Chyba aproximace - Approximation error

Graf (modrý) s jeho lineární aproximací (červený) při a = 0. Chyba aproximace je mezera mezi křivkami a pro hodnoty x se zvyšuje dále od 0.

{\ displaystyle f (x) = e ^ {x}}

{\ displaystyle P_ {1} (x) = 1 + x}

Chybová aproximace v některých údajů je rozpor mezi přesné hodnoty a nějaké přibližování k ní. Může dojít k chybě aproximace, protože:

měření z údajů není přesný vzhledem k nástroji. (např. přesné čtení kousku papíru je 4,5 cm, ale protože pravítko nepoužívá desetinná místa, zaokrouhlíte jej na 5 cm.) nebo
aproximace

V matematickém poli numerické analýzy je numerická stabilita z algoritmu ukazuje, jak je chyba propagována pomocí algoritmu.

Formální definice

Běžně se rozlišuje mezi relativní chybou a absolutní chybou.

Vzhledem k tomu, některé hodnoty v a její aproximace v _cca je absolutní chyba je

{\ displaystyle \ epsilon = | v-v _ {\ text {přibližně}} | \,}

kde svislé pruhy označují absolutní hodnotu . Pokud relativní chyba je ${\ displaystyle v \ neq 0,}$

{\ displaystyle \ eta = {\ frac {\ epsilon} {| v |}} = \ vlevo | {\ frac {v-v _ {\ text {cca}}} {v}} \ vpravo | = \ vlevo | 1 - {\ frac {v _ {\ text {cca}}} {v}} \ doprava |,}

a procentuální chyba je

{\ displaystyle \ delta = 100 \% \ krát \ eta = 100 \% \ krát {\ frac {\ epsilon} {| v |}} = 100 \% \ krát \ vlevo | {\ frac {v-v _ {\ SMS {přibližně}}} {v}} \ vpravo |.}

Slovy, absolutní chyba je velikost rozdílu mezi přesnou hodnotou a aproximací. Relativní chyba je absolutní chyba dělená velikostí přesné hodnoty. Procentní chyba je relativní chyba vyjádřená na 100.

Vazba chyby je horní limit relativní nebo absolutní velikosti chyby aproximace.

Zobecnění

Tyto definice lze rozšířit na případ, kdy a jsou n -dimenzionální vektory , nahrazením absolutní hodnoty n -norm . ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle v _ {\ text {cca}}}$

Příklady

Nejlepší racionální přiblížení pro

π

(zelený kruh), e (modrý kosočtverec), ϕ (růžový podlouhlý), (√3) / 2 (šedý šestiúhelník), 1 / √2 (červený osmiúhelník) a 1 / √3 (oranžový trojúhelník) vypočteno z jejich pokračujících expanzí zlomků, vyneseno jako sklon y / x s chybami z jejich skutečných hodnot (černé pomlčky)

Například pokud je přesná hodnota 50 a aproximace 49,9, pak je absolutní chyba 0,1 a relativní chyba 0,1 / 50 = 0,002 = 0,2%. Dalším příkladem by bylo, kdyby při měření 6ml kádinky byla odečtená hodnota 5 ml. Správná hodnota 6 ml znamená, že procentuální chyba v konkrétní situaci je zaokrouhleno 16,7%.

Relativní chyba se často používá k porovnání aproximací čísel s velmi rozdílnou velikostí; například aproximace čísla 1 000 s absolutní chybou 3 je ve většině aplikací mnohem horší než aproximace čísla 1 000 000 s absolutní chybou 3; v prvním případě je relativní chyba 0,003 a ve druhém je to pouze 0,000003.

Měli byste mít na paměti dvě vlastnosti relativní chyby. Za prvé, relativní chyba není definována, když je skutečná hodnota nula, jak se objevuje ve jmenovateli (viz níže). Za druhé, relativní chyba má smysl pouze při měření na poměrové stupnici (tj. Na stupnici, která má skutečnou smysluplnou nulu), jinak by byla citlivá na jednotky měření. Například když je absolutní chyba v měření teploty uvedená ve stupnici Celsia 1 ° C a skutečná hodnota 2 ° C, relativní chyba je 0,5 a procentuální chyba je 50%. Pro stejný případ, když je teplota uvedena v Kelvinově stupnici , stejná absolutní chyba 1 K se stejnou skutečnou hodnotou 275,15 K dává relativní chybu 3,63 × 10 ^{- 3} a procentní chybu pouze 0,363%. Teplota ve stupních Celsia se měří na intervalové stupnici , zatímco Kelvinova stupnice má skutečnou nulu, stejně jako poměrová stupnice.

Nástroje

Ve většině indikačních přístrojů je přesnost zaručena na určité procento odečtu v plném rozsahu. Limity těchto odchylek od zadaných hodnot jsou známé jako omezující chyby nebo chyby záruky.

Viz také

Reference

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Procentuální chyba“ . MathWorld .

Languages

In other projects