Skutečná linie - Real line
V matematice se reálná osa , nebo reálné číslo řádku je linka , jejíž body jsou reálná čísla . To znamená, že reálná osa je množina R všech reálných čísel, pohlížet jako na geometrickém prostoru , a sice euklidovském prostoru o rozměru jednoho. Lze jej považovat za vektorový prostor (nebo afinní prostor ), metrický prostor , topologický prostor , měrný prostor nebo lineární kontinuum .
Stejně jako množina reálných čísel je reálná čára obvykle označena symbolem R (nebo alternativně písmenem „ R “ tučně na tabuli ). Někdy se však označuje jako R 1, aby se zdůraznila jeho role prvního euklidovského prostoru.
Tento článek se zaměřuje na aspekty R jako geometrického prostoru v topologii , geometrii a reálné analýze . Reálná čísla také hrají důležitou roli v algebře jako poli , ale v této souvislosti se R zřídka označuje jako přímka. Další informace o R ve všech jeho podobách najdete v reálném čísle .
Jako lineární kontinuum
Skutečná čára je lineární kontinuum pod standardním < uspořádáním. Skutečná čára je konkrétně lineárně uspořádána podle < a toto uspořádání je husté a má vlastnost nejméně horní hranice .
Kromě výše uvedených vlastností nemá skutečná čára žádný maximální nebo minimální prvek . Má také spočetnou hustou podmnožinu , jmenovitě množinu racionálních čísel . Je to věta, že jakékoli lineární kontinuum s počitatelnou hustou podmnožinou a žádným maximálním nebo minimálním prvkem je řádově izomorfní vůči skutečné linii.
Skutečná čára také splňuje podmínku spočítatelného řetězce : každá kolekce vzájemně disjunktních , neprázdných otevřených intervalů v R je počítatelná. V teorii objednávky , známý Suslin problém je, zda každá lineární kontinuum splňující podmínku spočetnou řetězce, která nemá žádný maximální nebo minimální prvek je nutně objednávky izomorfní s R . Ukázalo se, že toto tvrzení je nezávislé na standardním axiomatickém systému teorie množin známém jako ZFC .
Jako metrický prostor
Skutečná čára tvoří metrický prostor , přičemž funkce vzdálenosti je dána absolutním rozdílem:
Metrický tensor je jasně 1-rozměrný Euclidean metrický . Protože n -dimenzionální euklidovskou metriku lze reprezentovat v maticové formě jako matici identity n -by- n , je metrika na reálné linii jednoduše maticí identity 1: 1, tj. 1.
Pokud p ∈ R a ε > 0 , pak ε - míč v R se středem v p je jednoduše otevřený interval ( p - ε , p + ε ) .
Tato skutečná čára má několik důležitých vlastností jako metrický prostor:
- Skutečná čára je úplný metrický prostor v tom smyslu, že konverguje libovolná Cauchyova posloupnost bodů.
- Skutečná čára je spojena s cestou a je jedním z nejjednodušších příkladů geodetického metrického prostoru .
- Hausdorff skutečného vedení je rovna jedné.
Jako topologický prostor
Skutečná linie nese standardní topologii , kterou lze zavést dvěma různými ekvivalentními způsoby. Za prvé, protože reálná čísla jsou zcela uspořádána , nesou topologii objednávky . Za druhé, reálná čísla zdědí metrickou topologii z metriky definované výše. Topologie řádu a metrická topologie na R jsou stejné. Jako topologický prostor je skutečná čára homeomorfní s otevřeným intervalem (0, 1) .
Reálná osa je trivially topologické potrubí o rozměru 1 . Až do homeomorfismu je to jeden z pouhých dvou různých spojených 1-potrubí bez hranice , druhým je kruh . Má také standardní diferencovatelnou strukturu, což z něj dělá diferencovatelnou varietu . (Až do difeomorfismu existuje pouze jedna diferencovatelná struktura, kterou topologický prostor podporuje.)
Skutečná čára je místně kompaktní prostor a paracompaktní prostor , stejně jako druhý spočetný a normální . To je také cesta-připojený , a proto je připojen stejně, i když to může být odpojen odstraněním jakékoliv jeden bod. Skutečná linie je také kontrakční a jako takové jsou všechny její homotopické skupiny a redukované homologické skupiny nulové.
Jako lokálně kompaktní prostor lze skutečnou linii zhutnit několika různými způsoby. Jednobodová kompaktifikace z R je kruh (a to je skutečná projektivní čára ), a další bod může být považována za bez znaménka nekonečna. Skutečná čára má alternativně dva konce a výsledným zhutněním konce je prodloužená reálná čára [−∞, + ∞] . Existuje také Stone-Čechovo zhutnění skutečné linie, které zahrnuje přidání nekonečného počtu dalších bodů.
V některých kontextech je užitečné umístit další topologie na množinu reálných čísel, například topologii dolní meze nebo Zariskiho topologii . Pro reálná čísla je toto druhé stejné jako topologie konečných doplňků .
Jako vektorový prostor
Skutečná čára je vektorový prostor nad polem R reálných čísel (tj. Nad sebou) dimenze 1 . Má obvyklé násobení jako vnitřní produkt , což z něj dělá euklidovský vektorový prostor . Normou definované tímto vnitřním produktu je prostě absolutní hodnota .
Jako měřítko prostoru
Skutečná linie nese kanonickou míru , konkrétně Lebesgueovu míru . Toto opatření může být definována jako dokončení jednoho opatření Borel definované na R , kde míra každém intervalu, je délka intervalu.
Lebesgueova míra na reálné linii je jedním z nejjednodušších příkladů Haarovy míry na místně kompaktní skupině .
Ve skutečných algebrách
Skutečný linka je jednorozměrný podprostor z a skutečný algebry kde R ⊂ . Například v komplexní rovině z = x + i y je podprostor { z : y = 0} skutečná čára. Podobně algebra čtveřic
- q = w + x i + y j + z k
má skutečnou čáru v podprostoru { q : x = y = z = 0}.
Je-li skutečná algebry je přímý součet pak konjugace na A se zavede mapování z podprostoru V . Tímto způsobem se skutečná čára skládá z pevných bodů konjugace.
Viz také
- Cantor – Dedekindův axiom
- Hyperrealistická číselná řada
- Imaginární čára (matematika)
- Čára (geometrie)
- Projektivně prodloužená reálná linie
- Skutečná projektivní linie
Reference
- Munkres, James (1999). Topologie (2. vyd.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2 .
- Rudin, Walter (1966). Skutečná a komplexní analýza . McGraw-Hill. ISBN 0-07-100276-6 .