Metrika Schwarzschild - Schwarzschild metric

V Einstein je teorie obecné relativity je Schwarzschildovo metrika (také známý jako vakuum Schwarzschildově nebo roztoku Schwarzschildovy ) je přesné řešení se Einstein polních rovnic , která popisuje gravitační pole mimo kulovou hmotností, za předpokladu, že elektrický náboj z hmotnost, hybnost momentu a univerzální kosmologická konstanta jsou nulové. Řešení je užitečnou aproximací pro popis pomalu rotujících astronomických objektů, jako je mnoho hvězd a planet , včetně Země a Slunce. Našel ji Karl Schwarzschild v roce 1916 a přibližně ve stejnou dobu nezávisle Johannes Droste , který publikoval svou mnohem úplnější a moderněji vypadající diskusi pouhé čtyři měsíce po Schwarzschildovi.

Podle Birkhoffovy věty je Schwarzschildova metrika nejobecnějším sféricky symetrickým vakuovým řešením Einsteinových polních rovnic. Schwarzschildův černá díra nebo statické černá díra je černá díra , která nemá ani elektrický náboj, ani moment hybnosti. Schwarzschildova černá díra je popsána Schwarzschildovou metrikou a nelze ji odlišit od jakékoli jiné Schwarzschildovy černé díry kromě její hmotnosti.

Schwarzschildova černá díra se vyznačuje okolní sférickou hranicí, nazývanou horizont událostí , která se nachází v Schwarzschildově poloměru , často nazývaném poloměr černé díry. Hranice není fyzickým povrchem a osoba, která propadla horizontem událostí (předtím, než byla roztržena přílivovými silami), by v této poloze nezaznamenal žádný fyzický povrch; je to matematický povrch, který je významný při určování vlastností černé díry. Jakákoli nerotující a nenabitá hmota, která je menší než její Schwarzschildův poloměr, tvoří černou díru. Řešení rovnic Einsteinova pole platí pro jakoukoli hmotnost M , takže v zásadě (podle obecné teorie relativity) by mohla existovat Schwarzschildova černá díra o jakékoli hmotnosti, pokud by se podmínky staly dostatečně příznivými pro její vznik.

Formulace

Metrika Schwarzschild je sféricky symetrická Lorentzova metrika (zde s konvencí podpisu ( -, +, +, +) ,) definovanou na (podmnožina)

kde je 3 dimenzionální euklidovský prostor a jsou dvě sféry. Skupina rotace působí na faktor nebo jako rotace kolem středu , přičemž první faktor ponechává beze změny. Metrika Schwarzschild je řešením Einsteinových rovnic pole v prázdném prostoru, což znamená, že je platná pouze mimo gravitační těleso. To znamená, že pro sférické těleso poloměru je řešení platné . Aby bylo možné popsat gravitační pole uvnitř i vně gravitačního tělesa, musí být Schwarzschildovo řešení přizpůsobeno nějakému vhodnému vnitřnímu řešení , jako je vnitřní Schwarzschildova metrika .

V souřadnicích Schwarzschild má metrika Schwarzschild (nebo ekvivalentně řádkový prvek pro správný čas ) tvar

kde je metrika na dvou sférách, tzn . Kromě toho,

  • je pozitivní pro čas jako křivky a je to správný čas (čas měřený hodinami pohybujícími se po stejné světové linii s testovanou částicí ),
  • je rychlost světla ,
  • je časová souřadnice (měřeno nehybnými hodinami umístěnými nekonečně daleko od masivního těla),
  • je radiální souřadnice (měřeno jako obvod, děleno 2 π , koule soustředěné kolem masivního těla),
  • je bod na dvou sférách ,
  • je colatitude z (úhel od severu, v jednotkách radiánech ), definovaných po libovolně výběru z aretačním kroužkem,
  • je délka z (i v radiánech) kolem zvolené z aretačním kroužkem, a
  • je poloměr Schwarzschildův masivní tělo, měřítko , který je ve vztahu k jeho hmotnosti o , kde je gravitační konstanta .

Metoda Schwarzschild má singularitu, pro kterou je vnitřní singularita zakřivení. Zdá se také, že má na horizontu událostí jedinečnost . V závislosti na úhlu pohledu je tedy metrika definována pouze pro vnější oblast , pouze pro vnitřní oblast nebo jejich nesouvislé spojení. Metrika je však ve skutečnosti v horizontu událostí nesingulární, jak je vidět na vhodných souřadnicích (viz níže). Pro je Schwarzschild metrický je asymptotic k standardní Lorentz metrický v Minkowski prostoru. U téměř všech astrofyzikálních objektů je tento poměr extrémně malý. Například Schwarzschildův poloměr Země je zhruba 8,9 mm , zatímco Slunce, což je3.3 x 10 5 krát hmotnější má poloměr Schwarzschild cca 3,0 km. Poměr se zvětší pouze v těsné blízkosti černých děr a dalších ultrahustých objektů, jako jsou neutronové hvězdy .

Ukázalo se, že radiální souřadnice má fyzický význam jako „správná vzdálenost mezi dvěma událostmi, které se vyskytují současně vzhledem k radiálně se pohybujícím geodetickým hodinám, přičemž tyto dvě události leží na stejné radiální souřadnicové přímce“.

Schwarzschildovo řešení je analogické klasické newtonovské teorii gravitace, která odpovídá gravitačnímu poli kolem bodové částice. I na povrchu Země jsou opravy newtonovské gravitace pouze jednou z miliardy.

Dějiny

Schwarzschildovo řešení je pojmenováno na počest Karla Schwarzschilda , který našel přesné řešení v roce 1915 a publikoval jej v lednu 1916, o něco více než měsíc po vydání Einsteinovy ​​teorie obecné relativity. Jednalo se o první přesné řešení rovnic Einsteinova pole jiné než triviální řešení plochého prostoru . Schwarzschild zemřel krátce poté, co byl jeho článek publikován, v důsledku nemoci, kterou vyvinul během služby v německé armádě během první světové války .

Johannes Droste v roce 1916 nezávisle produkoval stejné řešení jako Schwarzschild, s použitím jednodušší a přímější derivace.

V raných letech obecné relativity bylo mnoho nejasností ohledně povahy singularit nalezených v Schwarzschildově a dalších řešeních Einsteinových rovnic pole . V původním Schwarzschildově dokumentu uvedl počátek svého souřadného systému to, čemu nyní říkáme horizont událostí. V tomto příspěvku také představil to, co je nyní známé jako Schwarzschildova radiální souřadnice ( r ve výše uvedených rovnicích), jako pomocná proměnná. Ve svých rovnicích používal Schwarzschild jinou radiální souřadnici, která byla v poloměru Schwarzschild nulová.

Úplnější analýzu struktury singularity poskytl David Hilbert v následujícím roce a identifikoval singularity jak při r = 0, tak r = r s . Ačkoli panoval obecný konsenzus, že singularita při r = 0 byla „skutečnou“ fyzickou singularitou, povaha singularity při r = r s zůstala nejasná.

V roce 1921 Paul Painlevé a v roce 1922 Allvar Gullstrand nezávisle vytvořili metriku, sféricky symetrické řešení Einsteinových rovnic, o které nyní víme, že je souřadnicovou transformací Schwarzschildovy metriky, souřadnic Gullstrand -Painlevé , ve které r = r s nebyla singularita . Neuznávali však, že jejich řešení jsou pouze souřadnicové transformace, a ve skutečnosti jejich řešení tvrdili, že Einsteinova teorie byla špatná. V roce 1924 Arthur Eddington vytvořil první transformaci souřadnic ( Eddington – Finkelsteinovy ​​souřadnice ), která ukázala, že singularita v r = r s byla souřadnicovým artefaktem, ačkoli se také zdá, že si nebyl vědom významu tohoto objevu. Později, v roce 1932, Georges Lemaître dal jinou transformaci souřadnic ( Lemaître souřadnice ) se stejným účinkem a jako první uznal, že to znamenalo, že singularita v r = r s nebyla fyzická. V roce 1939 Howard Robertson ukázal, že pozorovatel volného pádu sestupující v metrice Schwarzschild by překročil singularitu r = r s v konečném množství správného času, i když by to trvalo nekonečné množství času, pokud jde o čas souřadnic t .

V roce 1950 John Synge vytvořil dokument, který ukázal maximální analytické rozšíření Schwarzschildovy metriky, opět ukázal, že singularita v r = r s byla artefaktem souřadnic a že představovala dva horizonty. Podobný výsledek později znovu objevil George Szekeres a nezávisle Martin Kruskal . Nové souřadnice dnes známé jako Kruskal-Szekerovy souřadnice byly mnohem jednodušší než Syngeovy, ale obě poskytly jedinou sadu souřadnic, která pokrývala celý časoprostor. Nicméně, pravděpodobně kvůli nejasnostem časopisů, ve kterých byly publikovány noviny Lemaître a Synge, jejich závěry zůstaly bez povšimnutí, přičemž mnoho z hlavních hráčů v oboru, včetně Einsteina, věří, že singularita v Schwarzschildově okruhu je fyzická.

Skutečného pokroku bylo dosaženo v šedesátých letech minulého století, kdy do oblasti obecné relativity vstoupily přesnější nástroje diferenciální geometrie , což umožnilo přesnější definice toho, co znamená, že Lorentzianova řada je singulární. To vedlo k definitivní identifikaci r = r s singularity v Schwarzschildově metrice jako horizontu událostí (hyperplocha v časoprostoru, kterou lze překročit pouze v jednom směru).

Singularity a černé díry

Zdá se, že Schwarzschildovo řešení má singularity při r = 0 a r = r s ; některé z metrických složek v těchto poloměrech „vybuchnou“ (znamenají dělení nulou nebo násobení nekonečnem). Protože se očekává, že Schwarzschildova metrika bude platná pouze pro ty poloměry větší než poloměr R gravitačního tělesa, není problém, pokud R > r s . U běžných hvězd a planet to tak vždy je. Například poloměr Slunce je přibližně700 000  km , zatímco jeho Schwarzschildův poloměr je pouze3 km .

Singularita v r = r s rozděluje Schwarzschildovy souřadnice na dvě odpojené patche . Exteriér řešení Schwarzschildovo s r > r s je ten, který se vztahuje ke gravitačnímu poli hvězd a planet. Řešení interiéru Schwarzschildovo s 0? R < r y , který obsahuje singularity v r = 0 , je zcela oddělen od vnějšího náplasti singularity v r = r s . Souřadnice Schwarzschild proto nedávají žádné fyzické spojení mezi oběma záplatami, které lze považovat za samostatná řešení. Singularita při r = r s je však iluzí; je to příklad toho, čemu se říká souřadnicová singularita . Jak název napovídá, singularita vyplývá ze špatného výběru souřadnic nebo podmínek souřadnic . Při přechodu na jiný souřadnicový systém (například Lemaitre souřadnic , Eddington-Finkelstein souřadnic , Kruskal-SZEKERES souřadnic , Novikov souřadnic nebo Gullstrand-Painlevé souřadnic ) metrika se stává pravidelným r = r s a může prodloužit externí opravu hodnot r menší než r s . Pomocí jiné transformace souřadnic je pak možné spojit rozšířenou externí opravu s vnitřní opravou.

Případ r = 0 je však odlišný. Pokud někdo požádá, aby řešení bylo platné pro všechny r, narazí na skutečnou fyzickou singularitu nebo gravitační singularitu na počátku. Abychom viděli, že se jedná o skutečnou jedinečnost, musíme se podívat na veličiny, které jsou nezávislé na výběru souřadnic. Jednou z takových důležitých veličin je Kretschmannův invariant , který je dán vztahem

Při r = 0 se zakřivení stává nekonečným, což naznačuje přítomnost singularity. V tomto bodě nelze metriku plynule prodloužit (Kretschmannova invarianta zahrnuje druhé derivace metriky), samotný časoprostor pak již není dobře definován. Sbierski navíc ukázal, že metriku nelze prodloužit ani souvisle. Dlouho se mělo za to, že takové řešení je nefyzické. Lepší porozumění obecné relativitě však vedlo k poznání, že takové singularity jsou obecným rysem teorie a nejsou jen exotickým zvláštním případem.

Schwarzschildovo řešení, považované za platné pro všechny r > 0 , se nazývá Schwarzschildova černá díra . Je to dokonale platné řešení Einsteinových polních rovnic, i když (jako ostatní černé díry) má docela bizarní vlastnosti. Pro r < r s se Schwarzschildova radiální souřadnice r stane časovou a časová souřadnice t se stane prostorovou . Křivka při konstantní r již není možnou světovou linií částice nebo pozorovatele, a to ani v případě, že je vyvíjena síla, která se ji snaží udržet; k tomu dochází, protože časoprostor byl zakřivený natolik, že směr příčiny a následku (budoucí světelný kužel částice ) ukazuje do singularity. Povrch r = r s vymezuje to, čemu se říká horizont událostí černé díry. Představuje bod, za kterým světlo již nemůže uniknout z gravitačního pole. Jakýkoli fyzický objekt, jehož poloměr R se stane menším nebo rovným Schwarzschildovu poloměru, prošel gravitačním kolapsem a stal se černou dírou.

Alternativní souřadnice

Schwarzschildovo řešení může být vyjádřeno v řadě různých možností souřadnic kromě Schwarzschildových souřadnic použitých výše. Různé volby mají tendenci zvýrazňovat různé funkce řešení. Níže uvedená tabulka ukazuje některé populární možnosti.

Alternativní souřadnice
Souřadnice Čárový prvek Poznámky Funkce
Souřadnice Eddington – Finkelstein
(příchozí)
pravidelný v budoucím horizontu-
minulý horizont je na v =-nekonečno
Souřadnice Eddington – Finkelstein
(odchozí)
pravidelný v minulém horizontu se
táhne přes minulý horizont.
Budoucí horizont v u = nekonečno
Souřadnice Gullstrand – Painlevé pravidelné v horizontu (+ budoucí/-past)
Izotropní souřadnice
Platí pouze mimo horizont událostí:
izotropní světelné kužely na konstantních časových řezech
Souřadnice Kruskal – Szekeres pravidelný na obzoru
Maximálně se prodlužuje na plný časoprostor
Lemaître souřadnice pravidelný v horizontu budoucnosti/minulosti
Harmonické souřadnice

V tabulce výše byla pro stručnost představena nějaká zkratka. Rychlost světla c byla nastavena na jednu . Zápis

se používá pro metriku 2-dimenzionální koule o poloměru jednotky. Navíc v každém záznamu a označte alternativní volby radiálních a časových souřadnic pro konkrétní souřadnice. Všimněte si, že a/nebo se mohou lišit od vstupu k záznamu.

Souřadnice Kruskal – Szekeres mají formu, na kterou lze Belinského – Zakharovovu transformaci použít. To znamená, že Schwarzschildova černá díra je forma gravitačního solitonu .

Flammův paraboloid

Děj Flammova paraboloidu. Nemělo by být zaměňováno s nesouvisejícím pojmem gravitační studny .

Prostorové zakřivení řešení Schwarzschild pro r > r s lze vizualizovat, jak ukazuje grafika. Zvažte rovníkový řez konstantního času skrz Schwarzschildovo řešení ( θ = π2 , t = konstanta) a nechte polohu částice pohybující se v této rovině popsat pomocí zbývajících Schwarzschildových souřadnic ( r , φ ) . Představte si nyní, že existuje další euklidovská dimenze w , která nemá žádnou fyzickou realitu (není součástí časoprostoru). Poté nahraďte rovinu ( r , φ ) povrchem s důlkem ve směru w podle rovnice ( Flammův paraboloid )

Tento povrch má tu vlastnost, že vzdálenosti naměřené v něm odpovídají vzdálenostem v Schwarzschildově metrice, protože s definicí w výše,

Flammův paraboloid je tedy užitečný pro vizualizaci prostorového zakřivení Schwarzschildovy metriky. Nemělo by však být zaměňováno s gravitační studnou . Žádná obyčejná (hmotná nebo bezhmotná) částice nemůže mít světovou linii ležící na paraboloidu, protože všechny její vzdálenosti jsou prostorové (jedná se o průřez v jednom časovém okamžiku, takže jakákoli částice pohybující se po ní by měla nekonečnou rychlost ). Tachyon mohl mít spacelike Worldline které leží zcela na jednom paraboloidu. Avšak ani v tom případě není jeho geodetická dráha trajektorií, kterou člověk projde analogií gravitační studny „gumovým plechem“: zejména pokud je důlek nakreslen směřující spíše nahoru než dolů, tachyonova geodetická dráha se stále zakřivuje směrem k centrální hmotě , ne pryč. Další informace najdete v článku o gravitační studni .

Flammův paraboloid lze odvodit následujícím způsobem. Je zapsána euklidovská metrika ve válcových souřadnicích ( r , φ , w )

Necháme -li povrch popsat funkcí w = w ( r ) , lze euklidovskou metriku zapsat jako

Porovnání s Schwarzschildovou metrikou v rovníkové rovině ( θ = π/2) v pevně stanoveném čase ( t = konstanta, dt = 0 )

dává integrální výraz pro w ( r ) :

jehož řešením je Flammův paraboloid.

Orbitální pohyb

Srovnání mezi oběžnou dráhou testovací částice v newtonovském (vlevo) a Schwarzschildově (vpravo) časoprostoru; všimněte si Apsidální precese vpravo.

Částice obíhající v Schwarzschildově metrice může mít stabilní kruhovou oběžnou dráhu s r > 3 r s . Kruhové dráhy s r mezi 1,5 r s a 3 r s jsou nestabilní a pro r <1,5 r s neexistují žádné kruhové dráhy . Kruhová dráha s minimálním poloměrem 1,5 r s odpovídá oběžné rychlosti blížící se rychlosti světla. Je možné, aby částice měla konstantní hodnotu r mezi r s a 1,5 r s , ale pouze pokud nějaká síla působí, aby ji tam udržela.

Nekruhové oběžné dráhy, jako například Merkurovy, pobývají déle v malých poloměrech, než by se dalo očekávat v newtonovské gravitaci . To lze považovat za méně extrémní verzi dramatičtějšího případu, kdy částice prochází horizontem událostí a navždy v něm přebývá. Mezi případem Merkuru a případem předmětu padajícího za horizont událostí existují exotické možnosti, jako jsou oběžné dráhy na ostří nože, ve kterých lze pomocí satelitu provádět libovolně velký počet téměř kruhových drah, po nichž letí zpět ven.

Symetrie

Skupina izometrií Schwarzschildovy metriky je podskupinou desetidimenzionální Poincaréovy skupiny, která si k sobě vezme časovou osu (trajektorii hvězdy). Vynechává prostorové překlady (tři dimenze) a zesiluje (tři dimenze). Zachovává časové překlady (jedna dimenze) a rotace (tři dimenze). Má tedy čtyři rozměry. Stejně jako skupina Poincaré má čtyři propojené komponenty: složku identity; časově obrácená složka; složka prostorové inverze; a složka, která je jak časově obrácená, tak prostorově obrácená.

Zakřivení

Skalární Ricciho zakřivení a tenzor Ricciho zakřivení jsou nulové. Nenulové složky tenzoru Riemannovy křivosti jsou

Komponenty, které lze získat symetrií Riemannova tenzoru, nejsou zobrazeny.

Abychom porozuměli fyzickému významu těchto veličin, je užitečné vyjádřit tenzor zakřivení na ortonormálním základě. V ortonormální bázi pozorovatele nenulové složky v geometrických jednotkách jsou

Opět nejsou zobrazeny komponenty, které lze získat symetrií Riemannova tenzoru. Tyto výsledky jsou neměnné vůči jakémukoli Lorentzovu boostu, takže komponenty se pro nestatické pozorovatele nemění. Tyto geodetické odchylka rovnice ukazuje, že přílivová zrychlení mezi dvěma pozorovateli oddělené IS , takže těleso délky je roztažena v radiálním směru se zjevnou zrychlení a pevně v kolmých směrech .

Viz také

Poznámky

Reference