Riemannův integrál - Riemann integral

Část série článků o
Počet
Základní věta Leibnizovo integrální pravidlo Limity funkcí Kontinuita Věta o střední hodnotě Rollova věta
Rozdíl Definice Derivace  ( zobecnění ) Rozdíl infinitezimální funkce celkový Pojmy Diferenciační notace Druhá derivace Implicitní diferenciace Logaritmická diferenciace Související ceny Taylorova věta Pravidla a identity Součet Produkt Řetěz Napájení Kvocient Pravidlo L'Hôpital Inverzní Generál Leibniz Vzorec Faà di Bruna Reynolds
Integrální Seznamy integrálů Integrální transformace Definice Antiderivativní Integrální  ( nevhodné ) Riemannův integrál Integrace Lebesgue Integrace obrysů Integrace inverzních funkcí Integrace od Díly Disky Válcové skořepiny Substituce  ( trigonometrická , Weierstrass , Euler ) Eulerův vzorec Částečné zlomky Změna pořadí Redukční vzorce Rozlišování podle integrálního znaku Rischův algoritmus
Série Geometrický  ( aritmeticko-geometrický ) Harmonický Střídavě Napájení Binomický Taylor Konvergenční testy Limit součtu (termínový test) Poměr Vykořenit Integrální Přímé srovnání Porovnání limitů Střídající se série Cauchyho kondenzace Dirichlet Abel
Vektor Spád Divergence Kučera Laplacián Směrový derivát Identity Věty Spád Zelenina Stokes ' Divergence generalizované Stokes
Více proměnných Formalismy Matice Tensor Vnější Geometrický Definice Parciální derivace Vícenásobný integrál Liniový integrál Povrchový integrál Objemový integrál Jakobijský Hesián
Specializované Frakční Malliavin Stochastický Variace
Smíšený Precalculus Dějiny Glosář Seznam témat Integrace Bee Analýza
proti t E

V odvětví matematiky známé jako reálné analýze se Riemann integrál , vytvořený Bernhard Riemann , byl první důsledné definice integrálu části funkce na intervalu . Byl předložen fakultě na univerzitě v Göttingenu v roce 1854, ale publikován v časopise až v roce 1868. U mnoha funkcí a praktických aplikací lze Riemannův integrál hodnotit podle základní věty o počtu nebo jej aproximovat numerickou integrací .

Riemannův integrál je pro mnoho teoretických účelů nevhodný. Některé technické nedostatky v Riemannově integraci lze napravit pomocí Riemann -Stieltjesova integrálu a většina zmizí pomocí Lebesgueova integrálu , i když tento nemá uspokojivé zacházení s nevhodnými integrály . Měřidlo integrál je zobecněním Lebesgueův integrál, který je zároveň blíže k Riemann integrálu. Tyto obecnější teorie umožňují integraci více „zubatých“ nebo „vysoce oscilujících“ funkcí, jejichž Riemannův integrál neexistuje; ale teorie dávají stejnou hodnotu jako Riemannův integrál, pokud existuje.

Ve vzdělávacím prostředí nabízí integrál Darboux jednodušší definici, se kterou se snadněji pracuje; lze jej použít k zavedení Riemannova integrálu. Integrál Darboux je definován vždy, když je Riemannův integrál, a vždy dává stejný výsledek. Naopak integrál měřidla je jednoduchou, ale výkonnější generalizací Riemannova integrálu a vedl některé pedagogy k obhajobě, že by měl nahradit Riemannův integrál v úvodních kurzech počtu.

Přehled

Nechť f je nezáporná reálná funkce v intervalu [ a , b ] a nechť

${\ Displaystyle S = \ left \ {(x, y) \,: \ a \ leq x \ leq b, 0 <y <f (x) \ right \}}$

být oblast roviny pod grafem funkce f a nad intervalem [ a , b ] (viz obrázek vpravo nahoře). Zajímáme se o měření plochy S . Jakmile to změříme, označíme oblast:

${\ Displaystyle \ int _ {a}^{b} f (x) \, dx.}$

Základní myšlenkou Riemannův integrál je použití velmi jednoduché aproximace pro oblast S . Užíváním stále lepších aproximací můžeme říci, že „v mezích“ dostaneme přesně oblast S pod křivkou.

Kde f může být kladné i záporné, definice S se upraví tak, aby integrál odpovídal oblasti se znaménkem pod grafem f : tj. Oblast nad osou x mínus oblast pod osou x .

Definice

Oddíly intervalu

Rozdělení intervalu [ , b ], je konečná posloupnost čísel formuláře

${\ Displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <x_ {2} <\ dots <x_ {n} = b}$

Každé [ x _i , x _{i + 1} ] se nazývá dílčí interval oddílu. Ok nebo normou z oddílu je definována jako délka nejdelšího dílčího intervalu, který je,

${\ Displaystyle \ max \ left (x_ {i+1} -x_ {i} \ right), \ quad i \ in [0, n-1].}$

Značený oddíl P ( x , t ) z intervalu [ , b ] je oddíl společně s konečnou posloupnosti čísel t ₀ , ..., t _{n - 1} a to za podmínek, které pro každé i , t _i ∈ [ x _i , x _{i + 1} ] . Jinými slovy, je to oddíl společně s rozlišovacím bodem každého dílčího intervalu. Síť označeného oddílu je stejná jako síť běžného oddílu.

Předpokládejme, že dva oddíly P ( x , t ) a Q ( y , s ) jsou oba oddíly intervalu [ a , b ] . Říkáme, že Q ( y , to ) je zjemnění z P ( x , t ), pokud pro každý celé číslo i , s i ∈ [0, n ] , existuje celé číslo R ( i ) tak, že x _i = y _{r ( i )} a tak, že t _i = s _j pro některé j s j ∈ [ r ( i ), r ( i + 1)) . Jednodušeji řečeno, upřesnění označeného oddílu rozbije některé dílčí intervaly a v případě potřeby přidá do oddílu značky, čímž „zpřesní“ přesnost oddílu.

Můžeme proměnit množinu všech označených oddílů na směrovanou množinu tím, že řekneme, že jeden označený oddíl je větší nebo roven druhému, pokud je první vylepšením druhého.

Riemannův součet

Nechť f je funkce s reálnou hodnotou definovaná na intervalu [ a , b ] . Riemann součet z f vzhledem k značeného oddílu x ₀ , ..., x _n s t ₀ , ..., t _{n - 1} je

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n-1} f (t_ {i}) \ left (x_ {i+1} -x_ {i} \ right).}$

Každý člen v součtu je součinem hodnoty funkce v daném bodě a délky intervalu. V důsledku toho každý výraz představuje (podepsanou) oblast obdélníku s výškou f ( t _i ) a šířkou x _{i + 1} - x _i . Riemannův součet je (podepsaná) plocha všech obdélníků.

Úzce související pojmy jsou spodní a horní částky Darboux . Jsou podobné Riemannovým součtům, ale značky jsou nahrazeny infimem a supremem (respektive) f v každém dílčím intervalu:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} L (f, P) & = \ sum _ {i = 0}^{n-1} \ inf _ {t \ in [x_ {i}, x_ {i+1} ]} f (t) (x_ {i+1} -x_ {i}), \\ U (f, P) & = \ sum _ {i = 0}^{n-1} \ sup _ {t \ v [x_ {i}, x_ {i+1}]} f (t) (x_ {i+1} -x_ {i}). \ end {aligned}}}$

Pokud je f spojité, pak se spodní a horní součet Darboux pro neoznačený oddíl rovná Riemannově součtu pro tento oddíl, kde jsou značky vybrány jako minimum nebo maximum (respektive) f na každém subintervalu. (Je -li f na podintervalu diskontinuální, nemusí existovat značka, která by v tomto podintervalu dosáhla infimum nebo supremum.) Darbouxův integrál , který je podobný Riemannovu integrálu, ale vychází z darbouxských součtů, je ekvivalentní Riemannovu integrálu.

Riemannův integrál

Volně řečeno, Riemannův integrál je limitem Riemannových součtů funkce, jak jsou oddíly jemnější. Pokud limit existuje, pak se o funkci říká, že je integrovatelná (nebo konkrétněji Riemann-integrovatelná ). Riemannův součet lze provést tak blízko, jak je požadováno, Riemannově integrálu tak, že přepážka bude dostatečně jemná.

Jedním důležitým požadavkem je, aby se síť přepážek zmenšovala a zmenšovala, takže v limitu je nulová. Pokud by tomu tak nebylo, pak bychom v určitých dílčích intervalech nedostali dobrou aproximaci funkce. Ve skutečnosti to stačí k definování integrálu. Abychom byli konkrétní, říkáme, že Riemannův integrál f se rovná s, pokud platí následující podmínka:

Pro všechny e > 0 existuje δ > 0 tak, že pro každý značeného oddíl x ₀ , ..., x _n a t ₀ , ..., t _{n - 1} , jehož ok menší než delta , máme

${\ Displaystyle \ left | \ left (\ sum _ {i = 0}^{n-1} f (t_ {i}) (x_ {i+1} -x_ {i}) \ right) -s \ right | <\ varepsilon.}$

Tuto definici je bohužel velmi obtížné použít. Pomohlo by vyvinout ekvivalentní definici Riemannova integrálu, se kterou se snadněji pracuje. Tuto definici nyní rozvíjíme a následuje důkaz ekvivalence. Naše nová definice říká, že Riemannův integrál f se rovná s, pokud platí následující podmínka:

Pro všechny e > 0 , existuje v označeném oddílu, y ₀ , ..., y _m a r ₀ , ..., r _{m - 1} tak, že pro každý oddíl značeného x ₀ , ..., x _n a t ₀ , ..., t _{n - 1,} což je upřesnění y ₀ , ..., y _m a r ₀ , ..., r _{m - 1} , máme

${\ Displaystyle \ left | \ left (\ sum _ {i = 0}^{n-1} f (t_ {i}) (x_ {i+1} -x_ {i}) \ right) -s \ right | <\ varepsilon.}$

Oba tyto znamenají, že nakonec se Riemannův součet f s ohledem na jakýkoli oddíl uvězní v blízkosti s . Protože je to pravda, bez ohledu na to, jak blízko požadujeme zachycení částek, říkáme, že Riemannovy částky konvergují k s . Tyto definice jsou ve skutečnosti zvláštním případem obecnějšího pojmu, sítě .

Jak jsme uvedli dříve, tyto dvě definice jsou ekvivalentní. Jinými slovy, s funguje v první definici právě tehdy, když s funguje ve druhé definici. Chcete -li ukázat, že první definice implikuje druhou, začněte s ε a zvolte δ, které splňuje podmínku. Vyberte libovolný označený oddíl, jehož síť je menší než δ . Jeho Riemann součet je v e o s a jakékoliv zjemnění Tato oblast bude mít také mesh menším ó , takže Riemann součet zdokonalení bude i v e o s .

Abychom ukázali, že druhá definice implikuje první, je nejjednodušší použít integrál Darboux . Za prvé, jeden ukazuje, že druhá definice je ekvivalentní definici integrálu Darboux; viz článek Darboux Integral . Nyní ukážeme, že integrovatelná funkce Darboux splňuje první definici. Opravte ε a zvolte oddíl y ₀ , ..., y _m tak, aby spodní a horní součty Darboux vzhledem k tomuto oddílu byly v rozmezí ε /2 hodnot s integrálu Darboux. Nechat

${\ Displaystyle r = 2 \ sup _ {x \ in [a, b]} | f (x) |.}$

Pokud r = 0 , pak f je nulová funkce, která je zjevně Darboux i Riemann integrovatelná s integrální nulou. Proto budeme předpokládat, že r > 0 . Pokud m > 1 , pak zvolíme δ takové, že

${\ Displaystyle \ delta <\ min \ left \ {{\ frac {\ varepsilon} {2r (m-1)}}, \ left (y_ {1} -y_ {0} \ right), \ left (y_ { 2} -y_ {1} \ right), \ cdots, \ left (y_ {m} -y_ {m-1} \ right) \ right \}}$

Pokud m = 1 , pak zvolíme δ jako menší než jedna. Vyberte označený oddíl x ₀ , ..., x _n a t ₀ , ..., t _{n - 1} se sítí menší než δ . Musíme ukázat, že Riemann součet je v rámci e o s .

Chcete -li to zobrazit, zvolte interval [ x _i , x _{i + 1} ] . Pokud je tento interval obsažen v nějakém [ y _j , y _{j + 1} ] , pak

${\ Displaystyle m_ {j} <f (t_ {i}) <M_ {j}}$

kde m _j a M _j jsou jednotlivě, infimum a supremum f na [ y _j , y _{j + 1} ] . Pokud by všechny intervaly měly tuto vlastnost, pak by tím byl důkaz ukončen, protože každý člen v Riemannově součtu by byl ohraničen odpovídajícím výrazem v součtech Darboux a my jsme vybrali součty Darboux blízko s . To je případ, kdy m = 1 , takže důkaz je v takovém případě dokončen.

Můžeme tedy předpokládat, že m > 1 . V tomto případě je možné, že jeden z [ x _i , x _{i + 1} ] není obsažen v žádném [ y _j , y _{j + 1} ] . Místo toho se může protáhnout ve dvou intervalech určených y ₀ , ..., y _m . (Nemůže splnit tři intervaly, protože se předpokládá, že δ je menší než délka jakéhokoli jednoho intervalu.) V symbolech se může stát, že

${\ Displaystyle y_ {j} <x_ {i} <y_ {j+1} <x_ {i+1} <y_ {j+2}.}$

(Můžeme předpokládat, že všechny nerovnosti jsou přísné, protože jinak jsme v předchozím případě naším předpokladem o délce δ .) To se může stát nanejvýš m - 1krát.

Abychom tento případ zvládli, odhadneme rozdíl mezi Riemannovým součtem a Darbouxovým součtem rozdělením oddílu x ₀ , ..., x _n na y _{j + 1} . Termín f ( t _i ) ( x _{i + 1} - x _i ) v Riemannově součtu se dělí na dva termíny:

${\ Displaystyle f \ left (t_ {i} \ right) \ left (x_ {i+1} -x_ {i} \ right) = f \ left (t_ {i} \ right) \ left (x_ {i+ 1} -y_ {j+1} \ right)+f \ left (t_ {i} \ right) \ left (y_ {j+1} -x_ {i} \ right).}$

Předpokládejme bez ztráty obecnosti, že t _i ∈ [ y _j , y _{j + 1} ] . Pak

${\ Displaystyle m_ {j} <f (t_ {i}) <M_ {j},}$

tento termín je tedy ohraničen odpovídajícím termínem v součtu Darboux pro y _j . Chcete -li svázat další výraz, všimněte si toho

${\ Displaystyle x_ {i+1} -y_ {j+1} <\ delta <{\ frac {\ varepsilon} {2r (m-1)}},}$

Z toho vyplývá, že pro některé (skutečně jakékoli) t^*
_i∈ [ y _{j + 1} , x _{i + 1} ] ,

${\ Displaystyle \ left | f \ left (t_ {i} \ right) -f \ left (t_ {i}^{*} \ right) \ right | \ left (x_ {i+1} -y_ {j+ 1} \ right) <{\ frac {\ varepsilon} {2 (m-1)}}}.}$

Protože k tomu dochází nanejvýš m - 1krát, je vzdálenost mezi Riemannovým součtem a Darbouxovým součtem nanejvýš ε /2 . Proto je vzdálenost mezi Riemannovým součtem a s nejvýše  ε .

Příklady

Nechť je funkce, která nabývá hodnoty 1 v každém bodě. Jakýkoli Riemannův součet f na [0, 1] bude mít hodnotu 1, proto je Riemannův integrál f na [0, 1] 1. ${\ Displaystyle f: [0,1] \ to \ mathbb {R}}$

Nechť je indikační funkcí racionálních čísel v [0, 1] ; to znamená, že nabývá hodnoty 1 u racionálních čísel a 0 u iracionálních čísel. Tato funkce nemá Riemannův integrál. Abychom to dokázali, ukážeme si, jak sestrojit označené oddíly, jejichž Riemannovy součty se libovolně blíží nule i jedničce. ${\ Displaystyle I _ {\ mathbb {Q}}: [0,1] \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle I _ {\ mathbb {Q}}}$

Chcete -li začít, nechť x ₀ , ..., x _n a t ₀ , ..., t _{n - 1} je označený oddíl (každé t _i je mezi x _i a x _{i + 1} ). Zvolte ε > 0 . Hodnota t _i již byla vybrána a v těchto bodech nemůžeme změnit hodnotu f . Pokud ale rozdělíme přepážku na malé kousky kolem každého t _i , můžeme účinek t _i minimalizovat . Potom pečlivým výběrem nových tagů můžeme dosáhnout toho, aby se hodnota Riemannova součtu pohybovala v rozmezí ε buď nula nebo jedna.

Naším prvním krokem je rozřezat příčku. Existuje n o t _i , a chceme, aby jejich celkový vliv na méně než £ . Omezíme -li každý z nich na interval menší než ε / n , pak příspěvek každého t _i k Riemannově součtu bude alespoň 0 · ε / n a nejvýše 1 · ε / n . Tím je celkový součet minimálně nulový a maximálně ε . Nechť δ je kladné číslo menší než ε / n . Pokud se stane, že dvě z t _i jsou v rozmezí δ od sebe, zvolte δ menší. Pokud se stane, že některé t _i je v rozmezí δ některých x _j , a t _i není rovno x _j , zvolte δ menší. Protože existuje jen konečný počet t _i a x _j , můžeme vždy zvolit δ dostatečně malý.

Nyní přidáme do oddílu dva řezy pro každé t _i . Jeden z řezů bude v t _i - δ /2 a druhý v t _i + δ /2 . Pokud některý z nich opustí interval [0, 1], pak jej vynecháme. t _i bude tag odpovídající podintervalu

${\ Displaystyle \ left [t_ {i}-{\ frac {\ delta} {2}}, t_ {i}+{\ frac {\ delta} {2}} \ right].}$

Pokud je t _i přímo nahoře na jednom z x _j , pak necháme t _i být tag pro oba intervaly:

${\ Displaystyle \ left [t_ {i}-{\ frac {\ delta} {2}}, x_ {j} \ right], \ quad {\ text {and}} \ quad \ left [x_ {j}, t_ {i}+{\ frac {\ delta} {2}} \ right].}$

Stále musíme vybrat tagy pro ostatní podintervaly. Vybereme je dvěma různými způsoby. První způsob je vždy zvolit racionální bod , aby Riemannův součet byl co největší. Díky tomu bude hodnota Riemannova součtu alespoň 1 - ε . Druhým způsobem je vždy zvolit iracionální bod, aby byl Riemannův součet co nejmenší. Díky tomu bude hodnota Riemannova součtu nejvýše ε .

Protože jsme začínali z libovolného oddílu a skončili jsme tak blízko, jak jsme chtěli, buď na nulu, nebo na jednu, je nepravdivé tvrdit, že jsme nakonec uvězněni poblíž nějakého čísla s , takže tato funkce není Riemann integrovatelná. Je však Lebesgue integrovatelný . V Lebesgueově smyslu je jeho integrál nulový, protože funkce je nulová téměř všude . Ale to je fakt, který je mimo dosah Riemannova integrálu.

Existují ještě horší příklady. je ekvivalentní (to znamená, že se rovná téměř všude) Riemannově integrovatelné funkci, ale existují neriemannovsky integrovatelné ohraničené funkce, které nejsou ekvivalentní žádné Riemannově integrovatelné funkci. Například nechť C je sada Smith – Volterra – Cantor a nechť I _C je její indikátorová funkce. Protože C není Jordan měřitelné , I _C není Riemann integrovatelný. Navíc žádná funkce g ekvivalentní I _C není Riemannově integrovatelná: g , stejně jako I _C , musí být na husté množině nula, takže jako v předchozím příkladu má jakýkoli Riemannův součet g upřesnění, které je v rámci ε 0 pro jakékoli kladné číslo  ε . Pokud ale existuje Riemannův integrál z g , pak se musí rovnat Lebesgueovu integrálu I _C , což je 1/2 . Proto g není Riemann integrovatelné. ${\ displaystyle I _ {\ mathbb {Q}}}$

Podobné koncepty

Je populární definovat Riemannův integrál jako Darbouxův integrál . Důvodem je, že integrál Darboux je technicky jednodušší a protože funkce je integrovatelná do Riemann právě tehdy, pokud je integrovatelná do Darboux.

Některé knihy kalkulů nepoužívají obecné označené oddíly, ale omezují se na konkrétní typy označených oddílů. Pokud je typ oddílu příliš omezený, mohou se některé neintegrovatelné funkce jevit jako integrovatelné.

Jedním z populárních omezení je použití Riemannových součtů „pro leváky“ a „pro praváky“. V Riemannově součtu na levé straně t _i = x _i pro všechna i a na Riemannově součtu na pravé straně t _i = x _{i + 1} pro všechna i . Sám toto omezení nečiní problém: jakýkoli oddíl můžeme upřesnit způsobem, který z něj činí součet pro levou nebo pravou část, a to rozdělením na každé t _i . Ve formálnějším jazyce je množina všech Riemannových součtů na levé straně a množina všech Riemannových součtů na pravé straně souběžná v sadě všech označených oddílů.

Dalším populárním omezením je používání pravidelných dělení intervalu. Například n th pravidelné rozdělení [0, 1] se skládá z intervalů

${\ Displaystyle \ left [0, {\ frac {1} {n}} \ right], \ left [{\ frac {1} {n}}, {\ frac {2} {n}} \ right], \ ldots, \ left [{\ frac {n-1} {n}}, 1 \ right].}$

Opět platí, že toto omezení samo o sobě nepředstavuje problém, ale odůvodnění potřebné k pochopení této skutečnosti je obtížnější než v případě Riemannových součtů na levé a pravé straně.

Kombinace těchto omezení, takže člověk používá v pravidelně dělených intervalech pouze Riemannovy součty na levé nebo pravé straně, je nebezpečná. Pokud je předem známa funkce jako Riemannova integrovatelná, pak tato technika poskytne správnou hodnotu integrálu. Ale za těchto podmínek se funkce indikátoru bude jevit jako integrovatelná na [0, 1] s integrálem rovným jedné: Každý koncový bod každého subintervalu bude racionální číslo, takže funkce bude vždy vyhodnocena na racionálních číslech, a proto bude vždy se jeví jako jeden. Problém s touto definicí se projeví, když se pokusíme rozdělit integrál na dvě části. Následující rovnice by měla platit: ${\ displaystyle I _ {\ mathbb {Q}}}$

${\ Displaystyle \ int _ {0}^{{\ sqrt {2}}-1} I _ {\ mathbb {Q}} (x) \, dx+\ int _ {{\ sqrt {2}}-1}^ {1} I _ {\ mathbb {Q}} (x) \, dx = \ int _ {0}^{1} I _ {\ mathbb {Q}} (x) \, dx.}$

Pokud použijeme pravidelné dělení a Riemannovy součty na levé nebo pravé straně, pak jsou dva členy nalevo rovny nule, protože každý koncový bod kromě 0 a 1 bude iracionální, ale jak jsme viděli výraz vpravo rovná 1.

Jak je definováno výše, Riemannův integrál se tomuto problému vyhýbá tím, že odmítá integrovat Lebesgueův integrál je definován tak, že všechny tyto integrály jsou 0. ${\ displaystyle I _ {\ mathbb {Q}}.}$

Vlastnosti

Linearita

Riemannův integrál je lineární transformace; to znamená, že pokud f a g jsou Riemannově integrovatelné na [ a , b ] a α a β jsou konstanty, pak

${\ Displaystyle \ int _ {a}^{b} (\ alpha f (x)+\ beta g (x)) \, dx = \ alpha \ int _ {a}^{b} f (x) \, dx+\ beta \ int _ {a}^{b} g (x) \, dx.}$

Protože Riemannův integrál funkce je číslo, činí z Riemannova integrálu lineární funkci ve vektorovém prostoru Riemannových integrovatelných funkcí.

Integrovatelnost

Omezená funkce na kompaktním intervalu [ , b ] je Riemann integrovatelná tehdy a jen tehdy, když je spojitá téměř všude (množina jeho body nespojitosti má nulové míry , v tom smyslu, Lebesgue opatření ). To je Lebesgueova-Vitaliho věta (charakterizace Riemannovských integrovatelných funkcí). To bylo prokázáno nezávisleGiuseppe VitaliaHenri Lebesgueemv roce 1907 a používá pojemmíry nula, ale nevyužívá ani Lebesgueova obecného měřítka ani integrálu.

Stav integrability lze prokázat různými způsoby, z nichž jeden je načrtnut níže.

Důkaz

Důkaz je nejsnazší pomocí Darbouxovy integrální definice integrability (formálně Riemannova podmínka integrability) - funkce je Riemann integrovatelná tehdy a jen tehdy, pokud lze horní a dolní součet libovolně uzavřít výběrem vhodného oddílu. Jeden směr lze prokázat pomocí oscilační definice spojitosti: Pro každé kladné ε nechť X ε je množina bodů v [ a , b ] s oscilací alespoň ε . Protože každý bod, kde f je diskontinuální, má kladnou oscilaci a naopak, množina bodů v [ a , b ] , kde f je diskontinuální, se rovná sjednocení přes { X 1/ n } pro všechna přirozená čísla n . Pokud tato sada nemá nulovou Lebesgueovu míru , pak počítatelnou aditivitou míry existuje alespoň jedno takové n, takže X 1/ n nemá nulovou míru. Existuje tedy určité kladné číslo c , takže každá spočítatelná sbírka otevřených intervalů pokrývající X 1/ n má celkovou délku alespoň c . Zejména to platí také pro každou takovou konečnou sbírku intervalů. To platí i pro X 1/ n mínus konečný počet bodů (protože konečný počet bodů lze vždy pokrýt konečnou kolekcí intervalů s libovolně malou celkovou délkou). Pro každý oddíl [ a , b ] zvažte množinu intervalů, jejichž vnitřky obsahují body od X 1/ n . Tyto interiéry se skládají z konečného otevřeného krytu X 1/ n , případně až konečného počtu bodů (které mohou spadat na hrany intervalu). Tyto intervaly mají tedy celkovou délku alespoň c . Protože v těchto bodech f má kmitání alespoň 1 / n , v infimum v f v každém z těchto intervalů se liší alespoň o 1 / n . Horní a dolní součet f se tedy liší alespoň o c / n . Protože to platí pro každý oddíl, f není integrovatelné do Riemannu. Nyní dokážeme směr obrácení pomocí výše definovaných sad X ε . Pro každý e , X ε je kompaktní , neboť je ohraničen (o a , b ) a uzavřené: Pro každou řadu bodů v X ε, která konverguje v [ a , b ] , je její limit také v X ε . Důvodem je, že každé sousedství mezního bodu je také sousedstvím nějakého bodu v X ε , a tedy f má na sobě oscilaci alespoň ε . Mezní bod je tedy v X ε . Předpokládejme nyní, že f je spojité téměř všude . Pak pro každé ε má X ε nulovou Lebesgueovu míru . Proto je spočetná sbírky otevřených intervalech [ , b ] , který je otevřený kryt z X e , tak, aby součet přes všechny své délky je libovolně malý. Protože X ε je kompaktní , existuje konečný podkryt - konečné kolekce otevřených intervalů v [ a , b ] s libovolně malou celkovou délkou, které dohromady obsahují všechny body v X ε . Tyto intervaly označujeme { I ( ε ) i } , pro 1 ≤ i ≤ k , pro nějaké přirozené k . Doplněk na spojení těchto intervalů je sám unie z konečného počtu intervalů, které označujeme { J ( ε ) i } (pro 1 ≤ i ≤ k - 1 a případně pro i = K , K + 1 , jakož ). Nyní ukážeme, že pro každé ε > 0 existují horní a dolní součty, jejichž rozdíl je menší než ε , z čehož vyplývá integrálnost Riemanna. Za tímto účelem vytvoříme oddíl [ a , b ] takto: Označme £ 1 = ε / 2 ( b - ) a e 2 = ε / 2 ( M - m ) , kde m a M , jsou infimum z f o [ a , b ] . Protože si můžeme libovolně vybrat intervaly { I ( ε 1 ) i } s libovolně malou celkovou délkou, volíme je tak, aby měly celkovou délku menší než ε 2 . Každý z intervalů { J ( ε 1 ) i } má prázdný průsečík s X ε 1 , takže každý bod v něm má sousedství s oscilací menší než ε 1 . Tato sousedství se skládají z otevřeného krytu intervalu, a protože je tento interval kompaktní, existuje jejich konečné utajení. Tento podkryt je konečnou kolekcí otevřených intervalů, které jsou podintervaly J ( ε 1 ) i (kromě těch, které obsahují okrajový bod, u kterého bereme pouze jejich průnik s J ( ε 1 ) i ) . Okrajové body dílčích intervalů pro všechny J ( ε 1 ) i - s , včetně okrajových bodů samotných intervalů, bereme jako náš oddíl. Oddíl tedy rozděluje [ a , b ] na dva druhy intervalů: Intervaly posledního druhu (samy podintervaly nějakého J ( ε 1 ) i ). V každém z nich f osciluje o méně než ε 1 . Protože jejich celková délka není větší než b - a , spolu přispívají nanejvýš ε∗ 1( b - a ) = ε /2 k rozdílu mezi horním a dolním součtem oddílu. Intervaly { I ( ε ) i } . Ty mají celkovou délku menší než ε 2 , a f na nich osciluje ne více než M - m . Společně tedy přispívají méně než ε∗ 2( M - m ) = ε /2 k rozdílu mezi horním a dolním součtem přepážky. Celkově je rozdíl mezi horním a dolním součtem přepážky podle potřeby menší než ε .

Zejména každá množina, která je nanejvýš spočitatelná, má Lebesgueovu míru nula, a proto je Riemannova integrovatelná omezená funkce (na kompaktním intervalu) s pouze konečným nebo spočitatelným množstvím nespojitostí.

Funkce ukazatel z omezená množina je Riemann-integrovatelná tehdy a jen tehdy, pokud je souprava Jordan měřitelná . Riemannův integrál lze měřit teoreticky jako integrál s ohledem na Jordanovu míru.

Pokud je funkce se skutečnou hodnotou monotónní v intervalu [ a , b ] , je Riemannově integrovatelná, protože její množina nespojitostí je nanejvýš spočitatelná, a proto Lebesgueova míra nula.

Pokud je funkce s reálnou hodnotou na [ a , b ] integrována do Riemannu, je integrovatelná do Lebesgueova systému . To znamená, že integrace Riemannovy integrace je silnější (což znamená, že je obtížnější ji splnit) než Lebesgueova integrabilita.

Pro Lebesgue-Vitaliho se zdá, že všechny typy diskontinuit mají stejnou váhu na překážce, že omezená funkce s reálnou hodnotou je Riemann integrovatelná na [ a , b ] . To však není tento případ. Ve skutečnosti určité diskontinuity nemají absolutně žádnou roli na Riemannově integrovatelnosti funkce. To je důsledek klasifikace nespojitostí funkce.

Jestliže f _n je rovnoměrně konvergentní posloupnost na [ a , b ] s mezí f , pak Riemannova integrabilita všech f _n implikuje Riemannovu integrovatelnost f , a

${\ Displaystyle \ int _ {a}^{b} f \, dx = \ int _ {a}^{b} {\ lim _ {n \ to \ infty} {f_ {n}} \, dx} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {a}^{b} f_ {n} \, dx.}$

Nicméně, Lebesgue monotónní věta o konvergenci (na hranici monotónní bodové) neplatí. V Riemannově integraci je mnohem obtížnější logicky zdůvodnit přijímání limitů pod integrálním znakem než v Lebesgueově integraci.

Zobecnění

Je snadné rozšířit Riemannův integrál na funkce s hodnotami v euklidovském vektorovém prostoru pro libovolné n . Integrál je definován komponentově; jinými slovy, pokud f = ( f ₁ , ..., f _n ) pak ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ Displaystyle \ int \ mathbf {f} = \ left (\ int f_ {1}, \, \ dots, \ int f_ {n} \ right).}$

Zejména, protože komplexní čísla jsou skutečným vektorovým prostorem , umožňuje to integraci komplexních hodnotových funkcí.

Riemannův integrál je definován pouze v ohraničených intervalech a do neomezených intervalů se nevztahuje dobře. Nejjednodušším možným rozšířením je definovat takový integrál jako limit, jinými slovy jako nevhodný integrál :

${\ Displaystyle \ int _ { -\ infty}^{\ infty} f (x) \, dx = \ lim _ {a \ to -\ infty \ atop b \ to \ infty} \ int _ {a}^{ b} f (x) \, dx.}$

Tato definice s sebou nese některé jemnosti, jako například skutečnost, že není vždy ekvivalentní pro výpočet Cauchyovy hlavní hodnoty

${\ Displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {-a}^{a} f (x) \, dx.}$

Zvažte například znakovou funkci f ( x ) = sgn ( x ), která je 0 při x = 0 , 1 pro x > 0 a −1 pro x <0 . Podle symetrie,

${\ Displaystyle \ int _ {-a}^{a} f (x) \, dx = 0}$

vždy, bez ohledu na a . Existuje však mnoho způsobů, jak se interval integrace rozšířit tak, aby vyplnil skutečnou linii, a jinými způsoby lze dosáhnout různých výsledků; jinými slovy, vícerozměrný limit neexistuje vždy. Můžeme počítat

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ int _ {-a}^{2a} f (x) \, dx & = a, \\\ int _ {-2a}^{a} f (x) \, dx & = -a. \ end {aligned}}}$

Obecně platí, že tento nevhodný Riemannův integrál není definován. Ani standardizace způsobu, jak se interval přibližuje skutečné linii, nefunguje, protože vede k znepokojivě neintuitivním výsledkům. Pokud souhlasíme (například), že nesprávný integrál by měl být vždy

${\ Displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {-a}^{a} f (x) \, dx,}$

pak integrál překladu f ( x - 1) je −2, takže tato definice není pod posuny neměnná, což je vysoce nežádoucí vlastnost. Ve skutečnosti tato funkce nejenže nemá nesprávný Riemannův integrál, ale její Lebesgueův integrál je také nedefinovaný (rovná se ∞ - ∞ ).

Nesprávný Riemannův integrál bohužel není dostatečně silný. Nejzávažnějším problémem je, že neexistují široce použitelné věty pro dojíždění nevhodných Riemannových integrálů s omezeními funkcí. V aplikacích, jako jsou Fourierovy řady , je důležité umět aproximovat integrál funkce pomocí integrálů aproximací funkce. Pro správné Riemannovy integrály standardní věta uvádí, že pokud f _n je posloupnost funkcí, které se rovnoměrně sbíhají k f na kompaktní množině [ a , b ] , pak

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {a}^{b} f_ {n} (x) \, dx = \ int _ {a}^{b} f (x) \, dx.}$

Na nekompaktních intervalech, jako je skutečná čára, je to nepravda. Například vezměte f _n ( x ), aby bylo n ⁻¹ na [0, n ] a nula jinde. Pro všechny n máme:

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f_ {n} \, dx = 1.}$

Posloupnost ( f _n ) konverguje jednotně k nulové funkci a integrál nulové funkce je zjevně nulový. Tudíž,

${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f \, dx \ neq \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f_ {n} \ , dx.}$

To ukazuje, že pro integrály v neomezených intervalech není jednotná konvergence funkce dostatečně silná, aby umožnila překročení limitu prostřednictvím integrálního znaménka. Díky tomu je Riemannův integrál v aplikacích nefunkční (i když Riemannův integrál přiřazuje oběma stranám správnou hodnotu), protože neexistuje žádné jiné obecné kritérium pro výměnu limitu a Riemannova integrálu a bez takového kritéria je obtížné aproximovat integrály pomocí sbližování jejich integrands.

Lepší cestou je opustit Riemannův integrál pro Lebesgueův integrál . Definice Lebesgueova integrálu zjevně není zobecněním Riemannova integrálu, ale není těžké prokázat, že každá Riemannova integrační funkce je Lebesgueova integrační a že hodnoty těchto dvou integrálů souhlasí, kdykoli jsou obě definovány. Navíc funkce f definovaná v ohraničeném intervalu je Riemannově integrovatelná právě tehdy, je-li ohraničená a množina bodů, kde f je diskontinuální, má Lebesgueovu míru nulu.

Integrál, který je ve skutečnosti přímou generalizací Riemannova integrálu, je Henstock -Kurzweilův integrál .

Dalším způsobem zobecnění Riemannova integrálu je nahradit faktory x _{k + 1} - x _k v definici Riemannova součtu něčím jiným; zhruba řečeno, to dává intervalu integrace jiný pojem délky. To je přístup, který používá integrál Riemann – Stieltjes .

V multivariable , Riemann integrály pro funkcí od jsou vícenásobné integrály . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R}}$

Viz také

• Plocha
• Antiderivativní
• Integrace Lebesgue

Poznámky

Reference

• Shilov, GE a Gurevich, BL, 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach , Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN  0-486-63519-8 .
• Apostol, Tom (1974), Mathematical Analysis , Addison-Wesley

externí odkazy

• Média související s Riemannovým integrálem na Wikimedia Commons
• „Riemannův integrál“ , encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]