Rotačně -vibrační spojka - Rotational–vibrational coupling

Při absenci pružiny by částice odletěly. Síla vyvíjená prodlouženou pružinou však přitahuje částice na periodickou oscilační dráhu.

K rotačně -vibrační vazbě dochází, když je frekvence otáčení předmětu blízká nebo identická s přirozenou vnitřní frekvencí vibrací. Animace vpravo ukazuje ideální pohyb, přičemž síla vyvíjená pružinou a vzdálenost od středu otáčení se lineárně zvyšují bez tření.

V rotačně-vibrační vazbě osciluje úhlová rychlost . Tažením kroužících hmot blíže k sobě pružina přenáší svoji uloženou deformační energii do kinetické energie kroužících hmot, čímž zvyšuje jejich úhlovou rychlost. Pružina nemůže spojit kroužící hmoty dohromady, protože tah pružiny s přiblížením kroužících hmot slábne. V určitém okamžiku rostoucí úhlová rychlost kroužících hmot překonává tah pružiny, což způsobuje, že se kroužící hmoty stále více vzdalují. To stále více napíná pružinu, zesiluje její tah a způsobuje, že kroužící hmoty přenášejí svoji kinetickou energii do napínací energie pružiny, čímž se snižuje úhlová rychlost kroužících hmot. V určitém okamžiku tah pružiny překoná úhlovou rychlost kroužících hmot, čímž se cyklus zastaví.

V vrtulníku designu, vrtulníky musí obsahovat tlumicí zařízení, protože v určitých úhlových rychlostí se rotorblade vibrace mohou vyztužené sebe tím, že rotačně vibrační spojky, a vybudovat katastrofální. Bez tlumení by tyto vibrace způsobily uvolnění rotorových listů.

Převody energie

Pohyb kroužících hmot mapovaný v souřadnicovém systému, který se otáčí konstantní úhlovou rychlostí

Harmonická oscilace obnovovací síla je úměrná vzdálenosti od středu.

Animace vpravo poskytuje jasnější pohled na oscilaci úhlové rychlosti. Existuje úzká analogie s harmonickým kmitáním .

Když je harmonická oscilace ve svém středu, pak je veškerá energie systému kinetická energie . Když je harmonická oscilace v bodech nejvzdálenějších od středu, je veškerá energie systému potenciální energií . Energie systému kmitá tam a zpět mezi kinetickou energií a potenciální energií.

V animaci se dvěma kroužícími hmotami dochází k oscilaci kinetické energie a potenciální energie tam a zpět. Když je pružina na svém maximálním prodloužení, pak je potenciální energie největší, když je úhlová rychlost na svém maximu, je kinetická energie největší.

Se skutečnou pružinou je spojeno tření. Se skutečnou pružinou budou vibrace tlumeny a konečná situace bude taková, že se hmoty navzájem krouží ve stálé vzdálenosti se stálým napětím pružiny.

Matematická derivace

Tato diskuse se týká následujících zjednodušení: pružina je brána jako beztížná a pružina je považována za perfektní pružinu; obnovovací síla se lineárním způsobem zvyšuje s tím, jak se pružina roztahuje. To znamená, že vratná síla je přesně úměrná vzdálenosti od středu otáčení. Obnovující síla s touto charakteristikou se nazývá harmonická síla .

Následující parametrická rovnice polohy jako funkce času popisuje pohyb kroužících hmot:

${\ Displaystyle x = a \ cos (\ omega t)}$ (1)

${\ Displaystyle y = b \ sin (\ omega t)}$ (2)

Zápis:

${\ displaystyle a}$ je polovina délky hlavní osy

${\ displaystyle b}$ je polovina délky vedlejší osy

${\ displaystyle \ omega}$ je 360 ​​° děleno dobou trvání jedné otáčky

Pohyb jako funkci času lze také vnímat jako vektorovou kombinaci dvou stejnoměrných kruhových pohybů. Parametrické rovnice (1) a (2) lze přepsat jako:

Pohyb v důsledku harmonické síly popsané jako kruh + epi-kruhový pohyb

${\ Displaystyle x = \ left ({\ begin {matrix} {\ frac {a+b} {2}} \ end {matrix}} \ right) \ cos (\ omega t)+\ left ({\ begin { matrix} {\ frac {ab} {2}} \ end {matrix}} \ right) \ cos (\ omega t)}$

${\ Displaystyle y = \ left ({\ begin {matrix} {\ frac {a+b} {2}} \ end {matrix}} \ right) \ sin (\ omega t)-\ left ({\ begin { matrix} {\ frac {ab} {2}} \ end {matrix}} \ right) \ sin (\ omega t)}$

Transformace na souřadnicový systém, který odečítá celkový kruhový pohyb, opouští excentricitu trajektorie ve tvaru elipsy. střed excentricity se nachází ve vzdálenosti od hlavního centra: ${\ displaystyle (a+b)/2}$

${\ Displaystyle x = \ left ({\ begin {matrix} {\ frac {ab} {2}} \ end {matrix}} \ right) \ cos (2 \ omega t)}$

${\ Displaystyle y =-\ left ({\ begin {matrix} {\ frac {ab} {2}} \ end {matrix}} \ right) \ sin (2 \ omega t)}$

To je ve skutečnosti to, co je vidět na druhé animaci, ve které je pohyb mapován na souřadnicový systém, který se otáčí konstantní úhlovou rychlostí. Úhlová rychlost pohybu vzhledem k rotujícímu souřadnému systému je 2ω, což je dvojnásobek úhlové rychlosti celkového pohybu. Jaro nepřetržitě pracuje. Přesněji řečeno, pružina osciluje mezi vykonáváním pozitivní práce (zvyšováním kinetické energie závaží) a zápornou prací (snižováním kinetické energie závaží)

Diskuse pomocí vektorové notace

Dostředivá síla je harmonická síla.

${\ displaystyle {\ vec {F}} =-\ C {\ vec {r}}}$

Soubor všech řešení výše uvedené pohybové rovnice se skládá jak z kruhových trajektorií, tak z trajektorií ve tvaru elipsy. Všechna řešení mají stejné období revoluce. Toto je charakteristický rys pohybu pod vlivem harmonické síly; všechny trajektorie trvají stejný čas na dokončení revoluce.

Když je použit rotující souřadnicový systém, jsou do pohybové rovnice přidány odstředivý člen a coriolisův člen. Následující rovnice udává zrychlení vzhledem k rotující soustavě objektu v setrvačném pohybu.

${\ Displaystyle a \ = \ \ Omega ^{2} {\ vec {r}} \ +\ 2 ({\ vec {\ Omega}} \ times {\ vec {v}})}$

Zde Ω je úhlová rychlost rotujícího souřadného systému vzhledem k setrvačnému souřadnému systému. v je rychlost pohybujícího se objektu vzhledem k rotujícímu souřadnému systému. Je důležité si uvědomit, že odstředivý člen je určen úhlovou rychlostí rotujícího souřadného systému; odstředivý člen nesouvisí s pohybem předmětu.

Celkově to dává následující tři členy pohybové rovnice pro pohyb vzhledem k souřadnicovému systému otáčejícímu se úhlovou rychlostí Ω .

${\ displaystyle {\ vec {F}} =-\ C {\ vec {r}}+m \ Omega ^{2} {\ vec {r}}+2m ({\ vec {\ Omega}} \ times { \ vec {v}})}$

Odstředivá síla i odstředivý člen v pohybové rovnici jsou úměrné r . Úhlová rychlost rotujícího souřadnicového systému je upravena tak, aby měla stejnou dobu otáčení jako objekt po trajektorii ve tvaru elipsy. Vektor dostředivé síly a vektor odstředivého členu jsou tedy v každé vzdálenosti od středu navzájem stejné velikosti a opačného směru, takže tyto dva členy proti sobě odpadají.
Je to jen za velmi zvláštních okolností, kdy vektor dostředivé síly a odstředivého členu proti sobě klesají v každé vzdálenosti od středu otáčení. To je případ, kdy a pouze pokud je dostředivá síla harmonickou silou.
V tomto případě zůstává v pohybové rovnici pouze coriolisův výraz.

${\ displaystyle {\ vec {F}} = 2 m ({\ vec {\ Omega}} \ times {\ vec {v}})}$

Protože vektor coriolisova výrazu vždy ukazuje kolmo na rychlost vzhledem k rotujícímu souřadnému systému, vyplývá z toho, že v případě obnovující síly, která je harmonickou silou, se excentricita v trajektorii projeví jako malý kruhový pohyb vzhledem k rotujícímu souřadnicovému systému. Faktor 2 coriolisova výrazu odpovídá období revoluce, které je polovinou období celkového pohybu.

Jak se dalo očekávat, analýza pomocí vektorového zápisu vede k přímému potvrzení předchozí analýzy:
Jaro nepřetržitě pracuje. Přesněji řečeno, pružina osciluje mezi pozitivní prací (zvyšováním kinetické energie závaží) a zápornou prací (snižováním kinetické energie závaží).

Zachování momentu hybnosti

V části „Energetické přeměny v rotačně-vibračním spojení“ následuje dynamika sledováním energetických přeměn. V učebnicích je často poukazováno na to, že zvýšení úhlové rychlosti při kontrakci je v souladu se zásadou zachování momentu hybnosti . Protože na kroužící závaží nepůsobí žádný točivý moment , moment hybnosti je zachován. To však nebere v úvahu kauzální mechanismus, kterým je síla vysunuté pružiny, a práce odvedená během jejího smršťování a roztahování. Podobně, když je vystřeleno dělo, střela vystřelí z hlavně směrem k cíli a hlaveň se odrazí, v souladu se zásadou zachování hybnosti . To neznamená, že střela opouští hlaveň vysokou rychlostí, protože hlaveň se stáhne. I když musí dojít k zpětnému rázu hlavně, jak popisuje Newtonův třetí zákon , nejedná se o kauzální agens.

Kauzální mechanismus spočívá v přeměnách energie: exploze střelného prachu převádí potenciální chemickou energii na potenciální energii vysoce stlačeného plynu. Jak se plyn rozpíná, jeho vysoký tlak vyvíjí sílu jak na projektil, tak na vnitřek hlavně. Působením této síly je potenciální energie přeměněna na kinetickou energii projektilu i hlavně.

V případě rotačně-vibračního spojení je kauzálním činitelem síla vyvíjená pružinou. Pružina kmitá mezi prací a negativní prací. (Práce je považována za zápornou, pokud je směr síly opačný ke směru pohybu.)

Viz také

Rotačně-vibrační spektroskopie

Reference