Opakování desetinných míst - Repeating decimal

Opakování desetinné místo , nebo opakující se desetinná je desetinná reprezentace z řady, jehož číslice jsou periodické (opakování své hodnoty v pravidelných intervalech) a nekonečně opakuje část není nula . Lze ukázat, že číslo je racionální právě tehdy, když se jeho desetinné vyjádření opakuje nebo končí (tj. Všechny kromě konečného počtu číslic jsou nulové). Například desetinné vyjádření1/3se stane periodickým hned za desetinnou čárkou , přičemž se opakuje jedna číslice „3“ navždy, tj. 0,333 .... Složitější příklad je3227/555, jehož desítkové číslo se stane periodickým na druhé číslici následující za desetinnou čárkou a poté navždy opakuje sekvenci „144“, tj. 5,8144144144 .... V současné době neexistuje jediný univerzálně přijímaný zápis nebo fráze pro opakování desetinných míst.

Nekonečně opakovaná číslicová sekvence se nazývá repetend nebo reptend . Pokud je opakování nula, tato desetinná reprezentace se nazývá ukončující desítkové místo opakující se desetinné číslo, protože nuly lze vynechat a desítkové číslo končí před těmito nulami. Každé končící desetinné vyjádření lze zapsat jako desetinný zlomek , zlomek, jehož jmenovatelem je mocnina 10 (např. 1,585 =1585/1000); může být také zapsán jako poměr formyk/2 ⁿ 5 ^m(např. 1,585 =317/2 ³ 5 ²). Nicméně, každý číslo zakončovacím desítkové vyjádření také triviálně druhý, alternativní reprezentace jako opakující se desetinná jehož repetend je číslice 9 . Toho se dosáhne snížením konečné (úplně vpravo) nenulové číslice o jednu a připojením opakování 9. 1.000 ... = 0.999 ... a 1.585000 ... = 1.584999 ... jsou dva příklady toho. (Tento typ opakující se desítkové soustavy lze získat delením, pokud použijeme upravenou formu obvyklého dělícího algoritmu .)

Jakékoli číslo, které nelze vyjádřit jako poměr dvou celých čísel, je prý iracionální . Jejich desetinná reprezentace se nekončí ani nekonečně neopakuje, ale prodlužuje se navždy bez pravidelného opakování. Příklady takových iracionálních čísel jsou druhá odmocnina 2 a $π$ .

Pozadí

Zápis

Pro reprezentaci opakujících se desetinných míst existuje několik notačních konvencí. Žádný z nich není přijímán univerzálně.

Ve Spojených státech , Kanadě , Indii , Francii , Německu , Švýcarsku , České republice a na Slovensku je konvence nakreslit vodorovnou čáru ( vinculum ) nad opakováním. (Viz příklady v tabulce níže, sloupec Vinculum.)
Ve Spojeném království , na Novém Zélandu , v Austrálii , Indii, Jižní Koreji a pevninské Číně je zvykem umisťovat tečky nad nejvzdálenější číslice opakování. (Viz příklady v tabulce níže, sloupec Tečky.)
V některých částech Evropy , Vietnamu a Ruska je konvencí uzavřít opakování v závorkách . (Viz příklady v tabulce níže, sloupec Závorky.) To může způsobit záměnu se zápisem standardní nejistoty .
Ve Španělsku a některých latinskoamerických zemích se jako alternativa k vinculum a notaci teček používá také obloukový zápis přes opakování. (Viz příklady v tabulce níže, sloupec Arc.)
Neformálně jsou opakující se desetinná místa často reprezentována elipsou (tři tečky, 0,333 ...), zvláště když se předchozí notační konvence poprvé učí ve škole. Tato notace zavádí nejistotu ohledně toho, které číslice by se měly opakovat, a dokonce, zda k opakování vůbec dochází, protože takové elipsy se používají také pro iracionální čísla ; $π$ může být například vyjádřeno jako 3,14159 ....

Příklady
Zlomek	Vinculum	Tečky	Závorky	Oblouk	Elipsa
1/9	0. 1	${\ displaystyle 0. {\ dot {1}}}$	0. (1)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frown} {1}}}$	0,111 ...
1/3 = 3/9	0. 3	${\ displaystyle 0. {\ dot {3}}}$	0. (3)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frown} {3}}}$	0,333 ...
2/3 = 6/9	0 6	${\ displaystyle 0. {\ dot {6}}}$	0. (6)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frown} {6}}}$	0,666 ...
9/11 = 81/99	0 81	${\ displaystyle 0. {\ dot {8}} {\ dot {1}}}$	0. (81)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frown} {81}}}$	0,8181 ...
7/12 = 525/900	0,58 3	${\ displaystyle 0,58 {\ dot {3}}}$	0,58 (3)	${\ displaystyle 0,58 {\ overset {\ frown} {3}}}$	0,58 333 ...
1/7 = 142857/999999	0. 142857	${\ displaystyle 0. {\ dot {1}} 4285 {\ dot {7}}}$	0. (142857)		0,142857 142857 ...
1/81 = 12345679/999999999	0. 012345679	${\ displaystyle 0. {\ dot {0}} 1234567 {\ dot {9}}}$	0. (012345679)		0,012345679 012345679 ...
22/7 = 3142854/999999	3. 142857	${\ displaystyle 3. {\ dot {1}} 4285 {\ dot {7}}}$	3. (142857)		3.142857 142857 ...

V angličtině existují různé způsoby, jak číst opakující se desetinná místa nahlas. Například 1,2 34 lze číst „jeden bod dva opakující tři čtyři“, „jeden bod dva opakované tři čtyři“, „jeden bod dva opakující se tři čtyři“, „jeden bod dva opakovat tři čtyři“ nebo „jeden bod dva do nekonečna tři čtyři".

Desetinná expanze a sekvence opakování

Aby bylo možné převést racionální číslo reprezentované jako zlomek na desítkovou formu, lze použít dlouhé dělení . Zvažte například racionální číslo5/74:

        0.0675
   74 ) 5.00000
        4.44
          560
          518
           420
           370
            500

atd. Všimněte si, že v každém kroku máme zbytek; po sobě jdoucí zbytky zobrazené výše jsou 56, 42, 50. Když dojdeme k 50 jako zbytku a snížíme „0“, zjistíme, že dělíme 500 na 74, což je stejný problém, se kterým jsme začínali. Desetinná čísla se tedy opakují: 0,0675 675 675 ...

Každé racionální číslo je buď ukončovací nebo opakující se desítkové

U jakéhokoli daného dělitele může nastat pouze konečný počet různých zbytků. Ve výše uvedeném příkladu je 74 možných zbytků 0, 1, 2, ..., 73. Pokud je v kterémkoli bodě rozdělení zbytek 0, expanze skončí v tomto bodě. Poté je délka opakování, nazývaná také „perioda“, definována jako 0.

Pokud 0 nikdy nenastane jako zbytek, pak proces dělení pokračuje navždy a nakonec musí dojít ke zbytku, který nastal dříve. Další krok v rozdělení přinese stejnou novou číslici v kvocientu a stejný nový zbytek, jako v předchozím čase byl zbytek stejný. Následující rozdělení proto bude opakovat stejné výsledky. Opakující se posloupnost číslic se nazývá „opakování“, která má určitou délku větší než 0, také nazývaná „tečka“.

Každé opakující se nebo ukončující desetinné číslo je racionální číslo

Každé opakující se desítkové číslo splňuje lineární rovnici s celočíselnými koeficienty a jeho jedinečné řešení je racionální číslo. Pro ilustraci posledně uvedeného bodu splňuje číslo α = 5,8144144144 ... výše rovnici 10 000 α - 10 α = 58144,144144 ... - 58,144144 ... = 58086 , jejíž řešení je α =58086/9990 = 3227/555. Postup, jak tyto celočíselné koeficienty najít, je popsán níže .

Tabulka hodnot

zlomek	desetinné rozšíření	ℓ ₁₀
1/2	0,5	0
1/3	0. 3	1
1/4	0,25	0
1/5	0,2	0
1/6	0,1 6	1
1/7	0. 142857	6
1/8	0,125	0
1/9	0. 1	1
1/10	0,1	0
1/11	0. 09	2
1/12	0,08 3	1
1/13	0, 076923	6
1/14	0,0 714285	6
1/15	0,0 6	1
1/16	0,0625	0

zlomek	desetinné rozšíření	ℓ ₁₀
1/17	0. 0588235294117647	16
1/18	0,0 5	1
1/19	0. 052631578947368421	18
1/20	0,05	0
1/21	0. 047619	6
1/22	0,0 45	2
1/23	0. 0434782608695652173913	22
1/24	0,041 6	1
1/25	0,04	0
1/26	0,0 384615	6
1/27	0, 037	3
1/28	0,03 571428	6
1/29	0. 0344827586206896551724137931	28
1/30	0,0 3	1
1/31	0. 032258064516129	15

zlomek	desetinné rozšíření	ℓ ₁₀
1/32	0,03125	0
1/33	0. 03	2
1/34	0,0 2941176470588235	16
1/35	0,0 285714	6
1/36	0,02 7	1
1/37	0, 027	3
1/38	0,0 263157894736842105	18
1/39	0. 025641	6
1/40	0,025	0
1/41	0, 02439	5
1/42	0,0 238095	6
1/43	0. 023255813953488372093	21
1/44	0,02 27	2
1/45	0,0 2	1
1/46	0,0 2173913043478260869565	22

Tím frakce je frakce jednotka 1/na ℓ ₁₀ je délka (desetinného) opakování.

Délky opakování 1/n, n = 1, 2, 3, ..., jsou:

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, ... (sekvence A051626 v OEIS ).

Opakování 1/n, n = 1, 2, 3, ..., jsou:

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 0434782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, ... (sekvence A036275 v OEIS ).

Opakované délky 1/p, p = 2, 3, 5, ... ( n th prime), jsou:

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, ... (sekvence A002371 v OEIS ).

Nejméně připraví p, pro které1/pmá délku opakování n , n = 1, 2, 3, ..., jsou:

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 11111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, ... (sekvence A007138 v OEIS ).

Nejméně připraví p, pro kterék/pmá n různých cyklů ( 1 ≤ k ≤ p −1 ), n = 1, 2, 3, ..., jsou:

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, ... (sekvence A054471 v OEIS ).

Pro srovnání, délky opakování binárních zlomků 1/n, n = 1, 2, 3, ..., jsou:

1, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 6, 4, 10, 2, 12, 3, 4, 1, 8, 6, 18, 4, 6, 10, 11, 2, 20, 12, 18, 3, 28, 4, 5, 1, 10, 8, 12, 6, 36, 18, 12, 4, 20, 6, 14, 10, 12, 11, ... (sekvence A007733 v OEIS ) .

Zlomky s hlavními jmenovateli

Zlomek v nejnižších termínech s hlavním jmenovatelem jiným než 2 nebo 5 (tj. Coprime do 10) vždy vytváří opakující se desetinné číslo. Délka opakování (perioda opakujícího se desetinného segmentu) z1/pse rovná řádově 10 modulo p . Jestliže 10 je primitivní kořenový modul p , délka opakování se rovná p - 1; pokud ne, délka opakování je faktorem p - 1. Tento výsledek lze odvodit z Fermatovy malé věty , která říká, že 10 ^{p −1} ≡ 1 (mod p ) .

Opakování základny 10 převrácené hodnoty libovolného prvočísla většího než 5 je dělitelné 9.

Pokud se opakuje délka 1/ppro prvočíslo p se rovná p - 1, pak se opakování, vyjádřené jako celé číslo, nazývá cyklické číslo .

Cyklická čísla

Příklady zlomků patřících do této skupiny jsou:

1/7= 0. 142857 , 6 opakujících se číslic
1/17= 0. 0588235294117647 , 16 opakujících se číslic
1/19= 0. 052631578947368421 , 18 opakujících se číslic
1/23= 0. 0434782608695652173913 , 22 opakujících se číslic
1/29= 0. 0344827586206896551724137931 , 28 opakujících se číslic
1/47= 0. 0212765957446808510638297872340425531914893617 , 46 opakujících se číslic
1/59= 0. 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 , 58 opakujících se číslic
1/61= 0. 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 , 60 opakujících se číslic
1/97= 0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 , 96 opakujících se číslic

Seznam může dále zahrnovat zlomky 1/109, 1/113, 1/131, 1/149, 1/167, 1/179, 1/181, 1/193atd. (sekvence A001913 v OEIS ).

Každý správný násobek cyklického čísla (tj. Násobek se stejným počtem číslic) je rotace:

1/7 = 1 × 0,142857 ... = 0,142857 ...
2/7 = 2 × 0,142857 ... = 0,285714 ...
3/7 = 3 × 0,142857 ... = 0,428571 ...
4/7 = 4 × 0,142857 ... = 0,571428 ...
5/7 = 5 × 0,142857 ... = 0,714285 ...
6/7 = 6 × 0,142857 ... = 0,857142 ...

Důvod cyklického chování je zřejmý z aritmetického cvičení dlouhého dělení 1/7: sekvenčními zbytky jsou cyklické sekvence {1, 3, 2, 6, 4, 5} . Další vlastnosti tohoto cyklického čísla najdete také v článku 142 857 .

Zlomek, který je cyklický, má tedy opakující se desetinné číslo sudé délky, které se dělí na dvě sekvence ve formě komplementu devítek . Například1/7 začíná '142' a následuje '857', zatímco 6/7(otáčením) začíná '857', za nímž následuje jeho devítka 'doplněk' 142 '.

Správné prime je prvočíslo p , který končí v číslice 1 v základu 10 a jejichž vzájemná v základu 10 má repetend s délkou p - 1. V těchto prvočísel, každá číslice 0, 1, ..., 9 se objeví v opakování posloupnost stejný počet opakování jako každá jiná číslice (tj.p - 1/10krát). Oni jsou:

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861, ... (sekvence A073761 v OEIS ).

Prime je správná prime, jen a pouze tehdy, pokud je plně reptend prime a souhlasí s 1 mod 10.

Je-li hlavním p je zároveň plná reptend prime a bezpečné prime , pak1/pvytvoří proud p -1 pseudonáhodných číslic . Ty prvočísla jsou

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823, ... (sekvence A000353 v OEIS ).

Další reciproční prvočísla

Některé převrácené hodnoty prvočísel, které negenerují cyklická čísla, jsou:

1/3= 0. 3 , který má periodu (délka repetend) 1.
1/11= 0. 09 , který má dobu 2.
1/13= 0. 076923 , která má periodu 6.
1/31= 0. 032258064516129 , který má periodu 15.
1/37= 0, 027 , která má periodu 3.
1/41= 0, 02439 , který má periodu 5.
1/43= 0. 023255813953488372093 , který má periodu 21.
1/53= 0. 0188679245283 , která má periodu 13.
1/67= 0. 014925373134328358208955223880597 , který má periodu 33.

(sekvence A006559 v OEIS )

Důvod je ten, že 3 je dělitel 9, 11 je dělitel 99, 41 je dělitel 99999 atd. Chcete -li najít období 1/p, můžeme zkontrolovat, zda prvočíslo p dělí nějaké číslo 999 ... 999, ve kterém počet číslic dělí p - 1. Protože období není nikdy větší než p - 1, můžeme to získat výpočtem10 ^{p -1} - 1/p. Například za 11 dostaneme

{\ displaystyle {\ frac {10^{11-1} -1} {11}} = 909090909}

a poté kontrolou najděte opakování 09 a období 2.

Tyto převrácené hodnoty prvočísel mohou být spojeny s několika sekvencemi opakujících se desetinných míst. Například násobky1/13lze rozdělit do dvou sad s různým opakováním. První sada je:

1/13 = 0,076923 ...
10/13 = 0,769230 ...
9/13 = 0,692307 ...
12/13 = 0,923076 ...
3/13 = 0,230769 ...
4/13 = 0,307692 ...,

kde opakování každé frakce je cyklické přeskupení 076923. Druhá sada je:

2/13 = 0,153846 ...
7/13 = 0,538461 ...
5/13 = 0,384615 ...
11/13 = 0,846153 ...
6/13 = 0,461538 ...
8/13 = 0,615384 ...,

kde opakování každé frakce je cyklické přeskupení 153846.

Obecně platí, že množina vlastních násobků převrácených hodnot prvočísla p se skládá z n podmnožin, z nichž každá má délku opakování k , kde nk = p - 1.

Totální pravidlo

Pro libovolné celé číslo n je délka L ( n ) desetinného opakování1/ndělí φ ( n ), kde φ je funkce totientu . Délka se rovná φ ( n ) právě tehdy, když 10 je primitivní kořenový modul n .

Z toho zejména vyplývá, že L ( p ) = p - 1 právě tehdy, když p je prvočíslo a 10 je primitivní kořenové modulo p . Potom desetinná rozšířenín/ppro n = 1, 2, ..., p - 1, všechny mají periodu p - 1 a liší se pouze cyklickou permutací. Taková čísla p se nazývají prvočísla s úplným opakováním .

Reciproční čísla složených celých čísel se časově shodují s 10

Pokud p je prvočíslo jiné než 2 nebo 5, desetinné vyjádření zlomku1/p ² opakuje:

149= 0. 020408163265306122448979591836734693877551 .

Perioda (délka opakování) L (49) musí být faktorem λ (49) = 42, kde λ ( n ) je známá jako Carmichaelova funkce . To vyplývá z Carmichaelovy věty, která říká, že pokud n je kladné celé číslo, pak λ ( n ) je nejmenší celé číslo m takové, že

{\ Displaystyle a^{m} \ equiv 1 {\ pmod {n}}}

pro každé celé číslo a, které je coprime k n .

Období 1/p ²je obvykle pT _p , kde T _p je období1/p. Existují tři známá prvočísla, pro která to není pravda, a pro ty období1/p ² je stejné jako období 1/pprotože p ² dělí 10 ^{p −1} −1. Tyto tři prvočísla jsou 3, 487 a 56598313 (sekvence A045616 v OEIS ).

Podobně období 1/p ^kje obvykle p ^{k –1}T _p

Pokud p a q jsou prvočísla jiná než 2 nebo 5, desetinné vyjádření zlomku1/pqopakuje. Příkladem je1/119:

119 = 7 × 17

λ (7 × 17) = LCM ( λ (7), λ (17)) = LCM (6, 16) = 48,

kde LCM označuje nejmenší společný násobek .

Doba T z1/pqje faktor λ ( pq ) a v tomto případě je to 48:

1119= 0. 008403361344537815126050420168067226890756302521 .

Doba T z1/pqje LCM ( T _p , T _q ), kde T _p je období1/pa T _q je období1/q.

Pokud p , q , r atd. Jsou prvočísla jiná než 2 nebo 5 a k , ℓ , m atd. Jsou kladná celá čísla, pak

{\ Displaystyle {\ frac {1} {p^{k} q^{\ ell} r^{m} \ cdots}}}

je opakující se desetinné číslo s periodou

{\ displaystyle \ operatorname {LCM} (T_ {p^{k}}, T_ {q^{\ ell}}, T_ {r^{m}}, \ ldots)}

kde T _{p ^k} , T _{q ^ℓ} , T _{r ^m} , ... jsou příslušná perioda opakujících se desetinných míst1/p ^k, 1/q ^ℓ, 1/r ^m, ... jak je definováno výše.

Reciproční čísla celých čísel nejsou souběžná do 10

Celé číslo, které není coprime na 10, ale má primární faktor jiný než 2 nebo 5, má reciproční hodnotu, která je nakonec periodická, ale s neopakující se sekvencí číslic, které předcházejí opakující se části. Vzájemný vztah lze vyjádřit jako:

{\ displaystyle {\ frac {1} {2^{a} 5^{b} p^{k} q^{\ ell} \ cdots}} \ ,,}

kde a a b nejsou obě nulové.

Tento zlomek lze také vyjádřit jako:

{\ Displaystyle {\ frac {5^{ab}} {10^{a} p^{k} q^{\ ell} \ cdots}} \ ,,}

pokud a > b , nebo jako

{\ Displaystyle {\ frac {2^{ba}} {10^{b} p^{k} q^{\ ell} \ cdots}} \ ,,}

pokud b > a , nebo jako

{\ Displaystyle {\ frac {1} {10^{a} p^{k} q^{\ ell} \ cdots}} \ ,,}

pokud a = b .

Desetinné číslo má:

Počáteční přechodový moment max. ( A , b ) číslic za desetinnou čárkou. Některé nebo všechny číslice v přechodném stavu mohou být nuly.
Následné opakování, které je stejné jako u zlomku 1/p ^k q ^ℓ ⋯.

Například 1/28= 0,03 571428 :

a = 2, b = 0, a další faktory p ^k q ^ℓ ⋯ = 7
existují 2 počáteční neopakující se číslice, 03; a
existuje 6 opakujících se číslic, 571428, stejné množství jako 1/7 má.

Převod opakujících se desetinných míst na zlomky

Vzhledem k opakujícímu se desetinnému místu je možné vypočítat zlomek, který jej vytvořil. Například:

{\ displaystyle {\ begin {alignedat} {1} x & = 0,333333 \ ldots \\ 10x & = 3,333333 \ ldots \ quad & {\ text {(vynásobení každé strany výše uvedeného řádku číslem 10)}} \\ 9x & = 3 & { \ text {(odečtením 1. řádku od 2.)}} \\ x & = {\ frac {3} {9}} = {\ frac {1} {3}} & {\ text {(redukce na nejnižší termíny) }} \\\ end {alignedat}}}

Další příklad:

{\ displaystyle {\ begin {alignedat} {1} x & = \ \ \ \ 0.836363636 \ ldots \\ 10x & = \ \ \ \ 8.36363636 \ ldots \ quad & {\ text {(vynásobením desetinnou silou přesuňte na desetinné místo začátek opakování)}} \\ 1000x & = 836,36363636 \ ldots & {\ text {(vynásobením mocninou 100 přesuneme desetinnou čárku na konec prvního opakujícího se desetinného čísla)}} \\ 990x & = 828 & {\ text {(odečtením odstraníme desetinná místa)}} \\ x & = {\ frac {828} {990}} = {\ frac {18 \ times 46} {18 \ times 55}} = {\ frac {46} {55}}. \ end { alignedat}}}

Zkratka

Níže uvedený postup lze použít zejména v případě, že opakování má n číslic, z nichž všechny jsou 0, s výjimkou poslední, která je 1. Například pro n = 7:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} x & = 0,000000100000010000001 \ ldots \\ 10^{7} x & = 1,00000010000000010000001 \ ldots \\\ left (10^{7} -1 \ right) x = 9999999x & = 1 \\ x & = {\ frac {1} {10^{7} -1}} = {\ frac {1} {9999999}} \ end {aligned}}}

Takže toto konkrétní opakující se desetinné číslo odpovídá zlomku 1/10 ⁿ - 1, kde jmenovatelem je číslo zapsané jako n číslic 9. S vědomím toho, že obecné opakující se desetinné číslo lze vyjádřit jako zlomek, aniž bychom museli řešit rovnici. Důvodem může být například:

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} 7,48181818 \ ldots & = 7,3+0,18181818 \ ldots \\ [8pt] & = {\ frac {73} {10}}+{\ frac {18} {99}} = {\ frac {73} {10}}+{\ frac {9 \ times 2} {9 \ times 11}} = {\ frac {73} {10}}+{\ frac {2} {11}} \\ [ 12pt] & = {\ frac {11 \ times 73+10 \ times 2} {10 \ times 11}} = {\ frac {823} {110}} \ end {zarovnaný}}}

Je možné získat obecný vzorec vyjadřující opakující se desetinnou čárku s n -digitální periodou (délkou opakování), začínající hned za desetinnou čárkou, jako zlomek:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} x & = 0. {\ overline {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}}} \\ 10^{n} x & = a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}. {\ overline {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}}} \\\ left (10^{n} -1 \ right) x = 99 \ cdots 99x & = a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n} \\ x & = {\ frac {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}} {10^{n} -1}} = {\ frac {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}} {99 \ cdots 99}} \ end {aligned}}}

Přesněji řečeno, dostaneme následující případy:

Pokud je opakující se desetinná čárka mezi 0 a 1 a opakující se blok je dlouhý n číslic, nejprve se vyskytuje hned za desetinnou čárkou, pak zlomek (ne nutně zmenšený) bude celé číslo představované n -číselným blokem děleno jeden reprezentovaný n číslicemi 9. Například,

0,444444 ... = 4/9 protože opakující se blok je 4 (1místný blok),
0,565656 ... = 56/99 protože opakující se blok je 56 (2místný blok),
0,012012 ... = 12/999protože opakující se blok je 012 (3místný blok); to dále snižuje na4/333.
0,999999 ... = 9/9 = 1, protože opakující se blok je 9 (také 1místný blok)

Pokud je opakující se desetinná část výše, kromě toho, že mezi desetinnou čárkou a opakujícím se n -digitálním blokem je k (extra) číslic 0 , pak lze jednoduše přidat k číslic 0 za n číslic 9 jmenovatele (a, jako předtím může být zlomek následně zjednodušen). Například,

0,000444 ... = 4/9000 protože opakující se blok je 4 a tomuto bloku předcházejí 3 nuly,
0,005656 ... = 56/9900 protože opakující se blok je 56 a před ním jsou 2 nuly,
0,00012012 ... = 12/99900 = 1/8325 protože opakující se blok je 012 a před ním jsou 2 nuly.

Jakékoli opakující se desítkové číslo, které nemá výše popsaný tvar, lze zapsat jako součet končícího desetinného čísla a opakujícího se desetinného čísla jednoho ze dvou výše uvedených typů (ve skutečnosti stačí první typ, ale to může vyžadovat, aby bylo ukončovací desetinné číslo záporné). Například,

1,23444 ... = 1,23 + 0,00444 ... = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900
- nebo alternativně 1,23444 ... = 0,79 + 0,44444 ... = 79/100 + 4/9 = 711/900 + 400/900 = 1111/900
0,3789789 ... = 0,3 + 0,0789789 ... = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665
- nebo alternativně 0,3789789 ... = −0,6 + 0,9789789 ... = -6/10 + 978/999 = -5994/9990 + 9780/9990 = 3786/9990 = 631/1665

Ještě rychlejší metodou je zcela ignorovat desetinnou čárku a postupovat takto

1,23444 ... = 1234 - 123/900 = 1111/900 (jmenovatel má jednu 9 a dvě 0, protože jedna číslice se opakuje a za desetinnou čárkou jsou dvě neopakující se číslice)
0,3789789 ... = 3789-3/9990 = 3786/9990 (jmenovatel má tři 9 a jednu 0, protože tři číslice se opakují a za desetinnou čárkou je jedna neopakující se číslice)

Z toho vyplývá, že jakékoli opakující se desetinné číslo s periodou n a k číslicemi za desetinnou čárkou, které nepatří do opakující se části, lze zapsat jako (ne nezbytně redukovaný) zlomek, jehož jmenovatelem je (10 ⁿ - 1) 10 ^k .

Naopak období opakujícího se desetinného zlomku C/dbude (nejvýše) nejmenší číslo n tak, že 10 ⁿ - 1 je dělitelné d .

Například zlomek 2/7má d = 7 a nejmenší k , díky kterému je 10 ^k - 1 dělitelné 7, je k = 6, protože 999999 = 7 × 142857. Perioda zlomku2/7 je tedy 6.

Opakování desetinných míst jako nekonečné řady

Opakující se desítková soustava může být také vyjádřena jako nekonečná řada . To znamená, že opakující se desetinné číslo lze považovat za součet nekonečného počtu racionálních čísel. Abych vzal nejjednodušší příklad,

{\ displaystyle 0. {\ overline {1}} = {\ frac {1} {10}}+{\ frac {1} {100}}+{\ frac {1} {1000}}+\ cdots = \ součet _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {10^{n}}}}

Výše uvedená řada je geometrická řada s prvním výrazem jako1/10 a společný faktor 1/10. Protože je absolutní hodnota společného činitele menší než 1, můžeme říci, že geometrická řada konverguje a najde přesnou hodnotu ve formě zlomku pomocí následujícího vzorce, kde a je první člen řady a r je společný faktor.

{\ displaystyle {\ frac {a} {1-r}} = {\ frac {\ frac {1} {10}} {1-{\ frac {1} {10}}}} = {\ frac {1 } {10-1}} = {\ frac {1} {9}}}

Podobně,

{\ displaystyle {\ begin {aligned} 0. {\ overline {142857}} & = {\ frac {142857} {10^{6}}}+{\ frac {142857} {10^{12}}}+ {\ frac {142857} {10^{18}}}+\ cdots = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {142857} {10^{6n}}} \\ [6px] \ implies & \ quad {\ frac {a} {1-r}} = {\ frac {\ frac {142857} {10^{6}}} {1-{\ frac {1} {10^{6} }}}} = {\ frac {142857} {10^{6} -1}} = {\ frac {142857} {999999}} = {\ frac {1} {7}} \ end {zarovnaný}}}

Násobení a cyklická permutace

Cyklické chování opakujících se desetinných míst při násobení také vede ke konstrukci celých čísel, která jsou cyklicky permutována při vynásobení určitými čísly. Například 102564 × 4 = 410256 . 102564 je opakováním4/39 a 410256 opakování 16/39.

Další vlastnosti opakovaných délek

Různé vlastnosti opakovaných délek (period) jsou dány Mitchellem a Dicksonem.

Období 1/kpro celé číslo k je vždy ≤ k - 1.
Pokud p je prvočíslo, období1/prozděluje rovnoměrně na p - 1.
Pokud je k složené, je období1/kje přísně menší než k - 1.
Období C/k, pro c coprime až k , se rovná období1/k.
Pokud k = 2 ^a 5 ^b n, kde n > 1 a n není dělitelné 2 nebo 5, pak délka přechodového1/kje max ( a , b ) a perioda se rovná r , kde r je nejmenší celé číslo tak, že 10 ^r ≡ 1 (mod n ) .
Pokud p , p ' , p ″ , ... jsou odlišná prvočísla, pak období1/p p ' p " ⋯ se rovná nejnižšímu společnému násobku období 1/p, 1/p ', 1/p ″, ....
Pokud k a k ' nemají žádné společné hlavní faktory jiné než 2 nebo 5, pak období1/kk ' se rovná nejmenšímu společnému násobku období 1/k a 1/k '.
Pro prvočíslo p , pokud

{\ displaystyle {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p}} \ right) = {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p^{2}} } \ right) = \ cdots = {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p^{m}}} \ right)}

pro některé m , ale

{\ Displaystyle {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p^{m}}} \ right) \ neq {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p ^{m+1}}} \ vpravo),}

pak pro c ≥ 0 máme

{\ Displaystyle {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p^{m+c}}} \ right) = p^{c} \ cdot {\ text {period}} \ left ( {\ frac {1} {p}} \ right).}

Pokud p je řádné prvočíslo končící na 1, to znamená, že pokud se opakuje1/pje cyklické číslo délky p - 1 a p = 10 h + 1 po dobu h , pak se v opakování objeví přesně každá číslice 0, 1, ..., 9 h = p - 1/10 krát.

Další vlastnosti opakování viz také.

Rozšíření o další základny

Různé funkce opakování desetinných míst se rozšiřují na reprezentaci čísel ve všech ostatních celočíselných základnách, nejen v základu 10:

Libovolné reálné číslo lze reprezentovat jako celočíselnou část následovanou bodem radix (zobecnění desetinné čárky na nedecimální soustavy) následovaným konečným nebo nekonečným počtem číslic .
Pokud je základem celé číslo, ukončovací sekvence zjevně představuje racionální číslo.
Racionální číslo má koncovou posloupnost, pokud jsou všechny hlavní faktory jmenovatele plně redukované zlomkové formy také faktory báze. Tato čísla tvoří hustou sadu v $Q$ a $R$ .
Pokud je poziční číselný systém standardní, má základnu

{\ Displaystyle b \ in \ mathbb {Z} \ smallsetminus \ {-1,0,1 \}}

v kombinaci s postupnou sadou číslic

{\ Displaystyle D: = \ {d_ {1}, d_ {1} +1, \ tečky, d_ {r} \}}

s

r : = | b |

,

d r : = d 1 + r -1

a

0 \in D

, pak je koncová sekvence evidentně ekvivalentní stejné sekvenci s nekončící opakující se částí sestávající z číslice 0. Pokud je báze kladná, pak existuje pořadí homomorphism z lexikografické uspořádání z pravostrannou nekonečné řetězce nad abecedou

d

do nějakého uzavřeného intervalu reals, která mapuje na struny

0. 12 ... a n d b

a

0. 1 a 2 .. . (A n +1) d 1

s

A i \in D

a

A n \neq d b

na stejné skutečné číslo - a neexistují žádné další duplicitní obrázky. V desítkové soustavě například existuje 0. 9 = 1. 0 = 1; ve vyrovnané ternární soustavě je 0. 1 = 1. T = 12.

Racionální číslo má neurčitě se opakující posloupnost konečné délky $l$ , pokud jmenovatel redukovaného zlomku obsahuje primární faktor, který není faktorem báze. Pokud $q$ je maximální faktor redukovaného jmenovatele, který je coprime k základu, $l$ je nejmenší exponent takový, že $q$ dělí $b l - 1$ . To je multiplikativní pořadí $ord q (b)$ třídy zbytku $b mod q$ , která je dělitel funkce Carmichael $lambda (q),$ který je zase menší než $q$ . Opakující se sekvenci předchází přechodník konečné délky, pokud redukovaná frakce také sdílí primární faktor se základnou. Opakující se sekvence

{\ displaystyle \ left (0. {\ overline {A_ {1} A_ {2} \ ldots A _ {\ ell}}} \ right) _ {b}}

představuje zlomek

{\ displaystyle {\ frac {(A_ {1} A_ {2} \ ldots A _ {\ ell}) _ {b}} {b^{l} -1}}.}

Iracionální číslo má reprezentaci nekonečné délky, která v žádném bodě není neurčitě se opakující posloupností konečné délky.

Například v duodecimální ,1/2 = 0,6, 1/3 = 0,4, 1/4 = 0,3 a 1/6 = 0,2 vše ukončeno; 1/5= 0, 2497 opakování s periodou délky 4, na rozdíl od ekvivalentního desetinného rozšíření 0,2;1/7= 0. 186A35 má periodu 6 v duodecimálním, stejně jako v desítkové.

Pokud b je celočíselná báze a k je celé číslo,

{\ displaystyle {\ frac {1} {k}} = {\ frac {1} {b}}+{\ frac {(bk)^{1}} {b^{2}}}+{\ frac { (bk)^{2}} {b^{3}}}+{\ frac {(bk)^{3}} {b^{4}}}+{\ frac {(bk)^{4}} {b^{5}}}+\ cdots+{\ frac {(bk)^{N-1}} {b^{N}}}+\ cdots}

Například 1/7 v duodecimálu:

17 = (110 + 510 ² + 2110 ³ + A510 ⁴ + 44110 ⁵ + 198510 ⁶+ ...) _{základna 12}

což je 0, 186A35 (základ 12). 10 (základna 12) je 12 (základna 10), 10 ² (základna 12) je 144 (základna 10), 21 (základna 12) je 25 (základna 10), A5 (základna 12) je 125 (základna 10),. ..

Algoritmus pro kladné báze

Pro racionální $0 < p / q <1$ (a základna $b \in N > 1$ ) existuje následující algoritmus produkující opakování spolu s jeho délkou:

function b_adic(b,p,q) // b ≥ 2; 0 < p < q
  static digits = "0123..."; // up to the digit with value b–1
begin
  s = "";   // the string of digits
  pos = 0; // all places are right to the radix point
  while not defined(occurs[p]) do
    occurs[p] = pos;  // the position of the place with remainder p
    bp = b*p;
    z = floor(bp/q); // index z of digit within: 0 ≤ z ≤ b-1
    p = b*p − z*q;    // 0 ≤ p < q
    if p = 0 then L = 0; return (s); end if
    s = s . substring(digits, z, 1); // append the character of the digit
    pos += 1;
  end while
  L = pos - occurs[p]; // the length of the repetend (being < q)
  // mark the digits of the repetend by a vinculum:
  for i from occurs[p] to pos-1 do
    substring(s, i, 1) = overline(substring(s, i, 1));
  end for
  return (s);
end function

První zvýrazněný řádek vypočítá číslici z .

Následující řádek vypočítá nový zbytek p ' divize modulo jmenovatele q . V důsledku funkce podlahy floor máme

{\ Displaystyle {\ frac {bp} {q}}-1 \; \; <\; \; z = \ left \ lfloor {\ frac {bp} {q}} \ right \ rfloor \; \; \ leq \; \; {\ frac {bp} {q}},}

tím pádem

{\ Displaystyle bp-q <zq \ quad \ implikuje \ quad p ': = bp-zq <q}

a

{\ Displaystyle zq \ leq bp \ quad \ implikuje \ quad 0 \ leq bp-zq =: p '\ ,.}

Protože všechny tyto zbytky p jsou nezáporná celá čísla menší než q , může jich být jen konečný počet s důsledkem, že se musí opakovat ve whilesmyčce. Taková recidiva je detekována asociativním polem occurs . Nová číslice z je vytvořena ve žluté čáře, kde p je jediná nekonstanta. Délka L opakování se rovná počtu zbývajících (viz také část Každé racionální číslo je buď ukončovací nebo opakující se desetinné číslo ).

Aplikace v kryptografii

Opakující se desetinná místa (také nazývaná desetinná posloupnost) našli kryptografické aplikace a aplikace pro kódování pro opravu chyb. V těchto aplikacích se obecně používá opakování desetinných míst na základnu 2, což vede k binárním sekvencím. Binární posloupnost maximální délky pro1/p(když 2 je primitivní kořen p ) je dán vztahem:

{\ Displaystyle a (i) = 2^{i} {\ bmod {p}} {\ bmod {2}}}

Tyto sekvence období p - 1 mají autokorelační funkci, která má záporný vrchol -1 pro posunutíp - 1/2. Náhodnost těchto sekvencí byla zkoumána tvrdými testy .

Viz také

Desetinná reprezentace
Plně reptend prime
Midyho věta
Parazitické číslo
Koncová nula
Unikátní prime
0,999 ... , opakující se desetinná čárka rovná jedné
Pigeonholeův princip

Reference a poznámky

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Opakování desetinných míst“ . MathWorld .

Languages

In other projects