Schrödingerova rovnice - Schrödinger equation

Část série článků o
Kvantová mechanika
${\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ částečná} {\ částečná t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Schrödingerova rovnice
Úvod Glosář Dějiny
Pozadí Klasická mechanika Stará kvantová teorie Notace Bra – ket Hamiltonovský Rušení
Základy Doplňkovost Decoherence Zapletení Energetická úroveň Měření Nelokálnost Kvantové číslo Stát Superpozice Symetrie Tunelování Nejistota Funkce vlny Kolaps
Experimenty Bellova nerovnost Davisson – Germer Dvouramenný Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Nerovnost mezi Leggettem a Gargem Mach – Zehnder Popper Kvantová guma Zpožděná volba Schrödingerova kočka Stern – Gerlach Wheelerova opožděná volba
Formulace Přehled Heisenberg Interakce Matice Fázový prostor Schrödinger Souhrnné historie (integrál cesty)
Rovnice Dirac Klein – Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretace Přehled Bayesian Konzistentní historie Kodaň de Broglie – Bohm Soubor Skrytá proměnná Místní Mnoho světů Objektivní kolaps Kvantová logika Relační Transakční
Pokročilá témata Relativistická kvantová mechanika Teorie kvantového pole Kvantová informační věda Kvantové výpočty Kvantový chaos Hustotní matice Teorie rozptylu Kvantová statistická mechanika Kvantové strojové učení
Vědci Aharonov Zvonek Blackett Bloch Bohm Bohr narozený Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Sbohem Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilberte Jordán Kramers Pauli jehněčí Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
proti t E

Moderní fyzika
${\ Displaystyle {\ hat {H}} | \ psi _ {n} (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi _ {n} (t) \ rangle}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {{c}^{2}}} {\ frac {{\ částečný}^{2} {\ phi} _ {n}} {{\ částečný t}^{2} }}-{{\ nabla}^{2} {\ phi} _ {n}}+{\ left ({\ frac {mc} {\ hbar}} \ right)}^{2} {\ phi} _ {n} = 0}$ Dynamika potrubí : Schrödingerova a Kleinova -Gordonova rovnice
Zakladatelé Max Planck  · Albert Einstein  · Niels Bohr  · Max Born  · Werner Heisenberg  · Erwin Schrödinger  · Pascual Jordan  · Wolfgang Pauli  · Paul Dirac  · Ernest Rutherford  · Louis de Broglie  · Satyendra Nath Bose
Pojmy Topologie  · Prostor  · Čas  · Energie  · Hmota  · Náhodnost práce · Informace · Entropie · Světlo mysli · Částice · Vlna
Pobočky Aplikované  · Experimentální  · Teoretická matematika  · Filozofie fyziky Kvantová mechanika ( kvantová teorie pole  · Kvantové informace  · Kvantové výpočty ) Elektromagnetismus  · Slabá interakce  · Elektroslabá interakce Silná interakce Atomová  · Částice  · Jaderná atomová, molekulární a optická kondenzovaná hmota  · Statistické komplexní systémy  · Nelineární dynamika  · Biofyzika Neurofyzika Plazmová fyzika Speciální relativita  · Obecná relativita Astrofyzika  · Kosmologie Teorie gravitace Kvantová gravitace  · Teorie všeho
Vědci Witten  · Röntgen  · Becquerel  · Lorentz  · Planck  · Curie  · Wien  · Skłodowska-Curie  · Sommerfeld  · Rutherford  · Soddy  · Onnes  · Einstein  · Wilczek  · Born  · Weyl  · Bohr  · Kramers  · Schrödinger  · de Broglie  · Laue  · Bose  · Compton  · Pauli  · Walton  · Fermi  · van der Waals  · Heisenberg  · Dyson  · Zeeman  · Moseley  · Hilbert  · Gödel  · Jordan  · Dirac  · Wigner  · Hawking  · PW Anderson  · Lemaître  · Thomson  · Poincaré  · Wheeler  · Penrose  · Millikan  · Nambu  · von Neumann  · Higgs  · Hahn  · Feynman  · Yang  · Lee  · Lenard  · Salam  · 't Hooft  · Veltman  · Bell  · Gell-Mann  · JJ Thomson  · Raman  · Bragg  · Bardeen  · Shockley  · Chadwick  · Lawrence  · Zeilinger  · Goudsmit  · Uhlenbeck
Kategorie Moderní fyzika
proti t E

Schrödingerova rovnice vepsaná na náhrobek Annemarie a Erwina Schrödingera. ( Je použita notace Newtonova bodu pro derivaci času.)

Schrödingerova rovnice je lineární parciální diferenciální rovnice , která řídí funkci vlnové kvantového-mechanický systém. Jedná se o klíčový výsledek kvantové mechaniky a jeho objev byl významným mezníkem ve vývoji předmětu. Rovnice je pojmenována po Erwinovi Schrödingerovi , který rovnici postuloval v roce 1925 a publikoval ji v roce 1926, což je základem pro práci, která vyústila v jeho Nobelovu cenu za fyziku v roce 1933.

Schrödingerova rovnice je koncepčně kvantovým protějškem druhého Newtonova zákona v klasické mechanice . Vzhledem k souboru známých počátečních podmínek vytváří Newtonův druhý zákon matematickou předpověď, jakou cestu daný fyzický systém v průběhu času zabere. Schrödingerova rovnice udává vývoj vlnové funkce v čase , kvantově-mechanickou charakterizaci izolovaného fyzikálního systému. Rovnici lze odvodit ze skutečnosti, že operátor evoluce času musí být unitární , a proto musí být generován exponenciálem operátora s vlastním adjunktem , což je kvantový hamiltonián .

Schrödingerova rovnice není jediným způsobem, jak studovat kvantově mechanické systémy a dělat předpovědi. Mezi další formulace kvantové mechaniky patří maticová mechanika , kterou představil Werner Heisenberg , a integrovaná formulace dráhy vyvinutá především Richardem Feynmanem . Paul Dirac začlenil maticovou mechaniku a Schrödingerovu rovnici do jediné formulace. Když se tyto přístupy porovnají, někdy se použití Schrödingerovy rovnice říká „vlnová mechanika“.

Definice

Předkola

Složitý diagram vlnové funkce, která splňuje nerelativistickou Schrödingerovu rovnici s V = 0 . Jinými slovy to odpovídá částici volně cestující prázdným prostorem.

Úvodní kurzy fyziky nebo chemie obvykle zavádějí Schrödingerovu rovnici způsobem, který lze ocenit znalostmi pouze pojmů a zápisů základního počtu , zejména derivátů s ohledem na prostor a čas. Zvláštním případem Schrödingerovy rovnice, která připouští prohlášení v těchto termínech, je Schrödingerova rovnice polohově-prostorová pro jednu nerelativistickou částici v jedné dimenzi:

${\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi (x, t) = \ left [-{\ frac {\ hbar ^{2}} {2m}} {\ frac { \ částečné ^{2}} {\ částečné x ^{2}}}+V (x, t) \ vpravo] \ Psi (x, t) \ ,.}$

Zde je vlnová funkce, funkce, která každému bodu v každém okamžiku přiřadí komplexní číslo . Parametr je hmotnost částice a je potenciálem, který představuje prostředí, ve kterém částice existuje. Konstanta je imaginární jednotka a je redukovaná Planckova konstanta , která má jednotky akce (energie vynásobená časem). ${\ displaystyle \ Psi (x, t)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle V (x, t)}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ hbar}$

Matematicky přísná formulace kvantové mechaniky vyvinutá Paulem Diracem , Davidem Hilbertem , Johnem von Neumannem a Hermannem Weylem, rozšiřující se nad tento jednoduchý případ, definuje stav kvantově mechanického systému jako vektor patřící do ( oddělitelného ) Hilbertova prostoru . Předpokládá se, že tento vektor je normalizován v rámci vnitřního produktu Hilbertova prostoru, tj. V Diracově notaci se řídí . Přesná povaha tohoto Hilbertova prostoru závisí na systému-například pro popis polohy a hybnosti je Hilbertův prostor prostorem komplexních funkcí integrovatelných do čtverce , zatímco Hilbertův prostor pro spin jednoho protonu je prostě prostor dvourozměrné komplexní vektory s obvyklým vnitřním součinem. ${\ Displaystyle | \ psi \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ Displaystyle \ langle \ psi | \ psi \ rangle = 1}$${\ Displaystyle L^{2} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{2}}$

Fyzikální veličiny, které nás zajímají-poloha, hybnost, energie, spin-jsou zastoupeny „pozorovatelnými“, což jsou hermitovské (přesněji řečeno samo-adjuvantní ) lineární operátory působící na Hilbertův prostor. Funkce vlna může být vlastní vektor zjistitelné, přičemž v tomto případě se nazývá eigenstate a přidružené vlastních čísel odpovídá hodnotě pozorovatelný v tomto eigenstate. Obecněji bude kvantový stav lineární kombinací vlastních čísel, známých jako kvantová superpozice . Když je měřen pozorovatelný, výsledkem bude jedna z vlastních čísel s pravděpodobností danou Bornovým pravidlem : v nejjednodušším případě je vlastní číslo nedegenerované a pravděpodobnost je dána tím , kde je jeho přidružený vlastní vektor. Obecněji je vlastní číslo degenerováno a pravděpodobnost je dána tím , kde je projektor na svém přidruženém vlastním prostoru. ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle | \ langle \ lambda | \ psi \ rangle |^{2}}$${\ Displaystyle | \ lambda \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle \ psi | P _ {\ lambda} | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle P _ {\ lambda}}$

Vlastní moment hybnosti by byl dokonale monochromatickou vlnou nekonečného rozsahu, která není integrovatelná do čtverců. Podobně by vlastní stav pozice byl Diracovou delta distribucí , ne čtvercově integrovatelnou a technicky by vůbec nebyl funkcí. V důsledku toho ani jeden nemůže patřit do Hilbertova prostoru částice. Fyzici někdy zavádějí fiktivní „základny“ pro Hilbertův prostor obsahující prvky mimo tento prostor. Ty jsou vynalezeny pro usnadnění výpočtu a nepředstavují fyzické stavy.

Časově závislá rovnice

Forma Schrödingerovy rovnice závisí na fyzické situaci. Nejobecnější formou je Schrödingerova rovnice závislá na čase, která popisuje systém vyvíjející se v čase:

kde (řecké písmeno psi ) je stavový vektor kvantového systému, je čas a je pozorovatelný, hamiltonovský operátor . ${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ hat {H}}}$

Každá z těchto tří řad je vlnová funkce, která splňuje časově závislou Schrödingerovu rovnici pro harmonický oscilátor . Vlevo: Skutečná část (modrá) a imaginární část (červená) vlnové funkce. Vpravo: Rozložení pravděpodobnosti nalezení částice s touto vlnovou funkcí v dané poloze. Horní dvě řady jsou příklady stacionárních stavů , které odpovídají stojatým vlnám . Spodní řádek je příkladem stavu, který není stacionárním. Pravý sloupec ilustruje, proč se stacionární stavy nazývají „stacionární“.

Termín „Schrödingerova rovnice“ může odkazovat jak na obecnou rovnici, tak na konkrétní nerelativistickou verzi. Obecná rovnice je skutečně docela obecná a používá se v celé kvantové mechanice, od všeho od Diracovy rovnice po kvantovou teorii pole , a to připojením různých výrazů pro hamiltoniány. Specifická nerelativistická verze je aproximací, která poskytuje přesné výsledky v mnoha situacích, ale pouze do určité míry (viz relativistická kvantová mechanika a relativistická teorie kvantového pole ).

Chcete -li použít Schrödingerovu rovnici, zapište si pro systém Hamiltonian , přičemž zohledněte kinetickou a potenciální energii částic tvořících systém, poté ji vložte do Schrödingerovy rovnice. Výsledná parciální diferenciální rovnice je řešena pro vlnovou funkci, která obsahuje informace o systému. V praxi se pro definici funkce hustoty pravděpodobnosti bere druhá mocnina absolutní hodnoty vlnové funkce v každém bodě . Například s ohledem na vlnovou funkci v pozičním prostoru, jak je uvedeno výše, máme ${\ displaystyle \ Psi (x, t)}$

${\ Displaystyle \ mathrm {Pr} (x, t) = | \ Psi (x, t) |^{2}.}$

Časově nezávislá rovnice

Výše popsaná Schrödingerova rovnice závislá na čase předpovídá, že vlnové funkce mohou vytvářet stojaté vlny , nazývané stacionární stavy . Tyto stavy jsou obzvláště důležité, protože jejich individuální studie později zjednodušuje úlohu řešení časově závislé Schrödingerovy rovnice pro jakýkoli stav. Stacionární stavy lze také popsat jednodušší formou Schrödingerovy rovnice, časově nezávislou Schrödingerovou rovnicí.

kde je energie systému. To se používá pouze tehdy, když samotný hamiltonián není výslovně závislý na čase. Avšak i v tomto případě má celková vlnová funkce stále časovou závislost. V jazyce lineární algebry je tato rovnice rovnicí vlastních čísel . Vlnová funkce je proto vlastní funkcí hamiltoniánského operátoru s odpovídajícími vlastními hodnotami . ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$

Vlastnosti

Linearita

Schrödingerova rovnice je lineární diferenciální rovnice , což znamená, že pokud jsou dvě vlnové funkce ψ ₁ a ψ ₂ řešením, je tomu tak i v případě jakékoli lineární kombinace těchto dvou:

${\ displaystyle \ displaystyle \ psi = a \ psi _ {1}+b \ psi _ {2}}$

kde a a b jsou libovolná komplexní čísla. Součet lze navíc rozšířit o libovolný počet vlnových funkcí. Tato vlastnost umožňuje, aby superpozice kvantových stavů byly řešením Schrödingerovy rovnice. Ještě obecněji platí, že obecné řešení Schrödingerovy rovnice lze nalézt převzetím váženého součtu na základě stavů. Často používaná volba je základem energetických vlastních čísel, což jsou řešení časově nezávislé Schrödingerovy rovnice. Uvažujme například vlnovou funkci Ψ ( x , t ) tak, že vlnová funkce je součinem dvou funkcí: jedné časově nezávislé a jedné časově závislé. Pokud jsou stavy určité energie nalezené pomocí časově nezávislé Schrödingerovy rovnice dány vztahem ψ _E ( x ) s amplitudou A _n a časově závislý fázový faktor je dán vztahem

${\ displaystyle e^{{-iE_ {n} t}/\ hbar},}$

pak je platné obecné řešení

${\ Displaystyle \ Psi (x, t) = \ sum _ {n} A_ {n} \ psi _ {E_ {n}} (x) e^{{-iE_ {n} t}/\ hbar}.}$

Jednota

Schrödingerova rovnice, která drží hamiltonovskou konstantu, má řešení ${\ displaystyle {\ hat {H}}}$

${\ Displaystyle | \ Psi (t) \ rangle = e^{-i {\ hat {H}} t/\ hbar} | \ Psi (0) \ rangle \ ,.}$

Operátor je známý jako operátor evoluce času a je unitární : zachovává vnitřní součin mezi vektory v Hilbertově prostoru. Unitarita je obecným rysem evoluce času podle Schrödingerovy rovnice. Pokud je počáteční stav , pak stav v pozdější době bude dán ${\ Displaystyle {\ hat {U}} (t) = e^{-i {\ hat {H}} t/\ hbar}}$${\ Displaystyle | \ Psi (0) \ rangle}$${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle | \ Psi (t) \ rangle = {\ hat {U}} | \ Psi (0) \ rangle}$

pro nějakého unitárního operátora . Naopak předpokládejme, že jde o spojitou rodinu unitárních operátorů parametrizovaných . Bez ztráty obecnosti lze parametrizaci zvolit tak, aby byla operátorem identity a aby byla pro libovolnou . Pak exponenciálně závisí na parametru , což znamená ${\ displaystyle {\ hat {U}}}$${\ displaystyle {\ hat {U}} (t)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ hat {U}} (0)}$${\ displaystyle {\ hat {U}} (t/N)^{N} = {\ hat {U}} (t)}$${\ displaystyle N> 0}$${\ displaystyle {\ hat {U}} (t)}$${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle U (t) = e^{-i {\ hat {G}} t}}$

pro nějakého samozvaného operátora , nazývaného generátor rodiny . Hamiltonián je přesně takový generátor (až do faktoru Planckovy konstanty, který by byl v přírodních jednotkách nastaven na 1 ). ${\ displaystyle {\ hat {G}}}$${\ displaystyle {\ hat {U}} (t)}$

Změny základu

Schrödingerova rovnice je často prezentována pomocí veličin měnících se jako funkce polohy, ale jako rovnice vektorového operátoru má platné zastoupení v libovolném úplném základu ketů v Hilbertově prostoru . Jak bylo uvedeno výše, „báze“, které leží mimo fyzický Hilbertův prostor, se také používají pro účely výpočtu. To je ilustrováno Schrödingerovými rovnicemi prostorového a hybného prostoru pro nerelativistickou, bezpáteřovou částici. Hilbertův prostor pro takovou částici je prostor komplexních čtvercově integrovatelných funkcí na trojrozměrném euklidovském prostoru a jeho hamiltonián je součtem výrazu kinetické energie, který je kvadratický v operátoru hybnosti a pojmu potenciální energie:

${\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} | \ Psi (t) \ rangle = \ left ({\ frac {1} {2m}} {\ hat {p}}^{2}+ {\ hat {V}} \ right) | \ Psi (t) \ rangle \ ,.}$

Při psaní pro trojrozměrný polohový vektor a pro trojrozměrný vektor hybnosti je Schrödingerova rovnice polohového prostoru ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$

${\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) =-{\ frac {\ hbar ^{2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ Psi (\ mathbf {r}, t)+V (\ mathbf {r}) \ Psi (\ mathbf {r}, t) \ ,.}$

Protějšek hybnosti a prostoru zahrnuje Fourierovy transformace vlnové funkce a potenciálu:

${\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ tilde {\ Psi}} (\ mathbf {p}, t) = {\ frac {\ mathbf {p} ^{2} } {2m}} {\ tilde {\ Psi}} (\ mathbf {p}, t)+(2 \ pi \ hbar)^{-3/2} \ int d^{3} \ mathbf {p} ' \, {\ tilde {V}} (\ mathbf {p} -\ mathbf {p} ') {\ tilde {\ Psi}} (\ mathbf {p}', t) \ ,.}$

Funkce a jsou odvozeny od aplikace ${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle {\ tilde {\ Psi}} (\ mathbf {p}, t)}$${\ Displaystyle | \ Psi (t) \ rangle}$

${\ Displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ langle \ mathbf {r} | \ Psi (t) \ rangle \ ,,}$

${\ Displaystyle {\ tilde {\ Psi}} (\ mathbf {p}, t) = \ langle \ mathbf {p} | \ Psi (t) \ rangle \ ,,}$

kde a nepatří do samotného Hilbertova prostoru, ale mají dobře definované vnitřní produkty se všemi prvky tohoto prostoru. ${\ Displaystyle | \ mathbf {r} \ rangle}$${\ Displaystyle | \ mathbf {p} \ rangle}$

Při omezeno třech rozměrech na jeden, je poloha prostor rovnice je jen první forma Schrödinger rovnice uvedené výše . Vztah mezi polohou a hybností v kvantové mechanice lze ocenit v jediné dimenzi. V kanonické kvantování , klasické proměnné a jsou podporovány provozovatelům self-adjungovaných a že uspokojit kanonické komutační relace${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ hat {x}}}$${\ displaystyle {\ hat {p}}}$

${\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = i \ hbar \ ,.}$

Z toho vyplývá

${\ Displaystyle \ langle x | {\ hat {p}} | \ Psi \ rangle = -i \ hbar {\ frac {d} {dx}} \ Psi (x) \ ,,}$

takže působení hybného operátora v reprezentaci polohového prostoru je . Stává se tedy druhou derivací a ve třech dimenzích se druhá derivace stává Laplaciánem . ${\ displaystyle {\ hat {p}}}$${\ displaystyle -i \ hbar {\ frac {d} {dx}}}$${\ displaystyle {\ hat {p}}^{2}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^{2}}$

Kanonický vztah komutace také znamená, že operátory polohy a hybnosti jsou navzájem Fourierovy konjugáty. V důsledku toho lze funkce původně definované z hlediska jejich závislosti na poloze převést na funkce hybnosti pomocí Fourierovy transformace. V fyziky pevných látek , Schrödingerova rovnice je často psán pro funkce hybnosti, jako Bloch věta zajišťuje periodické krystalové mřížce potenciální páry s pouze diskrétní reciproká mřížka vektory . Díky tomu je vhodné řešit Schrödingerovu rovnici hybného prostoru v každém bodě v zóně Brillouin nezávisle na ostatních bodech v zóně Brillouin. ${\ displaystyle {\ tilde {\ Psi}} (p)}$${\ displaystyle {\ tilde {\ Psi}} (p+K)}$${\ displaystyle K}$

Pravděpodobnostní proud

Schrödingerova rovnice je v souladu s lokální ochranou pravděpodobnosti . Vynásobením Schrödingerovy rovnice vpravo komplexní vlnovou funkcí konjugátu a vynásobením vlnové funkce nalevo od komplexního konjugátu Schrödingerovy rovnice a odečtením získáte rovnici spojitosti pro pravděpodobnost:

${\ Displaystyle {\ částečné \ přes \ částečné t} \ rho \ left (\ mathbf {r}, t \ right)+\ nabla \ cdot \ mathbf {j} = 0,}$

kde

${\ Displaystyle \ rho = | \ Psi | ^{2} = \ Psi ^{*} (\ mathbf {r}, t) \ Psi (\ mathbf {r}, t) \, \!}$

je hustota pravděpodobnosti (pravděpodobnost na jednotku objemu, * označuje komplexní konjugát ) a

${\ Displaystyle \ mathbf {j} = {1 \ over 2m} \ left (\ Psi ^{*} {\ hat {\ mathbf {p}}} \ Psi -\ Psi {\ hat {\ mathbf {p}} } \ Psi ^{*} \ right) \, \!}$

je pravděpodobnostní proud (průtok na jednotku plochy).

Oddělení proměnných

Pokud hamiltonián není explicitní funkcí času, je rovnice oddělitelná na součin prostorových a časových částí. Vlnová funkce má obecně formu:

${\ Displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ psi (\ mathbf {r}) \ tau (t) \ ,.}$

kde je funkce všech prostorových souřadnic částice tvořící pouze systém a je funkcí pouze času. Dosazením tohoto výrazu do Schrödingerovy rovnice a řešením separací proměnných vyplývá, že obecné řešení časově závislé rovnice má tvar ${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r})}$${\ Displaystyle \ tau (t)}$${\ displaystyle \ Psi}$

${\ Displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ psi (\ mathbf {r}) e^{-i {Et/\ hbar}} \ ,.}$

Protože časově závislý fázový faktor je vždy stejný, je u časově nezávislých problémů potřeba vyřešit pouze prostorovou část. Energetický operátor navíc Ĥ = iħ ∂/∂ tlze vždy nahradit energetickou vlastní hodnotou E , a proto je Schrödingerova rovnice nezávislá na čase pro hamiltoniánský operátor rovnicí vlastních hodnot :

${\ Displaystyle {\ hat {H}} \ psi = E \ psi}$

To platí pro libovolný počet částic v libovolném počtu dimenzí (v časově nezávislém potenciálu). Tento případ popisuje řešení stojatých vln časově závislé rovnice, což jsou stavy s určitou energií (místo rozdělení pravděpodobnosti různých energií). Ve fyzice se těmto stojatým vlnám říká „ stacionární stavy “ nebo „ energetické vlastní zdroje “; v chemii se jim říká „ atomové orbitaly “ nebo „ molekulární orbitaly “. Superpozice energetických vlastních stavů mění své vlastnosti podle relativních fází mezi energetickými hladinami. Energetické vlastní stavy tvoří základ: jakoukoli vlnovou funkci lze zapsat jako součet diskrétních energetických stavů nebo integrál přes spojité energetické stavy nebo obecněji jako integrál přes míru. Toto je spektrální věta v matematice a v prostoru konečných stavů je to jen prohlášení o úplnosti vlastních vektorů hermitovské matice .

Oddělení proměnných může být také užitečnou metodou pro časově nezávislou Schrödingerovu rovnici. Například v závislosti na symetrii problému mohou být kartézské osy odděleny,

${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = \ psi _ {x} (x) \ psi _ {y} (y) \ psi _ {z} (z) \ ,,}$

nebo radiální a úhlové souřadnice mohou být odděleny:

${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = \ psi _ {r} (r) \ psi _ {\ theta} (\ theta) \ psi _ {\ phi} (\ phi) \ ,.}$

Příklady

Částice v krabici

1-dimenzionální potenciální energetická skříňka (nebo nekonečná potenciální studna)

Částice v jednorozměrném potenciálním energetickém boxu je matematicky nejjednodušším příkladem, kde omezení vedou ke kvantizaci energetických hladin. Box je definován jako mající nulovou potenciální energii uvnitř určité oblasti a nekonečnou potenciální energii venku . Pro jednorozměrný případ ve směru lze zapsat časově nezávislou Schrödingerovu rovnici ${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle -{\ frac {\ hbar^{2}} {2m}} {\ frac {d^{2} \ psi} {dx^{2}}} = E \ psi.}$

S diferenciálním operátorem definovaným

${\ displaystyle {\ hat {p}} _ {x} =-i \ hbar {\ frac {d} {dx}}}$

předchozí rovnice evokuje klasický analog kinetické energie ,

${\ displaystyle {\ frac {1} {2m}} {\ hat {p}} _ {x}^{2} = E,}$

přičemž stav v tomto případě má energii shodnou s kinetickou energií částice. ${\ Displaystyle \ psi}$${\ displaystyle E}$

Obecná řešení Schrödingerovy rovnice pro částici v krabici jsou

${\ Displaystyle \ psi (x) = Ae^{ikx}+Be^{-ikx} \ qquad \ qquad E = {\ frac {\ hbar^{2} k^{2}} {2m}}}$

nebo z Eulerovy rovnice ,

${\ Displaystyle \ psi (x) = C \ sin (kx)+D \ cos (kx). \!}$

Nekonečné potenciální stěny pole určují hodnoty a na a kde musí být nulové. Tak, v , ${\ displaystyle C, D,}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle x = L}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ displaystyle x = 0}$

${\ Displaystyle \ psi (0) = 0 = C \ sin (0)+D \ cos (0) = D}$

a . V , ${\ displaystyle D = 0}$${\ displaystyle x = L}$

${\ Displaystyle \ psi (L) = 0 = C \ sin (kL),}$

ve kterém nemůže být nula, protože by to bylo v rozporu s postulátem, který má normu 1. Proto, protože , musí být celočíselný násobek , ${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle \ sin (kL) = 0}$${\ displaystyle kL}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ Displaystyle k = {\ frac {n \ pi} {L}} \ qquad \ qquad n = 1,2,3, \ ldots.}$

Toto omezení na znamená omezení energetických úrovní, čímž se získá ${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle E_ {n} = {\ frac {\ hbar^{2} \ pi^{2} n^{2}} {2mL^{2}}} = {\ frac {n^{2} h^ {2}} {8 ml^^{2}}}.}$

Konečný potenciál dobře je zobecnění nekonečné potenciální i problém pro potenciální jamek, které mají konečnou hloubku. Problém jamky konečného potenciálu je matematicky komplikovanější než problém nekonečné částice v krabici, protože vlnová funkce není na stěnách studny připnuta na nulu. Místo toho musí vlnová funkce splňovat složitější matematické okrajové podmínky, protože v oblastech mimo studnu je nenulová. Dalším souvisejícím problémem je překážka obdélníkového potenciálu , která poskytuje model pro efekt kvantového tunelování, který hraje důležitou roli při výkonu moderních technologií, jako je flash paměť a skenovací tunelovací mikroskopie .

Harmonický oscilátor

Harmonický oscilátor v klasické mechanice (A-B) a kvantové mechaniky (C-H). V (A – B) koule připevněná k pružině osciluje tam a zpět. (C – H) je šest řešení Schrödingerovy rovnice pro tuto situaci. Vodorovná osa je poloha, svislá osa je skutečná část (modrá) nebo imaginární část (červená) vlnové funkce . Stacionární stavy nebo energetické vlastní stavy , které jsou řešením časově nezávislé Schrödingerovy rovnice, jsou zobrazeny v C, D, E, F, ale ne v G nebo H.

Schrödingerova rovnice pro tuto situaci je

${\ Displaystyle E \ psi =-{\ frac {\ hbar^{2}} {2m}} {\ frac {d^{2}} {dx^{2}}} \ psi +{\ frac {1} {2}} m \ omega ^{2} x ^{2} \ psi,}$

kde je posunutí a úhlová frekvence. Toto je příklad kvantově mechanického systému, jehož vlnovou funkci lze přesně vyřešit. Kromě toho jej lze použít k popisu přibližně široké škály dalších systémů, včetně vibrujících atomů, molekul a atomů nebo iontů v mřížích a sbližování dalších potenciálů v blízkosti bodů rovnováhy. Je také základem poruchových metod v kvantové mechanice. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ omega}$

Řešení v pozičním prostoru jsou

${\ Displaystyle \ psi _ {n} (x) = {\ sqrt {\ frac {1} {2^{n} \, n!}}} \ cdot \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ vpravo)^{1/4} \ cdot e^{-{\ frac {m \ omega x^{2}} {2 \ hbar}}} \ cdot {\ mathcal {H}} _ {n} \ left ({\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}}} x \ right),}$

kde a funkce jsou Hermitovy polynomy řádu . Sada řešení může být generována pomocí ${\ Displaystyle n \ in \ {0,1,2, \ ldots \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {n}}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ psi _ {n} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {n!}}} \ left ({\ sqrt {\ frac {m \ omega} {2 \ hbar}}} \ vpravo)^{n} \ left (x-{\ frac {\ hbar} {m \ omega}} {\ frac {d} {dx}} \ right)^{n} \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ \ right)^{\ frac {1} {4}} e^{\ frac {-m \ omega x^{2}} {2 \ hbar}}.}$

Vlastní čísla jsou

${\ Displaystyle E_ {n} = \ left (n+{\ frac {1} {2}} \ right) \ hbar \ omega.}$

Případ se nazývá základní stav , jeho energie se nazývá energie nulového bodu a vlnová funkce je Gaussova . ${\ displaystyle n = 0}$

Harmonický oscilátor, stejně jako částice v krabici, ukazuje obecný rys Schrödingerovy rovnice, že energie vázaných vlastních čísel jsou diskretizovány.

Atom vodíku

Schrödingerova rovnice pro atom vodíku (nebo atom podobný vodíku) je

${\ Displaystyle E \ psi = -{\ frac {\ hbar ^{2}} {2 \ mu}} \ nabla ^{2} \ psi -{\ frac {q ^{2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r}} \ psi}$

kde je elektronový náboj, je poloha elektronu vzhledem k jádru, je velikost relativní polohy, potenciální člen je způsoben Coulombovou interakcí , kde je permitivita volného prostoru a ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle r = | \ mathbf {r} |}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$

${\ Displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {q} m_ {p}} {m_ {q}+m_ {p}}}}$

je 2tělesná redukovaná hmotnost jádra vodíku (jen protonu ) o hmotnosti a elektronu o hmotnosti . Záporné znaménko vzniká v potenciálním členu, protože proton a elektron jsou nabité opačně. Snížená hmotnost v místě hmotnosti elektronu se používá, protože elektron a proton společně obíhají navzájem kolem společného těžiště a představují problém dvou těles, který je třeba vyřešit. Pohyb elektronu je zde zásadním zájmem, takže ekvivalentním problémem jednoho těla je pohyb elektronu pomocí snížené hmotnosti. ${\ displaystyle m_ {p}}$${\ displaystyle m_ {q}}$

Schrödingerovu rovnici pro atom vodíku lze vyřešit oddělením proměnných. V tomto případě jsou sférické polární souřadnice nejvhodnější. Tím pádem,

${\ Displaystyle \ psi (r, \ theta, \ varphi) = R (r) Y _ {\ ell}^{m} (\ theta, \ varphi) = R (r) \ Theta (\ theta) \ Phi (\ varphi),}$

kde R jsou radiální funkce a jsou sférické harmonické stupně a řádu . Toto je jediný atom, pro který byla přesně vyřešena Schrödingerova rovnice. Atomy s více elektrony vyžadují přibližné metody. Rodina řešení je: ${\ Displaystyle Y_ {l}^{m} (\ theta, \ varphi)}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle m}$

${\ Displaystyle \ psi _ {n \ ell m} (r, \ theta, \ varphi) = {\ sqrt {\ left ({\ frac {2} {na_ {0}}} \ right)^{3} { \ frac {(n- \ ell -1)!} {2n [(n+\ ell)!]}}}} e^{-r/na_ {0}} \ left ({\ frac {2r} {na_ { 0}}} \ right)^{\ ell} L_ {n- \ ell -1}^{2 \ ell +1} \ left ({\ frac {2r} {na_ {0}}} \ right) \ cdot Y _ {\ ell}^{m} (\ theta, \ varphi)}$

kde:

• ${\ Displaystyle a_ {0} = {\ frac {4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ hbar ^{2}} {m_ {q} q ^{2}}}}$je Bohrův poloměr ,
• ${\ Displaystyle L_ {n- \ ell -1}^{2 \ ell +1} (\ cdots)}$jsou zobecněné Laguerrovy polynomy stupně .${\ Displaystyle n- \ ell -1}$
• ${\ Displaystyle n, \ ell, m}$jsou hlavní , azimutální a magnetická kvantová čísla , která nabývají hodnot:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} n & = 1,2,3, \ dots \\\ ell & = 0,1,2, \ dots, n-1 \\ m & =-\ ell, \ dots, \ ell \\\ end {aligned}}}$

Přibližná řešení

Obvykle není možné vyřešit Schrödingerovu rovnici přesně pro situace fyzického zájmu. V souladu s tím se přibližná řešení získávají pomocí technik, jako jsou variační metody a WKB aproximace . Je také běžné zacházet s problémem zájmu jako s malou modifikací problému, který lze vyřešit přesně, metodou známou jako poruchová teorie .

Semiklasický limit

Jedním jednoduchým způsobem, jak porovnat klasickou a kvantovou mechaniku, je zvážit časový vývoj očekávané polohy a očekávané hybnosti, který pak lze porovnat s časovým vývojem běžné polohy a hybnosti v klasické mechanice. Hodnoty kvantového očekávání splňují Ehrenfestovu větu . U jednorozměrné kvantové částice pohybující se v potenciálu říká Ehrenfestova věta ${\ displaystyle V}$

${\ Displaystyle m {\ frac {d} {dt}} \ langle x \ rangle = \ langle p \ rangle; \ quad {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle =-\ left \ langle V '(X) \ right \ rangle \ ,.}$

Ačkoli první z těchto rovnic je v souladu s klasickým chováním, druhá není: Pokud by dvojice splňovala Newtonův druhý zákon, pravá strana druhé rovnice by musela být ${\ Displaystyle (\ langle X \ rangle, \ langle P \ rangle)}$

${\ Displaystyle -V '\ left (\ left \ langle X \ right \ rangle \ right) \,}$

který obvykle není stejný jako . V případě kvantového harmonického oscilátoru je však lineární a toto rozlišení zmizí, takže v tomto velmi zvláštním případě očekávaná poloha a očekávaná hybnost přesně sledují klasické trajektorie. ${\ Displaystyle -\ left \ langle V '(X) \ right \ rangle}$${\ displaystyle V '}$

V obecných systémech můžeme doufat, že očekávaná poloha a hybnost budou přibližně sledovat klasické trajektorie. Pokud je vlnová funkce vysoce koncentrovaná kolem bodu , pak a bude téměř stejná, protože obě budou přibližně stejné . V takovém případě zůstane očekávaná poloha a očekávaná hybnost velmi blízko klasickým trajektoriím, alespoň tak dlouho, dokud vlnová funkce zůstane v dané poloze vysoce lokalizována. ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle V '\ left (\ left \ langle X \ right \ rangle \ right)}$${\ Displaystyle \ left \ langle V '(X) \ right \ rangle}$${\ displaystyle V '(x_ {0})}$

Schrödingerova rovnice v obecné formě

${\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi \ left (\ mathbf {r}, t \ right) = {\ hat {H}} \ Psi \ left (\ mathbf { r}, t \ right)}$

úzce souvisí s Hamiltonovou -Jacobiho rovnicí (HJE)

${\ Displaystyle -{\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} S (q_ {i}, t) = H \ left (q_ {i}, {\ frac {\ částečné S} {\ částečné q_ {i }}}, t \ right)}$

kde je klasická akce a je hamiltonovská funkce (ne operátor). Zde lze zobecněné souřadnice pro (používané v kontextu HJE) nastavit na pozici v kartézských souřadnicích jako . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$${\ Displaystyle i = 1,2,3}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} = (q_ {1}, q_ {2}, q_ {3}) = (x, y, z)}$

Střídání

${\ Displaystyle \ Psi = {\ sqrt {\ rho (\ mathbf {r}, t)}} e^{iS (\ mathbf {r}, t)/\ hbar}}$

kde je hustota pravděpodobnosti, do Schrödingerovy rovnice a poté vezmeme -li limit ve výsledné rovnici, dostaneme Hamilton -Jacobiho rovnici . ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ hbar \ longrightarrow 0}$

Hustotní matice

Vlnové funkce nejsou vždy tím nejpohodlnějším způsobem, jak popsat kvantové systémy a jejich chování. Pokud je příprava systému pouze nedokonale známá nebo je -li zkoumaný systém součástí většího celku, lze místo toho použít hustotní matrice . Matice hustoty je kladný polodefinovaný operátor, jehož stopa se rovná 1. (Používá se také termín „operátor hustoty“, zvláště když je podkladový Hilbertův prostor nekonečně dimenzionální.) Sada všech matic hustoty je konvexní a extrémními body jsou operátory, které promítají na vektory v Hilbertově prostoru. Toto jsou hustotně maticové reprezentace vlnových funkcí; v Diracově notaci jsou psány

${\ Displaystyle {\ hat {\ rho}} = | \ Psi \ rangle \ langle \ Psi | \ ,.}$

Analog hustoty matice Schrödingerovy rovnice pro vlnové funkce je

${\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial {\ hat {\ rho}}} {\ partial t}} = [{\ hat {H}}, {\ hat {\ rho}}] \ ,,}$

kde závorky označují komutátor . Toto je různě známé jako von Neumannova rovnice, Liouville – von Neumannova rovnice nebo jen Schrödingerova rovnice pro hustotní matice. Pokud je hamiltonián časově nezávislý, lze tuto rovnici snadno vyřešit tak, aby se získala

${\ Displaystyle {\ hat {\ rho}} (t) = e^{-i {\ hat {H}} t/\ hbar} {\ hat {\ rho}} (0) e^{i {\ hat {H}} t/\ hbar} \ ,.}$

Obecněji řečeno, pokud unitární operátor popisuje vývoj vlnové funkce v určitém časovém intervalu, pak je časový vývoj matice hustoty za stejný interval dán vztahem ${\ displaystyle {\ hat {U}} (t)}$

${\ Displaystyle {\ hat {\ rho}} (t) = {\ hat {U}} (t) {\ hat {\ rho}} (0) {\ hat {U}} (t)^{\ dýka } \ ,.}$

Jednotná evoluce matice hustoty zachovává její von Neumannovu entropii .

Relativistická kvantová fyzika a teorie kvantového pole

Kvantová teorie pole (QFT) je rámec, který umožňuje kombinaci kvantové mechaniky se speciální relativitou . Obecný tvar Schrödingerovy rovnice platí také v QFT, a to jak v relativistických, tak v nerelativistických situacích.

Klein – Gordonova a Diracova rovnice

Relativistická kvantová mechanika se získává tam, kde současně platí kvantová mechanika a speciální relativita. Obecně si člověk přeje vybudovat relativistické vlnové rovnice ze vztahu relativistická energie - hybnost

${\ Displaystyle E^{2} = (pc)^{2}+(m_ {0} c^{2})^{2} \ ,,}$

místo klasických energetických rovnic. Klein-Gordon rovnice a Diracova rovnice jsou dva takové rovnice. Klein -Gordonova rovnice,

${\ Displaystyle {\ frac {1} {c ^{2}}} {\ frac {\ částečné ^{2}} {\ částečné t ^{2}}} \ psi -\ nabla ^{2} \ psi + {\ frac {m^{2} c^{2}} {\ hbar^{2}}} \ psi = 0 \ ,,}$

byla první taková rovnice, která byla získána, ještě před nerelativistickou, a platí pro masivní bezpáteřové částice. Diracova rovnice vznikla převzetím „druhé odmocniny“ Klein -Gordonovy rovnice rozdělením celého operátoru relativistické vlny na součin dvou operátorů - jeden z nich je operátorem celé Diracovy rovnice. Celá Diracova rovnice:

${\ Displaystyle \ left (\ beta mc^{2}+c \ left (\ sum _ {n \ mathop {=} 1}^{3} \ alpha _ {n} p_ {n} \ right) \ right) \ psi = i \ hbar {\ frac {\ částečné \ psi} {\ částečné t}}}$

Obecný tvar Schrödingerovy rovnice zůstává v relativitě pravdivý, ale hamiltonián je méně zřejmý. Například Dirac Hamiltonian pro částici o hmotnosti m a elektrickém náboji q v elektromagnetickém poli (popsaném elektromagnetickými potenciály φ a A ) je:

${\ Displaystyle {\ hat {H}} _ {\ text {Dirac}} = \ gamma ^{0} \ left [c {\ boldsymbol {\ gamma}} \ cdot \ left ({\ hat {\ mathbf {p }}}-q \ mathbf {A} \ right)+mc ^{2}+\ gamma ^{0} q \ varphi \ right] \ ,,}$

ve kterém γ = ( γ ¹ , γ ² , γ ³ ) a γ ⁰ jsou Diracovy gama matice související se spinem částice. Diracova rovnice platí pro všechny spin- 1 / 2 částice, a řešení rovnice jsou 4-komponentní spinor pole se dvěma složek odpovídajících částice a další dva pro antičástice .

Pro Klein -Gordonovu rovnici je použití obecné podoby Schrödingerovy rovnice nepohodlné a v praxi se hamiltonián nevyjadřuje analogicky s dirac hamiltonovskou. Rovnice pro relativistická kvantová pole lze získat jinými způsoby, například počínaje Lagrangeovou hustotou a používáním Euler -Lagrangeových rovnic pro pole, nebo použít teorii reprezentace Lorentzovy skupiny, ve které lze určité reprezentace použít k fixaci rovnice pro volné částice daného spinu (a hmotnosti).

Hamiltonián, který má být nahrazen v obecné Schrödingerově rovnici, není obecně jen funkcí operátorů polohy a hybnosti (a případně času), ale také spinových matic. Řešení pro relativistickou vlnovou rovnici pro masivní částici spinů s jsou komplexně hodnocená 2 (2 s + 1) komponentní spinorová pole .

Fockův prostor

Jak bylo původně formulováno, Diracova rovnice je rovnice pro jednu kvantovou částici, stejně jako pro Schrödingerovu rovnici s jednou částicí s vlnovou funkcí . Toto má omezené použití v relativistické kvantové mechanice, kde počet částic není pevný. Heuristicky může být tato komplikace motivována poznámkou, že ekvivalence hmoty a energie znamená, že hmotné částice mohou být vytvořeny z energie. Běžným způsobem, jak to vyřešit v QFT, je zavedení Hilbertova prostoru, kde jsou základní stavy označeny číslem částice, takzvaný Fockův prostor . Schrödingerovu rovnici pak lze formulovat pro kvantové stavy v tomto Hilbertově prostoru. ${\ displaystyle \ Psi (x, t)}$

Dějiny

Erwin Schrödinger

Po kvantování světla Maxe Plancka (viz záření černého tělesa ) Albert Einstein interpretoval Planckova kvanta jako fotony , částice světla a navrhl, že energie fotonu je úměrná jeho frekvenci , jedné z prvních známek vlny - dualita částic . Vzhledem k tomu, že energie a hybnost souvisejí stejným způsobem jako frekvence a vlnové číslo ve speciální relativitě , vyplynulo z toho, že hybnost fotonu je nepřímo úměrná jeho vlnové délce nebo úměrná jeho vlnovému číslu : ${\ displaystyle p}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle p = {\ frac {h} {\ lambda}} = \ hbar k,}$

kde je Planckova konstanta a je snížená Planckova konstanta. Louis de Broglie předpokládal, že to platí pro všechny částice, dokonce i pro částice, které mají hmotnost, jako jsou elektrony. Ukázal, že za předpokladu, že se hmotové vlny šíří spolu s protějšky částic, elektrony tvoří stojaté vlny , což znamená, že jsou povoleny pouze určité diskrétní rotační frekvence kolem jádra atomu. Tyto kvantované oběžné dráhy odpovídají diskrétním energetickým hladinám a de Broglie reprodukoval Bohrův modelový vzorec pro energetické hladiny. Model Bohr byl založen na předpokládaném kvantování momentu hybnosti podle: ${\ displaystyle h}$${\ Displaystyle \ hbar = {h}/{2 \ pi}}$${\ displaystyle L}$

${\ Displaystyle L = n {h \ přes 2 \ pi} = n \ hbar.}$

Podle de Broglieho je elektron popsán vlnou a po obvodu dráhy elektronu se musí vejít celá řada vlnových délek:

${\ Displaystyle n \ lambda = 2 \ pi r. \,}$

Tento přístup v podstatě omezil elektronovou vlnu v jedné dimenzi, po kruhové dráze poloměru . ${\ displaystyle r}$

V roce 1921, před de Broglie, Arthur C. Lunn z University of Chicago použil stejný argument založený na dokončení 4-vektoru relativistické energie-hybnosti k odvození toho, čemu nyní říkáme de Broglieho vztah. Na rozdíl od de Broglie, Lunn pokračoval ve formulaci diferenciální rovnice, nyní známé jako Schrödingerova rovnice, a řešení jejích energetických vlastních čísel pro atom vodíku. Bohužel, papír byl odmítnut fyzickou kontrolou , jak líčil Kamen.

Fyzik Peter Debye navázal na de Broglieho myšlenky a bez okolků poznamenal, že pokud se částice chovají jako vlny, měly by splňovat nějaký druh vlnové rovnice. Schrödinger se inspiroval Debyeovou poznámkou a rozhodl se pro elektron najít správnou 3-dimenzionální vlnovou rovnici. Řídila ho analogie Williama Rowana Hamiltona mezi mechanikou a optikou, zakódovaná v pozorování, že hranice optické optiky s nulovou vlnovou délkou připomíná mechanický systém-trajektorie světelných paprsků se stávají ostrými stopami, které se řídí Fermatovým principem , analogickým principem nejmenší akce .

Rovnice, kterou našel, je:

${\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ částečná} {\ částečná t}} \ Psi (\ mathbf {r}, \, t) =-{\ frac {\ hbar ^{2}} {2m}} \ nabla ^{2} \ Psi (\ mathbf {r}, \, t)+V (\ mathbf {r}) \ Psi (\ mathbf {r}, \, t).}$

Nicméně, do té doby, Arnold Sommerfeld byl rafinovaný model Bohr s relativistické korekce . Schrödinger použil relativistický vztah energie a hybnosti k nalezení toho, co je nyní známé jako Klein -Gordonova rovnice v Coulombově potenciálu (v přírodních jednotkách ):

${\ Displaystyle \ left (E+{e^{2} \ over r} \ right)^{2} \ psi (x) =-\ nabla^{2} \ psi (x)+m^{2} \ psi (X).}$

Našel stojaté vlny této relativistické rovnice, ale relativistické opravy nesouhlasily se Sommerfeldovým vzorcem. Znechucen odložil své výpočty a v prosinci 1925 se izoloval s milenkou v horské chatě.

Zatímco v kabině, Schrödinger rozhodl, že jeho dřívější nerelativistické výpočty byly natolik nové, že je bylo možné publikovat, a rozhodl se problém relativistických korekcí do budoucna opustit. Navzdory obtížím při řešení diferenciální rovnice pro vodík (hledal pomoc u svého přítele matematika Hermanna Weyla ) Schrödinger ukázal, že jeho nerelativistická verze vlnové rovnice produkuje správné spektrální energie vodíku v článku publikovaném v roce 1926. Schrödinger vypočítal vodík spektrální série tak, že se atom vodíku je elektron jako vlna , pohybující se v potenciálové jámě , vytvořené protonu . Tento výpočet přesně reprodukoval energetické hladiny Bohrova modelu . ${\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {x}, t)}$ ${\ displaystyle V}$

Schrödingerova rovnice podrobně popisuje chování, ale neříká nic o jeho povaze . Schrödinger se pokusil interpretovat skutečnou část jako hustotu náboje a poté tento návrh revidoval a ve svém dalším příspěvku uvedl, že čtvercový modul je hustota náboje. Tento přístup byl však neúspěšný. V roce 1926, jen několik dní poté, co byl tento článek publikován, Max Born úspěšně interpretoval jako amplitudu pravděpodobnosti , jejíž čtvercový modul se rovná hustotě pravděpodobnosti . Později sám Schrödinger vysvětlil tento výklad takto: ${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle \ Psi {\ frac {\ částečné \ Psi ^{*}} {\ částečné t}}}$${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle \ Psi}$

Již ... zmíněná funkce psi .... je nyní prostředkem pro předpovídání pravděpodobnosti výsledků měření. V něm je ztělesněn momentálně dosažený součet teoreticky založených budoucích očekávání, poněkud jak je stanoveno v katalogu.

-  Erwin Schrödinger

Výklad

Schrödingerova rovnice poskytuje způsob, jak vypočítat vlnovou funkci systému a jak se dynamicky mění v čase. Schrödingerova rovnice však přímo neříká, co přesně je vlnová funkce. Význam Schrödingerovy rovnice a to, jak se matematické entity v ní vztahují k fyzické realitě, závisí na interpretaci kvantové mechaniky, kterou člověk přijme.

V názorech často seskupených jako kodaňská interpretace je vlnová funkce systému souborem statistických informací o tomto systému. Schrödingerova rovnice spojuje informace o systému najednou s informacemi o něm v jiném. Zatímco proces evoluce času reprezentovaný Schrödingerovou rovnicí je spojitý a deterministický, v tom, že znalost vlnové funkce v jednom okamžiku je v zásadě dostačující k jejímu výpočtu pro všechny budoucí časy, vlnové funkce se mohou během měření také nespojitě a stochasticky měnit . Vlnová funkce se podle tohoto myšlenkového směru mění, protože jsou k dispozici nové informace. Vlnovou funkci po měření obecně nelze před měřením znát, ale pravděpodobnosti různých možností lze vypočítat pomocí Bornova pravidla . Jiné, novější interpretace kvantové mechaniky, jako je relační kvantová mechanika a QBism, také dávají Schrödingerově rovnici status tohoto druhu.

Sám Schrödinger v roce 1952 navrhl, že různé termíny superpozice vyvíjející se podle Schrödingerovy rovnice nejsou „alternativy, ale všechny se skutečně dějí současně“. Toto bylo interpretováno jako raná verze interpretace mnoha světů Everetta . Tato interpretace, formulovaná nezávisle v roce 1956, si myslí, že všechny možnosti popsané kvantovou teorií se současně vyskytují v multivesmíru složeném z většinou nezávislých paralelních vesmírů. Tato interpretace odstraňuje axiom kolapsu vlnové funkce a ponechává pouze kontinuální vývoj pod Schrödingerovou rovnicí, a tak jsou všechny možné stavy měřeného systému a měřícího aparátu spolu s pozorovatelem přítomny ve skutečné fyzické kvantové superpozici . Zatímco multivesmír je deterministický, vnímáme nedeterministické chování řízené pravděpodobnostmi, protože multivesmír nepozorujeme jako celek, ale pouze jeden paralelní vesmír najednou. Jak přesně to má fungovat, bylo předmětem mnoha debat. Proč bychom vůbec měli přiřazovat pravděpodobnosti k výsledkům, které se v některých světech určitě vyskytují, a proč by měly být pravděpodobnosti dány Bornovým pravidlem? Bylo navrženo několik způsobů, jak na tyto otázky odpovědět v rámci mnoha světů, ale neexistuje shoda v tom, zda jsou úspěšní.

Bohmianská mechanika přeformuluje kvantovou mechaniku tak, aby byla deterministická, za cenu, že bude vysloveně nelokální (cena stanovená Bellovou větou ). Každému fyzickému systému připisuje nejen vlnovou funkci, ale navíc skutečnou polohu, která se deterministicky vyvíjí podle nelokální řídící rovnice. Vývoj fyzického systému je vždy dán Schrödingerovou rovnicí spolu s vodící rovnicí.

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy

• „Schrödingerova rovnice“ . Encyklopedie matematiky . EMS Stiskněte . 2001 [1994].
• Kniha Quantum Cook a PHYS 201: Fundamentals of Physics II od Ramamurti Shankar , Yale OpenCourseware
• Moderní revoluce ve fyzice - online učebnice.
• Quantum Physics I na MIT OpenCourseWare