Rieszův prostor - Riesz space

V matematiky , je Riesz prostor , mřížka-objednal vektorový prostor nebo vektor mříž je částečně objednat vektorový prostor , kde je struktura pořadí je mříž .

Rieszovy prostory jsou pojmenovány po Frigyes Riesz , který nejprve definoval je v jeho 1928 papíru Sur la k rozkladu des opérations fonctionelles linéaires .

Rieszovy prostory mají širokou škálu aplikací. Jsou důležité v teorii opatření , protože důležité výsledky jsou speciální případy výsledků pro Riesz Spaces. Např. Věta Radon – Nikodym následuje jako speciální případ Freudenthalovy spektrální věty . Rieszovy prostory také viděly uplatnění v matematické ekonomii prostřednictvím práce řecko-amerického ekonoma a matematika Charalambose D. Aliprantise .

Definice

Předkola

Pokud X je nařízeno vektorový prostor a v případě S je podmnožina X, pak prvek bX je horní hranice (resp. Dolní odhad ) z S -li Sb (resp. Yb ) pro všechny sS . Prvek a v X je nejmenší horní mez nebo supremum (resp. Větší dolní mez nebo infimum ) S, pokud je to horní mez (resp. Dolní mez) S a pokud pro jakoukoli horní mez (resp. Jakoukoli dolní mez ) b z S , máme ab (resp. ab ).

Definice

Předobjednaná vektorová mříž

Předobjednal vektor mříž je předem objednat vektorový prostor E , ve které každý pár prvků má supremum .

Přesněji řečeno, předobjednaná vektorová mřížka je vektorový prostor vybavený předobjednáním , , takže pro libovolné x , y , zE :

  1. Invariance překladu : xy znamená x + zy + z .
  2. Pozitivní Homogenita : Pro každý skalární 0 ≤ alfa , xy znamená αxαy .
  3. Pro jakoukoli dvojici vektorů x , y v E existuje supremum (označené xy ) v E vzhledem k řádu (≤) .

Předobjednávka spolu s položkami 1 a 2, díky nimž je „kompatibilní se strukturou vektorového prostoru“, činí z E předobjednaný vektorový prostor. Položka 3 říká, že předobjednávka je spojovací semilattice . Vzhledem k tomu, že předobjednávka je kompatibilní se strukturou vektorového prostoru, lze ukázat, že jakákoli dvojice má také infimum , takže E také splňuje semilattice , tedy mřížku.

Předobjednaný vektorový prostor E je předobjednaná vektorová mřížka právě tehdy, pokud splňuje některou z následujících ekvivalentních vlastností:

  1. Pro každý x , yE , jejich supremem existuje v E .
  2. Pro každý x , yE , jejich infimum existuje v E .
  3. U každé x , yE , jejich infimum a jejich supremem existovat v E .
  4. Pro libovolné xE existuje sup { x , 0}.

Rieszův prostor a vektorové mřížky

Riesz prostor nebo vektor mříž je Předobjednal vektor mřížka jehož předobjednání je částečné uspořádání . Ekvivalentně se jedná o uspořádaný vektorový prostor, pro který je uspořádání mřížkou .

Všimněte si, že mnoho autorů požadovalo, aby vektorová mřížka byla částečně uspořádaným vektorovým prostorem (nikoli pouze předobjednaným vektorovým prostorem), zatímco jiní vyžadují pouze to, aby to byl předobjednaný vektorový prostor. Od nynějška budeme předpokládat, že každý Rieszův prostor a každá vektorová mřížka je uspořádaný vektorový prostor, ale že předobjednaná vektorová mřížka nemusí být nutně částečně uspořádaná.

Pokud E je uspořádaná vektorový prostor přes Pozitivní jehož pozitivní kužel C generuje (tedy takové, že E = C - C ), a je-li pro každé x , yC buď nebo existuje, pak E je vektor mříž.

Intervaly

Interval pořadí v částečně objednané vektorový prostor je konvexní množina formy [ , b ] = { x  : ≤ xb }. V uspořádaném reálném vektorovém prostoru je každý interval tvaru [- x , x ] vyvážený . Z axiomů 1 a 2 výše vyplývá, že x , y v [ a , b ] a λ v (0,1) implikují λ x  + (1 -  λ ) y v [ a , b ]. O podmnožině se říká, že je vázána na pořadí, pokud je obsažena v nějakém intervalu objednávek. Pořadí jednotka z Předobjednal vektorového prostoru se rozumí jakýkoli prvek x tak, že množina [- x , x ] je absorbovat .

Sada všech lineárních funkcionálů na předobjednaném vektorovém prostoru V, který mapuje každý interval objednávky do ohraničené množiny, se nazývá dvojice V vázaná na řádky a označená V b Je-li prostor uspořádán, pak jeho dvojice vázaná na řád je vektorovým podprostorem jeho algebraický duální .

Podskupina vektoru mřížka E se nazývá pořadí kompletní , jestliže pro každou neprázdné podmnožiny B ⊆ tak, že B je pořadí ohraničený v A , a to i existují a jsou prvky A . Řekneme, že vektor mřížka E je objednávka dokončena , je E je objednávka kompletní podmnožina E .

Konečné rozměrné Rieszovy prostory

Konečné dimenzionální vektorové mřížky spadají do jedné ze dvou kategorií podle toho, zda je či není mřížka uspořádána podle Archimeda .

Věta : Předpokládejme, že X je vektorová mřížka konečné dimenze n . Pokud X je Archimedean nařízeno, pak je (vektorová mřížka) izomorfní s pod svým kanonickým řádem. Jinak existuje celé číslo k splňující 2 ≤ kn takové, že X je izomorfní s tím, kde má svůj kanonický řád, je s lexikografickým řádem a součin těchto dvou prostorů má kanonický produktový řád.

Stejně jako u konečných dimenzionálních topologických vektorových prostorů se konečně dimenzionální vektorové mřížky považují za nezajímavé.

Základní vlastnosti

Každý Rieszův prostor je částečně uspořádaným vektorovým prostorem , ale ne každý částečně uspořádaný vektorový prostor je Rieszovým prostorem.

Všimněte si, že pro jakoukoli podmnožinu A z X , kdykoli existuje supremum nebo infimum (v takovém případě existují oba). Pokud a pak . Pro všechna a , b , x a y v Rieszově prostoru X máme a - inf ( x , y ) + b = sup ( a - x + b , a - y + b ).

Absolutní hodnota

Pro každý element x v Riesz prostor X je absolutní hodnota of x , označil , je definován být , pokud tento mechanismus splňuje - | x | ≤ x ≤ | x | a | x | ≥ 0. Pro každou x a y v X a jakékoliv reálné číslo r , máme a .

Nespojitost

Říkáme, že dva prvky x a y ve vektoru mřížka x jsou mřížky disjunktní nebo disjunktní , pokud , v tomto případě jsme psát . Dva prvky x a y jsou disjunktní právě tehdy . Pokud x a y jsou disjunktní pak a , kde pro libovolný prvek z , a . Říkáme, že dvě množiny A a B jsou disjunktní, pokud a a b jsou disjunktní pro všechna a v A a všechna b v B , v takovém případě píšeme . Pokud A je singletonová množina , napíšeme místo . Pro libovolnou množinu A definujeme disjunktní doplněk jako množinu . Disjunktní doplňky jsou vždy pásma , ale obrácení není obecně pravdivé. Pokud A je podmnožina X taková, která existuje, a pokud B je podmnožina mřížky v X, která je disjunktní od A , pak B je mřížka disjunktní od .

Reprezentace jako disjunktní součet pozitivních prvků

Pro jakýkoli x v X , nechť a , pokud na vědomí, že oba tyto prvky jsou i s . Then and are disjoint, and is the unique representation of x as the difference of disjoint elements that are . Pro všechny x a y v X , a . Pokud y ≥ 0 a xy, pak x +y . Navíc, pokud a pouze tehdy a .

Každý Rieszův prostor je distribuční mříž ; to znamená, že má následující rovnocenné vlastnosti: pro všechny x , y , a z, v X

  1. x ∧ ( yz ) = ( xy ) ∨ ( xz )
  2. x ∨ ( yz ) = ( xy ) ∧ ( xz )
  3. ( x y ) ( y z ) ( z x ) = ( x y ) ( y z ) ( z x ).
  4. x z = y z a x z = y z vždy znamenají x = y .

Každý Rieszův prostor má vlastnost rozkladu Riesz .

Objednejte konvergenci

Existuje řada smysluplných neekvivalentních způsobů, jak definovat konvergenci sekvencí nebo sítí s ohledem na strukturu řádů Rieszova prostoru. O sekvenci { x n } v Rieszově prostoru E se říká, že konverguje monotónně, pokud se jedná o monotónní sekvenci snižující (resp. Zvyšující se) a její infimum (supremum) x existuje v E a označuje x nx , (resp. X nx ).

Sekvence { x n } v Rieszově prostoru E se říká, že konverguje, aby x, pokud v E existuje monotónní konvergující sekvence { p n } tak, že | x n - x | < p n ↓ 0 .

Pokud u je kladný prvek Rieszova prostoru E, pak se říká, že posloupnost { x n } v E konverguje u-uniformně na x, pokud pro nějaké ε > 0 existuje N takové, že | x n - x | < Εu pro všechna n > N .

Podprostory

Zvláštní struktura poskytovaná těmito prostory poskytuje odlišné druhy podprostorů Riesz. Sbírka každé druhové struktury v Rieszově prostoru (např. Sbírka všech ideálů) tvoří distribuční mříž .

Sublattices

Pokud X je vektor mříž pak vektor sublattice je vektor podprostor F z X, tak, že pro všechny x a y v F , patří k F (pokud je to supremem přijatá v X ). Může se stát, že podprostor F na X je vektor mříž pod jeho kanonického pořadí, ale nikoliv vektor sublattice z X .

Ideály

Vektorový podprostor I Rieszova prostoru E se nazývá ideální, pokud je pevný , což znamená, že pro f   ∈ I a gE máme: | g | ≤ | f  | znamená, že je gI . Průsečík libovolné kolekce ideálů je opět ideální, který umožňuje definici nejmenšího ideál, který obsahuje nějaký neprázdný podmnožina A a E , a nazývá se ideální generovaný od A . Ideál generovaný singletonem se nazývá hlavní ideál .

Pásma a σ - Idey

Pásmo B v Riesz prostor E je definován být ideální s další vlastnost, že pro každý prvek f v E , pro kterou její absolutní hodnota | f  | je supremem libovolné podskupiny pozitivních prvků B , že f je ve skutečnosti v B . σ - Ideály jsou definovány podobně, slova „libovolná podmnožina“ nahrazena slovy „počítatelná podmnožina“. Je zřejmé, že každé pásmo je ideál σ , ale obrácení není obecně pravdivé.

Průsečík libovolné rodiny pásem je opět pásmem. Stejně jako u ideály, pro každé neprázdné podmnožiny A z E , existuje nejmenší skupinu obsahující tento podmnožiny, nazvaný skupina generované A . Pásmo generované singletonem se nazývá hlavní pásmo .

Projekční pásma

Pásmo B v Rieszově prostoru se nazývá projekční pásmo , pokud E = BB , což znamená každý prvek f v E , lze jednoznačně zapsat jako součet dvou prvků, f = u + v , s u v B a v v B . Tam pak také existuje pozitivní lineární idempotent, nebo výstupek , P B  : EE , tak, že P B (  f  ) = u .

Sbírka všech projekčních pásem v Rieszově prostoru tvoří booleovskou algebru . Některé prostory nemají netriviální projekční pásma (např. C ([0, 1]) ), takže tato booleovská algebra může být triviální.

Úplnost

Vektorová mřížka je úplná, pokud má každá podmnožina supremum i infimum.

Vektorová mřížka je Dedekind úplná, pokud každá sada s horní mezí má supremum a každá sada se spodní mezí má infimum.

Kompletní objednávka, pravidelně uspořádaná vektorová mřížka, jejíž kanonický obraz je v jejím pořadí dvojitý, je úplná objednávka se nazývá minimální a říká se, že je minimálního typu .

Podprostory, kvocienty a produkty

Sublattices

Pokud M je vektor subspace Předobjednal vektorovém prostoru X, pak je kanonický uspořádání na M indukovaná X‘ je pozitivní kužele C je preorder vyvolaná špičatým konvexní kužel C  ∩  M , kde tento kužel je správné, pokud C je správné (tj if ( C ∩ - C = ∅).

Sublattice vektoru mříž X je vektor podprostor M z X, tak, že pro všechny x a y v M , sup X ( x , y ) patřící k X (co je důležitější, na vědomí, že tento supremem je rozpuštěn v X a ne v M ) . Jestliže X = s 0 <p <1, potom se 2-rozměrný vektor podprostor M z X definovány všechny mapy formuláře ( , b ∈ ) je vektor mřížka pod vyvolané pořadí, ale není sublattice z X . A to navzdory tomu, že X je řád kompletní, Archimedean nařídil topologickou vektorovou mřížku . Dále existují vektor vektorem sublattice N tohoto prostoru X tak, že NC má prázdný interiér v X , ale žádné pozitivní lineární funkční na N může být rozšířena na pozitivní lineární funkční na X .

Kvocientové mřížky

Nechť M je vektorový podprostor uspořádaného vektorového prostoru X s kladným kuželem C , ať je kanonická projekce, a nechť . Pak je kužel v X / M , který indukuje kanonický preordering na kvocientu prostoru X / M . Pokud je správný kužel v X / M, pak dělá X / M do uspořádaného vektorového prostoru. Pokud M je C -nasycený pak definuje kanonické pořadí X / M . Všimněte si, že poskytuje příklad uspořádaného vektorového prostoru, kde není správný kužel.

Pokud X je vektorová mřížka a N je pevný vektorový podprostor X, pak definuje kanonické pořadí X / M, pod kterým L / M je vektorová mřížka a kanonická mapa je vektorový mřížkový homomorfismus. Dále, pokud X je řád úplný a M je pásmo v X, pak X / M je izomorfní s M . Také, pokud M je pevná látka, pak topologie pořadí z X / M je podíl topologií objednávky na X .

Pokud X je topologická vektorová mřížka a M je uzavřená pevná sublattice X, pak X / L je také topologická vektorová mřížka.

Produkt

Pokud je S libovolná množina, pak je prostor X S všech funkcí od S do X kanonicky uspořádán správným kuželem .

Předpokládejme, že jde o rodinu předobjednaných vektorových prostorů a že pozitivní kužel je . Pak je špičatý konvexní kužel , který určuje kanonické uspořádání ; C je správný kužel, pokud jsou všechny správné kužele.

Přímý algebraický součet

Algebraický přímý součet ze je vektorový podprostor , který je dán kanonickou subprostorovou uspořádání zdědil po . Pokud X 1 , ..., X n jsou uspořádané vektorové podprostory uspořádaného vektorového prostoru X, pak X je uspořádaný přímý součet těchto podprostorů, pokud je kanonický algebraický izomorfismus X na (s kanonickým produktovým řádem) řádovým izomorfismem .

Prostory lineárních map

O kuželu C ve vektorovém prostoru X se říká, že generuje, pokud se C  -  C rovná celému vektorovému prostoru. Pokud X a W jsou dva netriviální uspořádané vektorové prostory s příslušnými kladnými kužely P a Q , pak P generuje v X právě tehdy, když je množina správným kuželem v L ( X ; W ), což je prostor všech lineární mapuje z X do W . V tomto případě se uspořádání definované C nazývá kanonické uspořádání L ( X ; W ). Obecněji řečeno, je-li M je jakýkoliv vektor podprostor L ( X , W ) tak, že CM je řádné kužel, objednací definovaný CM je nazýván kanonickou uspořádání z M .

Lineární mapu u dvou Předobjednal vektorovými prostory X a Y s příslušnými pozitivní kužely C a D , se nazývá pozitivní v případě, u ( C ) ⊆ D . Pokud X a Y jsou vektorové mřížky s řádem Y kompletní a pokud H je množina všech kladných lineárních map z X do Y, pak je podprostor M  : = H - H z L ( X ; Y ) řádová úplná vektorová mřížka pod jeho kanonický řád; Dále, M obsahuje přesně ty lineárních map, které mapa řádu intervalech X do pořádku intervalech Y .

Pozitivní funkcionálové a pořadí dvojí

Lineární funkce f na Předobjednal vektorového prostoru se nazývá pozitivní, pokud x ≥ 0 znamená, f ( x ) ≥ 0. Soubor všech pozitivních lineárních forem na vektorový prostor, označený , je kužel, který se rovná polární o - C . Pořadí dvojí objednané vektorovém prostoru X je soubor, označený , definovaný . I když , tam existují objednat vektorových prostorů, u nichž set mužů se nebude držet.

Vektorový mřížkový homomorfismus

Předpokládejme, že X a Y jsou Předobjednal vektor mřížky s pozitivními kužely C a D a nechal u mít mapy od X do Y . Pak u je předobjednaný vektorový mřížkový homomorfismus, pokud u je lineární a platí některá z následujících ekvivalentních podmínek:

  1. u zachovává mřížkové operace
  2. u (sup { x , y }) = sup { u ( x ), u ( y )} pro všechna x , yX
  3. u (inf { x , y }) = inf { u ( x ), u ( y )} pro všechna x , yX
  4. u (| x |) = sup { u ( x + ), u ( x - )} pro všechna xX
  5. 0 = inf { u ( x + ), u ( x - )} pro všechna xX
  6. u ( C ) = D a u -1 (0) je pevná podmnožinou X .
  7. pokud x ≥ 0 pak u ( x ) ≥ 0.
  8. u je zachování řádu.

Předobjednaný vektorový mřížkový homomorfismus, který je bijektivní, je předobjednaný vektorový mřížkový izomorfismus .

Předobjednaný vektorový mřížkový homomorfismus mezi dvěma Rieszovými prostory se nazývá vektorový mřížkový homomorfismus ; jestliže to je také bijective, pak to je voláno vektor mřížkový izomorfismus .

Pokud je u lineární funkce n-0 na vektorové mřížce X s kladným kuželem C, jsou ekvivalentní následující:

  1. u  : X je surjektivní vektorový mřížkový homomorfismus.
  2. 0 = inf { u ( x + ), u ( x - )} pro všechna xX
  3. u ≥ 0 a u −1 (0) je v X pevná nadrovina .
  4. u ' generuje extrémní paprsek kužele C * v X *

Připomeňme, že extrémní paprsek kužele C je množina { rx  : r ≥ 0}, kde xC , x je non-0, a pokud yC je takové, že x - yC pak y = sx pro některé s takové, že 0 ≤ s ≤ 1.

Vektorový mřížkový homomorfismus z X do Y je topologický homomorfismus, když X a Y dostanou topologie odpovídajících řádů .

Vlastnosti projekce

Rieszovy prostory mohou mít řadu projekčních vlastností. Říká se, že Rieszův prostor má vlastnost (hlavní) projekce, pokud je každé (hlavní) pásmo projekčním pásmem.

Takzvaná hlavní věta o inkluzi souvisí s vlastností (hlavní) projekce následující další vlastnosti: Rieszův prostor je…

  • Dedekind Complete (DC), pokud má každá neprázdná množina ohraničená výše supremum ;
  • Super Dedekind Complete (SDC), pokud každá neprázdná množina, ohraničená výše, má spočítatelnou podmnožinu se stejným supremem;
  • Dedekind σ -kompletní, pokud má každá spočetná neprázdná množina, ohraničená výše, supremum; a
  • Archimédova vlastnost , pokud pro každou dvojici pozitivní prvky x a y , existuje celé číslo n takové, že nxy .

Pak jsou tyto vlastnosti související následujícím způsobem. SDC znamená DC; DC implikuje jak Dedekindovu σ -kompletitu, tak vlastnost projekce; Jak Dedekindova σ-úplnost, tak vlastnost projekce samostatně znamenají hlavní vlastnost projekce; a vlastnost hlavní projekce implikuje vlastnost Archimedean .

Žádná z obrácených implikací neplatí, ale Dedekindova σ -kompletnost a vlastnost projekce společně znamenají DC.

Příklady

  • Prostor spojitých funkcí se skutečnou hodnotou s kompaktní podporou na topologickém prostoru X s bodovým dílčím řádem definovaným f   ≤ g, když f  ( x ) ≤ g ( x ) pro všechna x v X , je Rieszův prostor. Je to Archimedean, ale obvykle nemá hlavní projekční vlastnost, pokud X nesplňuje další podmínky (např. Je extrémně odpojeno ).
  • Jakékoli L p s ( téměř všude ) bodovým částečným řádem je Dedekindův úplný Rieszův prostor.
  • Prostor R 2 s lexikografickým řádem je nearchimédský Rieszův prostor.

Vlastnosti

Viz také

Reference

  1. ^ a b c Narici & Beckenstein 2011 , str. 139-153.
  2. ^ a b c d e f g h i Schaefer & Wolff 1999 , str. 74-78.
  3. ^ a b c d e f g h i j k l m n o Schaefer & Wolff 1999 , str. 205–209.
  4. ^ a b c d e f g Schaefer & Wolff 1999 , str. 204-214.
  5. ^ a b c d e f g h i j k Schaefer & Wolff 1999 , str. 250-257.
  6. ^ Birkhoff, Garrett (1967). Teorie mřížky . Publikace kolokvia (3. vydání). Americká matematická společnost. p. 11. ISBN 0-8218-1025-1. §6, věta 9
  7. ^ U jednotlivých prvků x , y , z , např. Může být porušena první rovnice, ale druhá může platit; příkladvizobrázekN 5 .
  8. ^ Schaefer & Wolff 1999 , str. 204–214.
  9. ^ a b Schaefer & Wolff 1999 , str. 205–214.
  10. ^ Lucembursko, WAJ; Zaanen, AC (1971). Riesz Spaces: sv. 1 . Londýn: Severní Holandsko. str. 122–138. ISBN 0720424518. Citováno 8. ledna 2018 .

Bibliografie

externí odkazy