Relace opakování - Recurrence relation

V matematiky , je vztah opakování je rovnice , která rekurzivně definuje sekvenci nebo multidimenzionální pole hodnot, když jsou uvedeny jeden nebo více původní podmínky stejné funkce; každý další člen posloupnosti nebo pole je definován jako funkce předcházejících členů stejné funkce.

Termín rozdílová rovnice někdy (a pro účely tohoto článku) odkazuje na konkrétní typ relace opakování. „Rozdílová rovnice“ se však často používá k označení jakékoli relace opakování.

Definice

Vztah opakování je rovnice, která vyjadřuje každý prvek sekvence, jako funkce těch předcházejících. Přesněji řečeno, v případě, že je zahrnut pouze bezprostředně předcházející prvek, má relace opakování podobu

${\ displaystyle u_ {n} = \ varphi (n, u_ {n-1}) \ quad {\ text {pro}} \ quad n> 0,}$

kde

${\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {N} \ krát X \ až X}$

je funkce, kde X je množina, ke které musí patřit prvky sekvence. Pro libovolné toto definuje jedinečnou sekvenci jako svůj první prvek, který se nazývá počáteční hodnota . ${\ displaystyle u_ {0} \ v X}$${\ displaystyle u_ {0}}$

Je snadné upravit definici pro získání sekvencí počínaje termínem indexu 1 nebo vyšším.

To definuje relaci opakování prvního řádu . Recyklační vztah řádu k má formu

${\ displaystyle u_ {n} = \ varphi (n, u_ {n-1}, u_ {n-2}, \ ldots, u_ {nk}) \ quad {\ text {pro}} \ quad n \ geq k ,}$

kde je funkce, která zahrnuje k po sobě jdoucích prvků sekvence. V tomto případě je pro definici sekvence potřeba k počáteční hodnoty. ${\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {N} \ krát X ^ {k} \ až X}$

Příklady

Faktoriální

Faktoriál je definován vztahem opakování

${\ displaystyle n! = n (n-1)! \ quad {\ text {pro}} \ quad n> 0,}$

a počáteční stav

${\ displaystyle 0! = 1.}$

Logistická mapa

Příkladem relace opakování je logistická mapa :

${\ displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} (1-x_ {n}),}$

s danou konstantou r ; vzhledem k počátečnímu členu x _{0 je} každý následující člen určen tímto vztahem.

Řešení relace rekurence znamená získání řešení uzavřené formy : nerekurzivní funkce n .

Fibonacciho čísla

Opakování řádu dva uspokojeného Fibonacciho čísly je kanonickým příkladem homogenního lineárního vztahu opakování s konstantními koeficienty (viz níže). Fibonacciho sekvence je definována pomocí opakování

${\ displaystyle F_ {n} = F_ {n-1} + F_ {n-2}}$

s počátečními podmínkami

${\ displaystyle F_ {0} = 0}$

${\ displaystyle F_ {1} = 1.}$

Explicitně, opakování poskytuje rovnice

${\ displaystyle F_ {2} = F_ {1} + F_ {0}}$

${\ displaystyle F_ {3} = F_ {2} + F_ {1}}$

${\ displaystyle F_ {4} = F_ {3} + F_ {2}}$

atd.

Získáme posloupnost Fibonacciho čísel, která začíná

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Opakování lze vyřešit níže popsanými metodami , které poskytnou Binetův vzorec , který zahrnuje mocniny dvou kořenů charakteristického polynomu t ²  =  t  + 1; funkce generování sekvence je racionální funkce

${\ displaystyle {\ frac {t} {1-tt ^ {2}}}.}$

Binomické koeficienty

Jednoduchý příklad vícerozměrné relace opakování je dán binomickými koeficienty , které počítají počet způsobů výběru k prvků ze sady n prvků. Mohou být vypočítány relací opakování ${\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}$

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ binom {n-1} {k-1}} + {\ binom {n-1} {k}},}$

se základními případy . Použití tohoto vzorce k výpočtu hodnot všech binomických koeficientů vygeneruje nekonečné pole zvané Pascalův trojúhelník . Stejné hodnoty lze také vypočítat přímo pomocí jiného vzorce, který není opakováním, ale který vyžaduje násobení a ne jen přidání k výpočtu: ${\ displaystyle {\ tbinom {n} {0}} = {\ tbinom {n} {n}} = 1}$${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {n!} {k! (nk)!}}.}$

Vztah k diferenčním rovnicím úzce definován

Vzhledem k tomu, uspořádaná sekvence z reálných čísel : První rozdíl je definován jako ${\ displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ Delta (a_ {n})}$

${\ displaystyle \ Delta (a_ {n}) = a_ {n + 1} -a_ {n}.}$

Druhý rozdíl je definován jako ${\ displaystyle \ Delta ^ {2} (a_ {n})}$

${\ displaystyle \ Delta ^ {2} (a_ {n}) = \ Delta (a_ {n + 1}) - \ Delta (a_ {n}),}$

které lze zjednodušit na

${\ displaystyle \ Delta ^ {2} (a_ {n}) = a_ {n + 2} -2a_ {n + 1} + a_ {n}.}$

Obecněji: k -tý rozdíl sekvence a _n zapsaný jako je definován rekurzivně jako ${\ displaystyle \ Delta ^ {k} (a_ {n})}$

${\ displaystyle \ Delta ^ {k} (a_ {n}) = \ Delta ^ {k-1} (a_ {n + 1}) - \ Delta ^ {k-1} (a_ {n}) = \ součet _ {t = 0} ^ {k} {\ binom {k} {t}} (- 1) ^ {t} a_ {n + kt}.}$

(Sekvence a jeho rozdíly jsou spřízněné binomické transformace .) Restriktivnější definice diferenční rovnice je rovnice složený z a _n a jeho k ^-tého rozdíly. (Široce používaná širší definice zachází s „rozdílovou rovnicí“ jako se synonymem „relace opakování“. Viz například racionální rozdílová rovnice a maticová rozdílová rovnice .)

Ve skutečnosti je snadno vidět, že

${\ displaystyle a_ {n + k} = {k \ vybrat 0} a_ {n} + {k \ vybrat 1} \ Delta (a_ {n}) + \ cdots + {k \ zvolit k} \ Delta ^ {k } (a_ {n}).}$

Tak, diferenční rovnice může být definována jako rovnice, která zahrnuje na _n , s _{n -1} , z _{n -2} atd. (Nebo ekvivalentně k _n , s _{n + 1} , je _{n +2} atd)

Protože diferenční rovnice jsou velmi častou formou opakování, někteří autoři používají tyto dva pojmy zaměnitelně. Například rozdílová rovnice

${\ displaystyle 3 \ Delta ^ {2} (a_ {n}) + 2 \ Delta (a_ {n}) + 7a_ {n} = 0}$

je ekvivalentní relaci opakování

${\ displaystyle 3a_ {n + 2} = 4a_ {n + 1} -8a_ {n}.}$

Lze tedy vyřešit mnoho relací rekurence jejich přeformulováním jako diferenčních rovnic a následným řešením rozdílové rovnice analogicky k tomu, jak řeší obyčejné diferenciální rovnice . Nicméně čísla Ackermann jsou příkladem vztah opakování, které nemají mapovat na diferenční rovnice, mnohem méně bodů na řešení diferenciální rovnice.

Viz výpočet časového měřítka pro sjednocení teorie diferenciálních rovnic s teorií diferenciálních rovnic .

Součtové rovnice se vztahují k diferenciálním rovnicím, protože integrální rovnice se vztahují k diferenciálním rovnicím.

Od sekvencí po mřížky

Jedno proměnné nebo jednorozměrné relace opakování jsou o sekvencích (tj. Funkcích definovaných na jednorozměrných mřížkách). Multi-proměnné nebo n-dimenzionální relace opakování jsou o n-dimenzionálních mřížkách. Funkce definované na n-sítích lze také studovat pomocí parciálních diferenciálních rovnic .

Řešení

Řešení homogenních lineárních relací rekurence s konstantními koeficienty

Kořeny charakteristického polynomu

Order- d homogenní lineární opakování s konstantními koeficienty je rovnice ve tvaru

${\ displaystyle a_ {n} = c_ {1} a_ {n-1} + c_ {2} a_ {n-2} + \ cdots + c_ {d} a_ {nd},}$

kde d koeficienty c _i (pro všechna i ) jsou konstanty a . ${\ displaystyle c_ {d} \ neq 0}$

Sekvence konstantní rekurzivní je sekvence, který by splňoval opakování této formy. Existují d stupně volnosti pro řešení tohoto opakování, tj. Počáteční hodnoty lze považovat za jakékoli hodnoty, ale pak opakování určuje jednoznačně sekvenci. ${\ displaystyle a_ {0}, \ dots, a_ {d-1}}$

Stejné koeficienty poskytují charakteristický polynom (také „pomocný polynom“ nebo „doprovodný polynom“)

${\ displaystyle p (t) = t ^ {d} -c_ {1} t ^ {d-1} -c_ {2} t ^ {d-2} - \ cdots -c_ {d}}$

jehož d kořeny hrají klíčovou roli při hledání a pochopení sekvencí, který by splňoval opakování. Pokud jsou kořeny r ₁ , r ₂ , ... všechny odlišné, pak každé řešení opakování má formu

${\ displaystyle a_ {n} = k_ {1} r_ {1} ^ {n} + k_ {2} r_ {2} ^ {n} + \ cdots + k_ {d} r_ {d} ^ {n}, }$

kde jsou určeny koeficienty k _i , aby odpovídaly počátečním podmínkám opakování. Když se stejné kořeny vyskytnou vícekrát, výrazy v tomto vzorci odpovídající druhému a pozdějšímu výskytu stejného kořene se vynásobí zvýšením mocnin n . Například pokud lze charakteristický polynom faktorovat jako ( x - r ) ³ , se stejným kořenem r vyskytujícím se třikrát, pak by řešení mělo podobu

${\ displaystyle a_ {n} = k_ {1} r ^ {n} + k_ {2} nr ^ {n} + k_ {3} n ^ {2} r ^ {n}.}$

Stejně jako Fibonacciho čísla zahrnují další konstantní rekurzivní sekvence Lucasova čísla a Lucasovy sekvence , Jacobsthalova čísla , Pellova čísla a obecněji řešení Pellovy rovnice .

U objednávky 1 opakování

${\ displaystyle a_ {n} = ra_ {n-1}}$

má řešení A _n  =  r ⁿ s ₀  = 1 a nejvíce obecné řešení je _n  =  mk ⁿ s s ₀  =  k . Charakteristický polynom rovný nule ( charakteristická rovnice ) je jednoduše t  -  r  = 0.

Řešení takových relací rekurence vyššího řádu lze nalézt systematickými prostředky, často využívajícími skutečnost, že a _n  =  r ⁿ je řešením pro rekurenci přesně tehdy, když t  =  r je kořenem charakteristického polynomu. K tomu lze přistupovat přímo nebo pomocí generujících funkcí ( formální výkonové řady ) nebo matic.

Zvažte například relaci opakování formuláře

${\ displaystyle a_ {n} = Aa_ {n-1} + Ba_ {n-2}.}$

Kdy má řešení stejné obecné formy jako a _n = r ⁿ ? Nahrazením tohoto odhadu ( ansatz ) v relaci opakování to zjistíme

${\ displaystyle r ^ {n} = Ar ^ {n-1} + Br ^ {n-2}}$

musí platit pro všechna  n  > 1.

Dělíme-li r ^{n −2} , dostaneme, že všechny tyto rovnice se redukují na stejnou věc:

${\ displaystyle r ^ {2} = Ar + B,}$

${\ displaystyle r ^ {2} -Ar-B = 0,}$

což je charakteristická rovnice relace rekurence. Vyřešte r pro získání dvou kořenů λ ₁ , λ ₂ : tyto kořeny jsou známé jako charakteristické kořeny nebo vlastní hodnoty charakteristické rovnice. Podle povahy kořenů se získávají různá řešení: Pokud jsou tyto kořeny odlišné, máme obecné řešení

${\ displaystyle a_ {n} = C \ lambda _ {1} ^ {n} + D \ lambda _ {2} ^ {n}}$

zatímco pokud jsou identické (když A ² + 4 B = 0 ), máme

${\ displaystyle a_ {n} = C \ lambda ^ {n} + Dn \ lambda ^ {n}}$

Toto je nejobecnější řešení; obě konstanty C a D mohou být zvoleny na základě dvou uvedených počátečních podmínek ₀ a s _1, za vzniku specifické řešení.

V případě komplexních vlastních čísel (což také vede ke komplexním hodnotám parametrů řešení C a D ) lze použití komplexních čísel vyloučit přepsáním řešení v trigonometrické formě. V tomto případě můžeme napsat vlastní čísla jako Potom lze ukázat, že ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2} = \ alpha \ pm \ beta i.}$

${\ displaystyle a_ {n} = C \ lambda _ {1} ^ {n} + D \ lambda _ {2} ^ {n}}$

lze přepsat jako

${\ displaystyle a_ {n} = 2M ^ {n} \ left (E \ cos (\ theta n) + F \ sin (\ theta n) \ right) = 2GM ^ {n} \ cos (\ theta n- \ delta),}$

kde

${\ displaystyle {\ begin {pole} {lcl} M = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2}}} & \ cos (\ theta) = {\ tfrac {\ alpha} {M }} & \ sin (\ theta) = {\ tfrac {\ beta} {M}} \\ C, D = E \ mp Fi && \\ G = {\ sqrt {E ^ {2} + F ^ {2} }} & \ cos (\ delta) = {\ tfrac {E} {G}} & \ sin (\ delta) = {\ tfrac {F} {G}} \ end {pole}}}$

Zde E a F (nebo ekvivalentně G a δ) jsou skutečné konstanty, které závisí na počátečních podmínkách. Použitím

${\ displaystyle \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} = 2 \ alpha = A,}$

${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ cdot \ lambda _ {2} = \ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} = - B,}$

lze zjednodušit výše uvedené řešení jako

${\ displaystyle a_ {n} = (- B) ^ {\ frac {n} {2}} \ vlevo (E \ cos (\ theta n) + F \ sin (\ theta n) \ vpravo),}$

kde ₁ a ₂ jsou počáteční podmínky a

${\ displaystyle {\ begin {aligned} E & = {\ frac {-Aa_ {1} + a_ {2}} {B}} \\ F & = - i {\ frac {A ^ {2} a_ {1} - Aa_ {2} + 2a_ {1} B} {B {\ sqrt {A ^ {2} + 4B}}}} \\\ theta & = \ arccos \ left ({\ frac {A} {2 {\ sqrt {-B}}}} \ vpravo) \ end {zarovnáno}}}$

Tímto způsobem není třeba řešit pro λ ₁ a λ ₂ .

Ve všech případech - skutečná odlišná vlastní čísla, skutečná duplikovaná vlastní čísla a komplexní konjugovaná vlastní čísla - je rovnice stabilní (tj. Proměnná a konverguje na pevnou hodnotu [konkrétně nula]) právě tehdy, jsou-li obě vlastní čísla menší než jedna v absolutní hodnota . V tomto případě druhého řádu lze tuto podmínku na vlastních číslech zobrazit jako ekvivalent | A | <1 -  B  <2, což odpovídá | B | <1 a | A | <1 -  B .

Rovnice ve výše uvedeném příkladu byla homogenní , protože neexistoval žádný konstantní člen . Pokud se jedná o nehomogenní opakování

${\ displaystyle b_ {n} = Ab_ {n-1} + Bb_ {n-2} + K}$

s konstantním členem K to lze převést do homogenní formy následujícím způsobem: Ustálený stav se zjistí nastavením b _n =  b _{n −1} =  b _{n −2} =  b * pro získání

${\ displaystyle b ^ {*} = {\ frac {K} {1-AB}}.}$

Potom lze nehomogenní opakování přepsat v homogenní formě jako

${\ displaystyle [b_ {n} -b ^ {*}] = A [b_ {n-1} -b ^ {*}] + B [b_ {n-2} -b ^ {*}],}$

což lze vyřešit výše.

Podmínky stability uvedené výše v podmínkách vlastních hodnot pro případ druhého řádu zůstávají v platnosti pro obecný případ n- ^té řady: rovnice je stabilní právě tehdy, když jsou všechny vlastní hodnoty charakteristické rovnice menší než jedna v absolutní hodnotě.

Vzhledem k homogenní lineární relaci rekurence s konstantními koeficienty řádu d , nechť p ( t ) je charakteristický polynom (také „pomocný polynom“)

${\ displaystyle t ^ {d} -c_ {1} t ^ {d-1} -c_ {2} t ^ {d-2} - \ cdots -c_ {d} = 0}$

tak, že každé c _i odpovídá každému c _i v původní relaci opakování (viz obecný formulář výše). Předpokládejme, že λ je kořen p ( t ), který má multiplicitu r . To znamená, že ( t λ) ^r rozděluje p ( t ). Následující dvě vlastnosti platí:

1. Každá ze sekvencí r vyhovuje relaci opakování.${\ displaystyle \ lambda ^ {n}, n \ lambda ^ {n}, n ^ {2} \ lambda ^ {n}, \ tečky, n ^ {r-1} \ lambda ^ {n}}$
2. Jakoukoli sekvenci uspokojující relaci opakování lze jednoznačně zapsat jako lineární kombinaci řešení vytvořených v části 1, protože λ se mění ve všech odlišných kořenech  p ( t ).

Výsledkem této věty může být homogenní vztah lineární rekurence s konstantními koeficienty vyřešen následujícím způsobem:

1. Najděte charakteristický polynom p ( t ).
2. Najděte kořeny multiplicity počítání p ( t ).
3. Napište a _n jako lineární kombinaci všech kořenů (počítání multiplicity, jak je znázorněno ve větě výše) s neznámými koeficienty b _i .

   ${\ displaystyle a_ {n} = \ left (b_ {1} \ lambda _ {1} ^ {n} + b_ {2} n \ lambda _ {1} ^ {n} + b_ {3} n ^ {2 } \ lambda _ {1} ^ {n} + \ cdots + b_ {r} n ^ {r-1} \ lambda _ {1} ^ {n} \ right) + \ cdots + \ left (b_ {d- q + 1} \ lambda _ {*} ^ {n} + \ cdots + b_ {d} n ^ {q-1} \ lambda _ {*} ^ {n} \ right)}$

   Toto je obecné řešení původní relace opakování. ( q je multiplicita λ _* )

4. Porovnejte každý z části 3 (zapojením n = 0, ..., d do obecného řešení relace opakování) známými hodnotami z původní relace opakování. Hodnoty a _n z použitého původního relace opakování však obvykle nemusí být souvislé: kromě výjimečných případů je zapotřebí pouze d z nich (tj. Pro původní homogenní lineární relaci opakování řádu 3 lze použít hodnoty a ₀ , a ₁ , a ₄ ). Tento proces vytvoří lineární systém d rovnic s d neznámými. Řešení těchto rovnic pro neznámé koeficienty obecného řešení a zapojení těchto hodnot zpět do obecného řešení vytvoří konkrétní řešení původní relace rekurence, které odpovídá původním podmínkám relace původní rekurence (stejně jako všechny následné hodnoty původní relace rekurence) ).${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, \ tečky, a_ {d}}$${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, \ tečky, a_ {d}}$${\ displaystyle b_ {1}, b_ {2}, \ tečky, b_ {d}}$${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ dots}$

Metoda řešení lineárních diferenciálních rovnic je podobná metodě výše - „inteligentní odhad“ ( ansatz ) pro lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty je e ^{λ x,} kde λ je komplexní číslo, které je určeno dosazením odhadu do diferenciální rovnice .

To není náhoda. Vzhledem k Taylorově řadě řešení lineární diferenciální rovnice:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!}} (xa) ^ {n}}$

je vidět, že koeficienty řady jsou dány n- ^tou derivací f ( x ) vyhodnocenou v bodě a . Diferenciální rovnice poskytuje lineární diferenciální rovnici týkající se těchto koeficientů.

Tuto ekvivalenci lze použít k rychlému vyřešení relace rekurence pro koeficienty v řešení výkonové řady lineární diferenciální rovnice.

Základní pravidlo (pro rovnice, ve kterých je polynom, který vynásobí první člen, je nenulový na nule) je toto:

${\ displaystyle y ^ {[k]} \ až f [n + k]}$

a obecněji

${\ displaystyle x ^ {m} * y ^ {[k]} \ až n (n-1) ... (n-m + 1) f [n + km]}$

Příklad: Vztah opakování pro koeficienty Taylorovy řady rovnice:

${\ displaystyle (x ^ {2} + 3x-4) y ^ {[3]} - (3x + 1) y ^ {[2]} + 2y = 0}$

darováno

${\ displaystyle n (n-1) f [n + 1] + 3nf [n + 2] -4f [n + 3] -3nf [n + 1] -f [n + 2] + 2f [n] = 0 }$

nebo

${\ displaystyle -4f [n + 3] + 2nf [n + 2] + n (n-4) f [n + 1] + 2f [n] = 0.}$

Tento příklad ukazuje, jak lze problémy, které se obecně řeší pomocí metody řešení výkonových řad vyučované v normálních třídách diferenciálních rovnic, vyřešit mnohem jednodušším způsobem.

Příklad: Diferenciální rovnice

${\ displaystyle ay '' + od '+ cy = 0}$

má řešení

${\ displaystyle y = e ^ {ax}.}$

Převod diferenciální rovnice na diferenciální rovnici Taylorových koeficientů je

${\ displaystyle af [n + 2] + bf [n + 1] + srov [n] = 0.}$

Je snadno vidět, že n th derivát e ^ax hodnocena při 0 ° C, je ⁿ .

Řešení pomocí lineární algebry

Lineárně rekurzivní posloupnost y řádu n

${\ displaystyle y_ {n + k} -c_ {n-1} y_ {n-1 + k} -c_ {n-2} y_ {n-2 + k} + \ cdots -c_ {0} y_ {k } = 0}$

je totožný s

${\ displaystyle y_ {n} = c_ {n-1} y_ {n-1} + c_ {n-2} y_ {n-2} + \ cdots + c_ {0} y_ {0}.}$

Tato rovnice n -tého řádu, rozšířená o n- 1 identit druhu , je přeložena do systému maticových diferenciálních rovnic n lineárních rovnic prvního řádu, ${\ displaystyle y_ {nk} = y_ {nk}}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {n} = {\ begin {bmatrix} y_ {n} \\ y_ {n-1} \\\ vdots \\\ vdots \\ y_ {1} \ end {bmatrix} } = {\ begin {bmatrix} c_ {n-1} & c_ {n-2} & \ cdots & \ cdots & c_ {0} \\ 1 & 0 & \ cdots & \ cdots & 0 \\ 0 & \ ddots & \ ddots && \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & \ cdots & 0 & 1 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} y_ {n-1} \\ y_ {n-2} \\ \ vdots \\\ vdots \\ y_ {0} \ end {bmatrix}} = C \ mathbf {y} _ {n-1} = C ^ {n} \ mathbf {y} _ {0}.}$

Všimněte si, že vektor může být vypočítán podle n aplikacích doprovodném matrice , C , do původního stavu vektoru . Tím je n -té zadání hledané sekvence y nejvyšší složkou . ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {n}}$${\ displaystyle y_ {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {n}, y_ {n} = \ mathbf {y} _ {n} [n]}$

Vlastní výpočet , do vlastních čísel a vlastních vektorů , se používá k výpočtu . Díky zásadní skutečnosti, že systém C časově posouvá každý vlastní vektor, e , jednoduchým škálováním jeho komponent λ krát, ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {n} = C ^ {n} \, \ mathbf {y} _ {0} = a_ {1} \, \ lambda _ {1} ^ {n} \, \ mathbf {e} _ {1} + a_ {2} \, \ lambda _ {2} ^ {n} \, \ mathbf {e} _ {2} + \ cdots + a_ {n} \, \ lambda _ {n } ^ {n} \, \ mathbf {e} _ {n}}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {e} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {n}}$

${\ displaystyle C \, \ mathbf {e} _ {i} = \ lambda _ {i} \ mathbf {e} _ {i} = C {\ begin {bmatrix} e_ {i, n} \\ e_ {i , n-1} \\\ vdots \\ e_ {i, 1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i} \, e_ {i, n} \\\ lambda _ { i} \, e_ {i, n-1} \\\ vdots \\\ lambda _ {i} \, e_ {i, 1} \ end {bmatrix}}}$

to znamená, že časově posunutou verzi eigenvector, e , má součástky lambda krát větší, komponenty vlastní vektor jsou síly lambda , a tím, opakující se homogenní lineární řešení rovnice je kombinací exponenciální funkce, . Složky lze určit z počátečních podmínek: ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {i} ^ {n-1} & \ cdots & \ lambda _ {i} ^ {2} & \ lambda _ { i} & 1 \ end {bmatrix}} ^ {\ mathrm {T}},}$${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {n} = \ součet _ {1} ^ {n} {c_ {i} \, \ lambda _ {i} ^ {n} \, \ mathbf {e} _ {i }}}$${\ displaystyle c_ {i}}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {0} = {\ begin {bmatrix} y_ {0} \\ y _ {- 1} \\\ vdots \\ y _ {- n + 1} \ end {bmatrix}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {c_ {i} \, \ lambda _ {i} ^ {0} \, \ mathbf {e} _ {i}} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} & \ mathbf {e} _ {2} & \ cdots & \ mathbf {e} _ {n} \ end {bmatrix}} \, {\ begin {bmatrix} c_ {1} \\ c_ {2} \\\ vdots \\ c_ {n} \ end {bmatrix}} = E \, {\ begin {bmatrix} c_ {1} \\ c_ {2} \\\ vdots \\ c_ {n} \ end {bmatrix}}}$

Řešení pro koeficienty,

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} c_ {1} \\ c_ {2} \\\ vdots \\ c_ {n} \ end {bmatrix}} = E ^ {- 1} \ mathbf {y} _ {0 } = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} ^ {n-1} & \ lambda _ {2} ^ {n-1} & \ cdots & \ lambda _ {n} ^ {n-1} \ \\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ lambda _ {1} & \ lambda _ {2} & \ cdots & \ lambda _ {n} \\ 1 & 1 & \ cdots & 1 \ end {bmatrix}} ^ {-1} \, {\ begin {bmatrix} y_ {0} \\ y _ {- 1} \\\ vdots \\ y _ {- n + 1} \ end {bmatrix}}.}$

Funguje to také s libovolnými okrajovými podmínkami , nikoli s počátečními, ${\ displaystyle \ underbrace {y_ {a}, y_ {b}, \ ldots} _ {n}}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} y_ {a} \\ y_ {b} \\\ vdots \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {y} _ {a} [n] \\ \ mathbf {y} _ {b} [n] \\\ vdots \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {c_ {i} \, \ lambda _ {i} ^ {a} \, \ mathbf {e} _ {i} [n]} \\\ součet _ {i = 1} ^ {n} {c_ {i} \, \ lambda _ {i} ^ {b} \, \ mathbf {e} _ {i} [n]} \\\ vdots \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {c_ {i} \, \ lambda _ {i} ^ {a} \, \ lambda _ {i} ^ {n-1}} \\\ součet _ {i = 1} ^ {n} {c_ {i} \ , \ lambda _ {i} ^ {b} \, \ lambda _ {i} ^ {n-1}} \\\ vdots \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle = {\ begin {bmatrix} \ sum {c_ {i} \, \ lambda _ {i} ^ {a + n-1}} \\\ součet {c_ {i} \, \ lambda _ {i } ^ {b + n-1}} \\\ vdots \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} ^ {a + n-1} & \ lambda _ {2} ^ { a + n-1} & \ cdots & \ lambda _ {n} ^ {a + n-1} \\\ lambda _ {1} ^ {b + n-1} & \ lambda _ {2} ^ {b + n-1} & \ cdots & \ lambda _ {n} ^ {b + n-1} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ end {bmatrix}} \, {\ begin {bmatrix} c_ {1} \\ c_ {2} \\\ vdots \\ c_ {n} \ end {bmatrix}}.}$

Tento popis se ve skutečnosti neliší od obecné metody výše, je však stručnější. Funguje to také pěkně pro situace jako

${\ displaystyle {\ begin {cases} a_ {n} = a_ {n-1} -b_ {n-1} \\ b_ {n} = 2a_ {n-1} + b_ {n-1}. \ end {případy}}}$

kde existuje několik propojených opakování.

Řešení pomocí z-transformací

Některé diferenční rovnice - zejména lineární konstantní koeficienty rozdílových koeficientů - lze vyřešit pomocí z-transformací . Tyto Z -transforms jsou třídou integrální transformace , které vedou k více vhodných algebraických manipulací a jednodušší řešení. Existují případy, kdy by bylo získání přímého řešení téměř nemožné, přesto je řešení problému promyšleně zvolenou integrální transformací jednoduché.

Řešení nehomogenních lineárních relací rekurence s konstantními koeficienty

Pokud je opakování nehomogenní, lze konkrétní řešení najít metodou neurčených koeficientů a řešení je součtem řešení homogenního a konkrétního řešení. Další metodou řešení nehomogenní rekurence je metoda symbolické diferenciace . Zvažte například následující opakování:

${\ displaystyle a_ {n + 1} = a_ {n} +1}$

Toto je nehomogenní opakování. Pokud dosadíme n ↦ n +1, získáme opakování

${\ displaystyle a_ {n + 2} = a_ {n + 1} +1}$

Odečtením původní rekurence od této rovnice se získá

${\ displaystyle a_ {n + 2} -a_ {n + 1} = a_ {n + 1} -a_ {n}}$

nebo ekvivalentně

${\ displaystyle a_ {n + 2} = 2a_ {n + 1} -a_ {n}}$

Jedná se o homogenní opakování, které lze vyřešit výše vysvětlenými metodami. Obecně platí, že pokud má lineární opakování formu

${\ displaystyle a_ {n + k} = \ lambda _ {k-1} a_ {n + k-1} + \ lambda _ {k-2} a_ {n + k-2} + \ cdots + \ lambda _ {1} a_ {n + 1} + \ lambda _ {0} a_ {n} + p (n)}$

kde jsou konstantní koeficienty a p ( n ) je nehomogenita, pak pokud p ( n ) je polynom se stupněm r , pak lze tuto nehomogenní rekurenci snížit na homogenní rekurenci použitím metody symbolického diferenciace časů r . ${\ displaystyle \ lambda _ {0}, \ lambda _ {1}, \ tečky, \ lambda _ {k-1}}$

Li

${\ displaystyle P (x) = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} p_ {n} x ^ {n}}$

je generující funkce nehomogenity, generující funkce

${\ displaystyle A (x) = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} a (n) x ^ {n}}$

nehomogenní recidivy

${\ displaystyle a_ {n} = \ součet _ {i = 1} ^ {s} c_ {i} a_ {ni} + p_ {n}, \ quad n \ geq n_ {r},}$

s konstantními koeficienty c _i je odvozeno od

${\ displaystyle \ left (1- \ sum _ {i = 1} ^ {s} c_ {i} x ^ {i} \ right) A (x) = P (x) + \ sum _ {n = 0} ^ {n_ {r} -1} [a_ {n} -p_ {n}] x ^ {n} - \ sum _ {i = 1} ^ {s} c_ {i} x ^ {i} \ sum _ {n = 0} ^ {n_ {r} -i-1} a_ {n} x ^ {n}.}$

Pokud P ( x ) je racionální generující funkce, A ( x ) je také jedna. Případ diskutovaný výše, kde p _n = K je konstanta, se jeví jako jeden příklad tohoto vzorce s P ( x ) = K / (1− x ). Další příklad, recidiva s lineární nehomogenitou, vyvstává v definici schizofrenních čísel . Řešení homogenních recidiv je začleněno jako p = P = 0. ${\ displaystyle a_ {n} = 10a_ {n-1} + n}$

Řešení nehomogenních rekurentních vztahů prvního řádu s proměnnými koeficienty

Navíc pro obecný nehomogenní vztah lineární rekurence prvního řádu s proměnnými koeficienty:

${\ displaystyle a_ {n + 1} = f_ {n} a_ {n} + g_ {n}, \ qquad f_ {n} \ neq 0,}$

existuje také pěkná metoda, jak to vyřešit:

${\ displaystyle a_ {n + 1} -f_ {n} a_ {n} = g_ {n}}$

${\ displaystyle {\ frac {a_ {n + 1}} {\ prod _ {k = 0} ^ {n} f_ {k}}} - {\ frac {f_ {n} a_ {n}} {\ prod _ {k = 0} ^ {n} f_ {k}}} = {\ frac {g_ {n}} {\ prod _ {k = 0} ^ {n} f_ {k}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {a_ {n + 1}} {\ prod _ {k = 0} ^ {n} f_ {k}}} - {\ frac {a_ {n}} {\ prod _ {k = 0} ^ {n-1} f_ {k}}} = {\ frac {g_ {n}} {\ prod _ {k = 0} ^ {n} f_ {k}}}}$

Nechat

${\ displaystyle A_ {n} = {\ frac {a_ {n}} {\ prod _ {k = 0} ^ {n-1} f_ {k}}},}$

Pak

${\ displaystyle A_ {n + 1} -A_ {n} = {\ frac {g_ {n}} {\ prod _ {k = 0} ^ {n} f_ {k}}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {m = 0} ^ {n-1} (A_ {m + 1} -A_ {m}) = A_ {n} -A_ {0} = \ sum _ {m = 0} ^ {n-1} {\ frac {g_ {m}} {\ prod _ {k = 0} ^ {m} f_ {k}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {a_ {n}} {\ prod _ {k = 0} ^ {n-1} f_ {k}}} = A_ {0} + \ součet _ {m = 0} ^ {n -1} {\ frac {g_ {m}} {\ prod _ {k = 0} ^ {m} f_ {k}}}}$

${\ displaystyle a_ {n} = \ left (\ prod _ {k = 0} ^ {n-1} f_ {k} \ right) \ left (A_ {0} + \ sum _ {m = 0} ^ { n-1} {\ frac {g_ {m}} {\ prod _ {k = 0} ^ {m} f_ {k}}} \ vpravo)}$

Pokud použijeme vzorec a vezmeme limit h → 0, dostaneme vzorec pro lineární diferenciální rovnice prvního řádu s proměnnými koeficienty; součet se stane integrálem a produkt se stane exponenciální funkcí integrálu. ${\ displaystyle a_ {n + 1} = (1 + hf_ {nh}) a_ {n} + hg_ {nh}}$

Řešení obecných homogenních lineárních relací opakování

Mnoho homogenních vztahů lineární rekurence lze vyřešit pomocí zobecněné hypergeometrické řady . Zvláštní případy těchto vedou k relacím rekurence pro ortogonální polynomy a mnoha speciálním funkcím . Například řešení

${\ displaystyle J_ {n + 1} = {\ frac {2n} {z}} J_ {n} -J_ {n-1}}$

darováno

${\ displaystyle J_ {n} = J_ {n} (z),}$

funkce Bessel , zatímco

${\ displaystyle (bn) M_ {n-1} + (2n-bz) M_ {n} -nM_ {n + 1} = 0}$

řeší

${\ displaystyle M_ {n} = M (n, b; z)}$

splývající hypergeometric série . Sekvence, které jsou řešením lineárních diferenciálních rovnic s polynomiálními koeficienty, se nazývají P-rekurzivní . Pro tyto specifické rekurentní rovnice jsou známy algoritmy, které nacházejí polynomiální , racionální nebo hypergeometrické řešení.

Řešení rovnic racionálního rozdílu prvního řádu

Rovnice racionálního rozdílu prvního řádu má tvar . Takovou rovnici lze vyřešit zápisem jako nelineární transformaci jiné proměnné, která se sama vyvíjí lineárně. Pak lze použít standardní metody k řešení lineární diferenční rovnice v . ${\ displaystyle w_ {t + 1} = {\ tfrac {aw_ {t} + b} {cw_ {t} + d}}}$${\ displaystyle w_ {t}}$${\ displaystyle x_ {t}}$${\ displaystyle x_ {t}}$

Stabilita

Stabilita lineárních opakování vyššího řádu

Lineární opakování řádu d ,

${\ displaystyle a_ {n} = c_ {1} a_ {n-1} + c_ {2} a_ {n-2} + \ cdots + c_ {d} a_ {nd},}$

má charakteristickou rovnici

${\ displaystyle \ lambda ^ {d} -c_ {1} \ lambda ^ {d-1} -c_ {2} \ lambda ^ {d-2} - \ cdots -c_ {d} \ lambda ^ {0} = 0.}$

Opakování je stabilní , což znamená, že iterace konvergují asymptoticky na pevnou hodnotu, právě tehdy, když vlastní čísla (tj. Kořeny charakteristické rovnice), ať už skutečné nebo komplexní, jsou všechny v absolutní hodnotě menší než jednota .

Stabilita lineárních opakování matice prvního řádu

V diferenciální rovnici matice prvního řádu

${\ displaystyle [x_ {t} -x ^ {*}] = A [x_ {t-1} -x ^ {*}]}$

se stavovým vektorem x a přechodovou maticí A , x asymptoticky konverguje na vektor x * v ustáleném stavu právě tehdy, když všechna vlastní čísla přechodové matice A (reálná nebo komplexní) mají absolutní hodnotu, která je menší než 1.

Stabilita nelineárních opakování prvního řádu

Zvažte nelineární opakování prvního řádu

${\ displaystyle x_ {n} = f (x_ {n-1}).}$

Toto opakování je lokálně stabilní , což znamená, že konverguje na pevný bod x * z bodů dostatečně blízkých x *, pokud je sklon f v okolí x * menší než jednota v absolutní hodnotě: to znamená,

${\ displaystyle | f '(x ^ {*}) | <1.}$

Nelineární opakování může mít více pevných bodů, v takovém případě mohou být některé pevné body místně stabilní a jiné místně nestabilní; pro spojité f nemohou být dva sousední pevné body lokálně stabilní.

Nelineární relace rekurence může mít také cyklus periody k pro k > 1. Takový cyklus je stabilní, což znamená, že přitahuje soubor počátečních podmínek kladné míry, pokud je složená funkce

${\ displaystyle g (x)} = f \ circ f \ circ \ cdots \ circ f (x)}$

s f objevujícími se k krát je místně stabilní podle stejného kritéria:

${\ displaystyle | g '(x ^ {*}) | <1,}$

kde x * je libovolný bod v cyklu.

V chaotickém relaci opakování zůstává proměnná x v ohraničené oblasti, ale nikdy konverguje k pevnému bodu nebo k lákavému cyklu; jakékoli pevné body nebo cykly rovnice jsou nestabilní. Viz také logistická mapa , dyadická transformace a stanová mapa .

Vztah k diferenciálním rovnicím

Při numerickém řešení obyčejné diferenciální rovnice se obvykle setkáváme s relací opakování. Například při řešení problému počáteční hodnoty

${\ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), \ \ y (t_ {0}) = y_ {0},}$

s Eulerovou metodou a velikostí kroku h vypočítá hodnoty

${\ displaystyle y_ {0} = y (t_ {0}), \ \ y_ {1} = y (t_ {0} + h), \ \ y_ {2} = y (t_ {0} + 2 h), \ \ tečky}$

podle opakování

${\ displaystyle \, y_ {n + 1} = y_ {n} + hf (t_ {n}, y_ {n}), t_ {n} = t_ {0} + nh}$

Systémy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lze diskretizovat přesně analyticky pomocí metod uvedených v článku o diskretizaci .

Aplikace

Biologie

Některé z nejznámějších rozdílových rovnic mají svůj původ ve snaze modelovat populační dynamiku. Například Fibonacciho čísla byla kdysi použita jako model pro růst populace králíků.

Logistická mapa se používá buď přímo na model růstu populace, nebo jako výchozí bod pro podrobnější modely populační dynamiky . V této souvislosti se pro modelování interakce dvou nebo více populací často používají spojené diferenční rovnice. Například model Nicholson – Bailey pro interakci hostitel- parazit je dán vztahem

${\ displaystyle N_ {t + 1} = \ lambda N_ {t} e ^ {- aP_ {t}}}$

${\ displaystyle P_ {t + 1} = N_ {t} (1-e ^ {- aP_ {t}}),}$

přičemž N _t představuje hostitele a P _t parazity, v čase  t .

Integrodiferenční rovnice jsou formou rekurentního vztahu důležitého pro prostorovou ekologii . Tyto a další diferenční rovnice jsou zvláště vhodné pro modelování univoltinových populací.

Počítačová věda

Vztahy opakování mají zásadní význam také při analýze algoritmů . Pokud je algoritmus navržen tak, aby problém rozdělil na menší dílčí problémy ( rozděl a panuj ), je jeho běh popsán relací opakování.

Jednoduchým příkladem je čas, který algoritmus potřebuje k vyhledání prvku v uspořádaném vektoru s prvky, v nejhorším případě. ${\ displaystyle n}$

Naivní algoritmus bude hledat zleva doprava, jeden prvek najednou. Nejhorší možný scénář je, když je požadovaný prvek poslední, takže počet srovnání je . ${\ displaystyle n}$

Lepší algoritmus se nazývá binární vyhledávání . Vyžaduje však seřazený vektor. Nejprve zkontroluje, zda je prvek uprostřed vektoru. Pokud ne, zkontroluje, zda je prostřední prvek větší nebo menší než hledaný prvek. V tomto okamžiku může být polovina vektoru zahozena a algoritmus může být spuštěn znovu na druhé polovině. Počet srovnání bude dán vztahem

${\ displaystyle c_ {1} = 1}$

${\ displaystyle c_ {n} = 1 + c_ {n / 2}}$

jehož časová složitost bude . ${\ displaystyle O (\ log _ {2} (n))}$

Zpracování digitálních signálů

V digitálním zpracování signálu mohou relace opakování modelovat zpětnou vazbu v systému, kde se výstupy najednou stávají vstupy pro budoucí čas. Vznikají tedy v digitálních filtrech nekonečné impulzní odezvy (IIR) .

Například rovnice pro „dopředný“ IIR hřebenový filtr zpoždění T je:

${\ displaystyle y_ {t} = (1- \ alpha) x_ {t} + \ alpha y_ {tT},}$

kde je vstup v čase t , je výstup v čase t a α řídí, kolik zpožděného signálu je přiváděno zpět do výstupu. Z toho vidíme, že ${\ displaystyle x_ {t}}$${\ displaystyle y_ {t}}$

${\ displaystyle y_ {t} = (1- \ alpha) x_ {t} + \ alpha ((1- \ alpha) x_ {tT} + \ alpha y_ {t-2T})}$

${\ displaystyle y_ {t} = (1- \ alpha) x_ {t} + (\ alpha - \ alpha ^ {2}) x_ {tT} + \ alpha ^ {2} y_ {t-2T}}$

atd.

Ekonomika

Rekurenční vztahy, zejména lineární relace rekurence, se hojně používají v teoretické i empirické ekonomii. Zejména v makroekonomii je možné vyvinout model různých širokých hospodářských odvětví (finanční sektor, sektor zboží, trh práce atd.), Ve kterých akce některých agentů závisí na zpožděných proměnných. Model by pak byl řešen pro aktuální hodnoty klíčových proměnných ( úroková sazba , reálný HDP atd.), Pokud jde o minulé a aktuální hodnoty dalších proměnných.

Viz také

Reference

Poznámky pod čarou

Bibliografie

• Batchelder, Paul M. (1967). Úvod do lineárních diferenciálních rovnic . Dover Publications.
• Miller, Kenneth S. (1968). Lineární diferenční rovnice . WA Benjamin.
• Fillmore, Jay P .; Marx, Morris L. (1968). Msgstr "Lineární rekurzivní sekvence". SIAM Rev . 10 (3). 324–353. JSTOR  2027658 .
• Brousseau, Alfred (1971). Lineární rekurze a Fibonacciho sekvence . Sdružení Fibonacci.
• Thomas H. Cormen , Charles E. Leiserson , Ronald L. Rivest a Clifford Stein . Úvod do algoritmů , druhé vydání. MIT Press a McGraw-Hill, 1990. ISBN  0-262-03293-7 . Kapitola 4: Recidivy, str. 62–90.
• Graham, Ronald L .; Knuth, Donald E .; Patashnik, Oren (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2 ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-55802-5.
• Enders, Walter (2010). Aplikovaná ekonometrická časová řada (3. vydání). Archivovány od originálu dne 2014-11-10.
• Cull, Paul; Flahive, Mary ; Robson, Robbie (2005). Rozdílové rovnice: Od králíků po chaos . Springer. ISBN 0-387-23234-6. kapitola 7.
• Jacques, Ian (2006). Matematika pro ekonomii a podnikání (páté vydání). Prentice Hall. str.  551 –568. ISBN 0-273-70195-9. Kapitola 9.1: Rozdílové rovnice.
• Minh, Tang; Van To, Tan (2006). „Použití generujících funkcí k řešení lineárních nehomogenních rovnic rekurence“ (PDF) . Proc. Int. Konf. Simulace, modelování a optimalizace, SMO'06 . 399–404.
• Polyanin, Andrei D. „Rozdíl a funkční rovnice: přesná řešení“ . na EqWorld - Svět matematických rovnic.
• Polyanin, Andrei D. "Rozdíl a funkční rovnice: metody" . na EqWorld - Svět matematických rovnic.
• Wang, Xiang-Sheng; Wong, Roderick (2012). "Asymptotika ortogonálních polynomů pomocí relací rekurence". Anální. Appl . 10 (2): 215–235. arXiv : 1101,4371 . doi : 10,1142 / S0219530512500108 . S2CID  28828175 .

externí odkazy

• „Recurrence relationship“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Rovnice opakování“ . MathWorld .
• „OEIS Index Rec“ . Index OEIS k několika tisícům příkladů lineárních opakování, seřazený podle pořadí (počet termínů) a podpisu (vektor hodnot konstantních koeficientů)