Russellův paradox - Russell's paradox

V matematické logice je Russellův paradox (také známý jako Russellova antinomie ) množinovým teoretickým paradoxem objeveným britským filozofem a matematikem Bertrandem Russellem v roce 1901. Russellův paradox ukazuje, že každá teorie množin, která obsahuje princip neomezeného porozumění, vede k rozporům. Tento paradox již nezávisle objevil v roce 1899 německý matematik Ernst Zermelo . Zermelo však tuto myšlenku nezveřejnil, což zůstalo známé pouze Davidu Hilbertovi , Edmundovi Husserlovi a dalším akademikům na univerzitě v Göttingenu . Na konci 90. let 19. století si Georg Cantor - považovaný za zakladatele moderní teorie množin - již uvědomil, že jeho teorie povede k rozporu, což Hilbertovi a Richardu Dedekindovým sdělil dopisem.

Podle zásady neomezeného porozumění pro jakoukoli dostatečně přesně definovanou vlastnost existuje množina všech a pouze objektů, které tuto vlastnost mají. Nechť R je množina všech množin, které nejsou členy samy o sobě. Pokud R není členem sebe sama, pak jeho definice znamená, že je členem sama sebe; pokud je členem sebe sama, pak není členem sebe sama, protože je to množina všech množin, které nejsou členy samy sebe. Výsledný rozpor je Russellovým paradoxem. V symbolech:

{\ Displaystyle {\ text {Let}} R = \ {x \ mid x \ not \ in x \} {\ text {, then}} R \ in R \ iff R \ not \ in R}

Russell také ukázal, že verze paradoxu mohl být odvozen v axiomatickém systému vybudované německým filozofem a matematikem Frege , a proto oslabuje Frege snaha co nejvíce snížit matematiky k logice a zpochybňují logicist programu . V roce 1908 byly navrženy dva vlivné způsoby, jak se vyhnout paradoxu: Russellova vlastní typová teorie a Zermelova teorie množin . Zermelovy axiomy zejména omezovaly princip neomezeného porozumění. S dalšími příspěvky Abrahama Fraenkela se teorie množin Zermelo vyvinula v dnes standardní teorii množin Zermelo – Fraenkel (běžně známá jako ZFC při zahrnutí axiomu volby ). Hlavní rozdíl mezi Russellovým a Zermelovým řešením paradoxu je ten, že Zermelo upravil axiomy teorie množin při zachování standardního logického jazyka, zatímco Russell upravil samotný logický jazyk. Jazyk ZFC s pomocí Thoralf Skolem , ukázalo se, že z logiky prvního řádu .

Neformální prezentace

Většina sad, s nimiž se běžně setkáváme, nejsou sami sebou. Zvažte například množinu všech čtverců v rovině . Tato sada sama o sobě není čtvercem v rovině, není tedy ani sama sebou. Říkejme množině „normální“, pokud není jejím členem, a „nenormálním“, je -li členem sebe sama. Je jasné, že každá sada musí být buď normální, nebo neobvyklá. Sada čtverců v rovině je normální. Naproti tomu komplementární množina, která obsahuje vše, co není čtvercem v rovině, sama o sobě není čtvercem v rovině, a je tedy jedním z jejích vlastních členů, a je tedy nenormální.

Nyní uvažujeme množinu všech normálních množin, R , a pokusíme se určit, zda R je normální nebo abnormální. Pokud by R bylo normální, bylo by obsaženo v množině všech normálních množin (samo), a proto by bylo abnormální; na druhou stranu, pokud by R byly abnormální, nebyly by obsaženy v sadě všech normálních množin (samotné), a proto by byly normální. To vede k závěru, že R není ani normální, ani nenormální: Russellův paradox.

Formální prezentace

Pojem „ naivní teorie množin “ se používá různými způsoby. V jednom použití je naivní teorie množin formální teorií, kterou můžeme nazvat NST, která je formulována v jazyce prvního řádu s binárním nelogickým predikátem a která zahrnuje axiom extenze : ${\ displaystyle \ in}$

{\ Displaystyle \ forall x \, \ forall y \, (\ forall z \, (z \ in x \ iff z \ in y) \ implikuje x = y)}

a schéma axiomu neomezeného porozumění :

{\ Displaystyle \ existuje y \ forall x (x \ in y \ iff \ varphi (x))}

pro libovolný vzorec s proměnnou $x$ jako volnou proměnnou uvnitř . Náhrada za . Pak existenciální instancí (opětovným použitím symbolu ) a univerzální instancí máme ${\ Displaystyle \ varphi}$ ${\ Displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle x \ notin x}$ ${\ displaystyle \ varphi (x)}$ ${\ displaystyle y}$

{\ Displaystyle y \ in y \ iff y \ notin y}

rozpor. NST je proto nekonzistentní .

Set-teoretické reakce

Z principu výbuchu z klasické logiky , jakákoli tvrzení lze doložit z rozporu . Proto je přítomnost protikladů, jako je Russellův paradox, v axiomatické teorii množin katastrofální; protože pokud lze prokázat, že jakýkoli vzorec je pravdivý, ničí konvenční význam pravdy a nepravdy. Dále, protože teorie množin byla považována za základ pro axiomatický rozvoj všech ostatních oborů matematiky, Russelův paradox ohrožoval základy matematiky jako celku. To motivovalo velkou část výzkumu na přelomu 20. století k vytvoření konzistentní (bez rozporů) teorie množin.

V roce 1908 Ernst Zermelo navrhl axiomatizaci teorie množin, která se vyhnula paradoxům naivní teorie množin nahrazením libovolného chápání množiny slabšími existenčními axiomy, jako je jeho axiom separace ( Aussonderung ). Úpravy této axiomatické teorie navržené ve 20. letech 20. století Abrahamem Fraenkelem , Thoralfem Skolemem a samotným Zermelem vyústily v teorii axiomatické množiny zvanou ZFC . Tato teorie se stala široce přijímanou, jakmile Zermelův axiom volby přestal být kontroverzní a ZFC zůstala kanonickou teorií axiomatických množin až do dnešních dnů.

ZFC nepředpokládá, že pro každou vlastnost existuje sada všech věcí, které tuto vlastnost splňují. Spíše tvrdí, že vzhledem k jakékoli sadě X existuje jakákoli podmnožina X definovatelná pomocí logiky prvního řádu . Objekt R diskutovaný výše nemůže být konstruován tímto způsobem, a proto není sadou ZFC. V některých rozšířeních ZFC se objekty jako R nazývají správné třídy .

ZFC o typech mlčí, přestože kumulativní hierarchie má pojem o vrstvách, které se podobají typům. Sám Zermelo nikdy nepřijal Skolemovu formulaci ZFC pomocí jazyka logiky prvního řádu. Jak poznamenává José Ferreirós, Zermelo místo toho trval na tom, že „výrokové funkce (podmínky nebo predikáty) používané k oddělení podmnožin, jakož i náhradní funkce, mohou být„ zcela libovolné “ [ganz beliebig ];“ moderní interpretace tohoto tvrzení je, že Zermelo chtěl zahrnout kvantifikaci vyššího řádu, aby se vyhnul Skolemovu paradoxu . Kolem roku 1930 Zermelo také zavedl (zjevně nezávisle na von Neumannovi) axiom nadace , takže - jak Ferreirós poznamenává - „tím, že zakázal‚ kruhové ‘a‚ neuzemněné ‘množiny, [ZFC] začlenil jednu z klíčových motivací TT [ teorie typů] - princip typů argumentů “. Tento ZFC 2. řádu preferovaný Zermelo, včetně axiomu založení, umožnil bohatou kumulativní hierarchii. Ferreirós píše, že „Zermelovy„ vrstvy “jsou v podstatě stejné jako typy v současných verzích jednoduché TT [teorie typů] nabízené Gödelem a Tarskim. Kumulativní hierarchii, do níž Zermelo rozvinul své modely, lze popsat jako vesmír kumulativního TT, ve kterém jsou povoleny typy transfinitů. (Jakmile přijmeme impresivní stanovisko a upustíme od myšlenky, že třídy jsou konstruovány, není nepřirozené přijímat typy transfinitů.) Jednoduché TT a ZFC lze tedy nyní považovat za systémy, které „mluví“. "v podstatě o stejných zamýšlených objektech. Hlavní rozdíl je v tom, že TT spoléhá na silnou logiku vyššího řádu, zatímco Zermelo používá logiku druhého řádu a ZFC lze také dát formulaci prvního řádu." Popis "prvního řádu kumulativní hierarchie je mnohem slabší, jak ukazuje existence početných modelů (Skolemův paradox), ale má některé důležité výhody. “

V ZFC, vzhledem k množině A , je možné definovat množinu B, která se skládá přesně z množin v A, které nejsou členy samy o sobě. B nemůže být v A podle stejného uvažování v Russellově paradoxu. Tato variace Russellova paradoxu ukazuje, že žádná sada neobsahuje vše.

Díky práci Zermela a dalších, zejména Johna von Neumanna , se nakonec vyjasnila struktura toho, co někteří považují za „přirozené“ objekty popsané ZFC; to jsou prvky von Neumann vesmíru , V. , vybudoval z prázdné množiny tím transfinitely iterace na výkon nastavenou operaci. Je tedy nyní možné znovu k rozumu o souborech v non-axiomatického způsobem, aniž by porušit Russellův paradox, a to uvažování o prvcích V . Zda je vhodné takto uvažovat o množinách, je sporné místo mezi soupeřícími názory na filozofii matematiky .

Jiná řešení Russellova paradoxu, se základní strategií blíže strategii teorie typů , zahrnují Quine 's New Foundations a Scott-Potter set theory . Ještě dalším přístupem je definovat vztah více členství pomocí vhodně upraveného schématu porozumění, jako v teorii množin dvojitých rozšíření .

Dějiny

Russell objevil paradox v květnu nebo červnu 1901. Svým vlastním popisem ve svém úvodu z roku 1919 Úvod do matematické filosofie „se pokusil objevit nějakou chybu v Cantorově důkazu, že neexistuje žádný největší kardinál“. V dopise z roku 1902 oznámil Gottlobovi Fregeovi objev paradoxu ve Fregeově Begriffsschriftu z roku 1879 a problém formuloval z hlediska logiky i teorie množin, a zejména z hlediska Fregeovy definice funkce :

Je tu jen jeden bod, kde jsem narazil na obtíž. Uvádíte (str. 17 [str. 23 výše]), že i funkce může fungovat jako neurčitý prvek. Tomu jsem dříve věřil, ale nyní se mi tento pohled zdá pochybný kvůli následujícímu rozporu. Nechť w je predikát: být predikátem, který nelze sám o sobě predikovat. Lze w sám predikovat? Z každé odpovědi vyplývá její opak. Proto musíme dojít k závěru, že w není predikát. Podobně neexistuje žádná třída (jako celek) z těchto tříd, které, pokud jsou brány jako celek, nepatří samy sobě. Z toho usuzuji, že za určitých okolností definovatelná sbírka [Menge] netvoří úplnost.

Russell by to dále podrobně pokryl ve svých principech matematiky z roku 1903 , kde zopakoval své první setkání s paradoxem:

Předtím, než se vzdáme zásadních otázek, je nutné podrobněji prozkoumat již zmíněný singulární rozpor s ohledem na predikáty, které samy o sobě nelze předvídat. ... mohu zmínit, že jsem k tomu byl veden ve snaze smířit Cantorův důkaz .... “

Russell napsal Fregeovi o paradoxu, právě když Frege připravoval druhý díl své Grundgesetze der Arithmetik . Frege reagoval na Russella velmi rychle; objevil se jeho dopis ze dne 22. června 1902 s van Heijenoortovým komentářem v Heijenoortu 1967: 126–127. Frege poté sepsal dodatek přiznávající paradox a navrhl řešení, které by Russell ve svých Principech matematiky schválil , ale později bylo některými považováno za nevyhovující. Russell měl svou práci u tiskařů a přidal dodatek k nauce o typech .

Ernst Zermelo ve svém (1908) Nový důkaz o možnosti dobře uspořádaného (publikoval současně publikoval „první axiomatickou teorii množin“) si nárokoval předchozí objev antinomie v Cantorově naivní teorii množin. Uvádí: „A přesto, i elementární forma, kterou Russell ⁹ dával množině teoretických antinomií, je mohla přesvědčit [J. König, Jourdain, F. Bernstein], že řešení těchto obtíží není třeba hledat v kapitulaci. řádného uspořádání, ale pouze ve vhodném omezení pojmu množiny “. Poznámka pod čarou č. 9 uvádí, že tvrdí:

⁹1903 , s. 366–368. Tuto antinomii jsem však objevil sám, nezávisle na Russellovi, a sdělil jsem ji před rokem 1903 mimo jiné profesorovi Hilbertovi .

Frege poslal kopii své Grundgesetze der Arithmetik Hilbertovi; jak bylo uvedeno výše, poslední Fregeův svazek zmínil paradox, který Russell sdělil Fregeovi. Po obdržení posledního Fregeova svazku, 7. listopadu 1903, Hilbert napsal Fregeovi dopis, ve kterém řekl s odkazem na Russellův paradox: „Věřím, že to doktor Zermelo objevil před třemi nebo čtyřmi lety“. Písemný popis skutečného argumentu Zermelo byl objeven v Nachlass z Edmunda Husserla .

V roce 1923 navrhl Ludwig Wittgenstein „zbavit se“ Russellova paradoxu takto:

Důvodem, proč funkce nemůže být vlastním argumentem, je to, že znak pro funkci již obsahuje prototyp jejího argumentu a nemůže obsahovat sebe. Předpokládejme, že funkce F (fx) by mohla být jejím vlastním argumentem: v takovém případě by existoval návrh F (F (fx)) , ve kterém vnější funkce F a vnitřní funkce F musí mít různé významy, protože vnitřní má tvar O (fx) a vnější má tvar Y (O (fx)) . Oběma funkcím je společné pouze písmeno „F“, ale toto písmeno samo o sobě nic neznamená. To je okamžitě jasné, pokud místo F (Fu) napíšeme (do): F (Ou). Ou = Fu . Tím je odstraněn Russellův paradox. ( Tractatus Logico-Philosophicus , 3.333)

Russell a Alfred North Whitehead napsali svoji třísvazkovou Principia Mathematica v naději, že dosáhnou toho, co Frege nebyl schopen udělat. Snažili se zahnat paradoxy naivní teorie množin pomocí teorie typů, které pro tento účel vymysleli. I když se jim podařilo uzemnit aritmetiku určitým způsobem, není vůbec evidentní, že tak činili čistě logickými prostředky. Zatímco Principia Mathematica se vyhnula známým paradoxům a umožňuje odvození velkého množství matematiky, její systém způsobil nové problémy.

V každém případě Kurt Gödel v letech 1930–31 dokázal, že zatímco logika většiny Principia Mathematica , nyní známá jako logika prvního řádu , je úplná , Peanoova aritmetika je nutně neúplná, pokud je konzistentní . To je velmi široce - i když ne všeobecně - považováno za ukázku toho, že logistický program Frege není možné dokončit.

V roce 2001 se v Mnichově konala mezinárodní konference Centenary International Conference oslavující prvních sto let Russellova paradoxu a byly zveřejněny její sborníky.

Aplikované verze

Existují některé verze tohoto paradoxu, které jsou blíže k reálným životním situacím a mohou být snadněji pochopitelné pro nelogiky. Například holič paradox předpokládá holiče, který holí všechny lidi, kteří se neholí sami a jen muži, kteří se neholí sami. Když člověk přemýšlí o tom, zda se holič má oholit sám, nebo ne, začne se objevovat paradox.

Snadným vyvrácením „laických verzí“, jako je holičský paradox, se zdá, že takový holič neexistuje, nebo že holič má alopecii, a proto se neholí. Celá pointa Russellova paradoxu spočívá v tom, že odpověď „taková množina neexistuje“ znamená, že definice pojmu množiny v rámci dané teorie je neuspokojivá. Všimněte si rozdílu mezi tvrzeními „taková množina neexistuje“ a „je to prázdná množina “. Je to jako rozdíl mezi slovy „Není kbelík“ a „Kbelík je prázdný“.

Významnou výjimkou z výše uvedeného může být paradox Grelling-Nelson , ve kterém slova a význam jsou prvky scénáře spíše než lidé a stříhání vlasů. Ačkoli je snadné vyvrátit holičský paradox tvrzením, že takový holič neexistuje (a ani nemůže ) existovat, nelze něco podobného říci o smysluplně definovaném slově.

Aplikace a související témata

Russellovy paradoxy

Jak je znázorněno výše pro holičský paradox, Russellův paradox není těžké rozšířit. Vzít:

Tranzitivní sloveso <V>, který může být aplikován na jeho věcné formě.

Formulujte větu:

<V> er, že <V> jsou všichni (a pouze ti), kteří <V> sami ne,

Někdy je „vše“ nahrazeno „všemi <V> ers“.

Příkladem může být „barva“:

Barva er, že barva je všechno (a pouze těch), která nemají malovat sami.

nebo „volit“

Volit nebo ( zástupce ), že vyvolení je vše, které nemají volit sami.

Paradoxy, které spadají do tohoto schématu, zahrnují:

Holič s „oholením“ .
Původní Russellův paradox s „obsahovat“: Kontejner (sada), který obsahuje všechny (kontejnery), které se samy neobsahují.
Grelling-Nelson paradox s „describer“ rozumí, že describer (slovo), který popisuje všechna slova, která nepopisují sebe.
Richardův paradox s „naznačovat“: Denotér (číslo), který označuje všechny denotory (čísla), které neoznačují sebe. (V tomto paradoxu všechny popisy čísel získají přiřazené číslo. Termín „, který označuje všechny denotory (čísla), která neoznačují sebe“, se zde nazývá Richardian .)
„Lžu.“, Konkrétně lhářský paradox a Epimenidův paradox , jejichž původ je starověký
Russell – Myhillův paradox

Související paradoxy

Burali-fortiho paradox , o druhu zakázky ze všech i-orderings
Kleene-Rosserova paradox , což ukazuje, že původní lambda kalkul je nekonzistentní, pomocí self-negovat prohlášení
Curryho paradox (pojmenovaný podle Haskella Curryho ), který nevyžaduje negaci
Nejmenší nezajímavé číslo paradox
Girardův paradox v teorii typů

Viz také

Poznámky

Reference

Prameny

Potter, Michael (15. ledna 2004), Teorie množin a její filozofie , Clarendon Press ( Oxford University Press ), ISBN 978-0-19-926973-0
van Heijenoort, Jean (1967), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, (third printing 1976) , Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press , ISBN 0-674-32449-8
Livio, Mario (6. ledna 2009), je Bůh matematik? , New York: Simon & Schuster , ISBN 978-0-7432-9405-8

externí odkazy

„Russellův paradox“ . Internetová encyklopedie filozofie .
Irvine, Andrew David (2016). „Russellův paradox“ . V Zalta, Edward N. (ed.). Stanfordská encyklopedie filozofie .
Weisstein, Eric W. „Russellova antinomie“ . MathWorld .
Russellův paradox v Cut-the-Knot

Languages

In other projects