . Racionální čísla tvoří metrický prostor pomocí metriky absolutního rozdílu d ( x , y ) = | x - y | , A to vydává třetí topologii na Q . Všechny tři topologie se shodují a přeměňují racionály na topologické pole . Racionální čísla jsou důležitým příkladem prostoru, který není lokálně kompaktní . Racionály jsou topologicky charakterizovány jako jedinečný spočetný metrizovatelný prostor bez izolovaných bodů . Prostor je také zcela odpojen . Racionální čísla netvoří úplný metrický prostor ; jsou reálná čísla jsou dokončení Q pod metrického d ( x , y ) = | x - y | výše.

p -adická čísla

Kromě výše uvedené metriky absolutní hodnoty existují ještě další metriky, které z Q dělají topologické pole:

Nechť p je prvočíslo a pro jakékoli nenulové celé číslo a nechť | a | p = p - n , kde p n je nejvyšší síla p dělení .

Navíc sada | 0 | p = 0 . Pro jakékoli racionální čísloA/b, nastavujeme |A/b| p =| a | p/| b | p.

Potom d p ( x , y ) = | x - y | p definuje metrika na Q .

Metrický prostor ( Q , d p ) není úplný a jeho dokončení je pole p -adického čísla Q p . Ostrowského věta uvádí, že jakákoli netriviální absolutní hodnota na racionálních číslech Q je ekvivalentní buď obvyklé skutečné absolutní hodnotě, nebo p -adické absolutní hodnotě.

Viz také

Reference

externí odkazy