Teorie množin - Set theory

Vennův diagram ilustrující průsečík dvou sad .

Teorie množin je odvětví matematické logiky, které studuje množiny a které lze neformálně popsat jako sbírky objektů. Ačkoli objekty jakéhokoli druhu mohou být shromažďovány do množiny, teorie množin, jako odvětví matematiky , se většinou týká těch, které jsou relevantní pro matematiku jako celek.

Moderní studium teorie množin zahájili němečtí matematici Richard Dedekind a Georg Cantor v 70. letech 19. století. Zejména Georg Cantor je běžně považován za zakladatele teorie množin. Neformalizované systémy zkoumané v této rané fázi se nazývají naivní teorie množin . Po objevu paradoxů v naivní teorii množin (jako je Russellův paradox , Cantorův paradox a Burali-Fortiho paradox ) byly na počátku dvacátého století navrženy různé axiomatické systémy , z nichž teorie množin Zermelo – Fraenkel (s nebo bez axiomu volby ) je stále nejznámější a nejstudovanější.

Teorie množin se běžně používá jako základní systém celé matematiky, zejména ve formě teorie množin Zermelo – Fraenkel s axiomem volby. Kromě své základní úlohy poskytuje teorie množin také rámec pro rozvoj matematické teorie nekonečna a má různé aplikace v počítačové vědě (například v teorii relační algebry ), filozofii a formální sémantice . Jeho základní přitažlivost spolu s jeho paradoxy , jeho důsledky pro koncept nekonečna a jeho více aplikací, udělaly z teorie množin oblast hlavního zájmu logiků a filozofů matematiky . Současný výzkum v teorii množin pokrývá širokou škálu témat, od struktury reálného čísla linky ke studiu na konzistenci z velkých kardinálů .

Dějiny

Matematická témata se obvykle objevují a vyvíjejí prostřednictvím interakcí mezi mnoha výzkumníky. Teorie množin byla založena jediným dokumentem v roce 1874 Georgem Cantorem : „ O majetku sbírky všech skutečných algebraických čísel “.

Od 5. století před naším letopočtem, počínaje řeckým matematikem Zenem z Elei na Západě a ranými indickými matematiky na Východě, matematici zápasili s konceptem nekonečna . Zvláště pozoruhodné je dílo Bernarda Bolzana v první polovině 19. století. Moderní chápání nekonečna začalo v letech 1870–1874 a bylo motivováno Cantorovou prací v reálné analýze . Setkání mezi Cantorem a Richardem Dedekindem z roku 1872 ovlivnilo Cantorovo myšlení a vyvrcholilo Cantorovým papírem z roku 1874.

Cantorova práce zpočátku polarizovala matematiky své doby. Zatímco Karl Weierstrass a Dedekind podporovali Cantora, Leopold Kronecker , nyní vnímaný jako zakladatel matematického konstruktivismu , nikoli. Teorie kantorských množin se nakonec rozšířila díky užitečnosti kantorských konceptů, jako je korespondence mezi dvěma soupravami, jeho důkaz, že existuje více reálných čísel než celá čísla, a „nekonečno nekonečností“ („ Cantorův ráj “) vyplývající z provozu sady výkonu . Tato užitečnost teorie množin vedla k článku „Mengenlehre“, který v roce 1898 přispěl Arthur Schoenflies do Kleinovy ​​encyklopedie .

Další vlna vzrušení v teorii množin přišla kolem roku 1900, kdy bylo zjištěno, že některé interpretace kantorské teorie množin vyvolaly několik rozporů, nazývaných antinomie nebo paradoxy . Bertrand Russell a Ernst Zermelo nezávisle našli nejjednodušší a nejznámější paradox, nyní nazývaný Russellův paradox : zvažte „množinu všech množin, které nejsou členy sebe sama“, což vede k rozporu, protože musí být členem sebe sama a nikoli člen sám sebe. V roce 1899 si Cantor sám položil otázku „Jaké je základní číslo množiny všech množin?“ A získal související paradox. Russell použil svůj paradox jako téma v přehledu kontinentální matematiky z roku 1903 v Principech matematiky . Russell místo termínu set použil termín Class , který byl následně použit více technicky.

V roce 1906 se termín set objevil v knize Theory of Sets of Points od manželů William Henry Young a Grace Chisholm Young , vydané Cambridge University Press .

Dynamika teorie množin byla taková, že debata o paradoxech nevedla k jejímu opuštění. Práce Zermela v roce 1908 a práce Abrahama Fraenkela a Thoralfa Skolema v roce 1922 vyústila v sadu axiomů ZFC , která se stala nejčastěji používanou sadou axiomů pro teorii množin. Práce analytiků , jako je Henri Lebesgue , demonstrovala velkou matematickou užitečnost teorie množin, která se od té doby stala součástí moderní matematiky. Teorie množin se běžně používá jako základní systém, i když v některých oblastech - jako je algebraická geometrie a algebraická topologie - je teorie kategorií považována za preferovaný základ.

Základní pojmy a zápis

Teorie množin začíná základní binární vztahu mezi objektem O a nastavený A . Pokud o je členem (nebo prvek ) z A , zápis oA se používá. Sada je popsána vypsáním prvků oddělených čárkami nebo charakteristickou vlastností jejích prvků v závorkách {}. Protože sady jsou objekty, vztah členství může také souviset se sadami.

Odvozená binární relace mezi dvěma množinami je relace podmnožiny, nazývaná také zahrnutí sady . Jsou-li všechny členy množiny A jsou také členy množiny B , pak je podmnožina of B , označil B . Například {1, 2} je podmnožinou {1, 2, 3} , stejně jako {2}, ale {1, 4} není. Jak vyplývá z této definice, množina je podmnožinou sama sebe. Pro případy, kdy je tato možnost nevhodná nebo by bylo rozumné ji odmítnout, je definován termín vlastní podmnožina . Se nazývá vlastní podmnožina z B, v případě, a pouze v případě, je podmnožinou B , ale není rovno B . Také 1, 2 a 3 jsou členy (prvky) sady {1, 2, 3} , ale nejsou její podmnožinou; a podmnožiny, například {1} , nejsou členy sady {1, 2, 3} .

Stejně jako aritmetika obsahuje binární operace na číslech , teorie množin obsahuje binární operace na množinách. Následuje jejich částečný seznam:

  • Union ze souborů A a B , označil AB je množina všech objektů, které jsou členem skupiny A , nebo B , nebo obojí. Například spojení {1, 2, 3} a {2, 3, 4} je množina {1, 2, 3, 4} .
  • Křižovatka z množin A a B , označil AB je množina všech objektů, které jsou členy obou A a B . Například průsečík {1, 2, 3} a {2, 3, 4} je množina {2, 3} .
  • Set rozdíl od U a A , označil U \ , je množina všech členů U , které nejsou členy A . Nastavený rozdíl {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} je {1} , zatímco naopak nastavený rozdíl {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} je {4} . Kdyžje podmnožina U množina rozdíl U \ je také nazýván doplňkem z A v U . V tomto případě, pokud je volba U jasná z kontextu, semísto U \ A někdy používázápis A c , zvláště pokud U je univerzální množina jako při studiu Vennův diagramů .
  • Symetrický rozdíl množin A a B , označovaných AB nebo AB , je množina všech objektů, které jsou členem přesně jednoho z A a B (prvky, které jsou v jedné z množin, ale ne v obou). Například pro sady {1, 2, 3} a {2, 3, 4} je sada symetrických rozdílů {1, 4} . Je to nastavený rozdíl unie a průniku, ( AB ) \ ( AB ) nebo ( A \ B ) ∪ ( B \ A ) .
  • Kartézský produkt z A a B , označený x B , je množina, jejímiž členy jsou všechny možné uspořádané dvojice ( , b ) , kdeje členem A a b je členem B . Například kartézský součin hodnot {1, 2} a {red, white} je {(1, red), (1, white), (2, red), (2, white)}.
  • Power set z množiny A , označený, je množina, jejímiž členy jsou všechny možné podmnožiny A . Například sada výkonu {1, 2} je {{}, {1}, {2}, {1, 2}} .

Některé základní sady ústředního významu jsou množina přirozených čísel , množina reálných čísel a prázdná množina - jedinečná množina neobsahující žádné prvky. Prázdná množina se také příležitostně nazývá nulová množina , ačkoli tento název je nejednoznačný a může vést k několika interpretacím.

Nějaká ontologie

Počáteční segment von Neumannovy hierarchie.

A set is pure if all of its members are sets, all members of its members are sets, and so on. Například sada {{}} obsahující pouze prázdnou množinu je neprázdná čistá množina. V moderní teorii množin je běžné omezit pozornost na von Neumannův vesmír čistých množin a mnoho systémů axiomatické teorie množin je navrženo tak, aby axiomatizovaly pouze čisté množiny. Toto omezení má mnoho technických výhod a málo obecnosti se ztrácí, protože v podstatě všechny matematické koncepty lze modelovat čistými množinami. Sady ve vesmíru von Neumanna jsou organizovány do kumulativní hierarchie podle toho, jak hluboko jsou vnořeni jejich členové, členové členů atd. Každé sadě v této hierarchii je přiřazeno ( transfinitní rekurzí ) pořadové číslo , známé jako její hodnost. Hodnost čisté množiny je definována jako nejmenší pořadová hodnota, která je přísně větší než hodnost kteréhokoli z jejích prvků. Například prázdné množině je přiřazena hodnost 0, zatímco množině {{}} obsahující pouze prázdnou množinu je přiřazena hodnost 1. Pro každý pořadový řádek je sada definována tak, že se skládá ze všech čistých sad s hodností menší než . Je označen celý von Neumannův vesmír  .

Formalizovaná teorie množin

Teorii elementárních množin lze studovat neformálně a intuitivně, a tak ji lze učit na základních školách pomocí Vennův diagramů . Intuitivní přístup mlčky předpokládá, že množinu lze vytvořit ze třídy všech objektů, které splňují jakoukoli konkrétní definující podmínku. Tento předpoklad dává vzniknout paradoxům, z nichž nejjednodušší a nejznámější jsou Russellův paradox a Burali-Fortiho paradox . Axiomatická teorie množin byla původně navržena tak, aby zbavila teorii množin takových paradoxů.

Nejvíce studované systémy axiomatické teorie množin naznačují, že všechny sady tvoří kumulativní hierarchii . Takové systémy přicházejí ve dvou příchutích, ty, jejichž ontologie se skládá z:

Výše uvedené systémy lze upravit tak, aby umožňovaly urelementy , objekty, které mohou být členy množin, ale které samy nejsou sadami a nemají žádné členy.

Tyto nové základy systémy NFU (umožňující urelements ) a NF (jim chybí) nejsou založeny na kumulativní hierarchie. NF a NFU obsahují „sadu všeho“, vzhledem k tomu má každá sada svůj doplněk. V těchto systémech záleží na urelementech, protože NF, ale ne NFU, vytváří sady, pro které axiom volby neplatí.

Systémy konstruktivní teorie množin , jako jsou CST, CZF a IZF, vkládají své množinové axiomy do intuitivního namísto klasické logiky . Přesto jiné systémy akceptují klasickou logiku, ale mají nestandardní vztah členství. Patří sem hrubá teorie množin a fuzzy teorie množin , ve kterých hodnota atomového vzorce ztělesňující vztah členství není jednoduše pravdivá nebo nepravdivá . Tyto Boolean s hodnotou modely z ZFC jsou příbuzný předmět.

Edward Nelson navrhl v roce 1977 obohacení ZFC zvané interní teorie množin .

Aplikace

Mnoho matematických konceptů lze přesně definovat pouze pomocí množin teoretických konceptů. Například matematické struktury tak rozmanité, jako jsou grafy , potrubí , prstence , vektorové prostory a relační algebry, lze všechny definovat jako množiny splňující různé (axiomatické) vlastnosti. Ekvivalence a řádové vztahy jsou v matematice všudypřítomné a teorii matematických vztahů lze popsat v teorii množin.

Teorie množin je také slibným základním systémem pro většinu matematiky. Od vydání prvního dílu Principia Mathematica se tvrdí, že většina (nebo dokonce všechny) matematické věty lze odvodit pomocí vhodně navržené sady axiomů pro teorii množin, doplněné mnoha definicemi, pomocí logiky prvního nebo druhého řádu . Vlastnosti přirozených a reálných čísel lze například odvodit v rámci teorie množin, protože každý číselný systém lze identifikovat pomocí sady tříd ekvivalence pod vhodným vztahem ekvivalence, jehož pole je nějaká nekonečná množina .

Teorie množin jako základ matematické analýzy , topologie , abstraktní algebry a diskrétní matematiky je rovněž nekontroverzní; matematici akceptují (v zásadě), že věty v těchto oblastech lze odvodit z příslušných definic a axiomů teorie množin. Zůstává však, že formálně bylo ověřeno několik úplných odvození složitých matematických vět z teorie množin, protože takové formální derivace jsou často mnohem delší, než jaké běžně dokládají matematici. Jeden ověřovací projekt, Metamath , zahrnuje lidmi psané, počítačem ověřené derivace více než 12 000 vět, počínaje teorií množin ZFC , logikou prvního řádu a výrokovou logikou .

Oblasti studia

Teorie množin je hlavní oblastí výzkumu v matematice s mnoha vzájemně propojenými podobory.

Teorie kombinatorických množin

Teorie kombinatorických množin se týká rozšíření konečné kombinatoriky na nekonečné množiny. To zahrnuje studium kardinální aritmetiky a studium rozšíření Ramseyovy věty , jako je Erdős – Radova věta . Double set theory theory (DEST) je axiomatická teorie množin navržená Andrzejem Kisielewiczem skládající se ze dvou samostatných členských vztahů ve vesmíru množin.

Popisná teorie množin

Popisná teorie množin je studium podmnožin reálné linie a obecněji podmnožin polských prostorů . Začíná studiem bodových tříd v borelské hierarchii a rozšiřuje se na studium složitějších hierarchií, jako je projektivní hierarchie a hierarchie Wadge . V ZFC lze stanovit mnoho vlastností Borelových sad , ale prokázat, že tyto vlastnosti platí pro komplikovanější sady, vyžaduje další axiomy související s determinantností a velkými kardinály.

Pole efektivní deskriptivní teorie množin je mezi teorií množin a teorií rekurze . Zahrnuje studium bodových tříd lightface a úzce souvisí s hyperaritmetickou teorií . V mnoha případech mají výsledky klasické deskriptivní teorie množin efektivní verze; v některých případech se nové výsledky získají tak, že se nejprve prokáže účinná verze a poté se rozšíří („relativizuje“), aby byla širší použitelná.

Nedávná oblast výzkumu se týká Borelových vztahů ekvivalence a komplikovanějších definovatelných vztahů ekvivalence . To má důležité aplikace pro studium invarianty v mnoha oblastech matematiky.

Fuzzy teorie množin

V teorii množin, jak ji definoval Cantor a axiomatizovaly Zermelo a Fraenkel, je objekt buď členem množiny, nebo ne. V teorii fuzzy množin tuto podmínku uvolnil Lotfi A. Zadeh, takže objekt má stupeň členství v sadě, číslo mezi 0 a 1. Například stupeň členství osoby v souboru „vysokých lidí“ je flexibilnější než jednoduchá odpověď ano nebo ne a může být skutečným číslem, například 0,75.

Teorie vnitřního modelu

Vnitřní modelu teorie množin Zermelo-Fraenkelova (ZF) je přechodný třídy , která zahrnuje všechny ordinals a splňuje všechny axiomy ZF. Kanonickým příkladem je konstruovatelný vesmír L vyvinutý Gödelem. Jedním z důvodů, proč je studium vnitřních modelů zajímavé, je to, že může být použit k prokázání výsledků konzistence. Například lze ukázat, že bez ohledu na to, zda model V ZF splňuje hypotézu kontinua nebo zvolený axiom , vnitřní model L konstruovaný uvnitř původního modelu uspokojí jak generalizovanou hypotézu kontinua, tak axiom volby. Předpoklad, že ZF je konzistentní (má alespoň jeden model), tedy znamená, že ZF společně s těmito dvěma principy je konzistentní.

Studium vnitřních modelů je běžné při studiu determinace a velkých kardinálů , zvláště když uvažujeme o axiomech, jako je axiom determinace, který je v rozporu s axiomem volby. I když pevný model teorie množin splňuje axiom volby, je možné, že vnitřní model neuspokojí axiom volby. Existence dostatečně velkých kardinálů například naznačuje, že existuje vnitřní model, který splňuje axiom determinace (a tedy nesplňuje axiom volby).

Velcí kardinálové

Velké kardinály je číslovka s extra majetku. Mnoho takových vlastností je studováno, včetně nepřístupných kardinálů , měřitelných kardinálů a mnoha dalších. Tyto vlastnosti obvykle naznačují, že základní číslo musí být velmi velké, přičemž existence kardinála se specifikovanou vlastností není v teorii množin Zermelo – Fraenkel prokazatelná .

Rozhodnost

Odhodlanost označuje skutečnost, že za vhodných předpokladů jsou určité hry dokonalých informací pro dva hráče určeny od začátku v tom smyslu, že jeden hráč musí mít vítěznou strategii. Existence těchto strategií má důležité důsledky v deskriptivní teorii množin, protože předpoklad, že je určena širší třída her, často implikuje, že širší třída sad bude mít topologickou vlastnost. Axiom determinovanosti (AD) je důležitým předmětem studia; přestože je nekompatibilní s axiomem volby, AD znamená, že všechny podmnožiny reálné linie jsou dobře vychované (zejména měřitelné a s perfektní sadou vlastností). AD lze prokázat, že stupně Wadge mají elegantní strukturu.

Vynucení

Paul Cohen vymyslel způsob nutí při hledání modelu z ZFC ve kterém hypotéza kontinua selže nebo model ZF ve kterém je axiom výběru selže. Vynucení navázání na nějaký daný model teorie množin další sady za účelem vytvoření většího modelu s vlastnostmi určenými (tj. „Vynucenými“) konstrukcí a původním modelem. Například Cohenova konstrukce sousedí s dalšími podmnožinami přirozených čísel, aniž by se měnilo jakékoli základní číslo původního modelu. Vynucení je také jednou ze dvou metod pro prokázání relativní konzistence finitistickými metodami, druhou metodou jsou modely s booleovskou hodnotou .

Kardinální invarianty

Kardinál neměnný je vlastnost reálné ose měřeno počtem kardinál. Například dobře studovaný invariant je nejmenší mohutnost ze sbírky hubených sad skutečností, jejichž sjednocením je celá skutečná linie. Jedná se o invarianty v tom smyslu, že jakékoli dva izomorfní modely teorie množin musí dávat stejný kardinál pro každý invariant. Bylo studováno mnoho kardinálních invariantů a vztahy mezi nimi jsou často složité a souvisejí s axiomy teorie množin.

Set-teoretická topologie

Topologie teoretické množiny studuje otázky obecné topologie, které mají set-teoretický charakter nebo které ke svému řešení vyžadují pokročilé metody teorie množin. Mnoho z těchto vět je nezávislých na ZFC, což vyžaduje pro jejich důkaz silnější axiomy. Slavným problémem je normální Mooreova vesmírná otázka , otázka obecné topologie, která byla předmětem intenzivního výzkumu. Odpověď na normální Mooreovu vesmírnou otázku se nakonec ukázala jako nezávislá na ZFC.

Námitky proti teorii množin

Od počátku teorie množin proti tomu někteří matematici protestovali jako pro základ matematiky . Nejběžnější námitka proti teorii množin, kterou Kronecker vyjádřil v nejranějších letech teorie množin, vychází z konstruktivistického názoru, že matematika volně souvisí s počítáním. Pokud je tento pohled zaručen, pak léčba nekonečných množin, jak v naivní, tak v axiomatické teorii množin, zavádí do matematických metod a objektů, které nejsou ani v principu vyčíslitelné. Proveditelnost konstruktivismu jako náhradního základu matematiky výrazně zvýšila vlivná kniha Erretta Bishopa Základy konstruktivní analýzy .

Odlišný námitka vztáhl Henri Poincaré je, že definování sady pomocí axiómem schémata z popisu a náhrady , jakož i axiom elektrického souboru , zavádí impredicativity , druh kruhovitosti , do definice matematických objektů. Rozsah predikativně založené matematiky, ačkoli je menší než běžně přijímaná teorie Zermelo -Fraenkel, je mnohem větší než rozsah konstruktivní matematiky, do té míry, že Solomon Feferman řekl, že „veškerou vědecky použitelnou analýzu lze vyvinout [pomocí predikativní metody]".

Ludwig Wittgenstein filozoficky odsoudil teorii množin pro její konotace matematického platonismu . Napsal, že „teorie množin je špatná“, protože staví na „nesmyslnosti“ fiktivní symboliky, má „zhoubné idiomy“ a že je nesmyslné mluvit o „všech číslech“. Wittgenstein identifikoval matematiku s algoritmickou lidskou dedukcí; potřeba bezpečného základu pro matematiku mu připadala nesmyslná. Navíc, protože lidské úsilí je nutně konečné, Wittgensteinova filozofie vyžadovala ontologický závazek k radikálnímu konstruktivismu a finitismu . Meta-matematické výroky-které pro Wittgensteina zahrnovaly jakékoli tvrzení kvantifikující přes nekonečné domény, a tedy téměř všechny moderní teorie množin-nejsou matematikou. Několik moderních filozofů přijalo Wittgensteinovy ​​názory po velkolepém omylu v poznámkách k základům matematiky : Wittgenstein se pokusil vyvrátit Gödelovy věty o neúplnosti poté, co si přečetl pouze abstrakt. Jak zdůraznili recenzenti Kreisel , Bernays , Dummett a Goodstein , mnoho z jeho kritik se na papír nevztahovalo v plném rozsahu. Teprve nedávno začali filozofové jako Crispin Wright rehabilitovat Wittgensteinovy ​​argumenty.

Teoretici kategorií navrhli toposovou teorii jako alternativu k tradiční axiomatické teorii množin. Teorie Topos může interpretovat různé alternativy k této teorii, jako je konstruktivismus , teorie konečných množin a teorie počítatelných množin. Topoi také poskytuje přirozené prostředí pro vynucování a diskuse o nezávislosti volby na ZF a také poskytuje rámec pro nesmyslnou topologii a kamenné prostory .

Aktivní oblastí výzkumu jsou univalentní základy a související teorie homotopického typu . V rámci teorie typů homotopy lze sadu považovat za homotopický typ 0, s univerzálními vlastnostmi množin vyplývajících z indukčních a rekurzivních vlastností vyšších indukčních typů . Principy, jako je axiom volby a zákon vyloučeného středu, mohou být formulovány způsobem odpovídajícím klasické formulaci v teorii množin nebo možná ve spektru odlišných způsobů, které jsou pro teorii typů jedinečné. Některé z těchto zásad lze prokázat jako důsledek jiných zásad. Rozmanitost formulací těchto axiomatických principů umožňuje podrobnou analýzu formulací požadovaných za účelem odvození různých matematických výsledků.

Teorie množin v matematické výchově

Jak teorie množin získala popularitu jako základ pro moderní matematiku, byla podporována myšlenka zavést základy naivní teorie množin na počátku matematického vzdělávání .

V USA v 60. letech se pokus New Math zaměřil na výuku základní teorie množin, kromě jiných abstraktních pojmů, na studenty základních škol , ale setkal se s velkou kritikou. Matematická osnova v evropských školách tento trend sledovala a v současné době zahrnuje předmět na různých úrovních ve všech ročnících. Venn diagramy jsou široce využívána vysvětlit základní set-teoretický vztah k základních škol studentům (i když John Venn původně navržena jako součást postupu pro posouzení platnosti a závěrů v termínu logice ).

Teorie množin slouží k seznámení studentů s logickými operátory (NOT, AND, OR) a sémantickým popisem nebo popisem pravidel (technicky náročná definice ) množin (např. „Měsíce začínající písmenem A “), což může být užitečné při učení počítačového programování. , protože logická logika se používá v různých programovacích jazycích . Podobně jsou sady a další objekty podobné kolekcím , jako jsou multisety a seznamy , běžnými datovými typy v informatice a programování .

Kromě toho jsou množiny běžně označovány v matematickém učení, když mluví o různých typech čísel ( N , Z , R , ...), a když definují matematickou funkci jako vztah z jedné množiny ( domény ) do druhé nastavit ( rozsah ).

Viz také

Poznámky

Reference

Další čtení

externí odkazy