Rutherfordův rozptyl - Rutherford scattering

Rutherford rozptyl je pružný rozptyl z nabitých částic podle interakcí Coulombickou . Jedná se o fyzikální jev vysvětlit Ernest Rutherford v roce 1911, která vedla k vývoji planetární Rutherford modelu z atomu a nakonec Bohrovu modelu . Rutherfordův rozptyl byl poprvé označován jako Coulombův rozptyl, protože se spoléhá pouze na statický elektrický ( Coulombův ) potenciál a minimální vzdálenost mezi částicemi je zcela nastavena tímto potenciálem. Klasický Rutherfordův rozptylový proces alfa částic proti zlatým jádrům je příkladem „ elastického rozptylu “, protože ani alfa částice, ani zlatá jádra nejsou vnitřně vzrušena. Rutherfordův vzorec (viz níže) dále opomíjí kinetickou energii zpětného rázu masivního cílového jádra.

Počáteční objev učinili Hans Geiger a Ernest Marsden v roce 1909, když ve spolupráci s Rutherfordem provedli experiment se zlatou fólií , při kterém vystřelili paprsek částic alfa ( jádra hélia ) na fólie plátků zlata o tloušťce jen několika atomů. V době experimentu byl atom považován za analogický se švestkovým pudinkem (jak navrhuje JJ Thomson ), přičemž negativně nabité elektrony (švestky) jsou posety skrz pozitivní sférickou matici (pudink). Pokud by byl model švestek a pudinků správný, pozitivní „pudink“, který by byl rozložen více než ve správném modelu koncentrovaného jádra , by nemohl vyvinout tak velké coulombické síly a částice alfa by měly být vychýleny pouze malými úhly, když procházejí.

Obrázek 1. V oblakové komoře prochází alfa částicová dráha 5,3 MeV ze zdroje kolíku 210 v blízkosti bodu 1 Rutherfordovým rozptylem poblíž bodu 2, přičemž se vychýlí o úhel asi 30 °. Opět se rozptýlí poblíž bodu 3 a nakonec se zastaví v plynu. Cílovým jádrem v komorovém plynu mohlo být jádro dusíku , kyslíku , uhlíku nebo vodíku . To dostalo dostatek kinetické energie v elastickém srážce způsobit krátkou viditelnou stopu vrata u bodu 2. (stupnice je v centimetrech).

Zajímavé výsledky však ukázaly, že přibližně 1 z 2 000 alfa částic bylo odkloněno o velmi velké úhly (více než 90 °), zatímco zbytek prošel s malým vychýlením. Z toho Rutherford usoudil, že většina hmoty byla koncentrována v minutě, kladně nabité oblasti (jádro) obklopené elektrony. Když se (pozitivní) alfa částice přiblížila dostatečně blízko k jádru, byla dostatečně silně odpuzována, aby se odrazila ve vysokých úhlech. Malá velikost jádra vysvětlovala malý počet částic alfa, které byly takto odpuzovány. Rutherford pomocí níže popsané metody ukázal, že velikost jádra byla menší než asi10 ^-14  m (kolik menší velikost než je tato, Rutherford nedokázal odhadnout ze samotného tohoto experimentu, více viz níže na této problematice co nejmenší velikosti). Jako vizuální příklad ukazuje obrázek 1 vychýlení částice alfa o jádro v plynu v oblakové komoře .

Rutherfordův rozptyl nyní využívá komunita věd o materiálech v analytické technice zvané Rutherfordův zpětný rozptyl .

Derivace

Diferenciální průřez může být odvozena z pohybových rovnic pro částice interagující s centrálním potenciálem . Obecně platí, že pohybové rovnice popisující dvě částice interagující pod centrální silou mohou být odděleny do těžiště a pohybu částic vůči sobě navzájem. V případě lehkých částic alfa rozptylujících těžká jádra, jako v experimentu provedeném Rutherfordem, je redukovaná hmotnost v podstatě hmotou částice alfa a jádro, z kterého se rozptyluje, je v laboratorním rámci v podstatě nehybné.

Substituce do Binetovy rovnice , s počátkem souřadnicového systému na cíli (scatterer), získá rovnici trajektorie jako ${\ displaystyle (r, \ theta)}$

${\ Displaystyle {\ frac {d^{2} u} {d \ theta^{2}}}+u =-{\ frac {Z_ {1} Z_ {2} e^{2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} mv_ {0}^{2} b^{2}}} =-\ kappa,}$

kde u = 1/r, v ₀ je rychlost v nekonečnu, a b je parametr nárazu .

Obecné řešení výše uvedené diferenciální rovnice je

${\ Displaystyle u = u_ {0} \ cos \ left (\ theta -\ theta _ {0} \ right) -\ kappa,}$

a okrajová podmínka je

${\ Displaystyle u \ to 0 \ quad {\ text {and}} \ quad r \ sin \ theta \ to b \ quad {\ text {as}} \ quad \ theta \ to \ pi.}$

Řešení rovnic u → 0 pomocí těchto okrajových podmínek:

${\ Displaystyle {\ frac {sin \ pi} {b}} = u_ {0} cos (\ pi -\ theta _ {0}) -\ kappa.}$

a jeho derivát du/dθ → -1/b pomocí těchto okrajových podmínek

${\ Displaystyle {\ frac {du} {d \ theta}} = -u_ {0} sin (\ pi -\ theta _ {0}) = {\ frac {cos (\ pi)} {b}}}$

Můžeme získat

${\ Displaystyle \ theta _ {0} = {\ frac {\ pi} {2}}+\ arctan b \ kappa.}$

V úhlu vychýlení Θ po srážce : ${\ displaystyle u \ to 0.}$

${\ Displaystyle 0 = u_ {0} cos (\ Theta -\ theta _ {0}) -\ kappa}$

Potom úhel vychýlení Θ lze vyjádřit jako:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ Theta & = 2 \ theta _ {0}-\ pi = 2 \ arctan b \ kappa \\ & = 2 \ arctan {\ frac {Z_ {1} Z_ {2} e ^{2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} mv_ {0}^{2} b}}. \ End {aligned}}}$

b lze vyřešit dát

${\ Displaystyle b = {\ frac {Z_ {1} Z_ {2} e^{2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} mv_ {0}^{2}}} \ cot {\ frac {\ Theta} {2}}.}$

Chcete -li najít rozptylový průřez z tohoto výsledku, zvažte jeho definici

${\ Displaystyle {\ frac {d \ sigma} {d \ Omega}} (\ Omega) d \ Omega = {\ frac {{\ hbox {počet částic rozptýlených do pevného úhlu}} d \ Omega {\ hbox {per jednotka času}}} {\ hbox {intenzita incidentu}}}}$

Vzhledem k Coulombovu potenciálu a počáteční kinetické energii přicházejících částic je úhel rozptylu ly jednoznačně určen parametrem dopadu b . Proto počet částic rozptýlených do úhlu mezi Θ a Θ + dΘ musí být stejný jako počet částic s přidruženými parametry nárazu mezi b a b + db . Pro intenzitu incidentu I to znamená následující rovnost

${\ Displaystyle 2 \ pi Ib \ left | db \ right | = I {\ frac {d \ sigma} {d \ Omega}} d \ Omega}$

Pro radiálně symetrický rozptylový potenciál, jako v případě Coulombova potenciálu , dΩ = 2π sin Θ dΘ , čímž se získá výraz pro rozptylový průřez

${\ Displaystyle {\ frac {d \ sigma} {d \ Omega}} = {\ frac {b} {\ sin {\ Theta}}} \ left | {\ frac {db} {d \ Theta}} \ right |}$

Připojením dříve odvozeného výrazu pro parametr dopadu b ( Θ ) najdeme Rutherfordův diferenciální rozptylový průřez

${\ Displaystyle {\ frac {d \ sigma} {d \ Omega}} = \ left ({\ frac {Z_ {1} Z_ {2} e^{2}} {8 \ pi \ epsilon _ {0} mv_ {0}^{2}}} \ right)^{2} \ csc^{4} {\ frac {\ Theta} {2}}.}$

Stejný výsledek lze vyjádřit alternativně jako

${\ Displaystyle {\ frac {d \ sigma} {d \ Omega}} = \ left ({\ frac {Z_ {1} Z_ {2} \ alpha (\ hbar c)} {4E _ {\ mathrm {K}} \ sin ^{2} {\ frac {\ Theta} {2}}}} \ right) ^{2},}$

kde α ≈1/137je bezrozměrná konstanta jemné struktury , E _K je nerelativistická kinetická energie částice v MeV a ħc ≈ 197 MeV · fm .

Podrobnosti o výpočtu maximální velikosti jaderné energie

Při čelních srážkách mezi částicemi alfa a jádrem (s parametrem nulového dopadu) se veškerá kinetická energie částice alfa změní na potenciální energii a částice je v klidu. Vzdálenost od středu částice alfa ke středu jádra ( r _min ) v tomto bodě je horní mezí poloměru jaderné energie, pokud je z experimentu zřejmé, že proces rozptylu se řídí výše uvedeným vzorcem průřezu.

Aplikací zákona inverzního čtverce mezi náboji na alfa částici a jádru lze napsat: Předpoklady: 1. Na systém nepůsobí žádné vnější síly. Celková energie (KE+PE) systému je tedy konstantní. 2. Zpočátku jsou částice alfa ve velmi velké vzdálenosti od jádra.

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} mv^{2} = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ cdot {\ frac {q_ {1} q_ {2 }} {r _ {\ text {min}}}}}$

Přeuspořádání:

${\ displaystyle r _ {\ text {min}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ cdot {\ frac {2q_ {1} q_ {2}} {mv^{2 }}}}$

Pro alfa částici:

• m (hmotnost) =6,644 24 × 10 ⁻²⁷  kg =3,7273 × 10 ⁹  eV/ c ²
• q ₁ (pro helium) = 2 ×1,6 × 10 ⁻¹⁹  C =3,2 × 10 ⁻¹⁹  ° C
• q ₂ (pro zlato) = 79 ×1,6 × 10 ⁻¹⁹  C =1,27 × 10 ⁻¹⁷  ° C
• v (počáteční rychlost) =2 x 10 ⁷  m / s (v tomto případě)

Jejich nahrazením získáte hodnotu asi 2,7 × 10 ⁻¹⁴  m , nebo 27  fm . (Skutečný poloměr je asi 7,3 fm.) Skutečný poloměr jádra není v těchto experimentech obnoven, protože alfy nemají dostatek energie, aby pronikly do více než 27 fm jaderného centra, jak bylo poznamenáno, když skutečný poloměr zlato je 7,3 fm. Rutherford si to uvědomil a také si uvědomil, že skutečný dopad alfů na zlato způsobil jakoukoli odchylku síly od síly1/rcoulombův potenciál by změnil formu jeho rozptylové křivky při vysokých rozptylových úhlech (nejmenší dopadové parametry ) z hyperboly na něco jiného. To nebylo vidět, což naznačuje, že povrch zlatého jádra nebyl „dotknut“, takže Rutherford také věděl, že zlaté jádro (neboli součet zlatého a alfa poloměru) je menší než 27 fm.

Rozšíření na situace s relativistickými částicemi a zpětným rázem cíle

Rozšíření nízkoenergetického rozptylu typu Rutherford na relativistické energie a částice, které mají vnitřní spin, přesahuje rámec tohoto článku. Například elektronový rozptyl z protonu je popsán jako Mottův rozptyl s průřezem, který se redukuje na Rutherfordův vzorec pro nerelativistické elektrony. Pokud nedojde k žádnému vnitřnímu energetickému buzení paprsku nebo cílové částice, nazývá se tento proces „ elastický rozptyl“, protože energii a hybnost je třeba v každém případě zachovat. Pokud srážka způsobí vzrušení jedné nebo druhé složky, nebo pokud se při interakci vytvoří nové částice, pak se o procesu říká, že je „ nepružným rozptylem“.

Viz také

• Rutherfordova zpětná rozptylová spektrometrie

Reference

Učebnice

• Goldstein, Herbert ; Poole, Charles; Safko, John (2002). Klasická mechanika (třetí ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9.

externí odkazy

• E. Rutherford, Rozptyl částic α a β hmotou a struktura atomu , filozofický časopis. Řada 6, sv. 21 . Květen 1911
• Geiger, H .; Marsden, E. (1909). „Na difúzní reflexi α-částic“ . Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 82 (557): 495–500. Bibcode : 1909RSPSA..82..495G . doi : 10,1098/rspa.1909,0054 . Archivovány od originálu 2. ledna 2008.