Semi-empirický hromadný vzorec - Semi-empirical mass formula

V jaderné fyzice se semi-empirický hmotnostní vzorec ( SEMF ) (někdy také nazývaný Weizsäckerův vzorec , Bethe-Weizsäckerův vzorec nebo Bethe-Weizsäckerův vzorec pro jeho odlišení od procesu Bethe-Weizsäcker ) používá k aproximaci hmotnosti a různých další vlastnosti atomového jádra z jeho počtu protonů a neutronů . Jak název napovídá, je založen částečně na teorii a částečně na empirických měřeních. Vzorec představuje model kapky kapaliny navržený Georgem Gamowem , který dokáže zohlednit většinu výrazů ve vzorci a poskytuje hrubé odhady hodnot koeficientů. Poprvé byl formulován v roce 1935 německým fyzikem Carl Friedrich von Weizsäcker a ačkoli v průběhu let došlo k vylepšení koeficientů, struktura vzorce zůstává stejná i dnes.

Vzorec poskytuje dobrou aproximaci atomových hmot a tím i dalších účinků. Nedokáže však vysvětlit existenci linií větší vazebné energie u určitého počtu protonů a neutronů. Tato čísla, známá jako magická čísla , jsou základem modelu jaderného pláště .

Kapalinový model

Ilustrace pojmů semi-empirického hmotnostního vzorce v modelu kapek kapaliny atomového jádra.

Model kapalných kapek nejprve navrhl George Gamow a dále jej vyvinuli Niels Bohr a John Archibald Wheeler . Zachází s jádrem jako s kapkou nestlačitelné kapaliny velmi vysoké hustoty, držené pohromadě jadernou silou (zbytkový účinek silné síly ), existuje podobnost se strukturou sférické kapalné kapky. Zatímco je to surový model, model kapky kapaliny odpovídá sférickému tvaru většiny jader a dělá hrubou předpověď vazebné energie.

Odpovídající hmotnostní vzorec je definován čistě z hlediska počtu protonů a neutronů, které obsahuje. Původní Weizsäckerův vzorec definuje pět pojmů:

  • Objemová energie , když je shromáždění nukleonů stejné velikosti zabaleno dohromady do nejmenšího objemu, má každý vnitřní nukleon určitý počet dalších nukleonů v kontaktu s ním. Tato jaderná energie je tedy úměrná objemu.
  • Povrchová energie koriguje předchozí předpoklad, že každý nukleon interaguje se stejným počtem ostatních nukleonů. Tento termín je záporný a úměrný povrchové ploše, a je tedy zhruba ekvivalentní kapalnému povrchovému napětí .
  • Coulombova energie , potenciální energie z každé dvojice protonů. Jelikož se jedná o odpudivou sílu, vazebná energie se sníží.
  • Energie asymetrie (nazývaná také Pauliho energie), která odpovídá principu vyloučení Pauliho . Nerovné počty neutronů a protonů znamenají naplnění vyšších energetických hladin pro jeden typ částice, zatímco nižší energetické hladiny zůstávají prázdné pro druhý typ.
  • Párovací energie , která odpovídá za tendenci vyskytovat se protonové páry a neutronové páry . Sudý počet částic je stabilnější než lichý počet díky spinové vazbě .

Vzorec

Vazebná energie na nukleon (v MeV ) zobrazená jako funkce neutronového čísla N a atomového čísla Z, jak je dáno semi-empirickým hmotnostním vzorcem. Je zahrnuta přerušovaná čára, která ukazuje nuklidy, které byly objeveny experimentem.
Rozdíl mezi předpovězenými energiemi a energiemi známých vazebných energií udávaných v kiloelektronvoltech. Přítomné jevy lze vysvětlit dalšími jemnými výrazy, ale hmotnostní vzorec nedokáže vysvětlit přítomnost čar, jasně identifikovatelných ostrými vrcholy v obrysech.

Hmotnost atomového jádra pro neutrony , protony a tedy nukleony je dána vztahem

kde a jsou zbytková hmotnost protonu a neutronu, v uvedeném pořadí, a je vazebnou energií jádra. Semi-empirický hmotnostní vzorec uvádí, že vazebná energie je:

Termín je buď nulový, nebo , v závislosti na parity z a , kde po určitou exponentem . Pamatujte , že čitatel výrazu lze přepsat na .

Každý z výrazů v tomto vzorci má teoretický základ. Koeficienty , , , , a jsou stanoveny empiricky; zatímco mohou být odvozeny z experimentu, jsou obvykle odvozeny z nejmenších čtverců vhodných pro současná data. I když je to obvykle vyjádřeno základními pěti termíny, existují další termíny, které vysvětlují další jevy. Podobně jako změna polynomiálního přizpůsobení změní jeho koeficienty, souhra mezi těmito koeficienty při zavádění nových jevů je složitá; některé termíny se navzájem ovlivňují, zatímco termín je do značné míry nezávislý.

Objemový termín

Termín je znám jako objemový termín . Objem jádra je úměrný A , takže tento termín je úměrný objemu, odtud název.

Základem pro tento termín je silná jaderná síla . Silná síla ovlivňuje oba protony a neutrony, a jak se očekávalo, tento termín je nezávislá na Z . Protože počet párů, které lze získat z částic A, je , lze očekávat úměrný člen . Silná síla má však velmi omezený rozsah a daný nukleon může silně interagovat pouze se svými nejbližšími sousedy a dalšími nejbližšími sousedy. Proto je počet párů částic, které ve skutečnosti interagují, zhruba úměrný A , což dává objemovému termínu jeho formu.

Koeficient je menší než vazebná energie, kterou mají nukleony vzhledem k jejich sousedům ( ), což je řádově 40 MeV . Je to proto, že čím větší je počet nukleonů v jádře, tím větší je jejich kinetická energie, a to díky Pauliho vylučovacímu principu . Jestliže jeden ošetřuje jádro jako Fermiho kouli z nukleonů , se stejným počtem protonů a neutronů, pak celková kinetická energie je se na energie Fermi , která se odhaduje až 38 MeV . Očekávaná hodnota v tomto modelu tedy není daleko od naměřené hodnoty.

Povrchový termín

Termín je znám jako povrchový . Tento člen, rovněž založený na silné síle, je korekcí objemového členu.

Objem období vyplývá, že každý nukleonu interaguje s konstantním počtem nukleonů, nezávisle na A . I když to téměř platí pro nukleony hluboko v jádru, tyto nukleony na povrchu jádra mají méně nejbližších sousedů, což tuto opravu ospravedlňuje. Lze to také považovat za pojem povrchového napětí a podobný mechanismus skutečně vytváří povrchové napětí v kapalinách.

Pokud je objem jádra úměrný A , měl by být poloměr úměrný a plocha povrchu rovna . To vysvětluje, proč je povrchový člen úměrný . Lze také odvodit, že by to mělo mít podobný řád .

Coulombův termín

Termín nebo je známý jako Coulombův nebo elektrostatický termín .

Základem pro tento termín je elektrostatická repulze mezi protony. K velmi hrubé aproximaci lze jádro považovat za sféru jednotné hustoty náboje . Potenciální energie takového distribucí náboje může být prokázáno, že

kde Q je celkový náboj a R je poloměr koule. Hodnota může být přibližně vypočtena pomocí následující rovnice pro výpočet potenciální energii, pomocí empirické jaderné poloměr o a Q = Ze . Protože však elektrostatický odpor bude existovat pouze pro více než jeden proton, stane se :

kde se elektrostatický Coulombova konstanta je

.

Pomocí konstanty jemné struktury můžeme přepsat hodnotu :

kde je konstanta jemné struktury a je poloměrem jádra , což představuje přibližně 1,25 femtometru . je protonem redukovaná vlnová délka Comptonu a je hmotou protonu. To dává přibližnou teoretickou hodnotu 0,691 MeV , nedaleko od naměřené hodnoty.

Pojem asymetrie

Ilustrace základu pro asymetrický výraz

Termín je známý jako termín asymetrie (nebo Pauliho termín ).

Teoretické zdůvodnění tohoto pojmu je složitější. Princip Pauliho vylučování uvádí, že žádné dva identické fermiony nemohou obsadit přesně stejný kvantový stav v atomu. Na dané energetické úrovni je pro částice k dispozici pouze konečně mnoho kvantových stavů. To v jádru znamená, že když se „přidá“ více částic, musí tyto částice zaujímat vyšší energetické úrovně, což zvyšuje celkovou energii jádra (a snižuje energii vazby). Všimněte si, že tento efekt není založen na žádné ze základních sil ( gravitačních , elektromagnetických atd.), Pouze na Pauliho vylučovacím principu.

Protony a neutrony, které jsou odlišnými typy částic, zaujímají různé kvantové stavy. Jeden může myslet na dva různé „stavy“ států, jeden pro protony a jeden pro neutrony. Nyní, například, pokud je v jádře podstatně více neutronů než protonů, budou některé neutrony mít vyšší energii než dostupné stavy v protonovém fondu. Pokud bychom mohli přesunout některé částice z neutronového poolu do protonového poolu, jinými slovy změnit některé neutrony na protony, výrazně bychom snížili energii. Nerovnováha mezi počtem protonů a neutronů způsobuje, že energie je pro daný počet nukleonů vyšší, než je třeba . To je základ pro termín asymetrie.

Skutečnou podobu termínu asymetrie lze opět odvodit modelováním jádra jako Fermiho koule protonů a neutronů. Jeho celková kinetická energie je

kde a jsou Fermiho energie protonů a neutronů. Jelikož jsou úměrné a respektive jeden dostane

pro některé konstantní C .

Hlavní pojmy v expanzi rozdílu jsou pak

V nulovém pořadí v expanzi je kinetická energie pouze celkovou energií Fermiho vynásobenou . Tak dostaneme

První člen přispívá k objemovému členu v semi-empirickém hmotnostním vzorci a druhý člen je minus člen asymetrie (pamatujte, že kinetická energie přispívá k celkové vazebné energii se záporným znaménkem).

je 38 MeV , takže při výpočtu z výše uvedené rovnice dostaneme pouze polovinu naměřené hodnoty. Nesrovnalost je vysvětlena tím, že náš model není přesný: nukleony ve skutečnosti interagují navzájem a nejsou rozmístěny rovnoměrně po jádře. Například v modelu pláště bude mít proton a neutron s překrývajícími se vlnovými funkcemi větší silnou interakci mezi nimi a silnější vazebnou energii. Díky tomu je pro energeticky výhodné (tj. S nižší energií) mít protony a neutrony stejná kvantová čísla (jiná než isospin ), a tím se zvyšují energetické náklady asymetrie mezi nimi.

Termín asymetrie lze také pochopit intuitivně, a to následovně. Mělo by to záviset na absolutním rozdílu a forma je jednoduchá a diferencovatelná , což je důležité pro určité aplikace vzorce. Kromě toho malé rozdíly mezi Z a N nemají vysoké náklady na energii. Písmeno A ve jmenovateli odráží skutečnost, že daný rozdíl je pro větší hodnoty A méně významný .

Párovací termín

Velikost párovacího členu v celkové vazebné energii pro sudá-sudá a lichá-lichá jádra, jako funkce čísla hmotnosti. Jsou zobrazena dvě uložení (modrá a červená čára). Párovací termín (pozitivní pro sudé-sudé a negativní pro lichá-lichá jádra) byl odvozen z údajů o vazebné energii v: G. Audi et al., „The AME2012 atomic mass evaluation“, v čínské fyzice C 36 (2012/12 ) str. 1287–1602.

Termín je znám jako párovací termín (možná také známý jako párová interakce). Tento výraz zachycuje účinek spinové vazby. Je to dáno:

kde se zjistí empiricky mít hodnotu asi 1000 keV, pomalu klesá s hmotnostním číslem  A . Vazebná energie může být zvýšena převedením jednoho z lichých protonů nebo neutronů na neutron nebo proton, takže lichý nukleon může tvořit pár se svým lichým sousedem tvořícím a dokonce Z, N. Dvojice má překrývající se vlnové funkce a sedí velmi blízko sebe s vazbou silnější než kterákoli jiná konfigurace. Když je párovací člen nahrazen do rovnice vazebné energie, pro sudý Z, N přidá párovací člen vazebnou energii a pro lichý Z, N odstraní párovací člen vazebnou energii.

Závislost na počtu hmot je obvykle parametrizována jako

Hodnota exponenta k P se stanoví z experimentálních dat vazebné energie. V minulosti byla jeho hodnota často považována za −3/4, ale moderní experimentální data naznačují, že hodnota −1/2 je blíže značce:

nebo .

Kvůli Pauliho vylučovacímu principu by jádro mělo nižší energii, pokud by se počet protonů se spinem rovnal počtu protonů se spinem dolů. To platí také pro neutrony. Pouze v případě, že jsou oba Z a N sudé, mohou mít protony i neutrony stejný počet rotujících a rotujících částic. Jedná se o podobný účinek jako termín asymetrie.

Faktor nelze snadno teoreticky vysvětlit. Výpočet Fermiho koule, který jsme použili výše, založený na modelu kapek kapaliny, ale při zanedbávání interakcí, dá závislost, jako v případě asymetrie. To znamená, že skutečný efekt pro velká jádra bude větší, než očekával tento model. To by mělo být vysvětleno interakcemi mezi nukleony; Například v modelu skořápky budou mít dva protony se stejnými kvantovými čísly (jiná než spin ) zcela překrývající se vlnové funkce a budou tedy mít silnější interakci mezi nimi a silnější vazebnou energii. Díky tomu je pro protony energeticky výhodné (tj. S nižší energií) vytvářet dvojice protilehlých spinů. Totéž platí pro neutrony.

Výpočet koeficientů

Koeficienty se počítají přizpůsobením experimentálně měřeným hmotnostem jader. Jejich hodnoty se mohou lišit v závislosti na tom, jak jsou přizpůsobeny údajům a která jednotka se používá k vyjádření hmotnosti. Několik příkladů je uvedeno níže.

Eisberg a Resnick Nejmenší čtverce se hodí (1) Nejmenší čtverce se hodí (2) Rohlf Wapstra
jednotka u MeV MeV MeV MeV
0,01691 15.8 15,76 15,75 14.1
0,01911 18.3 17,81 17.8 13
0,000673 0,714 0,711 0,711 0,595
0,10175 23.2 23,702 23.7 19
0,012 12 34 11.18 33.5
-1/2 -1/2 -3/4 -1/2 -3/4
(sudý-sudý)
(lichý-lichý)
(sudý-lichý, lichý-sudý) 0 0 0 0 0

Vzorec nezohledňuje vnitřní strukturu jádra.

Semi-empirický hmotnostní vzorec proto poskytuje dobré přizpůsobení těžším jádrům a špatné přizpůsobení velmi lehkým jádrům, zejména 4 He . Pro lehká jádra je obvykle lepší použít model, který zohledňuje tuto strukturu skořápky.

Příklady důsledků vzorce

Maximalizací E B ( A, Z ), s ohledem na Z , dalo by se najít nejlepší poměr neutron proton N / Z pro danou atomové hmotnosti A . Dostaneme

To je zhruba 1 u lehkých jader, ale u těžkých jader poměr roste v dobré shodě s experimentem .

Náhradou výše uvedené hodnoty Z zpět do E B , se získá vazebná energie jako funkce atomové hmotnosti, E b ( ) . Maximalizace E b ( A ) / A vzhledem k A dává jádro, které je nejsilněji vázané, tj. Nejstabilnější. Hodnota dostaneme je = 63 ( měď ), v blízkosti měřené hodnoty z A = 62 ( nikl ) a A = 58 ( železo ).

Model kapalných kapek také umožňuje výpočet štěpných bariér pro jádra, které určují stabilitu jádra proti spontánnímu štěpení . Původně se spekulovalo, že prvky nad atomovým číslem 104 nemohou existovat, protože by prošly štěpením s velmi krátkými poločasy, ačkoli tento vzorec nepočítal se stabilizačními účinky uzavřených jaderných granátů . Upravený vzorec zohledňující účinky skořápky reprodukuje známá data a předpokládaný ostrov stability (ve kterém se očekává nárůst štěpných bariér a poločasů a dosáhne maxima při uzavření skořápky), ačkoli také naznačuje možné omezení existence superheavy jader za hranicemi Z  =  120 a N  = 184.

Reference

Zdroje

externí odkazy