Prsten (matematika) - Ring (mathematics)

Algebraická struktura → Teorie prstenů Teorie prstenů
Základní pojmy Prsteny • Podřetězce • Ideální • Kvocient kvocientu • Frakční ideál • Celkový kvocient prstence • Prsten produktu • Zdarma produkt asociativních algeber • Tenzorový součin prstenů Prstencové homomorfismy • Jádro • Vnitřní automorfismus • Frobeniusův endomorfismus Algebraické struktury • Modul • Asociativní algebra • Klasifikovaný prsten • Obratný prsten • Kategorie prstenů • Počáteční zazvonění ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Svorkovnice ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Související struktury • Pole • Konečné pole • Neasociativní prsten • Lež kroužek • Jordanův prsten • Semiring • Semifield
Komutativní algebra Komutativní prsteny • Integrovaná doména • Integrovaně uzavřená doména • GCD doména • Unikátní faktorizační doména • Hlavní ideální doména • Euklidovská doména • Pole • Konečné pole • Složení prstenu • Polynomiální prstenec • Kruh řady formálního výkonu Algebraická teorie čísel • Pole algebraických čísel • Kruh celých čísel • Algebraická nezávislost • Transcendentální teorie čísel • Stupeň transcendence p -adická teorie čísel a desetinná místa • Přímý limit / Inverzní limit • Nulový kroužek ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Celá čísla modulo p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /p^{n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -kroužek ${\ displaystyle \ mathbb {Z} (p^{\ infty})}$ • Základní - p kruh kruh ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ • Base - p celá čísla ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -adické racionály ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1/p]}$ • Základna - p reálná čísla ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -adická celá čísla ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -adická čísla ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • solenoid p -adic ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Algebraická geometrie • Afinní odrůda
Nekomutativní algebra Nekomutativní prsteny • Divizní prsten • Semiprimitivní prsten • Jednoduchý prsten • Komutátor Nekomutativní algebraická geometrie Zdarma algebra Cliffordova algebra • Geometrická algebra Operátorská algebra
proti t E

V matematice , kroužky jsou algebraické struktury , které generalizovat pole : násobení nemusí být komutativní a multiplikativní inverzní nemusí existovat. Jinými slovy, kruh je sada vybavena dvěma binární operace , který by splňoval vlastnosti, které jsou analogické s o přidání a násobení z celých čísel . Prstencovými prvky mohou být čísla, jako jsou celá čísla nebo komplexní čísla , ale mohou to být také nečíselné objekty, jako jsou polynomy , čtvercové matice , funkce a mocniny .

Algebraické struktury
Skupina like Skupina Pologrupa  / monoid Rack and quandle Quasigroup a smyčka Abelianská skupina Magma Skupina lži Skupinová teorie
Ring -like Prsten Rng Semiring Téměř prsten Komutativní prsten Integrální doména Pole Divizní prsten Teorie prstenu
mříž like Mříž Semilattice Doplněná mřížka Celková objednávka Ahoj algebra Booleovská algebra Mapa mřížek Mřížová teorie
module -like Modul Skupina s operátory Vektorový prostor Lineární algebra
algebra like Algebra Asociativní Neasociativní Složení algebry Lež algebra Odstupňováno Bialgebra
proti t E

Formálně, kruh je skupina abelian jehož operace se nazývá přidání , s druhou binární operace nazývá násobení , která je asociativní , je distributivní přes operace sčítání a má multiplikativní identity prvku . (Někteří autoři používají termín „prsten“ k označení obecnější struktury, která tento poslední požadavek vynechává; viz § Poznámky k definici .)

To, zda je prsten komutativní (tj. Zda pořadí, ve kterém jsou vynásobeny dva prvky, může výsledek změnit), má hluboké důsledky na jeho chování. Komutativní algebra , teorie komutativních prstenů , je hlavní větví teorie prstenů . Jeho vývoj byl do značné míry ovlivněn problémy a myšlenkami teorie algebraických čísel a algebraické geometrie . Nejjednodušší komutativní prsteny jsou ty, které připouštějí dělení nenulovými prvky; takovým prstencům se říká pole .

Příklady komutativních kruhů zahrnují množinu celých čísel s jejich standardní sčítání a násobení, množiny polynomů s jejich sčítání a násobení je koordinovat kroužek z k afinní algebraické odrůdy , a kruh celých čísel z pole číslo. Mezi příklady nekomutativních kruhů patří prstenec n × n skutečných čtvercových matic s n ≥ 2 , skupinové prstence v teorii reprezentace , operátorové algebry ve funkční analýze , prstence diferenciálních operátorů a cohomologické prstence v topologii .

Konceptualizace prstenů trvala od 70. let 19. století do 20. let 20. století, přičemž klíčovými příspěvky byli Dedekind , Hilbert , Fraenkel a Noether . Prsteny byly poprvé formalizovány jako zobecnění Dedekindových domén, které se vyskytují v teorii čísel , a polynomiálních prstenců a prstenců invarianty, které se vyskytují v algebraické geometrii a invariantní teorii . Později se osvědčily v jiných oborech matematiky, jako je geometrie a analýza .

Definice

Kroužek je množina R vybaven dvěma operacemi + (sčítání) a ⋅ (množení), které splňují následující tři sady axiómech, nazvaný kruhu axiomům

1. R je abelianská skupina pod přídavkem, což znamená, že:
   • ( a + b ) + c = a + ( b + c ) pro všechna a , b , c v R    (to znamená, že + je asociativní ).
   • a + b = b + a pro všechna a , b v R    (to znamená, že + je komutativní ).
   • V R existuje prvek 0 , takže a + 0 = a pro všechna a v R    (to znamená, že 0 je aditivní identita ).
   • Pro každou A v R existuje - v R takový, že + (- ) = 0 (to znamená, že - je přísada inverzní z ).
2. R je monoid při násobení, což znamená, že:
   • ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) pro všechna a , b , c v R    (to znamená, že ⋅ je asociativní).
   • V R existuje prvek 1 tak, že a ⋅ 1 = a a 1 ⋅ a = a pro všechna a v R    (to znamená, že 1 je multiplikativní identita ).
3. Násobení je distribuční, pokud jde o sčítání, což znamená, že:
   • a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c ) pro všechna a , b , c v R    (distribuce vlevo).
   • ( b + c ) ⋅ a = ( b ⋅ a ) + ( c ⋅ a ) pro všechna a , b , c v R    (správná distribučnost).

Poznámky k definici

V terminologii tohoto článku je kruh definován jako multiplikativní identita a struktura se stejnou axiomatickou definicí, ale pro požadavek multiplikativní identity se nazývá rng (IPA: / r ʊ ŋ / ). Například množina sudých celých čísel s obvyklými + a ⋅ je rng, ale ne prsten. Jak je vysvětleno v § Historie níže, mnoho autorů používá termín „prsten“, aniž by vyžadovalo multiplikativní identitu.

Multiplikační symbol ⋅ je obvykle vynechán; například xy znamená x ⋅ y .

Ačkoli je přidání prstence komutativní , není nutné, aby násobení kruhu bylo komutativní: ab nemusí být nutně stejné jako ba . Prsteny, které také splňují komutativitu pro násobení (například kruh celých čísel), se nazývají komutativní prstence . Knihy o komutativní algebře nebo algebraické geometrii často přijímají konvenci, že prsten znamená komutativní kruh , aby se zjednodušila terminologie.

V prstenci nemusí existovat multiplikativní inverze. Non nula komutativní kruh, ve kterém každý nenulový prvek má multiplikativní inverze se nazývá pole .

Aditivní skupina prstence je základní sada vybavená pouze operací sčítání. Ačkoli definice vyžaduje, aby skupina aditiv byla abelianská, lze to odvodit z ostatních prstencových axiomů. Důkaz využívá „1“ a nefunguje v rng. (U rng vynechání axiomu komutativity sčítání ponechává to neřešitelné ze zbývajících předpokladů rng pouze pro prvky, které jsou produkty: ab + cd = cd + ab .)

Ačkoli většina moderních autorů používá termín „prsten“, jak je zde definován, existuje několik těch, kteří ho používají k označení obecnějších struktur, v nichž neexistuje požadavek, aby multiplikace byla asociativní. Pro tyto autory je každá algebra „prstenem“.

Ilustrace

Nejznámějším příkladem prstenu je množina všech celých čísel , skládající se z čísel${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$

..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Známé vlastnosti pro sčítání a násobení celých čísel slouží jako model pro axiomy prstence.

Některé vlastnosti

Některé základní vlastnosti prstenu vyplývají bezprostředně z axiomů:

• Aditivní identita je jedinečná.
• Aditivní aditivní inverze každého prvku je jedinečná.
• Multiplikativní identita je jedinečná.
• Pro jakýkoli prvek x v kruhu R má jeden x 0 = 0 = 0 x (nula je absorbující prvek vzhledem k násobení) a (–1) x = - x .
• Pokud 0 = 1 v kruhu R (nebo obecněji 0 je jednotkový prvek), pak R má pouze jeden prvek a nazývá se nulový kruh .
• Pokud prsten R obsahuje nulový kruh jako podřetězec, pak samotný R je nulový kruh.
• Binomické vzorec platí pro všechny x a y splňující xy = yx .

Příklad: Integers modulo 4

Vybavte sadu následujícími operacemi: ${\ displaystyle \ mathbf {Z} /4 \ mathbf {Z} = \ left \ {{\ overline {0}}, {\ overline {1}}, {\ overline {2}}, {\ overline {3} }\že jo\}}$

• Součet v Z /4 Z je zbytek, když je celé číslo x + y děleno 4 (protože x + y je vždy menší než 8, tento zbytek je buď x + y nebo x + y - 4 ). Například a .${\ displaystyle {\ overline {x}}+{\ overline {y}}}$${\ displaystyle {\ overline {2}}+{\ overline {3}} = {\ overline {1}}}$${\ displaystyle {\ overline {3}}+{\ overline {3}} = {\ overline {2}}}$
• Součin v Z /4 Z je zbytek, když je celé číslo xy děleno 4. Například a .${\ displaystyle {\ overline {x}} \ cdot {\ overline {y}}}$${\ displaystyle {\ overline {2}} \ cdot {\ overline {3}} = {\ overline {2}}}$${\ displaystyle {\ overline {3}} \ cdot {\ overline {3}} = {\ overline {1}}}$

Pak Z / 4 Z je kruh: každý axiom Z odpovídající axiomu pro Z . Je -li x celé číslo, může být zbytek x při dělení 4 považován za prvek Z /4 Z a tento prvek je často označován „ x mod 4“ nebo , což je v souladu se zápisem pro 0, 1 , 2, 3. Aditivní aditivní inverze kteréhokoli v Z /4 Z je . Například,${\ displaystyle {\ overline {x}}}$${\ displaystyle {\ overline {x}}}$${\ displaystyle {\ overline {-x}}}$${\ displaystyle -{\ overline {3}} = {\ overline {-3}} = {\ overline {1}}.}$

Příklad: matice 2 po 2

Sada čtvercových matic 2 na 2 se záznamy v poli F je

${\ displaystyle \ operatorname {M} _ {2} (F) = \ left \ {\ left. {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ right | \ a, b, c, d \ v F \ vpravo \}.}$

S operacemi sčítání matice a násobení matic , splňuje výše uvedenou kruhu axiómech. Prvkem je multiplikativní identita prstenu. Pokud a , pak zatímco ; tento příklad ukazuje, že prsten je nekomutativní. ${\ displaystyle \ operatorname {M} _ {2} (F)}$${\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {smallmatrix}} \ right)}$${\ Displaystyle A = \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {smallmatrix}} \ right)}$${\ Displaystyle B = \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {smallmatrix}} \ right)}$${\ displaystyle AB = \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {smallmatrix}} \ right)}$${\ displaystyle BA = \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {smallmatrix}} \ right)}$

Obecněji platí, že pro jakýkoli prsten R , komutativní nebo ne, a jakékoli nezáporné celé číslo n tvoří čtvercové matice dimenze n se záznamy v R kruh: viz Maticový kruh .

Dějiny

Dedekind

Studium prstenů vzniklo z teorie polynomiálních prstenů a z teorie algebraických celých čísel . V roce 1871 definoval Richard Dedekind koncept prstence celých čísel číselného pole. V této souvislosti představil pojmy „ideální“ (inspirovaný pojmem ideálního čísla Ernsta Kummera ) a „modul“ a studoval jejich vlastnosti. Dedekind nepoužíval výraz „prsten“ a nedefinoval koncept prstenu v obecném prostředí.

Hilberte

Termín „Zahlring“ (číselný prsten) vytvořil David Hilbert v roce 1892 a publikoval v roce 1897. V němčině 19. století by slovo „Ring“ mohlo znamenat „asociaci“, která se v angličtině v omezeném smyslu používá dodnes (např. špionážní prsten), takže pokud by to byla etymologie, pak by to bylo podobné způsobu, jakým „skupina“ vstoupila do matematiky tím, že je netechnické slovo pro „sbírku souvisejících věcí“. Podle Harveyho Cohna použil Hilbert termín pro prsten, který měl vlastnost „kroužit přímo zpět“ k prvku sebe sama (ve smyslu ekvivalence ). Konkrétně v prstenci algebraických celých čísel lze všechny vysoké síly algebraického celého čísla zapsat jako integrální kombinaci pevné sady nižších mocností, a tedy mocniny „cyklovat zpět“. Například pokud a ³ - 4 a + 1 = 0, pak a ³ = 4 a - 1 , a ⁴ = 4 a ² - a , a ⁵ = - a ² + 16 a - 4 , a ⁶ = 16 a ² - 8 a + 1 , a ⁷ = −8 a ² + 65 a - 16 atd.; obecně a ⁿ bude integrální lineární kombinací 1, a a  a ² .

Fraenkel a Noether

První axiomatickou definici prstenu dal Adolf Fraenkel v roce 1915, ale jeho axiomy byly přísnější než v moderní definici. Například požadoval, aby každý nenulový dělitel měl multiplikativní inverzi . V roce 1921 Emmy Noether dala moderní axiomatickou definici komutativních prstenů (s 1 i bez) a ve svém příspěvku Idealtheorie v Ringbereichen rozvinula základy teorie komutativních prstenů .

Multiplikativní identita a výraz „prsten“

Fraenkelovy axiomy pro „prsten“ zahrnovaly multiplikativní identitu, zatímco Noetherovy ne.

Většina nebo všechny knihy o algebře až do doby kolem roku 1960 dodržovaly Noetherovu konvenci nevyžadovat 1 pro „prsten“. Počínaje šedesátými léty je stále běžnější vídat knihy zahrnující existenci 1 v definici „prstenu“, zejména v pokročilých knihách od významných autorů, jako jsou Artin, Atiyah a MacDonald, Bourbaki, Eisenbud a Lang. Existují také knihy vydané až v roce 2006, které používají termín bez požadavku na 1.

Gardner a Wiegandt tvrdí, že když se jedná o několik předmětů v kategorii prstenů (na rozdíl od práce s pevným prstencem), pokud jeden vyžaduje, aby všechny prsteny měly 1, pak některé důsledky zahrnují neexistenci nekonečných přímých součtů prsteny a že správné přímé součty prstenů nejsou podřetězce. Dospěli k závěru, že „v mnoha, možná ve většině odvětví prstencové teorie není požadavek existence prvku jednoty rozumný, a proto nepřijatelný“. Poonen dělá protiargument, že prsteny bez multiplikativní identity nejsou zcela asociativní (produkt jakékoli konečné sekvence prstencových prvků, včetně prázdné sekvence, je přesně definován, nezávisle na pořadí operací) a píše „přirozené rozšíření asociativity“. požaduje, aby prsteny obsahovaly prázdný produkt, takže je přirozené požadovat, aby prsteny měly 1 “.

Autoři, kteří dodržují některou z konvencí pro použití výrazu „prsten“, mohou použít jeden z následujících termínů k označení předmětů, které splňují druhou konvenci:

• zahrnout požadavek multiplikativní identity: „jednotný prsten“, „unitární prsten“, „jednotkový prsten“, „prsten s jednotou“, „prsten s identitou“, „prsten s jednotkou“ nebo „prsten s 1“.
• vynechat požadavek na multiplikativní identitu: „rng“ nebo „pseudo-ring“, ačkoli to druhé může být matoucí, protože má také jiné významy.

Základní příklady

Komutativní prsteny

• Prototypickým příkladem je kruh celých čísel se dvěma operacemi sčítání a násobení.
• Racionální, reálná a komplexní čísla jsou komutativní prstence typu zvaného pole .
• Jednotná asociativní algebra nad komutativním prstencem R je sama prsten i R -modul . Nějaké příklady:
  • Algebra R [ X ] o polynomů s koeficienty v R . Jako R -module, R [ X ] je bez nekonečného hodnost.
  • Algebra R [[ X ₁ , ..., X _n ]] o formální mocninné řady s koeficienty v R .
  • Sada všech spojitých reálných funkcí definovaných na reálné ose tvoří komutativní R -algebru. Operace jsou bodové sčítání a násobení funkcí.
  • Nechť X je množina a R je prsten. Pak množina všech funkcí od X do R tvoří prsten, který je komutativní, pokud R je komutativní. Prstenec spojitých funkcí v předchozím příkladu je subring tohoto prstence, pokud X je reálná osa a R = R .
• ${\ displaystyle \ mathbf {Z} [c]}$, sousedí celá čísla se skutečným nebo komplexním číslem c . Jako Z -module, to je bez nekonečného pozice, pokud C je transcendentní , bez konečné pozice, pokud c je algebraické celé číslo, a to bez jinak.
• ${\ displaystyle \ mathbf {Z} [1/10]}$, množina desetinných zlomků . Není zdarma jako Z -modul.
• ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} \ left [\ left (1+{\ sqrt {d}} \ right)/2 \ right]}$, kde d je celé číslo bez čtverců ve tvaru 4 n + 1 , s d ≠ 1 . Volný Z -modul hodnosti 2. Viz kvadratické celé číslo .
• ${\ displaystyle \ mathbf {Z} [i]}$Jsou Gaussian celá čísla .
• ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} [\ left (1+{\ sqrt {-3}} \ right)/2]}$Je Eisenstein celá čísla .
• Předchozí dva příklady jsou případy, n = 4 a n = 3 na cyclotomic kruhu Z [ζ _n ] .
• Předchozí čtyři příklady jsou případy kruhu celých čísel jednoho číselného pole K , který je definován jako sada algebraických celých čísel v K .
• Soubor všech algebraických celých čísel o C, tvoří kruh nazývá integrální uzávěr z Z v C .
• Jestliže S je množina, pak síla set of S stane kruh, pokud definujeme sčítání být symetrický rozdíl množin a množení být křižovatka . Toto je příklad booleovského prstenu .

Nekomutativní prsteny

• Pro libovolný prstenec R a jakékoli přirozené číslo n tvoří množina všech čtvercových n -by- n matic se vstupy z R prstenec s maticovým sčítáním a násobením matice jako operacemi. Pro n = 1 je tento maticový kruh izomorfní vůči samotnému R. Pro n > 1 (a R není nulový kruh) je tento maticový kruh nekomutativní.
• Jestliže G je skupina abelian , pak endomorphisms z G , tvoří kruh, v okruhu endomorfismů konec ( G ) z  G . Operace v tomto kruhu jsou adice a složení endomorfismů. Obecněji řečeno, pokud V je levý modul nad prstencem R , pak sada všech R -lineárních map tvoří prsten, nazývaný také prsten endomorfismu a označený End _R ( V ).
• Jestliže G je skupina a R je kruh, skupina kroužek z G přes R je volný modul přes R , která má G jako základ. Násobení je definována pravidla, že prvky G dojíždění s prvky R a násobit společně, jako je tomu ve skupině G .
• Mnoho prstenů, které se objevují v analýze, je nekomutativní. Například většina Banachových algeber je nekomutativní.

Bez kroužků

Základní pojmy

Produkty a pravomoci

Pro každý nezáporné celé číslo n , danou posloupnost z n prvků R , jeden může definovat produkt rekurzivně nechť P ₀ = 1 a nechť P _m = P _{m -1} o _m o 1 ≤ m ≤ n . ${\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$${\ Displaystyle \ textstyle P_ {n} = \ prod _ {i = 1}^{n} a_ {i}}$

Jako zvláštní případ lze definovat nezáporné celočíselné síly prvku a prstence: a ⁰ = 1 a a ⁿ = a ^{n −1} a pro n ≥ 1 . Pak a ^{m + n} = a ^m a ⁿ pro všechna m , n ≥ 0 .

Prvky v prstenu

A vlevo nula dělitel z kroužku je prvek v kruhu tak, že existuje nenulový prvek z takové, že . Obdobně je definován dělitel pravé nuly. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle ab = 0}$

Nilpotentní prvkem je prvek, tak, že pro některé . Jedním příkladem nilpotentního prvku je nilpotentní matice . Nilpotentní prvek v nenulovém kruhu je nutně nulový dělitel. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a^{n} = 0}$${\ displaystyle n> 0}$

Idempotent je prvek, tak, že . Jedním příkladem idempotentního prvku je projekce v lineární algebře. ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle e^{2} = e}$

Jednotka je prvek , který má multiplikativní inverzní ; v tomto případě je inverze jedinečná a je označena . Množina jednotek prstenu je skupina pod kruhovým násobením; tato skupina je označena nebo nebo . Například pokud R je prstenec všech čtvercových matic velikosti n nad polem, pak se skládá ze sady všech invertibilních matic velikosti n a nazývá se obecnou lineární skupinou . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a^{-1}}$${\ displaystyle R^{\ times}}$${\ displaystyle R^{*}}$${\ Displaystyle U (R)}$${\ displaystyle R^{\ times}}$

Podřetězec

Podmnožina S z R se nazývá subring , pokud jedna z těchto stejných podmínek platí:

• přidání a množení R omezit , aby operace S  x  S  →  S dělat S kruh se stejným multiplikativní identity jako  R .
• 1 ∈  S ; a pro všechny x ,  y v  S , prvky xy , x  +  y a - x jsou v  S .
• S může být vybaven operacemi, které z něj činí prsten tak, že inkluzní mapa S  →  R je prstencový homomorfismus.

Například kruh Z celých čísel je podřetězcem pole reálných čísel a také podřetězcem prstence polynomů Z [ X ] (v obou případech Z obsahuje 1, což je multiplikativní identita větších prstenů). Na druhou stranu podmnožina sudých celých čísel 2 Z neobsahuje prvek identity 1, a proto se nekvalifikuje jako podřetězec  Z ; by se dalo nazvat 2 Z subrng , nicméně.

Průsečík podřetězců je podřetězec. Vzhledem k tomu, podmnožina E z R , nejmenší subring R , který obsahuje E je průsečík všech subrings z výzkumu , který obsahuje  E , a to je voláno subring generované E .

Pro cyklický R , nejmenší subring R se nazývá charakteristické subring z R . Lze jej vygenerovat přidáním kopií 1 a −1. Je možné, že ( n krát) může být nula. Pokud n je nejmenší kladné celé číslo, tak, že k tomu dojde, pak n se nazývá charakteristiku z  R . V některých prstencích není nikdy nula pro žádné kladné celé číslo n a tyto kruhy mají charakteristickou nulu . ${\ Displaystyle n \ cdot 1 = 1+1+\ ldots +1}$${\ Displaystyle n \ cdot 1}$

Vzhledem k tomu, kruh R , ať množinu všech prvků x v R takový, že x dojíždí s každým prvkem v R : pro jakýkoli y v  R . Pak je subring  R , která se nazývá střed z  výzkumu . Obecněji řečeno, vzhledem k tomu, podmnožina X o  R , ať S je množina všech prvků v R , který dojíždět s každým prvkem v  X . Pak S je subring  R , nazvaný centrátor (nebo komutantu) z  X . Střed je centrátor celého kruhu  R . O prvcích nebo podmnožinách centra se říká, že jsou centrální v  R ; (každý samostatně) generují podřetězec centra. ${\ displaystyle \ operatorname {Z} (R)}$${\ displaystyle xy = yx}$${\ displaystyle \ operatorname {Z} (R)}$

Ideál

Nechť R je prsten. Levé ideální z R je neprázdná podmnožina I o R tak, že pro každý x , y v I a r v R , prvků a jsou v I . Jestliže znamená R -span z I , to znamená, že sada konečných částek ${\ displaystyle x+y}$${\ displaystyle rx}$${\ displaystyle RI}$

${\ Displaystyle r_ {1} x_ {1} +\ cdots +r_ {n} x_ {n} \ quad {\ textrm {such}} \; {\ textrm {that}} \; r_ {i} \ v R \; {\ textrm {a}} \; x_ {i} \ v I,}$

pak jsem levý ideál, pokud . Podobně, přímo ideální je podmnožina I takové, že . O podmnožině I se říká, že je oboustranným ideálem nebo jednoduše ideálem, pokud je ideálem levým i pravým. Jednostranné nebo oboustranné ideální je pak aditivní podskupina R . Pokud E je podmnožinou R , pak je levý ideál, nazývaný levý ideál generovaný E ; to je nejmenší levý ideální obsahující E . Stejně tak je možné zvažovat správný ideální nebo oboustranného ideální generované podmnožinu R . ${\ displaystyle RI \ subseteq I}$${\ displaystyle IR \ subseteq I}$${\ displaystyle RE}$

Pokud x je v R , pak a jsou levé ideály a pravé ideály; nazývají se hlavní levé ideály a pravé ideály generované x . Hlavní ideál je zapsán jako . Například množina všech kladných a záporných násobků 2 spolu s 0 tvoří ideál celých čísel a tento ideál je generován celým číslem 2. Ve skutečnosti je každý ideál kruhu celých čísel hlavní. ${\ displaystyle Rx}$${\ displaystyle xR}$${\ displaystyle RxR}$${\ displaystyle (x)}$

Stejně jako skupina se říká, že prsten je jednoduchý, pokud je nenulový a nemá žádné správné nenulové oboustranné ideály. Komutativní jednoduchý prsten je přesně pole.

Prsteny jsou často studovány se speciálními podmínkami stanovenými podle jejich ideálů. Například prsten, ve kterém neexistuje přísně rostoucí nekonečný řetězec levých ideálů, se nazývá levý noetherovský prsten . Prsten, ve kterém neexistuje přísně klesající nekonečný řetězec levých ideálů, se nazývá levý artiniánský prsten . Je poněkud překvapivou skutečností, že levý artiniánský prsten je ponechán noetherovský ( Hopkinsova – Levitzkiho věta ). Celá čísla však tvoří noetherovský prsten, který není artiniánský.

U komutativních kruhů ideály zobecňují klasický pojem dělitelnosti a rozkladu celého čísla na prvočísla v algebře. Řádné ideální P of R je volán primární ideál jestliže pro všechny prvky, máme která vyplývá buď anebo . Ekvivalentně je P hlavní, pokud pro nějaké ideály, které máme, to znamená buď nebo Tato druhá formulace ilustruje ideály jako zobecnění prvků. ${\ displaystyle x, y \ v R}$${\ displaystyle xy \ v P}$${\ displaystyle x \ in P}$${\ displaystyle y \ in P}$${\ displaystyle I, J}$${\ displaystyle IJ \ subseteq P}$${\ displaystyle I \ subseteq P}$${\ Displaystyle J \ subseteq P.}$

Homomorfismus

Homomorphism z kroužku ( R , +, ⋅ ) na prstenci ( S , ‡, *) je funkce f od R do  S , který zachová kruhu operace; totiž takové, že pro všechny a , b v R platí následující identity:

• f ( a + b ) = f ( a ) ‡ f ( b )
• f ( a ⋅ b ) = f ( a ) ∗ f ( b )
• f (1 _R ) = 1 _s

Pokud jeden pracuje s rngs, pak je třetí podmínka zrušena.

Prstencový homomorfismus f je považován za izomorfismus, pokud existuje inverzní homomorfismus k f (tj. Kruhový homomorfismus, který je inverzní funkcí ). Jakýkoli bijektivní kruhový homomorfismus je prstencový izomorfismus. Dva prsteny jsou prý izomorfní, pokud mezi nimi existuje izomorfismus a v takovém případě se píše . Prstencový homomorfismus mezi stejným prstencem se nazývá endomorfismus a izomorfismus mezi stejným prstencem automorfismus. ${\ displaystyle R, S}$${\ displaystyle R \ simeq S}$

Příklady:

• Funkce, která mapuje každé celé číslo x na jeho zbývající modul 4 (číslo v {0, 1, 2, 3}), je homomorfismus od prstence Z do kvocientního prstence Z /4 Z („kvocientový kruh“ je definován níže) .
• Jestliže je jednotka prvkem v kruhu R , potom je kruh homomorphism, nazývá vnitřní automorfizmus z R .${\ displaystyle u}$${\ displaystyle R \ to R, x \ mapsto uxu^{-1}}$
• Nechť R je komutativní prstenec primární charakteristiky p . Pak je prstencový endomorfismus R nazývaný Frobenius homomorphism .${\ displaystyle x \ mapsto x^{p}}$
• Skupina Galois rozšíření pole je sada všech automorfismů L, jejichž omezení na K jsou identita.${\ displaystyle L/K}$
• Pro jakýkoli prsten R existuje jedinečný kruhový homomorfismus Z → R a jedinečný kruhový homomorfismus R → 0 .
• Epimorfizmus (to znamená, že pravým cancelable morphism) zazvonění nemusí být surjective. Například jedinečná mapa Z → Q je epimorfismus.
• Algebraický homomorfismus od k -algebry po endomorfní algebru vektorového prostoru nad k se nazývá reprezentace algebry .

Vzhledem k tomu, okruhový homomorfismus , množina všech prvků, mapovaných na hodnotu 0, f se nazývá jádro z  f . Jádro je oboustranný ideál  R . Obraz  f , na druhou stranu, není vždy ideální, ale je to vždy subring  S . ${\ displaystyle f: R \ to S}$

Homomorfismus kruhu z komutativního prstence R na prstenec A s obrazem obsaženým ve středu A je stejný jako poskytnutí struktury algebry přes R až  A (což zejména dává strukturu A -modulu) .

Kvocient kružnice

Pojem kvocientového kruhu je analogický s pojmem kvocientové skupiny . Vzhledem k tomu, kroužek ( R , +, ⋅ ) a oboustranný ideální I z ( R , +, ⋅ ) , zobrazení I jako podskupinu ( R , +) ; pak faktorokruh R / I je množina cosets z I spolu s operacemi

( a  +  I ) + ( b  +  I ) = ( a  +  b ) + I a

(  +  I ) ( b  +  I ) = ( ab ) + I .

pro všechny A , b v R . Prsten R / I se také nazývá faktorový prsten .

Stejně jako u kvocientové skupiny existuje kanonický homomorfismus daný . Je surjektivní a splňuje následující univerzální vlastnost: ${\ displaystyle p \ colon R \ to R/I}$${\ displaystyle x \ mapsto x+I}$

• Pokud je kruhový homomorfismus takový , pak existuje jedinečný homomorfismus takový .${\ Displaystyle f \ colon R \ to S}$${\ displaystyle f (I) = 0}$${\ displaystyle {\ overline {f}} \ colon R/I \ to S}$${\ Displaystyle f = {\ overline {f}} \ circ p}$

U jakéhokoli prstencového homomorfismu vyvoláním univerzální vlastnosti s vznikne homomorfismus, který dává izomorfismus od k obrazu f . ${\ Displaystyle f \ colon R \ to S}$${\ displaystyle I = \ ker f}$${\ displaystyle {\ overline {f}} \ colon R/\ ker f \ to S}$${\ displaystyle R/\ ker f}$

Modul

Koncept modulu přes prsten zobecňuje koncept vektorového prostoru (nad polem ) zobecněním od násobení vektorů s prvky pole ( skalární násobení ) po násobení s prvky prstenu. Přesněji řečeno, daný kruh R s 1 může R -module M je skupina abelian vybaven provozním R x M → M (sdružující prvek M , aby každý pár prvku R a prvku M ), která splňuje určité axiomy . Tato operace se běžně označuje multiplikativně a nazývá se multiplikace. Axiomy modulů jsou následující: pro všechna a , b v R a všechna x , y v M máme:

• M je abelianská skupina pod přídavkem.
• ${\ Displaystyle a (x+y) = sekera+ay}$
• ${\ Displaystyle (a+b) x = ax+bx}$
• ${\ displaystyle 1x = x}$
• ${\ Displaystyle (ab) x = a (bx)}$

Když je kruh nekomutativní, tyto axiomy definují levé moduly ; pravé moduly jsou definovány podobně zápisem xa místo ax . Nejde jen o změnu zápisu, protože poslední axiom pravých modulů (tj. X ( ab ) = ( xa ) b ) se stane ( ab ) x = b ( ax ) , pokud je použito násobení vlevo (pomocí prstencových prvků) pro správný modul.

Základní příklady modulů jsou ideály, včetně samotného prstenu.

Ačkoli je definována podobně, teorie modulů je mnohem komplikovanější než teorie vektorového prostoru, hlavně proto, že na rozdíl od vektorových prostorů nejsou moduly charakterizovány (až do izomorfismu) jediným invariantem ( dimenze vektorového prostoru ). Zejména ne všechny moduly mají základ .

Axiomy modulů znamenají, že (−1) x = - x , kde první minus označuje aditivní inverzi v kruhu a druhý minus aditivní inverzi v modulu. Použití tohoto a označení opakovaného sčítání vynásobením kladným celým číslem umožňuje identifikaci abelianských skupin s moduly přes kruh celých čísel.

Jakýkoli kruhový homomorfismus indukuje strukturu modulu: pokud f  : R → S je kruhový homomorfismus, pak S je levý modul nad R vynásobením: rs = f ( r ) s . Jestliže R je komutativní nebo f ( R ) je obsažena v centru části S , přičemž kruh S se nazývá R - algebry . Každý prsten je zejména algebrou nad celými čísly.

Stavby

Přímý produkt

Nechť R a S jsou prsteny. Pak může být výrobek R × S vybaven následující přirozenou prstencovou strukturou:

• ( r ₁ , s ₁ ) + ( r ₂ , s ₂ ) = ( r ₁  +  r ₂ , s ₁  +  s ₂ )
• ( r ₁ , s ₁ ) ⋅ ( r ₂ , s ₂ ) = ( r ₁  ⋅  r ₂ , s ₁  ⋅  s ₂ )

pro všechny r ₁ , r ₂ v R a to ₁ , to ₂ v  S . Prstenec R x S se výše uvedené operace sčítání a násobení a multiplikativní identity se nazývá přímým produktem z R s  S . Stejná konstrukce funguje také pro libovolnou rodinu prstenů: pokud jsou prsteny indexovány množinou I , pak je prsten s komponentním sčítáním a násobením. ${\ displaystyle (1,1)}$${\ displaystyle R_ {i}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ prod _ {i \ in I} R_ {i}}$

Nechť R je komutativní prsten a být ideály takovými, že kdykoli . Poté čínská zbývající věta říká, že existuje kanonický kruhový izomorfismus: ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {1}, \ cdots, {\ mathfrak {a}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i}+{\ mathfrak {a}} _ {j} = (1)}$${\ Displaystyle i \ neq j}$

${\ Displaystyle R/{\ textstyle \ bigcap _ {i = 1}^{n} {{\ mathfrak {a}} _ {i}}} \ simeq \ prod _ {i = 1}^{n} {R /{\ mathfrak {a}} _ {i}}, \ qquad x \; \ operatorname {mod} \; {\ textstyle \ bigcap _ {i = 1}^{n} {{\ mathfrak {a}} _ {i}}} \ mapsto (x \; \ operatorname {mod} \; {\ mathfrak {a}} _ {1}, \ ldots, x \; \ operatorname {mod} \; {\ mathfrak {a}} _ {n})}$.

Na „konečný“ přímý produkt lze také pohlížet jako na přímý součet ideálů. Jmenovitě, ať jsou prsteny, inkluze s obrázky (zejména prsteny, i když ne podřetězce). Pak jsou ideály R a ${\ Displaystyle R_ {i}, 1 \ leq i \ leq n}$${\ Displaystyle \ textstyle R_ {i} \ to R = \ prod R_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i}}$

${\ displaystyle R = {\ mathfrak {a}} _ {1} \ oplus \ cdots \ oplus {\ mathfrak {a}} _ {n}, \ quad {\ mathfrak {a}} _ {i} {\ mathfrak {a}} _ {j} = 0, i \ neq j, \ quad {\ mathfrak {a}} _ {i}^{2} \ subseteq {\ mathfrak {a}} _ {i}}$

jako přímý součet abelianských skupin (protože pro abelianské skupiny jsou konečné produkty stejné jako přímé součty). Je zřejmé, že přímý součet těchto ideálů také definuje produkt prstenců, které jsou izomorfní s  R . Totéž lze výše provést prostřednictvím centrálních idempotentů . Předpokládejme, že R má výše uvedený rozklad. Pak můžeme psát

${\ Displaystyle 1 = e_ {1} +\ cdots +e_ {n}, \ quad e_ {i} \ in {\ mathfrak {a}} _ {i}.}$

Podle podmínek má člověk centrální idempotenty a (ortogonální). Opět lze konstrukci obrátit. Totiž, pokud je dána část 1 v ortogonálních centrálních idempotentech, pak let , což jsou oboustranné ideály. Jestliže každý není součtem kolmých centrálních idempotents, pak jejich přímý součet je isomorphic k  R . ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i}}$${\ displaystyle e_ {i}}$${\ Displaystyle e_ {i} e_ {j} = 0, já \ neq j}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i} = Re_ {i}}$${\ displaystyle e_ {i}}$

Důležitou aplikací nekonečného přímého produktu je konstrukce projektivního limitu prstenů (viz níže). Další aplikací je omezený produkt rodiny prstenů (viz prsten adele ).

Polynomiální prstenec

Je dán symbolem t (nazývaným proměnná) a komutativním prstencem  R , množinou polynomů

${\ Displaystyle R [t] = \ left \ {a_ {n} t^{n}+a_ {n-1} t^{n-1}+\ dots+a_ {1} t+a_ {0} \ mid n \ geq 0, a_ {j} \ in R \ right \}}$

tvoří komutativní kruh s obvyklým sčítáním a násobením, obsahující R jako podřetězec. To se nazývá polynom kroužku nad  R . Obecněji řečeno, sada všech polynomů v proměnných tvoří komutativní kruh, obsahující jako podřetězce. ${\ Displaystyle R \ left [t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ right]}$${\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n}}$${\ displaystyle R \ left [t_ {i} \ right]}$

Jestliže R je integrální doména , pak je také integrální doména; jeho pole zlomků je pole racionálních funkcí . Jestliže R je noetherovský prsten, pak je to noetherovský prsten. Pokud R je jedinečná doména faktorizace, pak je to jedinečná doména faktorizace. Nakonec R je pole právě tehdy, když je hlavní ideální doménou. ${\ displaystyle R [t]}$${\ displaystyle R [t]}$${\ displaystyle R [t]}$${\ displaystyle R [t]}$

Buďme komutativní prsteny. Vzhledem k prvku x ze  S lze uvažovat o prstencovém homomorfismu ${\ displaystyle R \ subseteq S}$

${\ Displaystyle R [t] \ do S, \ quad f \ mapsto f (x)}$

(to znamená substituce ). Pokud S = R [ t ] a x = t , pak f ( t ) = f . Z tohoto důvodu je polynom f také často označován . Obraz mapy je označen ; je to totéž jako podřetězec S generovaný R a  x . ${\ displaystyle f (t)}$${\ Displaystyle f \ mapsto f (x)}$${\ displaystyle R [x]}$

Příklad: označuje obraz homomorfismu ${\ Displaystyle k \ left [t^{2}, t^{3} \ right]}$

${\ Displaystyle k [x, y] \ to k [t], \, f \ mapsto f \ left (t^{2}, t^{3} \ right).}$

Jinými slovy, je to subalgebra generovaná t ² a  t ³ . ${\ Displaystyle k [t]}$

Příklad: nechť f je polynom v jedné proměnné, to jest prvkem polynomu kruhu R . Pak je prvek v a je dělitelný h v tomto kruhu. Výsledkem nahrazení nuly za h in je derivace f v  x . ${\ displaystyle f (x+h)}$${\ displaystyle R [h]}$${\ Displaystyle f (x+h) -f (x)}$${\ Displaystyle (f (x+h) -f (x))/h}$${\ displaystyle f '(x)}$

Substituce je speciální případ univerzální vlastnosti polynomiálního kruhu. Tato vlastnost uvádí: vzhledem k prstencovému homomorfismu a prvku x v S existuje jedinečný kruhový homomorfismus takový, že a omezuje na . Například při výběru základny splňuje symetrická algebra univerzální vlastnost a polynomiální prsten také. ${\ displaystyle \ phi: R \ to S}$${\ displaystyle {\ overline {\ phi}}: R [t] \ to S}$${\ displaystyle {\ overline {\ phi}} (t) = x}$${\ displaystyle {\ overline {\ phi}}}$${\ displaystyle \ phi}$

Abychom uvedli příklad, nechť S je prstenem všech funkcí od R k sobě; sčítání a násobení jsou funkce. Nechť x je funkce identity. Každé r v R definuje konstantní funkci, což vede k homomorfismu . Univerzální vlastnost říká, že se tato mapa rozšiřuje jedinečně na ${\ displaystyle R \ to S}$

${\ Displaystyle R [t] \ do S, \ quad f \ mapsto {\ overline {f}}}$

( t mapy na x ) kde je polynomiální funkce definovaná f . Výsledná mapa je injektivní právě tehdy, když je R nekonečný. ${\ displaystyle {\ overline {f}}}$

Vzhledem k nekonstantnímu monickému polynomu f in existuje kruh S obsahující R tak, že f je součinem lineárních faktorů v . ${\ displaystyle R [t]}$${\ Displaystyle S [t]}$

Nechť k je algebraicky uzavřené pole. Na Hilbertova věta o nulách (teorém nul) se uvádí, že existuje přirozená one-to-one korespondence mezi souborem všech primárních ideálů v a sadu uzavřených podtříd . Zvláště mnoho místních problémů v algebraické geometrii může být napadeno studiem generátorů ideálu v polynomiálním kruhu. (viz Gröbnerův základ .) ${\ Displaystyle k \ left [t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ right]}$${\ displaystyle k^{n}}$

Existuje několik dalších souvisejících konstrukcí. Formální mocninné řady prsten se skládá z formálního energie série ${\ displaystyle R [\! [t] \!]}$

${\ Displaystyle \ sum _ {0}^{\ infty} a_ {i} t^{i}, \ quad a_ {i} \ v R}$

společně s násobením a sčítáním, které napodobují ty pro konvergentní řady. Obsahuje jako podřetězec. Prsten formální mocenské řady nemá univerzální vlastnost polynomiálního prstence; řada se nemusí po substituci sbíhat. Důležitou výhodou formálního prstence mocninných řad oproti polynomiálnímu kruhu je, že je lokální (ve skutečnosti úplný ). ${\ displaystyle R [t]}$

Maticový prstenec a prstenec endomorfismu

Nechť R je prsten (ne nutně komutativní). Množina všech čtvercových matic velikosti n se záznamy v R tvoří prsten s přidáním podle zadání a obvyklým násobením matice. Říká se mu maticový kruh a označuje se M _n ( R ). Daný správný R -modul , sada všech R -lineárních map od U k sobě tvoří kruh s přídavkem, který má funkci a násobení, které je složením funkcí ; nazývá se to prsten endomorfismu U a označuje se . ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ operatorname {End} _ {R} (U)}$

Jak je v lineární algebře, matice kruh může být canonically interpretovat jako okruhu endomorfismů: . Toto je zvláštní případ následující skutečnosti: Pokud je R -lineární mapa, pak f může být zapsáno jako matice se záznamy v , což má za následek prstencový izomorfismus: ${\ displaystyle \ operatorname {End} _ {R} (R^{n}) \ simeq \ operatorname {M} _ {n} (R)}$${\ Displaystyle f: \ oplus _ {1}^{n} U \ to \ oplus _ {1}^{n} U}$${\ displaystyle f_ {ij}}$${\ displaystyle S = \ operatorname {End} _ {R} (U)}$

${\ displaystyle \ operatorname {End} _ {R} (\ oplus _ {1}^{n} U) \ to \ operatorname {M} _ {n} (S), \ quad f \ mapsto (f_ {ij} ).}$

Jakýkoli kruhový homomorfismus R → S indukuje M _n ( R ) → M _n ( S ) .

Schurovo lemma říká, že pokud U je jednoduchý pravý R -modul, pak je to dělící prsten. Je -li přímý součet m _i -kopií jednoduchých modulů R , pak ${\ displaystyle \ operatorname {End} _ {R} (U)}$${\ Displaystyle \ textstyle U = \ bigoplus _ {i = 1}^{r} U_ {i}^{\ oplus m_ {i}}}$${\ displaystyle U_ {i}}$

${\ displaystyle \ operatorname {End} _ {R} (U) \ simeq \ prod _ {i = 1}^{r} \ operatorname {M} _ {m_ {i}} (\ operatorname {End} _ {R } (U_ {i}))}$.

Artin-Wedderburn teorém uvádí jakýkoliv polojednoduché kroužek (viz níže), je z této formy.

Kruh R a maticový kruh M _n ( R ) nad ním jsou ekvivalentem Mority : kategorie správných modulů R je ekvivalentní kategorii pravých modulů nad M _n ( R ). Zejména oboustranné ideály v R odpovídají v jednostranných až oboustranných ideálech v M _n ( R ).

Limity a colimity prstenů

Nechť R _i je posloupnost kruhů tak, že R _i je podřetězec R _{i +1} pro všechna i . Potom sjednocení (nebo filtrovaný kolimit ) R _i je kruh definovaný následovně: je to disjunktní spojení všech R _i modulo vztah ekvivalence právě tehdy, když v R _i pro dostatečně velké i . ${\ Displaystyle \ varinjlim R_ {i}}$${\ displaystyle x \ sim y}$${\ displaystyle x = y}$

Příklady colimitů:

• Polynomiální kruh v nekonečně mnoha proměnných: ${\ Displaystyle R [t_ {1}, t_ {2}, \ cdots] = \ varinjlim R [t_ {1}, t_ {2}, \ cdots, t_ {m}].}$
• Algebraické uzavření z konečných polí stejné charakteristiky${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {F}}} _ {p} = \ varinjlim \ mathbf {F} _ {p^{m}}.}$
• Pole formální Laurentovy řady nad polem k : (je to pole zlomků prstence formální mocenské řady .)${\ Displaystyle k (\! (t) \!) = \ varinjlim t^{-m} k [\! [t] \!]}}$ ${\ Displaystyle k [\! [t] \!]}$
• Funkce pole algebraické rozmanitosti přes pole k je pokud jsou mezní běží přes všechny souřadnic kroužky z neprázdných otevřených podmnožin U (stručněji je stonek na snop konstrukce v obecného bodu ).${\ Displaystyle \ varinjlim k [U]}$${\ displaystyle k [U]}$

Jakýkoli komutativní prsten je colimit konečně generovaných podřetězců .

Projektivní omezení (nebo filtrovány mez ) kroužků je definována následovně. Předpokládejme, že máme dán řada kroužků , i běh přes pozitivní celá čísla, říká, a kruhové homomorfismů takové, které jsou všechny identity a je kdykoliv . Pak je podřetězec sestávající z takových, které se mapují pod . ${\ displaystyle R_ {i}}$${\ displaystyle R_ {j} \ to R_ {i}, j \ geq i}$${\ displaystyle R_ {i} \ to R_ {i}}$${\ displaystyle R_ {k} \ to R_ {j} \ to R_ {i}}$${\ displaystyle R_ {k} \ to R_ {i}}$${\ Displaystyle k \ geq j \ geq i}$${\ displaystyle \ varprojlim R_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle \ prod R_ {i}}$${\ displaystyle (x_ {n})}$${\ displaystyle x_ {j}}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle R_ {j} \ to R_ {i}, j \ geq i}$

Příklad projektivního limitu viz § Dokončení .

Lokalizace

Lokalizace zobecňuje stavbu oblasti frakcí z oboru integrity na libovolném kruhu a modulů. Vzhledem k tomu, (ne nutně komutativní) kruh R a podmnožina S o R , existuje kruh společně s homomorfismu kruhu , že „invertuje“ s ; to znamená, že homomorfismus mapuje prvky v S na jednotkové prvky v , a navíc jakýkoli kruhový homomorfismus z R, který "převrací" S jedinečně faktory skrz . Prstenec se nazývá lokalizace z R s ohledem na S . Pokud je například R komutativní prsten a f prvek v R , pak lokalizace sestává z prvků formuláře (abychom byli přesní ) ${\ Displaystyle R [S^{-1}]}$${\ displaystyle R \ to R \ left [S^{-1} \ right]}$${\ Displaystyle R \ left [S^{-1} \ right]}$${\ Displaystyle R \ left [S^{-1} \ right]}$${\ Displaystyle R \ left [S^{-1} \ right]}$${\ Displaystyle R \ left [f^{-1} \ right]}$${\ Displaystyle r/f^{n}, \, r \ v R, \, n \ geq 0}$${\ Displaystyle R \ left [f^{-1} \ right] = R [t]/(tf-1).}$

Lokalizace je často aplikována na komutativním kruhu R s ohledem na komplementu primárního ideálu (nebo svazkem primárních ideálů) v  R . V takovém případě člověk často píše pro . je pak místní prsten s maximálním ideálem . To je důvod pro terminologii „lokalizace“. Pole zlomků integrální domény R je lokalizací R na primární ideální nule. Pokud je primární ideál komutativního kruhu  R , pak je pole zlomků stejné jako zbytkové pole místního kruhu a je označeno . ${\ displaystyle S = R-{\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle R \ left [S^{-1} \ right]}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} R _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle R/{\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle k ({\ mathfrak {p}})}$

Pokud M je levý R -modul, pak je lokalizace M vzhledem k S dána změnou prstenců . ${\ Displaystyle M \ left [S^{-1} \ right] = R \ left [S^{-1} \ right] \ otimes _ {R} M}$

Nejdůležitější vlastnosti lokalizace jsou následující: když R je komutativní kruh a S multiplikativně uzavřená podmnožina

• ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ mapsto {\ mathfrak {p}} \ left [S^{-1} \ right]}$je spojením mezi množinou všech hlavních ideálů v R disjunktní od S a množinou všech hlavních ideálů v .${\ Displaystyle R \ left [S^{-1} \ right]}$
• ${\ Displaystyle R \ left [S^{-1} \ right] = \ varinjlim R \ left [f^{-1} \ right]}$, f běh přes prvky v S s částečným uspořádáním daným dělitelností.
• Lokalizace je přesná:

  ${\ Displaystyle 0 \ to M '\ left [S^{-1} \ right] \ to M \ left [S^{-1} \ right] \ to M' '\ left [S^{-1} \ vpravo] \ na 0}$je přesný více než kdykoli je přesně nad  R .${\ Displaystyle R \ left [S^{-1} \ right]}$${\ Displaystyle 0 \ to M '\ to M \ to M' '\ to 0}$

• Naopak, pokud je přesný pro jakýkoli maximální ideál , pak je přesný.${\ Displaystyle 0 \ to M '_ {\ mathfrak {m}} \ to M _ {\ mathfrak {m}} \ to M' '_ {\ mathfrak {m}} \ to 0}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ Displaystyle 0 \ to M '\ to M \ to M' '\ to 0}$
• Poznámka: lokalizace není pomoc při dokazování globální existence. Jedním příkladem je, že pokud jsou dva moduly izomorfní u všech primárních ideálů, neznamená to, že jsou izomorfní. (Jedním ze způsobů, jak to vysvětlit, je to, že lokalizace umožňuje zobrazit modul jako svazek nad prvotními ideály a svazek je ze své podstaty místní pojem.)

V teorii kategorie , je lokalizace kategorie činí dělat nějaké morphisms isomorphisms. Prvek v komutativním kruhu R lze považovat za endomorfismus jakéhokoli R -modulu. Tak, kategoricky, je lokalizace R s ohledem na podmnožinu S o R je functor z kategorie R -modules na sebe, který odesílá prvky S pohlížet jako na endomorphisms automorphisms a je univerzální s ohledem na tuto vlastnost. ( R se pak samozřejmě mapuje na a R -moduly se mapují na -moduly.) ${\ Displaystyle R \ left [S^{-1} \ right]}$${\ Displaystyle R \ left [S^{-1} \ right]}$

Dokončení

Nechť R být komutativní prsten a nechal jsem být ideál  R . Dokončení z R u I je projektivní mez ; je to komutativní prsten. Kanonické homomorfismy od R do kvocientů vyvolávají homomorfismus . Druhý homomorfismus je injektivní, pokud R je noetherovská integrální doména a I je správný ideál, nebo pokud R je noetherovský lokální prsten s maximálním ideálem I , podle Krullovy věty o průniku . Konstrukce je zvláště užitečná, když jsem maximální ideál. ${\ displaystyle {\ hat {R}} = \ varprojlim R/I^{n}}$${\ displaystyle R/I^{n}}$${\ displaystyle R \ to {\ hat {R}}}$

Základním příkladem je dokončení Z na hlavním ideálu ( p ) generovaném prvočíslem p ; nazývá se prsten p -adických celých čísel a označuje se Z _p . Dokončení může v tomto případě být konstruovány také z p -adic absolutní hodnoty na Q . P -adic absolutní hodnota na Q je mapa z Q až R dána kde značí exponent p v nultý faktorizace nenulové celé číslo n do prvočísel (také dát a ). Definuje funkci vzdálenosti na Q a dokončení Q jako metrického prostoru je označeno Q _p . Je to opět pole, protože operace v terénu sahají až k dokončení. Podřetězec Q _p sestávající z prvků x s je izomorfní k  Z _p . ${\ displaystyle x \ mapsto | x |}$${\ displaystyle | n | _ {p} = p^{-v_ {p} (n)}}$${\ displaystyle v_ {p} (n)}$${\ displaystyle | 0 | _ {p} = 0}$${\ Displaystyle | m/n | _ {p} = | m | _ {p}/| n | _ {p}}$${\ displaystyle | x | _ {p} \ leq 1}$

Podobně formální prstenec mocninných řad je dokončení at (viz také Henselovo lemma ) ${\ displaystyle R [{[t]}]}$${\ displaystyle R [t]}$${\ displaystyle (t)}$

Kompletní prsten má mnohem jednodušší strukturu než komutativní prsten. To je součástí Cohenovy věty o struktuře , která zhruba říká, že úplný místní prsten má tendenci vypadat jako formální prsten řady energie nebo jeho podíl. Na druhou stranu interakce mezi integrálním uzavřením a dokončením patřila k nejdůležitějším aspektům, které odlišují moderní teorii komutativních prstenců od té klasické, kterou vyvinuli lidé jako Noether. Patologické příklady nalezené Nagatou vedly k přehodnocení rolí noetherianských prstenů a motivovaly mimo jiné definici vynikajícího prstenu .

Kroužky s generátory a vztahy

Nejobecnějším způsobem, jak sestrojit prsten, je zadání generátorů a relací. Nechť F být volný kroužek (to znamená, že volný algebra přes celá čísla), s nastaveným X symbolů, to znamená F sestává polynomů s integrovanými koeficientů noncommuting proměnné, které jsou prvky X . Volný prsten splňuje univerzální vlastnost: jakákoli funkce od množiny X po prsten R ovlivňuje F, takže jde o jedinečný kruhový homomorfismus. Stejně jako v případě skupiny může být každý prsten reprezentován jako podíl volného kruhu. ${\ displaystyle F \ to R}$

Nyní můžeme vnutit vztahy mezi symboly v X pomocí kvocientu. Výslovně, pokud E je podmnožinou F , pak je podíl kruh F od ideálu generovaného E se nazývá kroužek generátorů X a vztahy E . Pokud bychom použili kruh, řekněme, A jako základní kroužek místo Z , pak výsledný kruhový bude přes A . Například pokud , pak bude výsledným prstenem obvyklý polynomiální prstenec s koeficienty v A v proměnných, které jsou prvky X (Je to také totéž jako symetrická algebra nad A se symboly X. ) ${\ Displaystyle E = \ {xy-yx \ mid x, y \ in X \}}$

V kategoricky teoretických termínech je formace levým pomocným funktorem zapomnětlivého funktoru z kategorie prstenů do množiny (a často se jí říká volný kruhový funktor.) ${\ displaystyle S \ mapsto {\ text {volný prsten generovaný sadou}} S}$

Nechť , B bude algebry přes komutativní prsten R . Potom se tensor produkt R -modules je R algebra s násobením charakterizován . Viz také: Tenzorový součin algeber , Výměna kroužků . ${\ Displaystyle A \ otimes _ {R} B}$${\ Displaystyle (x \ otimes u) (y \ otimes v) = xy \ otimes uv}$

Speciální druhy prstenů

Domény

Nenulový kroužek bez nenulovou nulové dělitele se nazývá doména . Komutativní doména se nazývá integrální doména . Nejdůležitější integrální domény jsou hlavní ideální domény, zkráceně PID a pole. Hlavní ideální doména je integrální doména, ve které je každý ideál hlavní. Důležitou třídou integrálních domén, které obsahují PID, je jedinečná faktorizační doména (UFD), integrální doména, ve které je každý nejednotkový prvek produktem primárních prvků (prvek je primární, pokud generuje primární ideál .) Základní otázka v teorie algebraických čísel je o tom, do jaké míry kruh (zobecněných) celých čísel v číselném poli , kde „ideál“ připouští primární faktorizaci, není PID.

Mezi větami týkajícími se PID je nejdůležitější věta o struktuře pro konečně generované moduly přes hlavní ideální doménu . Tuto větu lze ilustrovat následující aplikací na lineární algebru. Nechť V je vektorový prostor konečných rozměrů nad polem k a lineární mapa s minimálním polynomem q . Potom, protože jde o jedinečnou faktorizační doménu, q faktory do mocnin odlišných neredukovatelných polynomů (tj. Prvotních prvků): ${\ Displaystyle f: V \ až V}$${\ Displaystyle k [t]}$

${\ Displaystyle q = p_ {1}^{e_ {1}} \ ldots p_ {s}^{e_ {s}}.}$

Pronájem , provádíme V k [ t ] -module. Věta o struktuře pak říká, že V je přímý součet cyklických modulů , z nichž každý je izomorfní k modulu formuláře . Nyní, pokud , pak takový cyklický modul (pro ) má základ, ve kterém je omezení f reprezentováno Jordanovou maticí . Tedy, je-li, řekněme, k je algebraicky uzavřený, pak všechny ‚s jsou formy a výše uvedené rozkladu odpovídá Jordán kanonický tvar o f . ${\ Displaystyle t \ cdot v = f (v)}$${\ Displaystyle k [t]/\ left (p_ {i}^{k_ {j}} \ right)}$${\ Displaystyle p_ {i} (t) = t- \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ Displaystyle t- \ lambda _ {i}}$

V algebraické geometrii vznikají UFD kvůli hladkosti. Přesněji, bod v odrůdě (přes dokonalé pole) je hladký, pokud je místní prsten v bodě pravidelným místním prstencem . Pravidelný místní prsten je UFD.

Následuje řetězec začlenění tříd, který popisuje vztah mezi prstenci, doménami a poli:

rngs ⊃ kroužky ⊃ komutativní prstence ⊃ integrální domény ⊃ integrálně uzavřené domény ⊃ GCD domény ⊃ jedinečné faktorizační domény ⊃ hlavní ideální domény ⊃ euklidovské domény ⊃ pole ⊃ algebraicky uzavřená pole

Divizní prsten

Rozdělení kruh je kruh, který každý nenulový prvek je jednotka. Komutativní dělící prstenec je pole . Významným příkladem dělícího prstence, který není polem, je prsten čtveřic . Jakýkoli centralizátor v divizním kruhu je také divizním prstenem. Zejména středem dělícího kruhu je pole. Ukázalo se, že každá konečná doména (zejména prstenec konečných divizí) je pole; zejména komutativní ( Wedderburnova malá věta ).

Každý modul přes divizní kruh je modul zdarma (má základ); v důsledku toho lze velkou část lineární algebry provádět přes dělící prstenec místo pole.

Studium tříd konjugace figuruje prominentně v klasické teorii dělících prstenů; viz například Cartan – Brauer – Hua teorém .

Cyklický algebry , zavedený LE Dickson , je zobecnění čtveřice algebry .

Polořadovky prstenů

Polojednoduché modul je přímý součet jednoduchých modulů. Polojednoduché kroužek je kroužek, který je polojednoduché jako levý modul (nebo pravý modul) přes sebe.

Příklady

• Rozdělení kroužek je polojednoduché (a jednoduché ).
• Pro jakýkoli dělící prstenec D a kladné celé číslo n je maticový kruh M _n ( D ) poloměrný (a jednoduchý ).
• Pro polní K a konečné skupiny G , skupina kroužek kG je polojednoduché tehdy a jen tehdy, pokud je charakteristika z k nerozděluje na pořadí a G ( Maschke teorém ).
• Cliffordovy algebry jsou poloviční.

Weyl algebra přes pole je jednoduchý kruh , ale není to polojednoduché. Totéž platí pro prsten diferenciálních operátorů v mnoha proměnných .

Vlastnosti

Jakýkoli modul přes poloměrný prstenec je polosimple. (Důkaz: Volný modul přes poloprůchodný prstenec je polosnadný a jakýkoli modul je podílem volného modulu.)

Pro prsten R jsou následující ekvivalentní:

• R je poloviční.
• R je artinian a semiprimitive .
• R je konečný přímý součin, kde každé n _i je kladné celé číslo a každé D _i je dělící prsten ( Artin – Wedderburnova věta ).${\ displaystyle \ textstyle \ prod _ {i = 1}^{r} \ operatorname {M} _ {n_ {i}} (D_ {i})}$

S jednoduchostí úzce souvisí oddělitelnost. Jednotná asociativní algebra A nad polem k se říká, že je oddělitelná, pokud je základní rozšíření pro každé pole rozšířené . Pokud je A pole, pak je toto ekvivalentní obvyklé definici v teorii pole (viz oddělitelné rozšíření .) ${\ Displaystyle A \ otimes _ {k} F}$ ${\ displaystyle F/k}$

Centrální jednoduchá algebra a Brauerova skupina

Pro pole k je k -algebra centrální, pokud je její střed k, a je jednoduchá, pokud jde o jednoduchý prstenec . Protože středem jednoduché k -algebry je pole, jakákoli jednoduchá k -algebra je centrální jednoduchou algebrou nad jejím středem. V této části se předpokládá, že centrální jednoduchá algebra má konečný rozměr. Také většinou opravujeme základní pole; algebra tedy odkazuje na k -algebru. Maticový prstenec velikosti n přes kruh R bude označen . ${\ displaystyle R_ {n}}$

Skolem-Noether teorém říká, některý automorphism centrální jednoduché algebry je vnitřní.

Dvě centrální jednoduché algebry A a B jsou prý podobné, pokud existují celá čísla n a m taková, že . Protože podobnost je vztahem ekvivalence. Podobnost třídy s násobením tvoří skupina abelian nazývá skupina Brauer o k a je označen . Podle Artin – Wedderburnovy věty je centrální jednoduchá algebra maticovým prstencem dělícího prstence; každá třída podobnosti je tedy reprezentována jedinečným divizním prstenem. ${\ Displaystyle A \ otimes _ {k} k_ {n} \ zhruba B \ otimes _ {k} k_ {m}}$${\ Displaystyle k_ {n} \ otimes _ {k} k_ {m} \ simeq k_ {nm}}$${\ displaystyle [A]}$${\ Displaystyle [A] [B] = \ left [A \ otimes _ {k} B \ right]}$${\ displaystyle \ operatorname {Br} (k)}$

Například je triviální, pokud k je konečné pole nebo algebraicky uzavřené pole (obecněji kvazialgebraicky uzavřené pole ; viz Tsenova věta ). má pořadí 2 (speciální případ Frobeniovy věty ). Nakonec, pokud k je lokální pole bez archimédie (například ), pak prostřednictvím invariantní mapy . ${\ displaystyle \ operatorname {Br} (k)}$${\ displaystyle \ operatorname {Br} (\ mathbf {R})}$${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {p}}$${\ displaystyle \ operatorname {Br} (k) = \ mathbf {Q} /\ mathbf {Z}}$

Nyní, pokud F je rozšíření pole o k , pak základní rozšíření indukuje . Jeho jádro je označeno . Skládá se z takového, který je maticovým prstencem nad F (to znamená, že A je rozděleno F. ) Je -li prodloužení konečné a Galoisovo, pak je kanonicky izomorfní k . ${\ Displaystyle -\ otimes _ {k} F}$${\ displaystyle \ operatorname {Br} (k) \ to \ operatorname {Br} (F)}$${\ displaystyle \ operatorname {Br} (F/k)}$${\ displaystyle [A]}$${\ Displaystyle A \ otimes _ {k} F}$${\ displaystyle \ operatorname {Br} (F/k)}$${\ Displaystyle H^{2} \ left (\ operatorname {Gal} (F/k), k^{*} \ right)}$

Algebry Azumaya zobecňují pojem centrálních jednoduchých algeber na komutativní místní prstenec.

Oceňovací prsten

Pokud K je pole, ocenění v je skupinový homomorfismus od multiplikativní skupiny K ^∗ do zcela uspořádané abelianské skupiny G tak, že pro jakékoli f , g v K s f + g nenulové, v ( f + g ) ≥ min { v ( f ), v ( g )}. Ocenění kroužek z V je subring K skládající se z nuly a všechny nenulové f tak, že v ( f ) • 0 .

Příklady:

Viz také: Novikov prsten a uniserial prsten .

Prsteny s extra strukturou

Na prsten lze pohlížet jako na abelianskou skupinu (pomocí operace sčítání) s extra strukturou: konkrétně na prstenové násobení. Stejným způsobem existují i ​​jiné matematické objekty, které lze považovat za prsteny s extra strukturou. Například:

• Asociativní algebra je prstenec, který je také vektorovým prostorem nad polem K tak, že skalární násobení je kompatibilní s prstencovým násobením. Například sada n -by- n matic nad skutečným polem R má dimenzi n ² jako skutečný vektorový prostor.
• Kruh R je topologický prstenec, pokud jeho sadě prvků R je dána topologie, díky které je sčítací mapa ( ) a multiplikační mapa ( ) spojitá jako mapy mezi topologickými prostory (kde X × X dědí topologii produktu nebo jakoukoli jinou jiný produkt v kategorii). Například n -by- n maticím nad skutečnými čísly by mohla být dána buď euklidovská topologie , nebo Zariskiho topologie , a v obou případech by se získal topologický kruh.${\ displaystyle +: R \ times R \ to R \,}$${\ Displaystyle \ cdot: R \ times R \ to R \,}$
• A λ -ring je komutativní prstenec R společně s operacemi λ ⁿ : R → R, které jsou jako n -té vnější síly :

${\ Displaystyle \ lambda ^{n} (x+y) = \ sum _ {0} ^{n} \ lambda ^{i} (x) \ lambda ^{ni} (y)}$.

Například, Z je λ-kroužek , v kombinační číslo . Pojem hraje ústřední pravidlo v algebraickém přístupu k Riemann -Rochově větě .${\ displaystyle \ lambda ^{n} (x) = {\ binom {x} {n}}}$

• Totálně spořádaná prsten je prsten s celkovým uspořádáním , který je kompatibilní s kruhovými operací.

Několik příkladů všudypřítomnosti prstenů

Mnoho různých druhů matematických objektů lze plodně analyzovat z hlediska nějakého přidruženého prstence .

Koohomologický prstenec topologického prostoru

Ke každému topologickému prostoru X lze přiřadit jeho integrální cohomologický kruh

${\ Displaystyle H^{*} (X, \ mathbf {Z}) = \ bigoplus _ {i = 0}^{\ infty} H^{i} (X, \ mathbf {Z}),}$

odstupňovaná kruh . Existují také homologické skupiny prostoru, a ty byly skutečně definovány jako první jako užitečný nástroj pro rozlišování mezi určitými dvojicemi topologických prostorů, jako jsou koule a tori , pro které metody topologie bodových množin nejsou příliš vhodné. Skupiny cohomologie byly později definovány z hlediska homologických skupin způsobem, který je zhruba analogický s duálem vektorového prostoru . Znát každou jednotlivou skupinu integrální homologie je v zásadě stejné jako znát každou jednotlivou skupinu integrální kohomologie, a to díky univerzální koeficientové větě . Avšak výhoda cohomology skupin je to, že je přírodní produkt , který je analogický s pozorováním, že lze vícenásobně bodově na K - Multilineární forma a L -multilinear formě získat ( k + l ) -multilinear tvar. ${\ displaystyle H_ {i} (X, \ mathbf {Z})}$

Kruhová struktura v kohomologie poskytuje základ pro charakteristických tříd z svazků vláken , teorie průnik trubic a algebraické odrůd , Schubert počtu a mnohem více.

Burnside prsten skupiny

Ke každé skupině je přidružen její kruh Burnside, který pomocí prstenu popisuje různé způsoby, kterými může skupina působit na konečnou množinu. Aditivní skupina Burnsideova prstenu je volná abelianská skupina, jejímž základem jsou tranzitivní akce skupiny a jejíž přidáním je nesouvislé spojení akce. Vyjádření akce z hlediska základu znamená rozložení akce na její tranzitivní složky. Násobení je snadno vyjádřeno pomocí reprezentačního prstence : násobení v Burnsideově kruhu je vytvořeno zapsáním tenzorového součinu dvou permutačních modulů jako permutačního modulu. Prstencová struktura umožňuje formální způsob odečtení jedné akce od druhé. Vzhledem k tomu, že Burnsideův prstenec je obsažen jako konečný indexový podřetězec reprezentačního prstence, lze jeden snadno přecházet z jednoho do druhého rozšířením koeficientů z celých čísel na racionální čísla.

Reprezentační prsten skupinového kruhu

K jakémukoli skupinovému prstenu nebo Hopfově algebře je přiřazen jeho reprezentační prsten nebo „zelený kruh“. Aditivní skupina reprezentačního prstenu je volná abelianská skupina, jejímž základem jsou nerozložitelné moduly a jejíž přidání odpovídá přímému součtu. Vyjádření modulu z hlediska základu je nalezení nerozložitelného rozkladu modulu. Násobení je tenzorový produkt. Když je algebra poloviční, reprezentační prsten je pouze znakový prsten z teorie znaků , což je víceméně skupina Grothendieckova, která má prstenovou strukturu.

Funkční pole neredukovatelné algebraické odrůdy

Ke každé neredukovatelné algebraické odrůdě je přiřazeno její funkční pole . Body algebraické odrůdy odpovídají oceňovacím prstenům obsaženým ve funkčním poli a obsahujícím souřadnicový prstenec . Studium algebraické geometrie ve velké míře využívá komutativní algebru ke studiu geometrických konceptů z hlediska prstencově teoretických vlastností. Birační geometrie studuje mapy mezi podřetězci funkčního pole.

Obličejový prstenec zjednodušeného komplexu

Každý zjednodušující komplex má přidružený obličejový prsten, nazývaný také jeho Stanley -Reisnerův prsten . Tento prsten odráží mnoho kombinatorických vlastností zjednodušeného komplexu, proto je zvláště zajímavý v algebraické kombinatorice . Algebraická geometrie Stanley -Reisnerova prstence byla použita zejména k charakterizaci počtu ploch v každé dimenzi zjednodušených polytopů .

Kategorie-teoretický popis

Každý prsten lze považovat za monoid v Ab , kategorii abelianských skupin (myšleno jako monoidální kategorie pod tenzorovým součinem -modulů${\ displaystyle {\ mathbf {Z}}}$ ). Monoidní působení prstence R na abelianskou skupinu je jednoduše R -modul . V zásadě je R -modul zobecněním pojmu vektorový prostor -kde spíše než vektorový prostor nad polem má „vektorový prostor nad prstencem“.

Nechť ( A , +) je abelianská skupina a nechť End ( A ) je jeho prsten endomorfismu (viz výše). Všimněte si, že v podstatě End ( ) je množina všech morphisms A , kde, pokud f je v koncové ( A ), a g je konec ( A ), tato pravidla mohou být použita k výpočtu f + g a f ⋅ g :

• ( f +  g ) ( x ) = f ( x ) +  g ( x )
• ( f ⋅  g ) ( x ) = f ( g ( x )),

kde + jako v f ( x ) + g ( x ) je sčítání v A a složení funkce je označeno zprava doleva. Proto je ke každé abelianské skupině přidružen prsten. Naopak, vzhledem k jakémukoli kruhu, ( R , +, ⋅ ) , ( R , +) je abelianská skupina. Kromě toho, pro každé r v R , pravé (nebo levé) násobení r vede k morfismu ( R , +) , podle pravé (nebo levé) distribučnosti. Nechť A = ( R , +) . Brát v úvahu endomorphisms z A , že „faktor prostřednictvím“ doprava (nebo doleva) množení R . Jinými slovy, nechť End _R ( A ) je množina všech morfismů m z A , mající vlastnost, že m ( r ⋅  x ) = r ⋅ m ( x ) . Bylo vidět, že každé r v R vede k morfismu A : správné násobení r . Ve skutečnosti je pravda, že tato asociace jakéhokoli prvku R k morfismu A , jako funkce od R do konce _R ( A ), je izomorfismus prstenů. V tomto smyslu lze tedy na jakýkoli prsten pohlížet jako na prsten endomorfismu nějaké abelianské skupiny X (skupinou X se rozumí skupina, kde X je její množina operátorů ). V podstatě nejobecnější formou prstenu je skupina endomorfismu nějaké abelianské X -skupiny.

Jakýkoli prsten lze považovat za předběžnou kategorii s jediným objektem. Je tedy přirozené považovat libovolné preadditivní kategorie za zobecnění prstenů. A skutečně lze do tohoto obecnějšího kontextu přeložit mnoho definic a vět, původně uvedených pro prsteny. Aditivní funktory mezi preadditivními kategoriemi zobecňují koncept prstencového homomorfismu a ideály v aditivních kategoriích lze definovat jako sady morfismů uzavřených pod adicí a pod kompozicí s libovolnými morfismy.

Zobecnění

Algebraisté definovali struktury obecněji než prsteny oslabením nebo zrušením některých prstencových axiomů.

Rng

RNG je stejná jako prsten, kromě toho, že existence multiplikativní identity se nepředpokládá.

Neasociativní kruh

Neasociativní kroužek je algebraická struktura, která splňuje všechny kruhových axiomů kromě asociativní vlastnictví a existence multiplikativní identity. Pozoruhodným příkladem je Lieova algebra . Existuje nějaká strukturní teorie pro takové algebry, která generalizuje analogické výsledky pro Lieovy algebry a asociativní algebry.

Semiring

Semiring (někdy rig ) se získá oslabením předpokladu, že ( R , +), je skupina abelian k předpokladu, že ( R , +) je komutativní monoid, a přidáním axiom, že 0 ⋅ = ⋅ 0 = 0 pro všechna a v R (protože to již nevyplývá z ostatních axiomů).

Příklady:

• nezáporná celá čísla s běžným sčítáním a násobením;${\ Displaystyle \ {0,1,2, \ ldots \}}$
• tropický semiring .

Jiné prstenovité předměty

Prstencový objekt v kategorii

Nechť C je kategorie s konečnými produkty . Nechť pt znamenají terminální objekt z C (prázdný produkt). Objekt kroužek v C je objekt R vybavený morphisms (navíc) (množení), (identita přísady), (přísada inverzní), a (multiplikativní identita) vyhovující obvyklé kruhové axiómy. Ekvivalentně, objekt kruh je objekt, R vybaven faktorizace jeho funktoru bodů přes kategorie kroužků: . ${\ displaystyle R \ times R \; {\ stackrel {a} {\ to}} \, R}$${\ displaystyle R \ times R \; {\ stackrel {m} {\ to}} \, R}$${\ displaystyle \ operatorname {pt} {\ stackrel {0} {\ to}} \, R}$${\ displaystyle R \; {\ stackrel {i} {\ to}} \, R}$${\ displaystyle \ operatorname {pt} {\ stackrel {1} ​​{\ to}} \, R}$${\ displaystyle h_ {R} = \ operatorname {Hom} (-, R): C^{\ operatorname {op}} \ to \ mathbf {Sets}}$${\ displaystyle C^{\ operatorname {op}} \ to \ mathbf {Rings} {\ stackrel {\ textrm {zapomnětlivý}} {{longrightarrow}} \ mathbf {Sets}}$

Schéma prstenu

V algebraické geometrii je prstencové schéma nad základním schématem S prstencovým objektem v kategorii S -schémat. Jedním z příkladů je schéma kruh W _n nad Spec Z , který pro všechny komutativních kruh A vrací vyzváněcí W _n ( A ) z p -isotypic Witt vektorů o délce n přes A .

Prstencové spektrum

V algebraické topologii , je kruh spektrum je spektrum X společně s násobení a mapu jednotkou z koule spektra S , tak, že se kroužek axióma diagramy dojíždět až homotopy. V praxi je běžné definovat prstencové spektrum jako monoidní objekt v dobré kategorii spekter, jako je kategorie symetrických spekter . ${\ Displaystyle \ mu \ colon X \ wedge X \ to X}$${\ Displaystyle S \ až X}$

Viz také

Speciální typy prstenů:

Poznámky

Citace

Reference

Obecné reference

Zvláštní reference

Primární zdroje

Historické reference